2026届高三一轮复习讲义(提高版)数学第八章8.4直线与圆、圆与圆的位置关系

§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课标要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ0

Δ0

Δ0

几何观点dr

dr

dr

2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d=|O1O2|)图形量的关系外离外切相交内切内含3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|=.(2)代数法：设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|=.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.()(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.()(4)在圆中最长的弦是直径.()2.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是()A.相交且直线经过圆心 B.相切C.相离 D.相交且直线不经过圆心3.直线2x-y+1=0与圆x2+y2=2交于A，B两点，则弦AB的长度为()A.425 B.655 C.4.圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是()A.外切 B.相交 C.外离 D.内切灵活应用两圆相交时公共弦的性质圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1(多选)已知圆C：(x-2)2+y2=16，直线l：mx+y-3m-1=0，则下列结论中正确的是()A.直线l恒过定点(3，1)B.直线l与圆C相切C.直线l与圆C相交D.直线l与圆C相离思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.命题点2弦长问题例2已知直线l：y=kx+3与圆C：(x-1)2+(y-1)2=4交于A，B两点，若|AB|=23，则k等于()A.-34 B.34 C.12 D思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l=2r2命题点3切线问题例3(多选)过点A(4，-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，所得切线方程为()A.x=4 B.15x+8y-36=0C.y=-3 D.8x-15y-3=0思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ=0进而求得k.注意验证斜率不存在的情况.命题点4直线与圆位置关系中的最值问题例4已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为.思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.跟踪训练1(1)(多选)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则下列命题正确的有()A.直线l恒过定点(3，1)B.y轴被圆C截得的弦长为26C.直线l与圆C恒相交D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0(2)(多选)(2024·南京模拟)已知点P在圆O：x2+y2=4上，直线l：4x+3y-12=0分别与x轴、y轴交于A，B两点，则()A.过点B作圆O的切线，则点B到切点的距离为23B.满足PA·PB=0的点P仅有1个C.点P到直线l距离的最大值为22D.|PA+PB|的最小值是1题型二圆与圆的位置关系例5(多选)已知圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R.则下列选项正确的是()A.直线C1C2恒过定点(3，0)B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=10C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a<4D.当a=13时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.跟踪训练2(多选)(2024·长沙模拟)若圆O1：x2+y2+2x-3=0与圆O2：x2+y2-2y-1=0交于A，B两点，则下列选项中正确的是()A.点(1，-1)在圆O2内B.直线AB的方程为x+y-1=0C.圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2+2D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB|圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程一、圆中切线问题1.已知圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，若已知切点P(x0，y0)在圆上，则该圆过P点的切线只有一条，其方程为x0x＋y0y＋Dx0＋x2＋Ey2.已知圆的方程为x2＋y2＝r2，若已知切点P(x0，y0)在圆上，则该圆过P点的切线方程为x0x＋y0y＝r2.3.已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)过圆上的P0(x0，y0)点的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)过圆外一点(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x用x＋x02替换，y4.过圆外一点P(x0，y0)引圆(标准方程，一般方程)的切线长度d＝x02＋y02＋Dx二、常见的圆系方程1.同心圆圆系(1)以(a，b)为圆心的同心圆圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)；(2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心圆的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0(D2＋E2－4λ>0).2.过线圆交点的圆系过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.3.过两圆交点的圆系过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0).(1)特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.(2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ[(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)]＝0.典例(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9外一点P(－4，2)，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线AB的方程为.

(2)(2025·张家口模拟)圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝36的公切线的方程为.

答案精析落实主干知识1.<=>>=<2.d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|3.(1)2r2-d2自主诊断1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.D3.B4.A探究核心题型例1AC[圆C：(x-2)2+y2=16的圆心C(2，0)，半径r=4，直线l：m(x-3)+y-1=0恒过定点(3，1)，显然(3-2)2+12=2<4=r，因此点(3，1)在圆C内，直线l与圆C相交，B，D错误，A例2A[圆C：(x-1)2+(y-1)2=4的圆心C(1，1)，r=2，所以圆心C(1，1)到直线l：y=kx+3的距离d=k而d=r2-|AB|2所以d=k+2|1+k2=1，解得例3AB[由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，-3)的切线斜率存在时，设切线方程为y=k(x-4)-3，则圆心到切线的距离d=|-k可得k=-15所以y=-158(x-4)-3即15x+8y-36=0；当切线斜率不存在时，切线方程为x=4，显然与圆相切，综上，切线方程为15x+8y-36=0或x=4.]例422解析圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，即圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，所以圆心C(1，1)，半径r=1，如图，连接PC，因为S四边形PACB=2S△PAC=2×12×|AP|·|AC|=|AP|=所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C到直线3x+4y+8=0的距离d，即d=|3+4+8|所以四边形PACB面积的最小值为9-1=22.跟踪训练1(1)ACD[由已知可得，圆心C(1，2)，半径r=5，直线方程可化为l：m(2x+y-7)+x+y-4=0，由2x+所以直线l恒过定点(3，1)，A正确；将x=0代入圆的方程有1+(y-2)2=25，解得y=2±26所以y轴被圆C截得的弦长为46，B因为点(3，1)到圆心C(1，2)的距离为(1-3)2+(2-1)2所以点(3，1)在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确；当圆心C(1，2)与定点(3，1)的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大，直线l被圆C截得的弦长最短，则l的斜率k应满足1-23-1·k=-1，所以k=2代入点斜式方程有y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0，D正确.](2)ACD[点A(3，0)，点B(0，4)，设圆O的半径为r，过点B作圆O的切线，所以点B到切点的距离为|OB|2-r2=16-4由中点坐标公式得线段AB的中点为M32，2，由两点间距离公式得|AB|=5，则以线段AB为直径的圆M的方程为x-322因为|OM|=94+4而52-2=12满足12<52<92，所以圆M与圆O相交，所以满足PA·PB=0的点P有圆心O到直线l的距离为|-12|42+32=125，半径r=2线段AB的中点为M3则PM=12(PA+所以|PA+PB|=2|PM|，因为|PM|min=|OM|-r=52-2=所以|PA+PB|的最小值是1，故D正确.]例5ABD[由圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，可知C1(1，2a)，C2(4，-a)，故直线C1C2的方程为y+a=-a(x-4)，即y=-a(x-3)，则直线C1C2恒过定点(3，0)，A正确；圆C1的半径r1=3，又圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R即(x-4)2+(y+a)2=4，a∈R，圆C2的半径r2=2，当圆C1和圆C2外切时，|C1C2|=r1+r2=3+2=5，|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=10，B正确；若圆C1和圆C2共有2条公切线，则两圆相交，又|C1C2|=(1-4)2则3-2<|C1C2|<3+2，即1<9+9a2<5，解得-43<a<当a=13圆C1：(x-1)2+y-2圆C2：(x-4)2+y+1将两方程相减可得公共弦方程为6x-2y-593=0，则C11，23到直线6x-2y6-43则圆C1与圆C2相交弦的弦长为29-31042=3跟踪训练2BC[因为12+(-1)2-2×(-1)-1=3>0，所以点(1，-1)在圆O2外，故A错误；因为圆O1和圆O2相交，将两圆方程相减可得x+y-1=0，即公共弦AB所在直线的方程为x+y-1=0，故B正确；圆O1的圆心坐标为(-1，0)，半径为2，圆心O1到直线AB：x+y-1=0的距离d=|-1-1|2=2，所以圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2+直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段