2025年江苏省无锡市中考数学试卷（含答案与解析）

机密★启用前

2025年无锡市初中学业水平考试

数学

本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，试卷满分150分，考试时间

120分钟。

注意事项：

L答卷前，考生务必用0・5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相

应位置上；认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合。

2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后

再选涂。

3.答主观题必须用0・5毫米黑色墨水签字笔作答，答案写在答题卡各题目指定区域内相应位

置上。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按

以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

1.计算-2+3的结果为（）

A-5B.-1C.1D.5

2.2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次.数据819000用科学记数法表示

为（）

A.8.19xl05B.81.9xl04C.0.819xl05D.0.819xl06

3.下列运算正确的是()

A.a2+a4=a6B.a2-a4=a6

C(a2)=abD./

4.〜组数据：13,14,14,16,18,这组数据的平均数和众数分别是()

A.15,14B.14,15C.14,14D.15,15

5.在V/8C中，D、E分别是48、4C的中点.若DE=4,则BC的长为（)

A.2B.4C.6D.8

6.已知圆弧所在圆的半径为6,该弧所对的圆心角为90。，则这条弧的长为()

A.2兀B.3兀C.4兀D.6几

7.分解因式/一4。的结果是()

AQ(/+4)B.a(a-4)

C.a(a+2)(〃-2)D.a^a2-1)

8.小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了6km,

小亮骑行时间比小红少用了4min.设小红的骑行速度为xkm/h,则可列方程为()

6466,6

A.---------1-------——B.---+4=一

L2x60x1.2xx

6.6

c.J—D.-----4=—

\2x60x\.2xx

9.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，RSOA4的直角边03在x轴上，40、力8分别与反比

例函数y="(〃>0,x>0)的图象相交于点。、D,且C为彳。的中点，过点。作％轴的垂线，垂足为E,

A

连接。E.若V3OE的面积为?，则人的值为(

)

55

A.-B.-C.5D.10

42

io.若函数弘的图象上存在点函数必的图象上存在点。，且2、。关于y轴对称，则称函数必和为

具有“对偶关系”，此时点户或点。的纵坐标称为“对偶值”.下列结论：

①函数%=2x+3与函数%=一工+1不具有“对偶关系”；

②函数%=2x+3与函数歹2=一工+1的“对偶值”为一1;

③若1是函数M=去+3与函数为=’的“对偶值”，则〃=2：

x

IG

④若函数%二-2t+力（-2«%0-1）与函数刈=一">0）具有“对偶关系”，则30力

•XZ

其中正确的是（）

A.①@B.②③C.①③④D.②③@

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填

写在答题卡相应的位置上.）

11.卜3|=---------.

12.函数y=—!—中的自变量x的取值范围_________.

x-4

13.请写出单项式/人的一个同类项：.

14.请写出命题“若则+的逆命题：.

15.正七边形的内角和为度.

16.如图，48与。。相切于点8,连接4。，过点。作40的垂线OC,交。。于点C,连接力C,交线

17.如图，菱形49C。的边长为2,ZABC=60°,对角线彳。、B。相交于点过点。作/C的平行

线交8c的延长线于点N,连接MN.则MN的长为.

18.在平行四边形纸片43C。中，ZABC=60°,AB=4,=8.现将该纸片折叠，折痕与纸片为

的两边交于点£、F.若E与A重合，F在3c上,且EF1BC,则被折痕分成的△E5厂与四边形

EFCQ的面积的比为：若折痕£尸将纸片4BCQ分成两个四边形，且被分成的两个四边形的

面积的比为1:3,则折痕后尸长的取值范围是

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为,并将条形统计图补充完整：（画图后请标注相应的数据）

（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；

（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议.

24.如图，4c为正方形43CQE勺对角线.

（1）尺规作图：作4。的垂直平分线/交力。于点E,在/上确定点尸，使得点9到/8/C的两边距离

相等；（不写作法，保留痕迹）

（2）在（1）的条件下.求D/TRI的度数.（请音接写出DE〃的度数）

25.如图，48是。。的直径，Z）是弦4C延长线上的一点，且CO=C4的延长线交OO于点E.

（2）若4B=3,cos^ABE=—,求月。的长.

3

26.某校数学研究性学习小组为测鼠物体的高度，开展了如下综合与实践活动.

【活动主题】测量物体的高度

【测量工具】卷尺、标杆

【活动过程】

活动1：测量校内旗杆的高度

该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）.在点尸处竖立标杆功，直立在点。处的小军从点P

处看到标杆顶石、旗杆顶/在同一条直线上.已知旗杆底端M与歹、。在同一条直线上，EF=2.8m,

尸°=1.4m,QF=2m,FN=16m.

（图1）

（1）求旗杆MN的高度.

活动2：测量南禅寺妙光塔的高度

南禅寺妙光塔，简称'‘妙光塔"，始建于北宋雍照年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了

解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心4均无

法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）.在地面一条水平步道上的点尸处竖立标杆Eb,

直立在点。处的小军从点尸处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.小军沿尸。的方向走到点。'处，此

时标杆£尸竖立于尸处，从点P处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上.已知EF、PQ.E'F'

和在同一平面内，点&F、0、F\0'在同一条直线上，EF=E'F'=28m,PQ=P'Q=1.4m,

/0=1.2m,尸。'=2.2m,QQ=30m.

（2）求妙光塔48的高度.

27.已知二次函数y=--i%2+mx+m（mwO）图象的顶点为A,

与J'轴交于点4,对称轴与x轴交于

点C.

（1）若该函数图象经过点（0,6），求点A的横坐标；

⑵若加＜3,点尸（2,凹）和。［4,%）在该函数图象上，证明：%＞必；

（3）若V力〃。是等腰三角形，求〃，的值.

28.【数学发现】

某校数学兴趣小组进行了如下探究：以V力内部任意一点。为中心，画出与VABC成中心对称的

△力'8'C'.当点。处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况如图I

所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度

发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化.

组员小明选择面积为1的V45C,以其内部任意一点。为中心，画出与之成中心对称的△/力'。'，探究了

下列问题，请你帮他解答.

（1）如图3,BC=2,当点A关于点。的对称点H落在边8C上时，两个三角形重叠部分为

aAQAP.

①若4H_L8C,求4。的长；（请直接写出答案）

②若口ZQ47的面积为:，求4c的长.

（2）如图4,点。为8。的中点，点。在力。上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”

EFGHMN,求“平行六边形"£FGH肋V面积的最大值，并指出此时点。的位置.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

1.计算一2+3的结果为（）

A.-5B.-1C.1D.5

【答案】C

【解析】

【分析】本题考皆有埋数的加法运算.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用

较大的绝对值减去较小的绝对值，由此可解.

【详解】解:-2+3=1,

故选：C.

2.2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次.数据819000用科学记数法表示

为（）

A.8.19xl05B.81.9xl04C.0.819xl05D.0.819xl06

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定。与〃值是关键.科学记数法的表示

形式为axio”的形式，其中1wa<io,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动

了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值

<1时，〃是负整数.

【详解】解：819000=8.19xl05.

故选:A

3.下列运算正确的是（）

A.a24-1/4=a6B.a2-a4=a（'

C.（cJ）=ac'D.a4-i-a=a4

【答案】B

【解析】

【分析】此题考杳了幕的运算和合并同类项，根据寻的运算法则和合并同类项法则进行判断即可.

【详解】解：A、/与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；

B、故本选项符合题意：

C、（/）4=/=。6,故本选项不符合题意；

D、故本选项不符合题意.

故选:B.

4.一组数据：13,14,14,16,18,这组数据的平均数和众数分别是（）

A.15,14B.14,15C.14,14D.15,15

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查平均数和众数，根据平均数和众数的定义进行计算即可.

【详解】解：平均数为：（13+14+14+16+18）x-=75x1=15,

5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14,

故选：A.

5.在VZ8C中，D、E分别是4B、4C的中点.若DE=4,则8c的长为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是

解题的关键.根据三角形中位线定理解答即可.

【详解】解：根据题意，如图所示，

B乙------------------XC

•：。、E分别为4?、NC的中点，

・•・DE是YABC的中位线，

BC-2DE—8.

故选：D.

6.已知圆弧所在圆的半径为6,该弧所对的圆心角为90。，则这条弧的长为（）

A.2兀B.3兀C.4兀D.6九

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是弧长的计算，利用弧长的计算公式计算即可.弧长公式：/=繇（弧长为/,圆心

角度数为〃，圆的半径为厂），熟记公式是解题的关键.

【详解】解：/=需^=3几，

1o（）

故选:B.

7.分解因式/-4〃的结果是()

A.4(Q、4)B.

C.a(a+2)(c/-2)D.a^a--1)

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：/-4〃=4(/-4)=。(〃+2)(〃-2).

故选：C

8.小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上.骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍,两人各自骑行了6km,

小亮骑行时间比小红少用了4min.设小红的骑行速度为xkm/h,则可列方程为()

64666

A.----+...——B.---+4=-

1.2x60x\.2xx

646工-46

C.--------——D.

\.2x60xx

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键.设小红的骑行速度为

xkm/h,则小亮的速度为1.2xkm/h,根据“两人各自骑行了6km,小亮骑行时间比小红少用了

4min”列出方程即可.

【详解】解：设小红的骑行速度为xkm/h,则小亮的速度为1.2xkm/h,

646

根据题意，可得一^+力

1.2x60x

故选：A.

9.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，RSO44的直角边。8在x轴上，AO.44分别与反比

k

例函数歹=一(2>0/>0)的图象相交于点。、。，且。为4。的中点，过点。作X轴的垂线，垂足为E,

连接OE.若VBOE的面积为之，则左的值为()

4

42

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比

例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.

J\（女、

设ca,-,可证明则OB=2Q,BE=a,那么。2a,—,再由

kaJk2aJ

11kk5

S^DE=-BExBD=-ax—=-=-,即可求解,

222a44

【详解】解：设c（"，g）

由睡意得ZCEO=NABO=90°,

••.CE〃AB,

:.AOCEsAOAB,

・・・c为力。的中点，

.CE_OCOE\

a1

----=一

OB2

OB=2。，BE=a

（k\

：.D2a,—,

I2a

：,S,,BDE=-BExBD=-ax—=-=-t

△BDE222〃44

k=5,

故选:C.

10.若函数必的图象上存在点P,函数为的图象上存在点。，且P、O关于）'轴对称，则称函数必和为

具有“对偶关系”，此时点尸或点。的纵坐标称为“对偶值”.下列结论：

①函数y=2x+3与函数%=一工+1不具有“对偶关系”；

②函数,=2x+3与函数为=一工+1的“对偶值”为一1：

③若1是函数乂=〃%+3与函数为二,的“对偶值”，则々=2：

X

1Q

④若函数必=-2%+6（-2«工工一1）与函数%=一（1>0）具有“对偶关系”，则306«弓.

其中正确的是（）

A.①©B.②③C.①③④D.②®④

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可；

根据尸、。关于J'轴对称，称函数必和先具有“对偶关系”，贝J尸、。横坐标是相反数关系，纵坐标相

等，逐一分析即可.

【详解】解：①设函数%=2x+3上点p坐标轴为（见2〃?+3）,

；P、。关于，轴对称

••・。点坐标为（-〃7,m+1）

若点尸或点。的纵坐标称相等，

1m+3=m+l解得：m--2，

则存在这样的点Q、。，使得他们关于y轴对称，

・•・函数乂=2x+3与函数歹2=一工+1具有“对偶关系”

所以①错误；故不符合题意：

②当必=必=-1时，则—l=2x+3,解得X=—2；-l=-x+l,解得x=2；横坐标是相反数，所以②

正确，故符合题意；

③当弘=%=1时，则1=’,解得了=1：

X

因为是函数乂=h+3与函数必二’的“对偶值”，

x

所以函数必二丘+3的工=一1,代入得：1=一4+3,解得4=2,所以③正确，故符合题意；

④设点尸坐标为（叽-2加+力），则点。坐标为（一叽一，,

•・・P、。横坐标是相反数关系，纵坐标相等

；・一2〃?+b=,整理彳导b—2训,

nirn

v-2</w<-l,对于函数y=2切一~-,y随〃?的增大而增大，

m

117

当加=_2时，h=2x（-2）------=-4+—=—；

''-222

当〃1二-1时，b=2x（-1）——=-2+1=-1；

—1

79

A—</?<-1,而不是3WAW-,所以④错误，故不符合题意：

22

故选:B.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填

写在答题卡相应的位置上.）

11.卜3|=-

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，根据绝对值的含义可得答案.

【详解】解：卜3|=3,

故答案为：3

12.函数y=」一中的自变量x的取值范围_________.

x-4

【答案】xw4

【解析】

【分析［根据分式的意义，分母不等于0,可以求出x的范围.

【详解】解:根据题意得：x-4翔，

解得：x/4.

故答案为X*.

【点睛】本题考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围i般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变最可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

13.请写出单项式/人的一个同类项：.

【答案】—2/6（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据

此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键.

【详解】解：单项式/b的一个同类项：-2a2b（答案不唯一），

故答案为：-2/b（答案不唯一;.

14.请写出命题“若a>b,则。+1〉6+1”的逆命题：.

【答案】若。+1>6+1,则

【解析】

【分析］此题考查逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结

论又是第二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为另•一个命题的逆命题.由此

即可解答.

【详解】解：“若a>b,则。+1〉力+1”的逆命题为：若。+1>6+1,则。>力，

故答案为：若+则”>6.

15.正七边形的内角和为度.

【答案】900

【解析】

【分析】本题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键.根据多边形内角和

公式5-2）x180。计算即可得出答案.

【详解】解：正七边形的内角和为（7-2卜180。=900。，

故答案为：900.

16.如图，43与。。相切于点4,连接80,过点。作80的垂线OC,交。。于点C,连接4C,交线

段OB于点D.若力8=3,。。=2,则tag的值为

【解析】

【分析】利用平行线的判定与性质证明△OQCS48ZX4,再求得BQ,再利用直角三角形的边角关系解答

即可.

【详解】解：・・・43与0。相切于点8,

・•・0B工AB,

•・•OCAOB,

・•・OC//AB,

・•・AODCs^BDA,

.OPOC

••访一而‘

•・•0B=0C=2,

,2-BD=2

**BD~3'

・•.BD=-.

5

6

故答案为：—.

J

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定

与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键.

17.如图，菱形45co的边长为2,AABC=60°,对角线NC、3。相交于点过点。作力C的平行

线交4C的延长线于点N,连接MN.则MN的长为

【答案】布

【解析】

【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明△片。。为等边三角形，进而

得到4。二2,三线合一求出的长，证明四边形力CN。为平行四边形，进而得到。N=/C=2,推

出4MDN=90°,再利用勾股定理进行求解即可.

【详解】解：•・•菱形44co的边长为2,AABC=60°,

AAC1BD,NADC=ZABC=60。,NADB=NCDB=-ZADC=30°,AD=DC=2,AD//BC,

2

・•・力CO为等边三角形，

AAC=AD=2,ZACD=60°,

VACJLBD,

：.AM=^AC=\,DM=dAD?-AM?=5

■:DN//AC,

，四边形4CM9为平行四边形，/CDN=/ACD=60。,

：.DN=AC=2,/MDN=4CDB+4CDN=90°,

・•・MN=JQM+DM2=不；

故答案为：J7.

18.在平行四边形纸片48CQ中，^ABC=60°,AB=4,8c=8.现将该纸片折叠，折痕与纸片48co

的两边交于点E、F.若E与A重合，尸在8c上，且则被折痕分成的aEB尸与四边形

“CO的面积的比为；若折痕•将纸片48co分成两个四边形，且被分成的两个四边形的

面积的比为1:3,则折痕所长的取值范围是.

【答案】①.1:7##；©.<46或2^<EF<25

【解析】

【分析】若七与A重合，”在8c上，目EFJ.BC,则/8/£=90°,由30°角所对直角边与斜边的关

系，可得4/，根据勾股定理可得4b,从而可得3b的面积和平行四边形纸片48CO的面积，相减

可得四边形的面积，进而可得AEB尸与四边形石尸。的面积的比：取力。的中点用，BC的中

点N,连接MV,连接8M,AN,交于点K,取彳B的中点尸，CO的中点。，连接P。，连接

A0tDP,交于点「，当ER过点K或当过点T时，折痕Eb将纸片48C。分成两个四边形，且

被分成的两个四边形的面积的比为1:3,分别求出每种情况对应的EF的取值范围即可.

【详解】解：若E与A重合，F在BC上,且EFJ.BC,则NB/花=90。,

VZABC=60°,

••./8跖=90。-60。=30。，

：.BF=LAB,

2

48=4,

：.BF=4x[=2,

2

.-.£F=A/42-22=2-73-

A

S平行四边形718co84EBF,

S四成形EFCD=1—2>/3=14j3»

S、EBF-S四边形EFCD=2百：\4yf3=1:7,

・••丛EBF与四边形EFCD的面积的比为1:7.

A(E)D

若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1:3,

如图2—1,取力。的中点M,8C的中点N,连接

•••匹边形ABCD是平行四边形,

：.AD\\BCfAD=BC,

AM||BN,AM=LAD=>BC=BN,DM||CN,DM=-AD=-BC=CN,

2222

；・四边形ABNM是平行四边形，四边形CZM/N是平行四边形,

・••平行四边形N8NM的面积与平行四边形CQVN的面积的比为1:1,

连接AN,交于点K,当叱过点K时，四边形的面积与四边形EEVM的面积的比为

1:1,

•••匹边形ABFE的面积与四边形EFCD的面积的比为1:3,

当M_LBC时，所取最小值，由①可知，的最小值为2JJ，

作交D4延长线于点〃，则/a=90°,

：AD\\BC,

.­.z775C=180o-90°=90°,

•・Z8C=60。，

•・.//8〃=90。-60。=30。，

AH=—AB=4x—=2,

22

•-57/=V42-22=273«

•••BC=8,AM=-AD=-BC

22t

.•.4W=8x1=4,

2

.-./VW=4+2=6,

BM=J(26『+62=46，

：・2&WEF<44，

如图2—2,取力B的中点P,CO的中点Q,连接P。,

♦.•匹边形ABCD是平行四边形，

■,AB\\CD,AB=CD,

1

-

：.AP\\DQ,AP=-AB=-CD=DQ,4PliCQ,2-CP

.•・匹边形APQD是平行四边形，四边形P8C0是平行四边形，

.•/。||力。，PQ=AD=BC=8,平行四边形的面积与平行四边形。8。。的面积的比为1:1,

连接力。，DP,交于点7,当叱过点了时，四边形力。立1的面积与四边形的面积的比为

1：1,

.••匹边形ADFE的面积与四边形EFCB的面积的比为1:3,

作交D4延长线于点R,作力SJ.P。于点S,则NH=N4SP=N4S1。=90。,

/R4B=NB=61,

.•.ZJP/?=90°-60o=30°,

:.AR――AP,

2

AB-4,AP=—AB,

2

4。=4x—=2,

2

AR=2x—=1,

2

-PR=>j22-l2=V3-

"2IM。，

.••NR+NRPS=180。，

.•.NRPS=180。—90。=90。，

.■那边形4sPH为矩形，

.•.AS=RP=BRA=PS=\,

...25=8-1=7,RO=8+1=9,

.FQ“网2”=2而,PZ)=^(V3)2+92=2>/H>

•••2屈<EF<2后,

・•・折痕EF长的取值范围是2百4E/7<40或2Ji?<EF<2721.

故答案为：1:7；264EF<46或2岳<EF<25.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，含30。角的直角三角形，勾股定理，矩形的

判定和性质.

三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤等.）

19.（1）解方程：X2-2X-2=0;

2x<6

（2）解不等式组：

3x-l>x+l

【答案】（1）x,=1+V3,x2=1->/3；（2）l<x<3

【解析】

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法.

（1）把方程化为（x-l『=3,再进一步解方程即可.

（2）分别解不等式组中的两个不等式.再确定解集的公共部分即可.

【详解】解：（1）X2-2X-2=0.

方程移项得：X2-2X=2，

配方得：X2-2X+1=3»即（x-了=3,

开方得：x-l=土6，

解得：2=1+6，x2=1-^3-

2x<6①

（2）〜

3x-\>x+\®

由①得：x<3,

由②得：%>1,

则不等式组的解集为IWX<3.

20.先化简，再求值：—-2"其中加=3.

m-1in-1

【答案】〃7-1,2

【解析】

【分析】本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然

后代俏计算，即可求解.

【详解】解：」—+优-2”

m-1m-1

nr-2m+1

m-1

（加-if

m-\

=阳一1,

将加=3代入，得：

原式=3-1=2.

21.如图，在矩形中，点石在C8延长线上，点尸在3C延长线上，且BE=CF,连接4E、

DF.

AD

求证：

（1）LABE出ADCF；

（2）NEAD=/FDA.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质：

（1）结合矩形的性质，根据“边角边”证明△力BEgZXQC尸；

（2）根据全等三角形的对应边相等得NA4E=NC。/，结合/CDA=/BAD=900,可得

ZEAD=AFDA.

【小问1详解】

证明：.••四边形力8CO是矩形，

.../ABC=4DCB=ZCDA=ZBAD=90°，AB=DC,

，Z.ABE=NDCF=90°,

在qBE和△。。/中，

AB=DC

<NABE=ZDCF,

BE=CF

△4BE也△OCQ（SAS）:

【小问2详解】

证明：•••△48E四△QC7L

，/BAE=/CDF,

又「ZCDA=ZBAD=90°,

/./BAE+/BAD=ZCDF+ZCDA,

•••/EAD=NFDA.

22.一个不透明的袋子中装有标号分别为1,2,3,4的4个球，这些球除标号外都相同.

（1）将球搅匀.从中仟意摸出1个球,摸到标号为2的球的概率是：

（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放何，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号.求

两次摸到的球标号均小于3的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

【答案】⑴

4

1

（2）-

6

【解析】

【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.

（1）直接由概率公式求解即可；

（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即

可.

【小问1详解】

解：•••一个不透明的袋子中装有标号分别为1,2,3,4的4个球，这些球除标号外都相同，

・•・将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是!，

4

故答案为：J;

4

【小问2详解】

解：画树状图如下：

开始

234

小小小小

234134124123

共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，

・•・两次摸到的球标号均小于3的概率为;1•=’.

126

23.2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中

小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业

的青少年群体.某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“3。打印”“航模”“机器人”“无人机”

共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）.为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分

学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：

计划参加四类科技社团人数的条形统计图计划参加四类科技社团人数的扇形统计隆

（1）本次调查的样本容量为,并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）

（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；

（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议.

【答案】（1）50,画图见解析

（2）320A

（3）见解析

【解析】

【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用图中的数据，求出所求问

题的答案.

（1）由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数

即可补全图形；

（2）总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可；

（3）根据统计图的信息提出合理建议即可.

【小问1详解】

解：本次调查的样本容量为11・22%=50,

无人机社团人数为50-（11+8+16）=15（人）,

补全图形如下:

【小问2详解】

解：1000x32%=320(人),

答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人.

【小问3详解】

解：建议升展形式多样的航模与33打印活动（答案小唯一）.

24.如图，/C为正方形力BC。的对角线.

（1）尺规作图：作/O的垂直平分线/交力。于点七，在/上确定点尸，使得点R到/8/C的两边距离

相等；（不写作法，保留痕迹）

（2）在（1）的条件下，求BEE4的度数.（请直接写出DEFZ的度数）

【答案】（1）画图见解析

(2)22.5°

【解析】

【分析】本题主要考查了尺规作图及角的计算，角平分线的性质定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识

是解题的关键.

（1）由题意先作4。的垂直平分线/,再根据点/到的两边距离相等可知点/在4C的角平

分线上，据此作图即可.

（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得/8力/，然后由/历1/+/切尸=90。和

NEFA+/EAF=90。，得到NEF/l=NB4F,即可求解.

【小问1详解】

解.：如图，直线/，点厂即为所求.

!/

木

I

【小问2详解】

解：•・•四边形44co是正方形，4C是对角线,

・•・ABAC=ACAD=45°,/BAD=ZBAF+ZEAF=90°,

•・F尸平分/A4C,

・•・/BAF=-ABAC=-x45°=22.5°,

22

•・•直线/_L4。，即/[七/二9。。,

・•・Z.EFA+ZEAF=90°,

...ZEFA=NBAF=22.5°.

25.如图，是。。的直径，O是弦力。延长线上的一点，且CO=C408的延长线交。。于点E.

(2)若/8=3,cus/ABE==,求力。的长.

3

【答案】（1）见解析（2）2面

【解^5]

【分析】本题考杳圆周角定理，垂直平分线的性质，勾股定理，余弦函数：

（1）由直径所对的圆周角为90度，可证8cl4。，进而可得8C垂直平分力。，即可证明48=80：

(2)连接力上，则/4E8=90。，结合cos/Z8E=；可得3£=1,进而可得。£=80+5E=4,再由

勾股定理计算4。即可.

【小问1详解】

证明：如图，连接3C,

•・..48是G）。的直径,

・••/LACB=90°,

・•・BCLAD.

又，;CD=CA,

•••BC垂直平分力。，

/.AB=BD；

【小问2详解】

解：如图，连接力E,

.../AEB=90°,

,c°s/“g变二好」

4833

BE=T,

AE2=AB2-BE2=32-\2=S^

由(1)得4B=BD=3,

DE=BD+BE=3+l=4,

•*-AD=>]AE2+DE2=>/8+42=25/6•

26.某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动.

【活动主题】测量物体的岛度

【测量工具】卷尺、标杆

【活动过程】

活动1:测最校内旗杆的高度

该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动(示意图1).在点尸处竖立标杆EP,直立在点。处的小军从点夕

处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.己知旗杆底端N与产、。在同一条直线上，EF=2.8m,

PQ=1.4m,QF=2m,FN=16m.

A

FQ

（图D

(1)求旗杆MN的高度.

活动2：测量南禅寺妙光塔的高度

南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为仝面了

解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心8均无

法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动(示意图2).在地面一条水平步道上的点E处竖立标杆律,

直立在点。处的小军从点尸处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.小军沿尸。的方向走到点。'处，此

时标杆七户'竖立于9处，从点。处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上.已知48、EF、PQ、EF

和P'。'在同一平面内,点&F、0、尸、0'在同一条直线上,EF=EF=2.8m,00=P'。'=1.4m.

F0=1.2m,FQ=22m,QQ'=30m.

(2)求妙光塔48的高度.

【答案】(1)14m；(2)43.4m

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键.

（1）PH工MN于前H,交EF于点、G,得矩形。。9G,PQNH,证明根据对应边

\4J-IHP

成比例得r=k，代入数据求解即可；

EGGP

（2）PH于点H,交EF于点M,交上户'于点〃'，同（I）证明△/"PsaA/EP,推出

AH_HPAHup，HPHP'

同理可得77777=77777,推出7777=T77U，代入数值计算出狼=36m，再代入

MEMPMPMP

AH_HP

~ME=~MP求出AH-42m，进而即可求解.

【详解】解：（1）如图，PH上MN于点H,交E/于点G,

FQ

（图1）

则四边形PQ/G,PQNH均为矩形,

HN=GF=PQ=\Am,GP=QF=2m,HP=NQ=NF+FQ=\6+2=18（m）,

EG=EF-GF=2.8-1.4=L4（m）,

由题意知E产〃MN,

:、乙M=4E、EMHP=NEGP，

/.MMHPS^EGP,

MHHPMH18

----=——，即lin-----=——，

EGGP1.42

解得"H=12.6,

.,.MN=M"+=12.6+1.4=14（m）,

即旗杆MN的高度为14m.

（2）如图，P'H上AB于点、H,交EF于点、M,交E'F'于点、M',

（图2）

•/PQ=P,Q,=\Am,

点尸在线段P'〃上，四边形尸0FACPQBH,PQF'M'：PQZ"均为矩形,

:.HP=BQ,MP=F0=1.2m,M'P'=FQ=22m,HB=MF=MF'=PQ=P。=L4m,

/.EM=£"=2.8-1.4=1.4m,

由颍煮知EF〃/IB,