2024北师大版八年级数学上册《二元一次方程组的解法》教案

北师大版（2024）八年级上册数学第五章2二元一次方程组的解法

教案

第।课时代入消尢法

新课导入设计

【置疑导入】

问题：体育节要到了，篮球是七年级（1）班的拳头项目.为了取得好名次，他们想在全部

22场比赛中得到40分.已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得I分.那么七年

级（1）班应该胜、负各几场？

你会用二元一次方程组解决这个问题吗？

根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以很容易地列出方程组：

x+y=22，①

2x+y=40.②

那么有哪些方法可以求得这个二元一次方程组的解呢？

教学设计

课题第1课时代入消元法授课人

1.了解解方程组的基本思想是“消元”，

掌握代入消元法解二元一次方程组.

素养目标2•在解决问题的过程中学会交流与合

作，感受二元一次方程组的实际应用价

值.

教学重点用代入法解二元一次方程组的基本步骤.

探究如何用代入消元法将“二元”转化

教学难点

为“一元”的过程.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

第1页共20页

1.下列方程是二元一次方程

吗？

(l)x+3y=7；(2)2y+2=0；

(3)2x—3=5；(4)3—2=1,

回顾旧知，为学习新知俶好准

回顾2•你能把上面的二元一次方

备.

程改写成用x表示y(或用y

表示X)的形式吗？

3•解一元一次方程的步腺是

什么？

【课堂引入】

上节课我们学习了栽树问题，

经过大家的共同努力，得出了

二元一次方程组

X—y=2，通过提出实际问题，充分调动

小明和小

[x+l=2(y-1).

活动一：创设情境、导入新课学生的积极性，激发学生的学

颖分别栽种了多少株绿植习动力和兴趣.

呢？这就需要我们去解这个

二元一次方程组.我们会解一

元一次方程，那么二元一次方

程组如何解呢？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【探究新知】1.通过利用一元一次方程解

问题1：栽树问题中，你能否决实际问题，引导学生将求解

列一元一次方程？如何求二元一次方程组的问题转化

活动二：实践探究、交流新知

解？为消“二元”为“一元”，调

解：设小明栽种了X株绿植，动学生思考问题的积极性，同

小颖栽种了(x-2)株绿植.时提高学生分析问题、解决问

第2页共20页

根据题意，得x+l=2(x—2题的能力.

-1)，2•通过问题罗列及小组讨论，

x+1=2x—4—2»x—2x=—4让学生发挥学习的主动性，同

—2—1，­x=­7，x=7.时让学生养成学会观察、分

问题2：针对同样的问题，如析、归纳的好习惯.

何求二元一次方程组

X-y=2，

।一/、的解呢？

[x+l=2(y-1)

提示：(1)对照一元一次方程

的解法，问题2比问题1多了

一个未知数y，y相当于问题

1中的____________.

(2)一元一次方程会解，如何

解二元一次方程呢？能否化

成一元一次方程？换句话说，

多出来的未知数y可以转化

成____________，然后代入

学生自己分析求解，教师规范

解题格式.

x-y=2»①

解.

'x+l=2(y-1).②

由①，得y=x-2.③

将③代入②，得x+l-2(x-2

-1).解得x=7.

将x=7代入③»得y=5.

x=7，

所以原方程组的解为

ly=5.

探索与归纳：

第3页共20页

(1)给前面解方程组的方法取

个什么名字好？

(2)解方程组的基本思路是什

么？

(3)解方程组的主要步骤有哪

些？

代入消元法：将其中一个方程

中的某个未知数用含有另一

个未知数的代数式表示出来，

并代入另一个方程中，从而消

去一个未知数，化二元一次方

程组为一元一次方程.这种解

方程组的方法叫代入消元法，

简称代入法.

基本思路：二元一次方程组o

一元一次方程

解二元一次方程组的第一种

解法代入消元法，其主要

步骤：

第一步：在已知方程组的两个

方程中选择一个适当的方程，

将它的某个未知数用含有另

一个未知数的代数式表示出

来.

第二步：把此代数式代入没有

变形的另一个方程中，可得一

个一元一次方程.

第三步：解这个一元一次方

程，得到一个未知数的值.

第4页共20页

第四步：回代求出另一个未知

数的值.

第五步：把方程组的解表示出

来.

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1(教材第115页例

1)解方程组：

3x+2y=14，①

x=y+3.②

解：将②代入①，得3(y+3)

+2y=14.

解得y=l.

将y=l代入②，得x=4.

经检验，x=4，y=l适合原

方程组.

x--4)

所以原方程组的解是

ly=L

续表

教学步骤师生活动设计意图

例2(教材第116口例1.两道典型例题先易后难，进

2)解方程组：一步巩固所学新知，加强对代

2x+3y=16，①入法解二元一次方程组的训

活动三：开放训练、体现应用

x+4y=13.②练.

解:由②，得x=13—4y.③2•变式训练通过增加题目的

将③代入①，得2(13-4y)+难度，培养学生的团队合作意

第5页共20页

3y=16.识，提高学生的分析能力，增

解得y=2.强学生思维的灵活性.

将y=2代入③，得x=5.

x=5，

所以原方程组的解是

ly=2.

师生活动：学生独立思考后分

小组讨论，最后完成解答，教

师鼓励并肯定学生“消元”

方法的多样性.

【变式训练】

1•用代入法解方程组

f2x+3y=2，①

「一c否正确的解法

[4x+l=9y，②

是⑵⑶.

(1)先将①变形为x="「，

再代入②；

2一0x

(2)先将①变形为y—[，

再代入②；

⑶先将②变形为x—号•，

再代入①；

(4)先将②变形为y—9(4x-

1)，再代入①.

2•先阅读材料，然后解方程

组.

材料：

解方程组

第6页共20页

x+y=4，①

3(x+y)+y=l4.②

在本题中，先将x+y看作一

个整体，将①整体代入②，得

3X4+y=14，解得y=2.

#y=2代入①，得x=2.

x=2，

所以，

[y=2.

这种解法称为“整体代入

法”，你若留心观察，有很多

方程组可采用此法解答，清用

这种方法解方程组

X-y-1=0，①

4(X—y)—y=5.②

解：由①，得x—y=l.③

将③代入②，得4—y=5,解

得y=—L

将y=-1代入③,得x=O.

所以原方程组的解为

x=0，

1y=-L

师生活动：学生分小组讨论并

作答，教师巡堂并对学习有困

难的学生给予及时指导点拨，

最后由教师统一进行讲解.

第7页共20页

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.代入法解方程组

[x-2y=7，

时，代入正确的

ly=l-x

是(。

A•x—2—x=7B.x—2—

2x=7

C-x-2+2x=7D.x-2+

x=7

2•用代入法解方程组

f2s+t=1，①

L。有下面四个选通过设置当堂检测，使学生进

13s—5t=8，②

一步巩固新知，及时检测学生

项中正确的是(C)

的学习效果，做到“堂堂

A•由②得t=¥，再代入

清”.

①

Q—5(

B•由②得s=『，再代入

①

C•由①得t=1—2s，再代入

②

。•由①得5=手，再代入②

3•用代入法解方程组：

y=2x-3，

(1)

3x+2y=8；

第8页共20页

2x-y=5，

(2)1

[3x+4y=2.

y=2x—3，①

解.13x+2y=8,②

将①代入②，得

3x+2(2x-3)=8，

解得x=2.

将x=2代入①，得y=l.

故方程组的解为’

ly=L

f2x-y=5，①

解：[3x+4y=2,②

由①，得y=2x-5.③

将③代入②，得3x+4(2x-5)

=2，

解得x=2.

将x=2代入③，得y=-l.

x=2，

故方程组的解为

师生活动：学生进行当堂检

测，完成后，教师进行批阅、

点评、讲解.

1•课堂小结：

学生在反思中整理知识、梳理

(1)本节课主要学习了哪些知

思维，获得成功的体脸，积累

课堂小结识？学习了哪些数学思想和

学习的经验，养成系统整理所

方法？

学知识的习惯.

(2)本节课还有哪些疑惑？请

第9页共20页

同学们说一说.

2•布置作业：

教材第117页随堂练习第1

题;教材第119页习题5.2第

1题.

第1课时代入消元法

1.基本思路：“消元”——

把“二元”变为“一元”.

板书设计提纲挈领，重点突出.

2•一般步骤：①变：②代；

③解.

通过对比“一元一次方

程的解法”，学生能理解“二

元转一元”的核心思想，大部

分学生能独立完成简单方程

的代入消元.需关注学生变形

教学反思时的符号处理和代入的准确反思，更进一步提升.

性，对基础较弱的学生单独指

导，后续可对比代入消元法与

加减消元法，深化“消元”思

想的应用.

第10页共20页

第2课时加减消元法

新课导入设计

【情境导入】

如图，第一个天平的左边有三块积木，质量分别是x克、y克、y克，右边有四块法码，

质量都是1克，此时天平平衡.

第二个天平的左边有两块积木，质量分别是x克、y克，右边有三块硅码，质量都是1

克，此时天平平衡.

如果第三个天平的左边只放一块质量是y克的积木•那么天平的右边应该放几块质量是

1克的祛码才能使得天平平衡？说出你的理由.

\F1l~QF1/e.一痣

\F1Fl/&

\F1/\；!

7/

II

教学设计

课题第2课时加减消元法授课人

1.会用加减消元法解二元一次方程组.

素养目标2•在用加减消元法解二元一次方程组的

过程中，会用不同解法解同一问题.

用加减消元法解二元一次方程组的基本

教学重点

步骤.

教学难点对用加减消元法解方法组过程的理解.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.解二元一次方程组的基本回顾旧知，为学习新知俶好准

回顾

思路是什么？备.

第11页共20页

2•用代入消元法解二元一次

方程组的步骤是什么？

【课堂引入】

怎样解下面的方程组？

3x+5y=21，①

2x-5y=-ll.@

小明：把②变形得x="/，

以实例引入，既巩固旧知，又

代入①，不就消去x了！

活动一：创设情境、导入新课

引入新课.

小亮：把②变形得5y=2x+

11，可以直接代入①呀！

小丽：5y和-5y互为相反

数……

按小丽的思路，你能消去一个

未知数吗？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【探究新知】1.通过对一道练习题的解答，

[3x+5y=2l，①鼓励学生一题多解•，不要局限

解法1：八

[2x—5y=­ll.②

于教师教过的方法，而要注意

解：由②，得x=t旦，③观察、发现题目中的特点，找

把③代入①……到解决问题的其他方法，同时

通过一题多解，拓展学生的思

活动二：实践探究、交流新知

维.

(3x+5y=21，①

解法2：

2x-5y=-ll.②2•总结归纳加减消元法的解

解：由②，得5y=2x+ll，题思路、步骤，让学生体会加

③减消元法与代入消元法的区

把5y当作整体，将③代入别，合理恰当地选择解题方

法.

①……

第12页共20页

（此种解法体现了整体的思

想）

3x+5y=21，①

解法3：

[2x-5y=-ll.②

解：①+②，得5x=10，解

得x=2.

把x=2代入①，得y=3.

所以原方程组的解为’

[y=3.

师生活动：学生先独立对方程

组进行求解，然后分小组进行

解法的交流，并比较解法的更

杂程度，最终教师进行引导，

帮助归纳得到加减消元法的

特点和思路.

归纳：在方程组的两个方程

中，若某个未知数的系数互为

相反数，则可直接把这两个方

程的两边分别相加，消去这个

未知数：若某个未知数的系数

相等，则可直接把这两个方程

的两边分别相减，消去这个未

知数得到一个一元一次方程，

从而求出它的解，这种解二元

一次方程组的方法叫作加减

消元法，简称加减法.

特点：某一个未知数的系数相

同或互为相反数.

基本思路：二元一一元.

第13页共20页

主要步骤：

（1）加减消去一个元；

（2）分别求出两个未知数的

值；

（3）写出方程组的解.

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1（教材第117页例

[2x-5y=7，①

3）解方程组：,人

2x+3y=-l.②

分析：观察到方程①和②中未

知数X的系数相等，可以利用

两个方程相减消去未知数X.1.典型例题进一步巩固所学

解：②一①，得8y=-8，解新知，同时锻炼学生观察、分

得y=-l.析、发现问题的能力，使学生

把y=-l代入①，得2x+5明确使用加减法的条件，体会

=7»解得x=1.在某些条件下使用加减法的

所以原方程组的解为优越性.

x=1，

1y=-l.

续表

教学步骤师生活动设计意图

活动三：开放训练、体现应用例2（教材第118页例2.变式训练间接通过加减对

第14页共20页

4)解方程组：方程进行变形，然后再进行求

2x+3y=12，①解•，锻炼学生阅读和举一反三

3x+4y=I7.②的能力.

解：9X3，得6x+9y=36.③

②X2，得6x+8y=34.④

③一④，得y=2.

把y=2代入①，得x=3.

所以原方程组的解是’

ly=2.

师生活动：学牛.独立完成解

答，教师巡堂并鼓励学生自主

选择所要消夫的未知数，最后

进行讲解.

【变式训练】

阅读下列解方程组的方法，然

后解答问题：

14x+15y=16，①

解方程组,与

I7x+I8y=19②

时*由于x，y的系数及常数

项的数值较大，如果用常规的

代入消元法、加减消元法来

解，不仅计算量大，且易出现

运算错误.而采用下面的辞法

则比较简单：

②一①，得3x+3y=3，所以

x+y=l.③

③X14，得14x+14y=14.(4)

①一④，得y=2»从而得■x

=-1.

第15页共20页

所以原方程组的解是

x=-1»

[y=2.

请你运用上述方法解方程组：

2008x+2009y=2010，

2011x+2012y=2013.

解：

2008x+2009y=2010，①

2011x+2012y=2013，②

②一①，得3x+3y=3，所以

x+y=l.③

①一③X2008，得y=2,

将y=2代入③，得x+2=l，

解得x=-1.

所以原方程组的解是

x=—1，

[y=2.

师生活动：学生分小组讨论，

教师巡堂进行指导和点拨，最

后教师进行讲解.

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.用加减法解方程组通过设置当堂检测，及时获知

2x+3y=l，学生对所学知识的掌握情况，

时，要使两个

3x—2y=8明确哪些学生需要在课后加

方程中同一未知数的系数相强辅导，达到全面提高的目

等或相反，有以下四种变形结的.

第16页共20页

果：

|6x+9y=l*

⑴6x-4y=8；

4x+6y=1，

(2)

[9x-6y=8；

[6x+9y=3，

⑶1

[—6x+4y=-16；

4x+6y=2»

(4)],…其中变形

9x—6y=24»

正确的是(8)

4・(1)⑵以⑶⑷

C-(1)(3)4⑵⑷

[2x+3y=l，①

2•解方程组L,「

[3x—6y=7②

时，用加减法消去y，需要(C)

4•①X2—②B.①X3一

②X2

C-①X2+②D.①X3+

②X2

续表

教学步骤师生活动设计意图

3.用加减消元法解方程组

f4x4-3y=6，

Lee若先求出X的

[4x—3y=2»

活动四：课堂检测

值，应先将两个方程相加；若

先求出y的值，应先将两个方

程相减.

第17页共20页

4•用加减消元法解下列方程

组：

2x+y=4，

(1)।

X-y=-1；

6x+7y=-19，

⑵’

6x-5y=17：

3x—2y=9»

(3)r

[x—y=7；

x—2y=3»

(4)J

|3x+4y=-l.

x=]，

解：⑴c

y=2.

i

X=Q'

⑵J3

ly=-3.

x=-5»