（人教A版）选择性必修一高二数学上册 同步学案+同步练习 3.2.2 双曲线的简单几何性质（原卷版）

第页3．2．2双曲线的简单几何性质【题型归纳目录】题型一：双曲线的简单几何性质题型二：双曲线的渐近线题型三：求双曲线离心率的值题型四：求双曲线离心率的范围题型五：直线与双曲线的位置关系题型六：弦长问题题型七：中点弦问题题型八：定点定值问题题型九：最值问题【知识点梳理】知识点一、双曲线的简单几何性质双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质范围，即或双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或．对称性对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为，所以双曲线的离心率．由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率．渐近线经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．知识点三、双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长，焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；（4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来．（5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系．知识点五、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，1、当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为，若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点；若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切．知识点六、弦长公式若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）．【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．3、利用角度长度的大小建立不等关系．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．【典型例题】题型一：双曲线的简单几何性质例1．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为

（

）A． B．6 C． D．8例2．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．例3．双曲线：与双曲线：的（

）A．实轴长相等 B．焦点坐标相同C．焦距相等 D．离心率相等例4．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于________．例5．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为______．题型二：双曲线的渐近线例6．已知椭圆：与双曲线：的离心率之积为2，则双曲线的两条渐近线的方程分别为（

）A． B． C． D．例7．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．例8．已知双曲线的右焦点为F，则点F到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A．5 B．4 C．3 D．2例9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（

）A． B． C． D．例10．已知双曲线的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．例11．已知为双曲线的焦点，过作轴的垂线交于点，且，则的渐近线方程是（

）A． B． C． D．例12．已知点和是双曲线的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．题型三：求双曲线离心率的值例13．已知双曲线的右焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．3例14．已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．例15．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数使得（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．例16．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线在第一象限的交点为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．4例17．设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，若，点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．例18．已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2题型四：求双曲线离心率的范围例19．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．例20．已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.

线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（

）A． B．C． D．例21．椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．例22.已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．例23．已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离不大于，其离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．例24．已知A，B是双曲线（a＞0，b＞0）上关于坐标原点对称的两点，F为其右焦点，若满足AF⊥BF，且∠ABF的取值范围为[]，则该双曲线的离心率的取值范围是（

）A．[] B．[] C．[] D．例25．已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G､H两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B． C． D．例26．已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．题型五：直线与双曲线的位置关系例27．若过点P（0，1）作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，则直线l的方程为______．例28．已知曲线：，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是______．题型六：弦长问题例29．以直线为渐近线，且截直线所得弦长为的双曲线的标准方程是_______.例30．求双曲线被直线截得的弦长______________．例31．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若为直角三角形，则______.例32．过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为__________.题型七：中点弦问题例33.过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.例34．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.例35．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于______________.例36．已知双曲线，过作直线与双曲线交于A、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________.例37.已知双曲线上有三个点，，且，，的中点分别为，，，用字母表示斜率，若（点为坐标原点，且，，均不为零），则________.例38．已知双曲线.(1)若离心率为，求b的值，的顶点坐标、渐近线方程；(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．题型八：定点定值问题例39．已知双曲线．(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．例40．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点．(1)设直线与直线的斜率分别为，，求的值．(2)若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．题型九：最值问题例41．已知双曲线：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.（1）求双曲线的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点，求点到直线距离的最大值.例42．已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值．【同步练习】一、单选题1．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论不正确的是（

）A．与（，）共轭的双曲线是（，）B．互为共轭的双曲线渐近线不相同C．互为共轭的双曲线的离心率、，则D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上2．若双曲线的一个焦点为，则（

）A． B． C．0 D．33．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．4．下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是（

）A． B．C． D．5．已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则C的离心率为（

）A． B． C． D．37．已知F为双曲线C：的左焦点，过F作圆的切线，切点为T，延长FT交C于点P，若M为线段FP的中点，则（

）A． B． C． D．8．已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知为4，为8或，则下列对曲线描述正确的是（

）A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆 B．曲线可表示焦距是4的双曲线C．曲线可表示为离心率是的椭圆 D．曲线可表示渐近线方程是的双曲线10．过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（

）A． B． C． D．11．已知抛物线的准线过双曲线（，）的左焦点F，且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为，那么下列结论中正确的是（

）A．双曲线C的方程为B．双曲线C的两条渐近线的夹角为60°C．点F到双曲线C的渐近线的距离为D．双曲线C的离心率为2三、填空题12．已知双曲线：上的点到焦点的最小距离为1，则双曲线的方程为______．13．以椭圆的焦点为焦点，以直线为渐近线的双曲线方程为______．14.已知双曲线C：的两条渐近线分别为与，若点，