2024浙教版中考数学专项复习：认识三角形（知识梳理+题型练习）

专题L1认识三角形

目录

一.知识梳理与题型分类精析...............................................................1

知识点（一）三角形定义...............................................................1

【题型1］三角形及相关概念识别......................................................2

知识点（二）三角形三边关系.........................................................3

【题型2】构成三角形的条件...........................................................4

【题型3】确定三角形第三边取值范围..................................................4

【题型4】三角形三边关系的应用......................................................5

知识点（三）三角形的内角和定理......................................................6

【题型5】三角内角和定理的证明......................................................6

【题型6】利用三角形内角和定理求值..................................................8

知识点（四）三角形的外角............................................................8

【题型7】利用三角形外角性质求值....................................................9

【题型8】利用三角形外角性质证明...................................................10

知识点（五）三角形的分类...........................................................10

【题型9】利用三角形分类进行判断...................................................10

知识点（六）三角形的三条重要线段...................................................11

【题型10］由三角形中线求线段.......................................................11

【题型11】由三角形中线求面积.......................................................12

【题型12］重心.....................................................................13

【题型13】由三角形角平分线定义求角度..............................................14

【题型14］尺规作图一一画（识别）三角形的高.......................................16

【题型15］利用二角形的高求值.......................................................17

知识点（七）三角形的稳定性.........................................................18

【题型161三角形的稳定性和四边形的不稳定性.......................................18

知识点（A）三角形内角和外角性质综合..............................................19

【题型17】三角形内角和与平行线综合................................................19

【题型18］三角形内角和与折叠问题..................................................20

【题型19］三角形内角平分线与外角平分线综合.......................................21

二.同步练习............................................................................22

1.基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题.）...............................22

2.能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题）...........................27

3.直击中考（8题）................................................................32

一.知识梳理与题型分类精析

知识点（一）三角形定义

1.定义；在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形的基本元素包括边、角和顶点，如图1,三角形三边是A3、3C、AC,也可以用一

个小写字母表示，记作：〃、b、c,三个内角为NA、NB、NC,其中乙4的对边为a,N8的

对边为〃，NC的对边为c.

图1

【题型1］三角形及相关概念识别

【例题1】（2324八年级上•新疆阿克苏•阶段练习）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.

A

BC

【分析1此题主要考查了三角形的定义及其表示.根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条

线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可.

【答案】CE/EC

【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系.利用三角形边、角间的关系可

得答案.

故答案为：CE.

【变式2］（2425八年级上•天津宁河•阶段练习）图中以A8为边的三角形的个数是（）

【答案】B

【分析】此题主要考查了三角形.关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾

顺次相接所组成的图形叫做三角形.

由。、E、。三点分别与A8端点相连，可构成3个三角形，

故选：B.

【变式3］（2425八年级上•全国•随堂练习）观察下图，回答下列问题：

（2）图中以线段4E为边的三角形有.

（3）图中共有个三角形，它们分别是.

【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键.

（1）根据三角形角的定义结合图形解答即可；

（2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形；

（3）根据三角形的概念解答即可；

故答案为：内角；

知识点（二）三角形三边关系

图示文字语言符号语言理论依据

三角形两边之

B

和大于第在边两点之间，

线段最短.

三角形两边之

差小于第三边

故答案为；21.

【题型4】三角形三边关系的应用

①第二条边长为m,第三条边长为m.（用含。的式子表示）

②第一条边长能否为10m?为什么？

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，三角形的三边关系，熟练掌握解二元一次方程组，三

角形的二边关系是解决此题的关键.

（1）利用代入消元法解方程组即可得解：

（2）@第二条边长只能比第一条边长的2倍少3m.

二不能构成三角形，即第•条边长不能为10m.

【答案】A

【分析】本题考杳了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键.

根据三角形的三边关系即可求解.

故选：A.

【变式2］（2425八年级上呐蒙古乌兰察布•期末）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成-

块三角形空地，现已连接好三段篱笆人4、BC、CD,这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB、

C。可分别绕轴跖和。尸转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AA上接上新的篱笆的长度可

以为m（写一个即可）.

【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的

关键.

解：设在篱笆A8上接上新的篱笆长度为刈】，

••・在篱笆A3,按，新的篱笆的长度可以为4m,

故答案为；4（答案不唯一）.

知识点（三）三角形的内角和定理

1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°.

3.三角形内角和定理的证明

已知：（M8C的三个内角分别为财，团8,团C；

求证：M+13B+13C过点A作直线MN,使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MM使

MN//BC.

图2

⑦MN〃BC,

团团BWMA8,回C=国VAC,

回回MAB+^NAC+0BAC=180°,

005+(3C+[3BAC=18Oo,

RfJ团BAC+团B+0C=18O°.

【特别说明】

（1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法

（2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角

不三角形外角的定义是：由三角形的一边与另一边的反向延长线所夹的角，称为三角形的外角。

【题型5】三角内角和定理的证明

【例题5]（2425八年级上•湖北宜昌•阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探

究过程，请你帮他把探究过程补充完整.

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理

过程进行证明即可.

【变式生活中处处有数学〃，请看图，折置一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们

就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是—.

【答案】三角形的内角和是180。

【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和

定理.

解：根据折叠的性质，财=明，团8=团1,团。=团2,

同国8短C+财=180°,

团定理为：三角形的内角和是180。.

故答案为：三角形的内角和是180。.

【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键.

【答案】B

【分析一】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练

掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键.

作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题.

故A不符合题意；

故B符合题意；

故C不符合题意,

故D不符合题意；

故选：B.

【题型6】利用三角形内角和定理求值

【分析】本题考查了三角形的内角和，正确的理解题意是解题的关键.

根据“差余三角形〃的定义构建方程即可解决问题.

故选：20。或50°.

【答案】10。或30。

设最小的内角为x,

故答案为：10。或30。.

知识点（四）三角形的外角

1.定义;三角形的一边与另一边的延长线组成的角

2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;

【题型7】利用三角形外角性质求值

【例题7】（2223七年级上•云南昆明•开学考试）如图，把三角形的三边延长.

（2）在。里填上。"""或

（3）在图中，你还能找出像第（2）题这样关系的角吗？试着写出一组.

【分析】本题考查了邻补角的定义，平角的定义，角的大小比较.

（1）根据邻补角的定义及平角的定义即可解答：

（3）结合（1）（2）即可解答.

【答案】A

故选：A.

【变式2］（2425八年级上•广东汕头•期末）将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则Na的度

【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角、邻补角，熟练掌握这些定理

是解题的关键.

先根据三角形内角和定理求出N1的度数，再根据三角形外角的性质求出N2的度数，最后艰据邻补

角互补的性质即可求出Na的度数.

解：如图,

【题型8】利用三角形外角性质证明

【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质;

【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形的分类，掌

握三角形的性质是解题关键.

知识点（五）三角形的分类

【题型9】利用三角形分类进行判断

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

【答案】A

【分析】本题考查了三角形内角和定理.

根据三角形内角和定理，将角度比转化为具体度数，判断最大•角的类型即可•确定三角形的类别.

解：设三个内角的度数分别为2x、3x、4x,

最大角为80。，小于90。，

故三个角均为锐角，

因此，该三角形是锐角三角形，

故选A.

【答案】钝角

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，二角形的分类，根据二角形内角和定理求出“C的度

数即可得到答案.

故答案为：钝角.

知识点(六)三角形的三条重要线段

1.三角形的中线：

(1)定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线；

(3)重心：如图2,三角形三条中线交于一点，这个交点口L三角形的重心;

【题型10］由三角形中线求线段

【答案】2

【分析】本题主要考查三角形中线的计算，掌握中线的定义是关键.

国点。是AC的中点，

【答案】B

故选：B.

A

故答案为：13.

【题型11】由三角形中线求面积

A

BEC

【答案】y

解：如图，连接EO,

A

BEC

A

J

【答案】A

故选：A.

【答案】24

故答案为；24.

【题型12］重心

A

【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的

关键.

【变式1］（2324八年级上•内蒙古呼和浩特•阶段练习）如图,小明用铅笔可以支起一张质地均匀的

三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）

A.三角形的中点B.三条角平分线的交点

C.三边高的交点D.三边中线的交点

【答案】D

【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心.根据三角形的重心是三角形三边中线的交点.

解：.支撑点应是三角形的重心，

二.三角形的重心是三角形三边中线的交点，

故选：D.

【点拨】本题考查了三角形的重心的概念和性质注意数学知识在实际生活中的运用.

A

【答案】6

【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键.根

据三角形中线的性质求解即可.

故答案为：6.

2.三角形的角平分线：

(1)定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段，叫做

这个三角形的角平分线.

(3)内心：如图4,三角形三条角平分线于一点，这个交点叫三角形的内心;

【题型13)由三角形角平分线定义求角度

A

【答案】⑴30。(2)见解析

本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键.

(2)证明：如图，

A

D

A.高线B.角平分线C.中线D.以上都不是

【答案】B

故选:B.

（填"是"或"否"）;

【答案】是20

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，基本作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和角平分

线的作图方法.

故答案为：是;

故答案为：20.

3.三角形的高:

BBD

图5图6

<1）定义；从二角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做这个

三角形的高线（简称高）.

（2）垂心：如图6,三角形三条高线于一点，这个交点叫三角形的垂心;

【题型14］尺规作图——画（识别）三角形的高

（2）CE和。尸有怎样的位置和数量关系？为什么？

【分析】本题考查了作垂线，平行线的判定，三角形中线等分面枳等知识点，熟练掌握平厅线的判

定方法是解题的关键.

（1）根据作垂线的方法即可作图；

13点。是8c的中点,

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键.

根据高线的定义即可得出答案.

解：T从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高,

【答案】ADBE

【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解.

所以边AC上的高为线段BE,

故答案为：A力，BE.

【题型15］利用三角形的高求值

【答案】ABCDEF—

【分析】此题考查了三角形的高线定义，求三角形的面积，

根据三角形高线的定义解答(1)(2)(3)；利用三角形面积公式直接求(4)面积即可.

团8c边上的高是AB,

故答案为：AB；

故答案为CO;

故答案为仃

故答案为三.

【答案】B

【分析】本题考查三角形的面积，掌握同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比是解题的关键;

根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比〃计算即可

解：如图，连接AO、BE.CF；

(1)点B到AC的距离是；点A到。。的距离是

(2)求点。到的距离.

c

【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，三角形面积公式，点到直线的距离：直线外一点

到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

（1）根据定义即可解答.

9

故答案为：5；-；

4

（2）设点。到BC的距离为人

1?

团点。到8。的距离为

知识点（七）三角形的稳定性

三角形的稳定性：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做

三角形的稳定性。在生产和生活中，房屋的人字梁、大桥钢架等都利用了三角形的稳定性。特别说

明：四边形不具有稳定性。

【题型16］三角形的稳定性和四边形的不稳定性

【答案】三角形的稳定性

【分析】本题考查三角形的稳定性在生活中的具体应用，根据三角形的稳定性进行解答即可.

【变式1］（2425七年级下•重庆・期末）利用到三角形的稳定性的生活实例是（）

A.车库大门口的起落杆B.四条腿的方桌

C.用枪的准星瞄准目标D.脚踏车的三角车架

【答案】D

【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形具有稳定性，即三边确定后形状固定不变形,

而四边形等不具备该特性，需逐一分析选项，判断是否利用三角形结构来增强稳定性.

解：A：车库起落杆通常为平行四边形结构，利用四边形的不稳定性实现升降功能，而非三角形稳

定性；

B：四条腿的方桌仅由四边形支撑，未添加三角形加固结构，易摇晃，属于四边形不稳定的实例；

C：枪的准星瞄准目标时，三点一线原理属于几何应用，与结构稳定性无关；

D：脚踏车三角车架通过三角形结构连接各部件，利用三角形的稳定性使车架坚固不易变形；

【答案】平行四边形具有不稳定性

【分析】本题主要考查四边形的不稳定性求解可得.

解：因为四边形具有不稳定性，

所以可以灵活的开关窗户，

故答案为：四边形具有不稳定性.

知识点(八)三角形内角和外角性质综合

在计算和证明过程中，通三角形内角和外与角性质是常见而不可或缺的途径之一，为以后角的

关系转化为边的关系夯实基础作好准备.

【题型17］三角形内角和与平行线综合

(1)AC,力月是否平行？说明理由.

【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点.

解；（1）结论：平行,

A.500R.60cC.75°D.80°

【答案】C

故选：C.

【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握:

两直线平行，内错角相等.

【题型18］三角形内角和与折叠问题

£

【点拨】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的

关键.

A.46°B.48°C.50°D.52°

【答案】B

【分析】本题考查了对折的性质，三角形的外角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握对折的性

质是解题的关键.

【答案】74。/74度

故答案为：74°.

【题型19］三角形内角平分线与外角平分线综合

【答案】C

故选C.

【答案】56。/56度

【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些

知识是解题的关键.

故答案为：56°.

【变式2】（2425七年级下•河南南阳・期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究

片段，完成所提出的问题.

结论：.

AA

A

O

Mo

图1图2图3

【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点,

是解题的关键：

探究1：根据步骤，三角形的内角和定理，进行作答即可；

探究2：根据角平分线的定义.三角形的外角的性质，进行推导即可；

探究3：根据角平分线的定义.三角形的内角和定理进行推导即可.

解：

理由如下：

二.同步练习三|

1.基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题.）

一、单选题

1.（2425七年级下•山西临汾期末）若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的第三条边

长可能是（）

A.6B.5C.2D.1

【答案】B

【分析】本题考查了三角形三边关系.

根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边取值范围,

再判断即可.

解：设第三边为X,

国一个三角形的两边长分别为2和4,

故选：B.

A

C

E

【答案】D

【分析】本题考查画三角形的高，根据高的定义，进行判断即可.

故选D.

3.（2122八年级匚浙江杭卅阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180〃时，综合实践小组的

同学作了如下四种辅助线，其中不能证明"三角形内角和是180。〃的是（）

过C作所团A8

【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此

题.

故选：C.

【点拨】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角

的定义是解决本题的关键.

A.16°B.26cC.40°D.50°

【答案】B

故选：B.

【答案】D

【分析】本题考查了三角形内角和定理.

解：如图，连接BC,

A

©CO是边A8上的高，

故选：C.

二、填空题

7.（2425七年级下•四川乐山•期末）如图，乐山致江路大桥于2024年12月25口顺利通车，许多

市民前往游观，桥上斜拉索的作用在物理方面可以平衡大桥主梁的重量和荷载，那么在数学上体现

的知识是.

【答案】三角形的稳定性

【分析】根据三角形的稳定性解释即M.

本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键.

解：根据题意，得三角形的稳定性是解释依据，

故答案为：三角形的稳定性.

【答案】2a

【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值.熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键.根

据三角形的三边关系，以及绝对值的意义，进行化衙即可.

故答案为；2a.

【分析】本题考查三角形的面积、中线，根据三角形面积公式列关「3。的方程并求解，再由中点的

定义计算监的长即可.掌握三角形面积计算公式和中点的定义是解题的关键.

13AE是中线,

【答案】70°

故答案为：70°.

【答案】38。/38度

团，

故答案为：38。.

上述结论中，正确结论的序号有

【答案】②③④

【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键.根据三角形

的中线的性质判断②；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断④；根据角平分线的定义

判断③，根据题意判断①.

故②正确，符合题意；

故④正确，符合题意；

故③正确，符合题意；

故①错误，不符合题意;

故答案为：②③④

三、解答题

【答案】(1)5°；(2)4.8

【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算.

(2)等积法求出人。的长即可.

(1)求的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容.(理由或数学式)

【答案】(1)答案见分析；(2)75°

【分析】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识.熟记三角形的

外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，并灵活运用是解决问题的关键.

E

AC/FA

BD

图I图11

【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线定义理解，三角形外角的性质，解

题的关键是熟练掌握平行线的性质.

【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质，解题关键是热练掌握

平行线的性质.

（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补即可得解；

2.能力提升（选择题6题，填空题6题，综合解答题4题）

一、单选题

A.锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形

【答案】A

故选：A.

A.9B.8C.5D.2

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第

三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；

本题根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边的知识,

进行作答，即可求解；

逐一核对选项，只有选项C符合,

故选：C

【答案】D

【分析】本题考查了作图-基本作图，根据三角形高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是

解题的关键.

解：AC边的高垂直于AC,且过点8

故选：D.

A.12B.16C.18D.20

【答案】A

解：•・•点。、E、产分别为BC、A。、CE的中点，

故选：A.

【答案】B

【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理,

角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键.