（人教A版）选择性必修一高二数学上册第一章 空间向量与立体几何章末重点题型归纳（原卷版）

第页第一章空间向量与立体几何章末重点题型归纳知识点1空间向量的有关概念1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2.表示法：（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.3．几类特殊的空间向量名称定义表示法零向量规定长度为0的向量叫做零向量记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量记为－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥aa∥b或eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量a＝b或eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))知识点2空间向量的线性运算（一）空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)（二）空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ<0λa与向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb知识点3共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有用途共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。2.直线l的方向向量如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝λa.定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．知识点4空间向量的夹角定义如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b知识点5空间向量的数量积运算1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.投影向量及直线与平面所成的角(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．知识点6空间向量数量积的性质(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．知识点7空间向量基本定理1．定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.2．空间向量的正交分解(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．知识点8空间向量基本定理应用1、证明平行、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．2、求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3、求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．知识点9空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．注意点：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标、向量的坐标（1）空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点点的位置x轴上y轴上z轴上坐标的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)点的位置Oxy平面内Oyz平面内Ozx平面内坐标的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)（2）空间点的对称问题①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（3）空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．知识点10空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标运算法则设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量运算向量表示坐标表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa(λa1，λa2，λa3)数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3注意点：(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．2．空间向量相关结论的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有(1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).3．空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．(1)eq\o(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2).(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).知识点11空间中点、直线和平面的向量表示1．空间直线的向量表示式设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，设P是直线l上任意一点，(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).2．空间平面的向量表示式①如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.②如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．知识点12空间平行、垂直关系的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．线线平行l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示．线面平行l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)特别强调直线在平面外．面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．线线垂直l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直．(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.线面垂直l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1（1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．（2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．（3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直知识点13空间距离及向量求法分类点到直线的距离点到平面的距离图形语言文字语言设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up7(→))（eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)u.），则PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2)设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度．知识点14空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)(1)线面角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)(1)两个平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．题型一空间向量的线性运算1．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（

）A． B．C． D．2．如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（

）A． B．C． D．3．已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.4．在长方体中，M、N分别是BC、的中点，若，则______．5．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（

）A． B． C． D．题型二空间共线向量定理6．已知向量，，且，则的值为（

）A． B． C．或 D．或7．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（

）A．， B．，C．， D．，8．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则______．9．在平行六面体中，点P在上，若，则（

）A． B． C． D．10．已知O为坐标原点，，点P是上一点，则当取得最小值时，点P的坐标为（

）A． B．C． D．题型三空间共面向量定理11．已知A､B､C､D､E是空间中的五个点，其中点A､B､C不共线，则“平面ABC”是“存在实数x､y，使得的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.13．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，14．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则λ=___________.15．已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－6题型四空间向量的运算的坐标表示16．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（

）A． B． C． D．17．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），则3+2等于（）A．（5，8，3） B．（5，﹣6，4）C．（8，16，4） D．（16，0，4）18．已知，，，则的坐标为______．19．在空间直角坐标系中，向量为平面ABC的一个法向量，其中，，则向量的坐标为______．20．在空间直角坐标系中，已知点A，若点P满足，则_______．题型五空间向量的数量积及其性质的应用21．三棱锥中，，，，则______．22．已知在四面体ABCD中，，，则______．23．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.24．在平行六面体中，，，，则（

）A． B．5 C． D．325．已知空间向量，是单位向量，，则向量与的夹角为______.26．向量，，，且，，则______.27．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．题型六空间向量在立体几何平行、垂直问题中的应用28．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线异面，直线平面D．直线与直线相交，直线平面29．【多选】如图，正方体的棱长为，分别为的中点，则（

）A．直线与平面垂直B．直线与平面平行C．三棱锥的体积等于D．平面截正方体所得的截面面积为30．【多选】在正方体中，E，F分别是和的中点，则下列结论错误的是（

）A．平面CEFB．平面CEFC．D．点D与点到平面CEF的距离相等31．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________．32．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC上的动点，且.(1)求证：；(2)当时，求点A到平面的距离.题型七空间角的计算33．直角梯形中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．34．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点．(1)当点为线段的中点时，证明直线平面(2)求证：；(3)点在线段上，且，求直线与平面的夹角的正弦值35．如图，在多面体ABCDEF中，AD⊥平面ABC，AD//BE//CF，且AD＝1，B