2025年高考数学一轮复习（上海专版）平面向量的数量积（解析版）

平面向量的数量积

（6类核心考点精讲精练）

Ia.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算

2024年天津卷,第14题,5分

律数量积的坐标表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式

2023年天津卷，第14题,5分

求积的最大值

2022年天津卷，第14题,5分用基底表示向量向量夹角的计算

2021年天津卷，第15题,5分数量积的运算律

2020年天津卷，第15题,5分已知向量共线（平行）求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握向量的数量积公式

2.能掌握向量的模长，垂直于投影公式

3.具备数形结合的思想意识，会借助直角坐标系：求解向量的数量积与夹角模长等问题

4.会解借助点坐标解决最值与取值范围问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出图形，要求线性表示与数量积，模长与角度问

题。

考点梳理・

L知识点一.向量的夹角{考点三、角度间愿

知识点二.平面向量的数量积考点一、平面向量数量积的计算

知识点三.平面向量数量积的几何意义考点二、模长问题

平面向量的数量积

知识点四.向量数量积的运算律

考点四、向量垂直的应用

知识点五.平面向量数量积的有关结论I考点五、投影问题

考点六、数量积求最值取值范围问题

知识点六.常用结论

知识讲解

知识点一.向量的夹角

已知两个非零向量/b,。是平面上的任意--点，作次=moh=h,则4^=优00上兀)叫做向量。与6

的夹角.

知识点二.平面向量的数量积

已知两个非零向量〃与力，它们佗夹角为"我们把数量回囱咯2叫做向量。与力的数量积，记作包

知识点三.平面向量数量枳的几何意义

B、D

设“，力是两个非零向量，它们的夹角是0,e是与6方向相同的单位向量，油=a,cb=b,过静的起点力

和终点8,分别作劭所在直线的垂线，垂足分别为4,B1,得到抽，我们称上述变换为向量。向向量力

投影,A\d\叫做向量“在向量6上的投影向量.记为0cos()e.

知识点四.向量数量积的运算律

{\}ab=ha.

(2)(/.a)b=i.(ab)=a(〃>).

(3)(4+6)•c=ac+bc.

知识点五.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量〃=(M，")，力=(刈，丁2)，〃与力的夹角为。

几何表示坐标表示

数量积“•b=|a||b|cos0a-b=X}X2±XiXi

模\a\=aa\a\=行+炉

0xixz+yi/

夹角cos0=bcos0=

同网xi-iyl

aLb的充要条件ab=0xiX2+yiV2=0

|。到与与步|的关系\a-b\<\a\\b\\x\X2+y\yi\<(x?+y?)(/+同)

知识点六.常用结论

1.平面向量数量积运算的常用公式

⑴([+'),(〃-5)="2—力2；

(2)(〃±/＞)2=“2±2〃力+出

2.有关向量夹角的两个结论

(I)若4与方的夹角为锐角，则4坊＞0：若〃•比＞0,则〃与6的夹角为锐角或0.

(2)若。与b的夹角为钝角,则姑加0；若a・b〈0,则0与b的夹角为钝角或兀

考点一、平面向量数量积的计算

典例引领

1.(2024•河南濮阳•模拟预测)已知向量同=2,了在方方向上的投影向量为-3区则方小=()

A.12B.-12C.6D.-6

【答案】B

【分析】由题意得向cos值，司=-6,结合数量积的公式即可求绎

【详解】因为方在五方向上的投影向量为-3五，

所以(同cos(五㈤埔=-3五，

而同=2,所以问cos值司=-6,

所以益•b=|a||b|cos(a,b)=—12.

故选：B.

2222

2.(2024•海南•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆。*+与=1(。＞8＞0),点N(：n),

若以MN为直径的圆过椭圆C的右焦点"(c,0),M(OA?-V2OF)•(OM+V2OF)=0MNM,则椭圆C的离心

率为()

0N=()

A.义B•昌C.1D.2

1+k21+如

【答案】c

【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出％62，%力，根据向量数量枳可求答案.

【详解】联立｛（%_］）2；］）2=］，得（1+好）%2-2（/c+l）x+1=0,

则A>0,即4（k+l）2-4（k2+i）>0,所以k>0,

设时01，力）,可（外,丫2），贝|J：x^x2=—2^丫1力=k=7；衣，

OMON=XiX2+y/2=（1+/）./；］=1.

故选：C

3.12024•河南周口•模拟预测）已知△4BC中，AC=204c=%AD为BC上的高，垂足为D,点E为

4

AB上一点，且<E=2EB,则而•而=（）

A.--B.-C.--D.-

3333

【答案】A

［分析】利用向量的线性关系及数显积的运算律得CE•40=；C4•40+£C8•力。可得答案.

【详解】如图所示，

由题意可知，AC=2\/2,^ADC=AACD=故40=2,

24

因为/1E=2E8,

所以方=/+荏=/+：而=襦+：（而一不）=g不+|而，

则荏•而=QcX+河）•丽=-~AD+|CF♦AD

=如川.|砌cos年二-*

故选：A.

4.12024・四川凉山•三模）在△4BC中，已知48=1,4C=3,点G为△48C的外心，点0为△力BC重心,

则就.BC=.

【答案W

【分析】设8C的中点为0,根据三角形外心性质，得G0_L8C,由重心性质得面=X而+冗)，再根据数

量积运算即可求解.

【详解】设BC的中点为D,连接4),GD,

由点G为△48C的外心,可得GD18C,

由点0为△48。重心，可得而=!同=；(南+尼)，

36

故而-BC=(dD+DGyBC

=OD~BC+0

]I•.…

=：Q4B+4C)・(4C-4B)

6

=i(4C2-^2)=ix(9-l)=j

故答案为：j.

5.(2024•天津河西•二模)在四边形48co中，AB1AD,CB1CD,乙ABC=60。,AB=2,AD=x/3,E、F

分别为线段的中点，若设而=五，近=直则方可用五，石表示为；EFCD=.

【答案】)

【分析】利用向量的加法可以求出第一个空：通过转化确定I而I及而与而，灰的夹角，代入数量积的计算

公式即可求出第二个空.

【详解】

由题意得，EF=EA+AD+DFjF=EB+BC+CF,

由E、尸分别为线段AB、CD的中点，知瓦？+丽=6,DF+CF=0,

因此，2EF=EA+AD+DF+EB+BC+CF=AD+BC

...'EP=3五+gb：

延长力。、8C交一点G,由48J./O//18C=60°,AB=2,AG=2V3,lLzDGC=30°.

AD=V3,.*.DG=6

又•••CB1CD,•••Z-GCD=90°,•••CD=当/GDC=60°,则=120°

EF-CD=-(AD+硝•而=rAD•CD+-~BC•CD=-AD•CD=-|ZS|•|CD|cosl200=1xV3X—X

2222222

d

故答案为：J五+；b；—

LZo

考点二、模长问题

典例引领

1.(2020•全国•高考真题)设瓦石为单位向量，且|五+了|=1,则|五-臼=.

【答案】V3

【分析】整理已知可得：\a+b\=JCa+b)2,再利用乙万为单位向量即可求得2五不=-1,对|五-同变形

可得：忸一用=小司2一2万.方+|讦，问题得解.

【详解】因为乙方为单位向量,所以同=\b\=1

所以|互+用=J(L+.)2=J|司2+2互•万+，2+2d•石=1

解得：2五•万=一1

所以忸一用=J(a-b)2=Jlaf2-Za-'b+|b|2=V3

故答案为：V3

【点睛】本题主要考查了向最模的计算公式及转化能力，属于中档题.

2.(2024・河南•二模)若向量五万满足同=1,但+石)15(五+2司_1鬲则同=()

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】A

【分析】由已知结合向量数量积的性质即可求解.

【详解】因为向量五，1满足区|=1，@十方)①十2&J.五，

所以0+b)・b="b+|b|2=『b+i=o,即五,b=—1,

所以0+21)•N=|司2+2无方=。则同=企.

故选：A.

电即时检测

].(2024•河南濮阳•模拟预测)已知4(1,0),8(0,1),C(cosa,sina),。£(0,九)，若|元|=|近贝胴的值为

()

【答案】C

【分析】根据向量模长公式结合同角三角关系可得tana=1,即可得结果.

【详解】由题意可得：ilC=(cosa—1,sina),FC=(cosa,sina-1),

若|叼=\BC\^则J(cosa-I)2+sin2a=Jcos2a+(sina-1)2,

可得2-2cosa=2-2sina,则tana=1,

且。£(0,兀)，所以a=；

故选：C.

2.(2024・河北•三模)已知非零向量有，石的夹角为泉a=(-y,1),\a-b\=1,则|五+同=()

A.1B.yC.V2D.y/3

【答案】D

【分析】分析可知|d|=1,向量优d-方的夹角为会根据d+方=21-6-万)结合数量积的运算求解.

【详解】因为五二(一?彳)，则同=1,

且非零向量心加的夹角为京忖一川=1,可知向量五，石的夹角为泉

则工•(a—b)=1x1x

所以|五+同=12a—(a—b)|=J4a2—4a-(a—/?)+(a-=V3.

故选：D.

3.(2024•陕西西安•二模)已知向量7i=石=忖+同=同,则m=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【分析】结合平面向量的数量积运算，即可求解.

【详解】因为向量W=(2,m),1=(l,l),由|方+司=|a|,可得五2+2五4+京=五2,所以2(2+m)+2=0,

解得m=-3.

故选：A

4.(2018・辽宁朝阳•三模)已知向量五与了的夹角为60°,同=2,扬|=3,则|3五一2同=.

【答案】6

【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解.

【详解】由题意，向量W与石的夹角为60。，同=2,同=3,

2

所以(3W-2b)=9a2-12a-b+4b2=9x22-12x2x3cos60°+4x32=36,

所以因一2同=6,

故答案为：6

5.(2024•四川资阳二模)已知向量五，石的夹角为15()。，且同=2,同=2,则怔-6同=()

A.1B.2-V3C.2+V3D.2夕

【答案】D

【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.

【详解】因为("6。=卜|-2V3a-b+3b=4-2次x2x2x(-+3x4=28,

所以怔一演|=26.

故选：D

6.(24-25高三上•广东・开学考试)已知万二(sinx,-l),q=(cosx,1),若力则历一切=.

【答案】5

【分析】借助向量垂直可得其数量积为0,利用向量数量积公式F模长公式计算后结合三角函数基本关系即

可得解.

【详解】由乃_L耳，则有了可=sinxcosx—；=0,即sinxcos%=；,

Xp-q=(sinx-cosx,—g),

贝1J历一712=(sinx-cosx)2+-=sin2x+cos2x-2sinxcosx+-=1-1+-=-,

4444

故

故答案为：I

7.(24・25高三上•湖北•阶段练习)若平面内不共线的向量五石1两两夹角相等,且同=1,同=2,|7|=3.

贝(JR+刃+=_________二

【答案】V3

【分析】把向量的模转化为数量积，再应用数量积运算律计算求解•.

【详解】因为平面内不共线平面向量乙石工两两的夹角相等，

即工花片两两的夹角为120。，

a+b+c=J(Q+b+c)2=yja2+b2+c2+2a-b+2a-c+2b-c

=J掰+历/+p|2+2a-b+2a-c+2b-c

l2+22+32+2xlx2x+2x1x3x+2x2x3x

故答案为：V3.

考点三、角度问题

典例引领

1.（202（）•浙江•高考真题）设万，五为单位向量，满足|2万一司工企，a=ej+ej,石=3/+皎，的，b

的夹角为仇贝kos2。的最小值为

【答案】H

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得久•五N：，再根据向量夹角公式求cos20函数关系式，

4

根据函数单调性求最值.

【详解】•••|2齐一可<V2,

.%4-45j-eJ+1<2,

k一、3

•••e}-e2>丁

2c（互・万¥（4+4百五）24（1+百・⑸

a2•京（2+2百•豆）（10+6百•无）5+3荷•无

24

一式4门1一直酝W>）>毛/（11一三2斑、）一2女8

4

故答案为：

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考杳综合

分析求解能力，属中档题.

2.（24-25高三上•贵州•开学考试）若向量刁=（-2,2）.石=（-1,3）的夹角为6.则cos。=（）

A.*B.渔C.竺D.-更

5555

【答案】C

【分析】由向量夹角公式，数量积及模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题可知，cos”矗二屏二季

故选：C.

♦即时检测

1.（2024•山西太原•二模）已知同=|同=1,|c|=V3,a+b+c=0,则与书的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】依题意可得下=-但+司，将两边平方，由数量积的运算求出Z•瓦再由夹角公式计算可得.

【详解】因为同=同=1,|c|=V3,a+b+c=0,

所以Z=-（方+石），则Z2=/+2日・石+京，g|J（V3）2=I2+2a-b4-I2,

解得2不二5

设匕与石的夹角为仇则又0。工6工180。，

所以。=60。，即五与了的夹角为60。.

故选：C

2.（2024•甘肃兰州•三模）已知向量方=（1,-2）,石=（一1,-2）,设方与石的夹角为州则sin”（）

A--B-C--D-

50'5J555

【答案】D

【分析】用夹角公式计算出余弦值后，再根据同角三角函数平方关系即可算出正弦值.

【详解】因为五=（1,一2）花=（一1,一2）,

•*-4

所以a"=3,|a|=V5,\b\—V5.

所以cos3=；

HH

因为。为五与了的夹角，所以sinb=Vl-cos20=1.

故选：D

3.123-24高三上•湖北十堰•开学考试）已知平面向量之上满足小值+司=3,且而=2,忖=1,则向量；

与Z夹角的正弦值为（）

A.B.-vC.；D.今

2222

【答案】D

【分析】运用数量积性质和定义计算夹角，再结合同角三角函数关系可解.

【详解】a-（a+b）=3=>a24-ab=3=>a-b=-1=|a||Z?|cos（a,b）=cos（五力）=—1.

因为但E）e[0,n],sin（a,b）=Jl-cos2（a,h）=Jl-0=y.

故选：D.

4.(24-25高三上,贵州贵阳•开学考试)已知向量瓦赢足同=4,|司=10,且N在E上的投影向量为-钝，则

向量工与向量石的夹角为()

A，-6°B，-3JC—35D—6

【答案】C

【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.

【详解】依题意，五在刃上的投影向量为需方二一/，则五•石二一白面2=一20,

|匕|5D

于是cos位㈤=品=瞪=-3而［0加，则值，质=手

所以向量元与向戟的夹角为

J

故选：c

5.(24・25高三上•浙江•开学考试)已知向量五=(1,2),石=(2-44),若五与石的夹角为锐角，则A的取值范围

是.

【答案】(-2彳)呜+8)

【分析】根据题意列出不等式即可.

【详解】因为的夹角为锐角，

所以3b>0且Z,b不能同向共线，

所知=2x(2—江

解得入>—2且4牛g

故答案为：(一2彳)1；6，+8).

考点四、向量垂直的应用

典例引领

1.(2021・全国•高考真题)已知向量互=(1,3),石二(3,4),若(万一疝)_L氏则4=.

【答案】I

【分析】根据平面向曷数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因痴-腐=(1,3)-乂3,4)=(1-3尢3-4#,所以由值一延)1万可得,

3(1-3/1)+4(3-4A)=0,解得A=

故答案为：

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设互=(右,力)方=(次，力)，

道15=互♦方=0=+y02=0，注意与平面向量平行的坐标表示区分.

2.(23-24高三下•山东青岛•开学考试)已知向量W=(log43,si吟)，h=(log38,m),若五_L反则/n=()

A.-2V3B.一百C.V3D.2V3

【答案】C

【分析】根据向量数量积的坐标表示结合对数的运算即可求解.

【详解】由互_L反可知log43•1。a8+77ism,=0,

即log48—当瓶==0,解得m=V5.

故选：C

即时检测

1.(22-23高三下•安徽池州•阶段练习)已知点M(l,—1)和抛物线C:y=*工2,过。的焦点且斜率为4的直线与

C交于4B两点.若力MIBM,则k=()

A.竺B.-竺C.1D.—工

171722

【答案】C

【分析】设力(勺,力)，8(%2,%)，直线A8方程y=kx+l,然后由直线方程与抛物线方程联立，消去y,利

用根与系数关系，表示出0+%2，丫/2，从而可表示出力+、2，丫少2，进而由祠,两=0求出上的值.

【详解】抛物线标准形式d=4y,焦点坐标(0,1),设4(与,月)，8(0,乃)，

直线方程y=kx+l,代入抛物线方程得/-仇X-4=0,

12

所以A=16k4-16>0,%i+x2=4k,x1x2=-4,

x

+y2=k(%i+2)+2=4k2+2,yAy2=3%澧=1,

所以AM,BM=(1-—1—Vj)1(1—X2,-1—y2)=(1一打)(1—%2)+(-1-yi)(-1—%)=2+

x1x2+yxy2-Qi+x2)+(%+为)=0，

得4k*-4/c+l=0=>/c=1.

故选:C.

2.(2023•河南•模拟预测)已知向量五=(2cos75°,2sin75°),b=(cos15°,-sin15°),且(2五+石)1①-4石)，

则实数2的值为()

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】A

【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.

【详解】因为五不二2cos75°cosl5°-2sin75°sinl5°=2cos(15°+75°)=0,

|a|=2,\b\=1.

所以(2N+石)•(五一aS)二2不一7京=8—a=o.

所以入=8.

故选:A

3.12024•西藏•模拟预测)已知向量方=(cos(a+：),sin(a+；)),石=(cos(a+及,sin(a+£)).若(2元+

石)1.0+乩)，则实数%的值是()

A.-2B.-iC.1D.2

【答案】A

【分析】利用三角函数的和差公式和同角三角函数的平方公式得到|五|=/|=1,五7=0,

再依据向量垂直的条件建立方程求解即可.

【详解】由题意得回=|同=1,五了=cos(a+Jxcos(a+§+sin(a+xsin(a+

=cos(a+g—a—•=cos(一号=。，因为(2五+b)1(a+xb),

所以(2N+b)•@+xb)=0,所以2|五/+=0,所以2+x=0,解得x=-2.

故选：A.

4.(2024,山东莉泽・模拟预测)已知向量访=(sin(a+9,1),五=(COS(TT+a),,其中ae(0,0,若沅1n,

则cosa的值为()

A遗B-C—D-

*2,2,4,4

【答案】B

【分析】由沅_L五，所以沅•五=0,代入条件化简得cos2a=%结合已知aw(0,3得解.

【详解】由声1元，所以沅•五=0,即sin(a+§COS(TT+a)+：=0,

化简得cos2a=%由aw(0弓)得cosa=g.

故选：B.

5.(2024•江西新余•模拟预测)已如焦点在工轴上的椭圆C的左右焦点分别为％、4，经过七的直线，与。交于

力、B两点,若瓦？•用=16,丽•丽=9,宿•瓦？=0,贝!C的方程为：().

A.5+9=1B-5+9=ic.9+学=1D.5+y2=i

【答案】A

【分析】由题意可知：BA1BF1,根据数量积的几何意义可得|率|=4,|而|=3,进而结合椭圆的定义

求a,b,c,即可得方程.

【详解】因为耐•瓦？=0,可知B/llBFi，

则帝•F\B=用2=16,而•而=得=①

可得|瓦石|=4,|而|=3,即尸i8|=4,\AB\=3,则lAFil=JFIB|2+|A8|2二5,

由椭圆定义可得4a=Mil+|F网+\AB\=12,即a=3,

且IF28I=2a-\FxB\=2,则|尸101=炳而，向坪=2遥，

即2c=2遍，可得c=V5,b=Va*2—c2—2,

所以椭圆C的方程为［+。=1.

94

故选：A.

考点五、投影问题

典例引领

1.(24-25高三上•湖北武汉•开学考试)己知同=1,同=2,忖-同=百，则五在了上的投影向量为()

A.9B.jaC.笆D.软

【答案】C

【分析】先根据数量积的运算律求出五•瓦再根据投影向量的定义即可得解.

2

【详解】由忖一可二6，得(五一»=a24-b2—2a-6=5—2a-b=3,

所以无E=1,

所以正在了上的投影向量为磬=阻

p|闷4

故选:C.

2.(2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测)己知向最正了满足国=2,b=(3,0),|u-b|=V10,则向展不在向显了方向

上的投影向量为()

A.&0)B.Q,0)C.Q,0)D.(1,0)

【答案】C

【分析】将|益-同=715两边平方求出E•瓦然后由投影向量公式可得.

【详解】因为闷=2,同=3,同=国,

222

所以忖一司2=a2_2ab+b=2-2ab+3=10,得五石=去

所以向量W在向量石方向上的投影向量为需7=《石=*3,°)=(1,0).

故选：C

♦即时检测

1.(2024・浙江绍兴•三模)若非零句量益，了满足同=\b\=怔+同，则苍+2石在石方向上的投影向量为()

—*彳——♦1—♦

A.2bB./C.bD.胪

【答案】B

【分析】利用向量的模长关系可得，7=-：历/，再由投影向量的定义即可求出结果.

【详解】根据题意同=|?|=怔+同可得同2=|5|=\a+'b\,

所以,则

所以五.石=_驷|2—部「，

则工+21在E方向上的投影向量为空密石=吗瓦石=仁李L石=

区1问也|2

故选：B

2.(2024・湖北•模拟预测)已知向量五=(1,0)5=(0,1),a-c=b-c=1,则向量方在向如上的投影向量为()

A(U)B.俘为C.»(一整)

【答案】A

【分析】设出2的坐标，利用给定条件得到再利用投影向量公式求解即可.

【详解】设Z=(%y)，因为苍=(1,0),b=(0,1),方々=匕•"？=1,

所以|oxx+lxy=1'解3y=「二。=(1，1)，

即阿期在向量Z上的投影向量为萼•等=(；,；).

KI\c\vZv222

故选:A.

3.(2024高三・全国・专题练习)已知平面向量N=(2,m),b=(n,1),c=(ni+1,-1),若NJLE,石/〃，则

方在H+Z方向上的投影数量为()

A.-2\[2B.-罟C.rD.2V2

【答案】B

【分析】根据垂直和平行向量的义标表示求出m,n,得到诉UW+Z的坐标，即可利用向量投影的公式进行

求解.

(详解]由W1石得m+2n=0.

由£/G得m+?i+1=0,所以m=—2,n=1.

所以b=(1,1)，a=(2,—2),c=(—1,—1)>a4-c=(1,—3),

所以石在五+Z方向上的投影数量为辔=-r===-乎.

|a+c|八2+(_3)25

故选:B.

4.(23-24高三下•湖南娄底•阶段练习)在三角形力BC中，若福,前=0,瓦=2前,则向量而在向量而上

的投影向量为.

【答案】建

【分析】由题意可得。为线段BC的中点，/847=90。，则△408为等腰三角形，然后根据投影向量的定义

求解即可.

【详解】因为近=2而，所以。为线段BC的中点，

因为而=0,所以同J.正，所以484。=90。，

所以。4=OB=OC,

所以A/lOB为等腰三角形，

所以向量彳3在向量同上的投影向量为

AO-AB丽_|珂.\AB\cosZ-BAOAB

西祠二隔

I画网镯而I—

=--.雨

1

-而

故答案为:2

A

5.(2023•天津和平•三模)已知△48C中，点。是AC中点，点M满足前=2砒，记瓦5=五，BD=~b,请用五,

E表示前=；若瓦？・丽=-5,向量宿在向量而上的投影向量的模的最小值为.

【答案】软-软y

【分析】由题意可得病=：丽-瓦5,BC=2'BD-BA,可求得前=花一|五；向量而在向量而上的投

影向量的模为需叫计算可求得最小值.

【详解】根据题意，可得前二的一瓦5=：就一瓦?，

A

由点D是AC中点，可得配=2而一瓦5,

所以府=BM-BA=|FC-BA=h2BD-BA)-BA=-BD-^BA=-'b-1a,

向量祠在向量加上的投影向量而由BD

网iW

因为瓦5・丽二一5,所以五•至二一5,

所以向量祠在向量前上的投影向量的模为：

~画+乏22由小马=巴,

\BD\|/）|3123131bly]31131bl3

当且仅当：曲=焉，即说=:时取等号，

53|D|N

所以向量前在向量前上的投影向量的模的最小值为弓.

故答案为：—|a：②号.

考点六、数量积求最值取值范围问题

典例引领

1.（2023•天津•高考真题）在△力BC中，BC=1,乙1=60。，AD=\AB,CE=\CD,记而=瓦而=了，用

表示AE=:若而=；就，则荏•赤的最大值为

«5

【答案】

4zN4

【分析】空1：根据向量的线性运算，结合£为。。的中点进行求解；空2：用五是表示出万，结合上一空答

案，于是族•而可由瓦石表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.

【详解】空1：因为E为。。的中点，则加+瓦:=万，可得7E+FD=AD

AE-¥EC=AC

两式相加，可得到2方=而+元,

即2荏=；有+石，则荏=工五十；认

242

空2：因为麻=1就，则2而+元=6,可得[竺+竺=竺

3MF+FB=AB

得到通+正+2（AF+FB）=AC+2AB,

即3而=2五+及即标二2五+工匠

•5«3

于是荏.而=隔+割.（1a+扣）=.（2五2+5万不+2b2）.

记WB=x,AC=y,

则荏•AF=（2a2+5五•b+2护）=*（2x2+5xycos60<>+2y2）=2（2x2+等+2y2）,

在△48C中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=x24-y2—xy=1,

于是血.万=、（20+等+2）=*（婴+2）

由K+y2—xy=1和基本不等式，x2+y2—xy=1>2xy—xy=xy,

故xyWL当且仅当x=y=l取得等号，

则x=y=1时，AE.布有最大值畀

故答案为：：苍+；b：掾.

4224

2.(2022・天津•高考真题)在△48C中，点D为AC的中点，点E满足方=2诟.记石？=瓦而=石，用。石

表示反=,若AB1OE,则44cB的最大值为

【答案】7

LL6

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出谯，以但同为基底，表示出而,雇，由

可得3万2+五2=45再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),8(1,0),。(3,0),4®y),由AB_LOE可得点A的轨迹为以

M(—1,0)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为Q+l)2+y2=4,即可根据几何性质可知，当且仅当04

与OM相切时，4C最大，即求出.

【详解】方法一：

AB=CB-CA=b-a,AB1DE=>

（3b-a）（b-a）=0f

=M不=8$〃8=端=端之黑耨=亨，当且仅当问=坪|时取等号，而0V

Z.ACB<it,所以乙4CBW(0，m.

6

故答案为:—1a；a

方法二：如图所示，建立坐标系:

E(O,O),F(1,O),C(3t0)tA(X,y),DE=(--^)tAB=

(1-x,-y),

DELAB^(^)(x-1)+^=0=?>(x+l)2+y2=4,所以点4的轨迹是以M(-1,0)为圆心，以r=2为

半径的圆，当且仅当C4与OM相切时，乙C最大，此时sinC=£=彳=；,"=£.

CM426

故答案为：:方—；五：y.

226

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1.(2024・天津•高考真题)在边长为I的正方形48。。中，点E为线段C。的三等分点，CE=^DE,BE=ABA+

瓯则4+〃=；/为线段BE上的动点，G为AF中点,则赤•丽的最小值为

【分析】解法：以｛瓦?，网为基底向量，根据向量的线性运算求而，即可得4+〃，设市-k版，求而,说,

结合数量积的运算律求而•瓦的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求而，即可得4+〃，设

Ffe-3a),ae[-1,0],求而，而，结合数量积的坐标运算求而•丽的最小值.

【详解】解法一：因为CE=gDE,即=则而=近+而=g瓦？+近,

可得入所以入+〃=:；

由题意可知：|而|二|瓦5|=1,瓦3.坑^o,

因为F为线段BE上的动点，设而=痂='函+k前,kW[0,1],

则赤=AB+BF=AB+kBE=Q/c-1）^4+kBC,

乂因为G为4尸中点，则万5=万？+南=一瓦:+（存二:6上-1）瓦—1）BC,

可得而.玩=[0-1）而+kBC]•[1Q/c-1）而+6k・1）B?]

=Klfc-1）2+/£Gk-1）=Kk-j）2-^

又因为k£[U,l],可知：当k=l时，乔・丽取到最小值一言

lo

解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则力(-1,0),8(0,0),C(0,l),D(-lXj,E(-川,

可得瓦5=(-1,0),5C=(0,1),而=(-1,1),

因为而=4而+〃近=（-尢〃），则卜”=一5,所以入+〃=*

因为点尸在线段BE:y=-3%,“6卜g,o]上，设F（a,-3a）,a6[-§,0卜

且G为”中点，则G(芋•，-|a),

可得标=(a+1,-3a),DG=(等,-1),

则万•DG=怨^+(-3a)(-1a-l)=5(a+/_±,

且a£go],所以当Q=-凯寸，而•而取到最小值为-备

故答案为：p一v.

2.（2024・浙江•二模）已知向量Zb均为单位向量,

A.1B.V2C.

【答案】C

【分析】设向量瓦石的夹角为仇化简咨省==后解，令/。）=译，通过导数判断函数/（%）的单调性,

小-（3万）2Ycos

即可求最小值.

【详解】由向量瓦石均为单位向量，

设向量瓦另的夹角为仇

由1-0•万)2工0,则。6(0,兀)，

L'J斤2M_I|a_2b|2_I5-4ab_15-4cos0

ll-(ab)2~41一位石尸-Nl~(ab)2~Jl-cos20

设X=COS0,X6(—1,1),

5-4x

令f(X)

-4一+10工-4_-2(x-2)(2x-l)

则f(x)=

(1-x2)2

令/'(%)>0,则女工<1,所以/(%)在(；,1)单调递增,

令f(x)<0,则一l<x<g,所以/(x)在(一1弓)单调递减,

所以/"(%)的最小值为/'6)=土苧=母=4,

I一彳4

所以广2?的最小值为2.

故选：c.

3.12024•天津和平•二模)平面四边形ABCD中，AB=2,力。=2百，ACLAB,Z.ADC=则而•荏

的最小值为()

A.-V3B.一28C.-1D.-2

【答案】D

【分析】由已知，得力，B,C,。四点共圆，从而判断点。的轨迹是以为弦，圆周角为g的劣弧(不含4

。两点),根据数量积的几何意义，得出结论.

【详解】由48=2,AC=2y/3,AC1AB,

可得tan乙4BC=勺=A/5,故乙4BC=[,

AB3

Xz/lDC=y,所以N40C+4/lBC=7t,

以BC为直径作圆，则4,B,C,。四点共圆，

如图所示，故点。的轨迹是以71C为弦，圆周角为T的劣弧(不含A,。两点),

则而•AB=\AD\■\AB\­cos乙BAD=2\AD\.coszJMD,

又|而|•cos/8力。表示而在南上的投影，

由图可知，|而|YOS/B/I。E[—1,0),

故而•松之-2(此时点。在劣弧AC的中点位置)，

即而•布的最小值为-2.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：①由/力。£+/4。「=冗，得到4R,C,。四点在以RC为直径的圆上，

②|瓦|•C0S4B4D看作是而在而上的投影，结合图形特征可得投影的取值范围.

4.（24-25高三上•广东・开学考试）已知单位向量再方的夹角为导则同-£（无-与）|（"R）的最小值为（）

1s/33

A.1B.y