章末综合测评5 三角函数（含解析）-高中数学人教A版必修第一册

章末综合测评（五）三角函数

（时间：120分钟满分：150分）

一'单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.—1000。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15,则它的面积为（）

A.5B.6

C.8D.9

3.若cos住+a）=-3,且兀）,则sin（兀-2a）=（）

A.-B.-

2525

C.--D.--

2525

4.要得到函数y=sin（3%—小的图象，只要把函数y=sin3x的图象（）

A.向左平移己个单位长度

B.向右平移g个单位长度

c.向左平移;个单位长度

D.向右平移汐单位长度

5.已知tana,tan4为方程好+6%—2=0的两个实数根，则篝言=（）

AA.1-1CB.-5

22

C.-D.-

66

6.（2024•新高考I卷）当工£[0,2兀]时，曲线y=sinx与y=2sin（3汽—§的交

点个数为（）

A.3B.4

C.6D.8

7.tan200°+tan40°+V3tan(―160°)tan40°=()

1/10

A.v3B.iv3

C.1D.-1

8.已知函数/(x)=sin(3+§)(0>0)的最小正周期为兀.则函数在(一工，看)

的最小值是()

3

A-VT3--

B.2

3

C.0D.-

2

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分.

9.下列说法正确的是()

A.角。终边在第二象限或第四象限的充要条件是tan。<0

B.圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是g

C.经过4小时时针转了120°

D.若角a与角£终边关于y轴对称，则a+.=]+2E,左6Z

10.对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin(2%-：),下列说法中正确的有()

A./(x)与g(x)有相同的零点

B./(x)与g(x)有相同的最大值

C./(x)与g(x)有相同的最小正周期

D./(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

11.质点尸和0在以坐标原点。为圆心，半径为1的。。上逆时针做匀速圆周

运动，同时出发.尸的角速度大小为2rad/s,起点为。。与x轴正半轴的交点；

。的角速度大小为5rad/s,起点为射线y=—与。。的交点.则当0与

尸重合时，0的坐标可以为()

A.(cos-,sin-J

c(57c.5兀\

B.I-cos—,-sin—1

C.(cos],-sin；)

D.(-cos：,sin；)

2/10

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知cos(45。+(/)=卷，贝Icos(135。-0{)=.

13.已知函数/(x)=sin(3为+§(①>0)在(一^,§上单调递增，则①的取值范围

是.

14.(2022•浙江高考)若3sina—sinA=VlU,a+£=],则sina=,cos

2§=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.(本小题满分13分)已知函数/(x)=Zsin(ox+0)+3(/>0,xGR,co>0,\(p\

〈兀)的部分图象如图所示.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若g(x)=/(久+J+/(%-匀，求函数g(x)在区间(0,D上的值域.

16.(本小题满分15分)(2023•北京高考)设函数f(x)=sincoxcos9+coscoxsin

e(3>0,\(p\

⑴若/(0)=一苧，求9的值；

(2)已知/(x)在区间(冶，用上单调递增，/停)=1，再从条件①、条件②、条

件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数/㈤存在，求①，9的值.

条件①：/O；

条件②：/(—5)=—1;

条件③：/(X)在区间(―1，冶)上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条

件分别解答，按第一个解答计分.

3/10

17.(本小题满分15分)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，角a和角

＜口＜?)的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位

圆交于a8两点，点/的横坐标为|,点C与点8关于X轴对称.

cos

⑴求.2,I的值;

sm"a+cos2a

⑵若cosAAOC=­f|,求cos夕的值.

65

18.（本小题满分17分）已知下列是两个等式:

①sin60°•sin30°=sin245°—sin215°；

②sin5,sin1=sin23—sin22；

(1)请写出一个更具有一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；

(2)请证明你的结论.

19.(本小题满分17分)(教材P255复习参考题5T23改编)已知正方形48co的边

长为1,点尸，。分别在边48,AD1.,设NQC0=a,ZBCP=/3.

(1)^AP=DQ,求tan(a+份的最大值；

(2)若△4P0的周长为2,求NPC0的大小.

章末综合测评(五)

1.A[―1000。的终边与一1000。+360吆3=80°相同，则终边在第一象限.故

选A.]

11

2.D[设半径为j贝|周长15=2尸+0.5小贝|尸=6,扇形面积为:X0.5/=；X0.5

X36=9,故选D.]

4/10

3.D[VcosQ+=—sina=—/.sin又TI）,/.cosa=—

V1—sin2a=—I，贝1Jsin（7i—2a）=sin2a=2sinacosa=—11.故选D.]

4.D[由题意知：y=sin（3x—g）=sin[3（%—：）],所以只需把y=sin3x的图象

向右平移]个单位长度就可以得到丫=sin（3为一2）的图象，故选D.]

5.C[因为tana,tan£是方程12+6%—2=0的两根，

由根与系数的关系知，tana+tan^=—6,tanatan^=—2,

匕£，、？cos（a一夕）cosacos/?+sinasin/?1+tanatan^1—21

月1以----------=---------------------=--------------==

sin（a+/?）sinacos/?+cosasin/?tana+tan/?—66

故选C.]

6.C[因为函数y=sinx的最小正周期为T=2兀，

函数y=2sin（3%—J的最小正周期为T=g,

所以在xG[0,2兀]上，函数y=2sin（3x—有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.]

7.A[tan200°=tan(180°+20°)=tan20°,

tan(-160°)=tan(-180°+20°)=tan20°,

tan60°=tan(20°+40°)=tan200+tan400=逐

v7l-tan20°•tan400'

所以tan200+tan40°=V3—V3tan20°•tan40°,

所以tan200°+tan40°+V3tan(—160°)tan40°

=tan20°+tan40°+V3tan20°tan40°

=V3-V3tan20°-tan40°+V3tan20°•tan40°=V3.故选A.]

8.A[/(x)=sin|^3(aix+1)j=sin(3cwx+7r)=—sin3cwx,由7=|^=兀，得①=(,

即寅x)=—sin2x,当刍时，2x£[—勺，

1ZOOD

5/10

sin2xe[-1,孚，所以，当x=^时，/(x)min=—sin^=一”.故选A.]

LZZJ632

9.AB[设角。终边上点的坐标为(x,y),贝Utane=g若角。终边在第二象限或

第四象限，贝Utan6<0,若tan*O,则角。终边在第二象限或第四象限，所以角。

终边在第二象限或第四象限的充要条件为tan6<0,故A正确；

圆的一条弦等于半径，则圆心角为60。，即今故B正确；

经过4小时时针旋转了一^x360°=—120。，故C错误；

若角a和角夕的终边关于y轴对称，则a+A=7i+2E,左©Z,故D错误.故选AB.]

10.BC[A选项，令/(x)=sin2x=0,解得x=g,左©Z,即为小)的零点，

令g(x)=sin(2%—；)=0,解得x==+g,左©Z,即为g(x)的零点，

显然兀r),g(x)的零点不同，A选项错误；

B选项，显然｛X)max=g(X)max=l,B选项正确；

C选项，根据周期公式，於)，g(x)的最小正周期均为兀，c选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质，道x)的图象的对称轴满足2x=E+],k£Z,即x

=T+Pkj

g(x)的图象的对称轴满足2L；=MT+3，k5,即尸"+萼，kb,

4228

显然<x),g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.

故选BC.]

11.ABD[由题意，点。的初始位置01的坐标为G，—?),设点尸的初始位

置为01,则NQiOPi三，

设/时刻两点重合，则51—2/三+2标,左©N,

即，=§+丁，

此时点0(cos(一2+5。，sin(—^+5/)),

即。(cos©+争),sin©+争)),左©N,

当k=0时，Q(cosg,si喏)，故A正确；

当左=1时，Q(cos等，sin等)，

即2(_COS-y,—sin-y),故B正确；

6/10

当左=2时，0(cos罟，si暇)，

即Q(—cos；,sin、),故D正确.

故选ABD.]

12.-[cos(135°-a)=cos[180°-(45°+a)]

=—cos(45°+a)=]

13.(0,1]]令-5+2/CTTW3K+^W5+2E,k^Z,

/tf],曰5IT2/ciT_,IT2ZciT7____w-g

解得一一+—W%W—+一，左ez,

6a)0)6a)co

所以人x)的单调递增区间为[—兽+也，^+―],左GZ,

OC00)OC00)

因为人X)在[―,会上单调递增，

(一旦W

所以%633解得所以0<0W；.]

椁wA22

\36a)

14.3[因为。+4=],所以£=]一%所以3sina—sin£=3sina—sin(1一

a)=V10,

所以3sina—cosa=V10,又sin2«+cos2«=1,

.3V10

sina=-----,4

则iocos2s=2cos2夕—1=2sin2a—1=-.]

Vio

cosa=------

io

15.解:⑴根据题意知Z+8=3,8—Z=—1,.•.幺=2,8=1,"=居一(—曲=或

乙_L4\_L乙/乙

:・T=TI,/.­=7i,・'•0=2,・\/(x)=2sin(2x+9)+l,

0)

将点(―行，—1)代入得到2sin(—£+0)+l=—1,

又阳〈兀，・・.夕=一今

.•./(X)=2sin(2%—§+1.

(2)Vg(x)=/^x+9+/(%-9=2sin2%+1+2sin(2x—g)+1=sin2%—

V3cos2x+2=2sin(2x-§+2,

・••回0,12万一中[4,到

Z.g(x)=2sin(2x-+2e[2-V3,4].

7/10

即函数g（x）在区间［o,4上的值域为［2—旧，4］.

16.解：（1）因为兀i）=sinoxcos夕+cos①xsin夕，

所以/（0）=sin（①•O）cos^+cos（co•0）sincp

.V3

=smg=—7

因为胡<］,所以夕=一.

（2）因为«x）=sincoxcos（p+cos①xsin（p,co>0,

M<5,

所以/（x）=sin（5+9）,co>0,

所以«r）的最大值为1,最小值为一1.

若选条件①：因为於）=sin（s+9）的最大值为1,最小值为一1,

所以八强=鱼无解，故条件①不能使函数人工）存在.

若选条件②：因为人X）在区间［―/g］上单调递增，

且人争=1，义W）=T.

所以g=g一（_i）=7I>

所以7=2无，69=y=l,

所以及）=sin（x+夕）,

又因为人一己）=—1，

所以sin（-］+夕）=—1,

所以一g+0=—1+2E,kRZ,

所以9=—乌+2左兀，kGZ,

因为何<3所以9=-2

LO

所以①=1,9=一$

若选条件③：因为人X）在［―9争上单调递增，在［一］,一中上单调递减,

所以/（X）在》=一］处取得最小值一1,

即/（一沪T.

因为大x）在区间［―,g］上单调递增，

8/10

且心X-^)=-i-

所吗=g-(冶)=兀，

所以7=271,co=—=1,

所以Ax)=sin(x+9),

又因为义一2)=—1,

所以sin(一己+夕)=一1,

所以一]+(p=—]+2左兀，kRZ,

所以9=l]+2左兀，k^Z.

因为|夕行,所以夕=一也

所以①=1,夕=一二

6

17.解：(1)因为点Z的横坐标为右且31=1,点Z在第一象限，所以点Z的

纵坐标为3

34

所以cosaq,sin«=-­

在、？cos(2a—5)sin2a

所以「----=「--------厂

siMa+cos2asinza+cos^a—sinza

_2sinacosa_2sina_2x-_Q

cosz7a—cosa—-3——3*

5

(2)因为cosN/OC=一与，由题图可知，sinZ^OC=Vl—cos2Z.AOC=

65

—巧2=3

勺l65J65,

而一夕=。一AAOC,

改厂/AOC—a,

所以cos=cos(ZAOC—a)

=cosNZOCcosa+sinNZOCsina

/63、3,1645