2025年新高考数学一轮复习（基础版）用样本估计总体

§9.2用样本估计总体

【课标要求】1.会用统计图表对总体进行估计，会求〃个数据的第〃百分位数.2.能用数字特征

估计总体集中趋势和总体离散程度.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.百分位数

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有侬的数据小于

或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.

2.平均数、中位数和众数

⑴平均数：X=[(X|+X2+—+X”).

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最幽的一个数据(当数据个

数是奇数时)或最中间两个数据的上均数(当数据个数是偶数时).

(3)众数：一组数据中出现次数量叁的数据(即频数最大值所对应的样本数据).

3.方差和标准差

(1)方差：x)2或[%?一X2.

(2)标准差：龙(汨一；)2.

4.总体方差和总体标准差

(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为力，匕，…，次,总体平均数为则总

体方差S2==£(匕一了)2.

尸1

(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有A(kWN)个，不妨记为修，匕，…，丫㈠

其中匕出现的频数为和=1,2,…，6，则总体方差为孙弦/化一下广

=t

【常用结论】

1.若为，孙…，尤的平均数为那么〃内+小"g+小…，"L%+〃的平均数为〃!；+

r

2.数据Xi.X2,工”与数据Xi'=xi+a.X2=刈+〃.….X,,'=xn-\-a的方差相等.即

数据经过平移后方差不变.

3.若用，刈，…，工〃的方差为s-那么OTI+A,axz+b,…,的方差为/s?.

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.（X）

（2）方差与标准差具有相同的单位.（X）

（3）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.（J）

（4）在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计

值.（V）

2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是（）

A.平均数B.众数

C.百分位数D.标准差

答案D

解析标准差反映了数据分散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据海散程度的统

计量，故D正确.

3.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下，则他们中参加奥运会的最佳人选是

甲乙丙T

平均环数8.58.88.88

方差3.53.5218.7

答案丙

解析由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定，是最佳人选.

4.有一组数据：一1,小一234,2,它们的中位数是1,则这组数据的平均数是.

答案1

解析数据一1,。，一2,34,2,已知除。以外的数据从小到大排序为-2,—1,2,3,4,要使得

中位数为1,则〃在第3位或第4位，即浮=|,〃=0,经检验符合题意，

1+0+）+3+4

所以这组数据的平均数是二-----丁J—=1.

■探究核心题型

题型一样本的数字特征的估计

例1⑴（多选）（2023・武汉模拟）2023年3月25日至27日,贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛

总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村举行.这件赛事就是火爆全网的“村BA”.在

黔东南州队和遵义市队进行的冠亚军总决赛中，黔东南州队以68：65险胜遵义市队，夺得总

决赛冠军.赛后经观众回忆，得到黔东南州队的5名球员的得分如下：

球员12345

得分812141420

下面对黔东南州队5名球员所得分数的数据分析正确的是()

A.这5个数据的中位数是14

B.这5个数据的方差是15

C.这5个数据的第80百分位数是17

D.假设这5名球员每名再得2分，则其方差比原来的方差大

答案AC

解析由中位数定义可知，5个数据的中位数是14,故A正确；

由表可得，数据的平均数为1X(8+12+14+14+20)=13.6,

则数据的方差为］义［(8—13.6)2+(12—13.6)2+2X(14—13.6)2+(20—13⑹2］=15.04,故B错

误；

由第80百分位数定义与5X0.8=4可知，这5个数据的第80百分位数是^X(I4+2O)=17,

故C正确;

由方差定义可知，方差不变，故D错误.

(2)(多选)(2023.新高考全国I)有一组样本数据xi，必，…，、6,其中“1是最小值，*6是最大值,

则()

A.X2»X3，X4，那的平均数等于即，X2，…，46的平均数

B.X2，工3，X4，刈的中位数等于XI，12，…，X6的中位数

C.及，X3,X4，工5的标准差不小于11，X2，…，X6的标准差

D.X2，%3，X4，格的极差不大于山，X2，…，X6的极差

答案BD

解析取工|=1,工2=13=14=工5=2,X6=9,

则X2,A3,心，4的平均数等于2,标准差为0,为，X2,…，X6的平均数等于3,标准差为、芹

二增故A,C均不正确；

根据中位数的定义，将为，X2,…，X6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的

算术平均数，由于曾是最小值，品是最大值，故M,X3,工4,的中位数是将12,工3，14,心

按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与XI,42,…，X6的中位数相等，故B

正确；

根据极差的定义，知X2，A3,X4,沏的极差不大于X],X2，…，X6的极差，故D正确.

思维升华计算一组〃个数据第p百分位数的步骤

按从小到大排列原始数据

计算i=nx“％

若i不是整数，而大于i的比邻

整数为人则第p百分位数为第J

项数据

若i是整数，则第〃百分位数为第

i项与第（i+1）项数据的平均数

跟踪训练1⑴（多选）（2023・商丘模拟）在某次演讲比赛中，由两个评委小组（分别为专业人士

“小组A”和观众代表“小组B”）给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的

分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论正确的是（）

3()

0123456789评委序号

A.小组A打分的分值的平均数为48

B.小组8打分的分值的中位数为66

C.小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差

D.小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差

答案ABD

解析由图可知，小组A打分的平均数为*X（43+47+46+48+50+47+54+50+47）=48,

故A壬确；

将小组8打分从小到大排列为36,55,58,62,66,68,68,70,75,所以中位数为66,故B正确；

小组人打分的分值的极差为54—43—11,小组〃打分的分值的极差为75—36—39,故C借

误；

小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组8打分的分值的方差,

故D正确.

（2）某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是.

27«

32366«

4()5

5248

答案32.5

解析由茎叶图知数据从小到大排列为27,28,32,33,36,36,38,40,45,52,54,58,

因为12X25%=3,

32+33

所以第25百分位数是二^=32.5.

题型二总体集中趋势的估计

例22024年，安徽、甘肃、广西、贵州、黑龙江、吉林、江西七省区作为第四批实施改革的

省份进入新高考.2023年10月，进入新高考的七个省份相继公布了高考选考科目的试卷结

构.某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己

的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解

再三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段

[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.

频率

组距

(Hllh

0.014

().013

0〜&)Tod)1101：；0亩)成破/分

(1)求出图中。的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比

例)；

(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；

(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.

解(1)由频率分布直方图的性质，可得(〃+0.004+0.013+0.014+0.016)X20=l,解得a=

0.003.

所以及格率为(0.016+0.014+0.003)义20=0.66=66%.

(2)得分在110以下的学生所占比例为(0.004+6013+0.016)X20=0.66,

得分在130以下的学生所占比例为0.66+0.014X20=0.94,

所以第80百分位数位于[110,130)内,

由U0+20X黑三偿=120,估计第80百分位数为120.

0.94—0.66

(3)由图可得，众数的估计值为100.

平均数的估计值为0.08X60+0.26X80+0.32X1OO+O.28X120+0.06X140=99.6.

思维升华频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高能形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.

跟踪训练2某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调杳,

通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据按照。0.5),[051),…,

[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

［频率

组距

().5()-----

0.421……

45月均用水量(吨)

⑴求4的值，并估计该市，舌民月均用水量不少于3吨的人数；

(2)估计该市居民月均用水量的众数和中位数.

解(1)由频率分布直方图，可知(0.04+0.08X2+0.12+0.16+2。+0.42+0.50)义0.5=1.

解得。=0.3；

月均用水量不少于3吨的人数为(0.12+0.08+0.04)X0.5X60X104=72000.

(2)由图可估计众数为2.25；

设中位数为羽

因为前5组的频率之和为D.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0,73>0.5,

而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0,5,所以2*2.5,

由0.50(工一2)—0.5—0.48,可得x-2.04,

故居民月均用水量的中位数为2.04.

题型三总体离散程度的估计

例3(2023•全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配

对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，隙机地选其中一个用甲工艺处理，另

一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，曰、乙两种工艺处理后的橡胶产品的

伸缩率分别记为孙)*=1,2,…，10).试验结果如下：

试验序号/12345678910

伸缩率为545533551522575544541568596548

伸缩率57536527543530560533522550576536

记Zi=Xj—W=1,2,…，10),Z1，Z2，…，Z10的样本平均数为Z,样本方差为V.

(1)求2,,产；

(2)判断甲_£々处理后的橡胶产品的伸缩率较乙_L2处埋后的橡胶产品的伸缩率是否《显著

提高(如果z227a则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品

的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).

解(1)由题意得％=&一%的值分别为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

一1

则z=m乂(9+6+8—8+15+11+19+18+20+12)=11,

52=-j^X[(9-ll)2+(6-ll)2+(8-ll)2+(-8-ll)2+(l5-ll)2+0+(l9-ll)2+(18-ll)2+

(20—11)2+(12—11)?]

=61.

(2)由(1)知，7=ll,2y^=2y/6J=^j24A,

故有鼎,

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高.

思维升华总体离散程度的估计

标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大，数据的离散

程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.

跟踪训练3(2024・江门模拟)某果园试种了A,6两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果

后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A,B两个品种各10棵产量的平均数分别为:■和丁，

方差分别为4和.政

4单位/kg)60504060708070305090

以单位/kg)40605080805060208070

⑴分别求这两个品种产量的极差和中位数;

(2)求x,y,$3si；

(3)果园要大面枳种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并

说明理由.

解⑴这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30,40450.50,60,60.70,70,80,90,

这10棵A品种桃树产量的极差为90-30=60,

60+60

中位数为­=60

这10棵8品种桃树产量从小到大分别为

20,40,50,50,60,60,70,80,80,80,

这10才果6品种桃树产量的极差为80-20=60,

中位数为竺罗=60.

(2)7=品(30+40+50+50+60+60+70+70+80+90)=60,

—1

y=正又(20+40+50+50+60+60+70+80+80+80)=59,

5T=]^X[(30-60)2+(40-60)2+(50-60)2+(50-60)2+(60-60)2+(60-60)2+(70-60)24-

22

(70-60)+(80-60产+(90-60)1

=300,

.曼=吉X1(20-59)2+(40-59)2+(50一59)2+(50-59)2+(60-59)2+(60-59)2+(70-59)2+

(80-59)2+(80-59)2+(80-59)2]=349.

(3)由(1)可知这两个品种极差和中位数都相等,

由(2)可知x>y,

则A品种桃树平均产量高，波动小,

所以应该选种A品种桃树.

课时精练

一、单项选择题

1.某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如表：

鞋号3435363738394041

日销量/双259169532

如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是()

A.平均数B.众数C.中位数D.极差

答案B

解析鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共

销售了16双，所以这组数据最重要的是众数.

2.(2023・唐山模拟)某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第

80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为()

A.220B.240C.250D.300

答案B

解析由I20()X80%=96()(人)，

所以小于103分的学生最多有960人，

所以大于或等于103分的学生有

1200-960=240（人）.

3.（2024.南通模拟）为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式服役，增

强学生的国防意识，某校组织1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，

从中随机抽取20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说

法正确的是（）

频率

组距

7a

(w

2a

----------------・

5()607()80901(X)Jj颜/分

A.频率分布直方图中。的值为0.004

B.估计这2（）名学生考试成绩的第60百分位数为75

C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为150

答案D

解析由频率分布直方图可得

10X（2。+3。+7。+6。+24）=1,

解得a=0.005,故A错误；

前三个矩形面积为（〃+3a+7a）X10=0.6,

即第60百分位数为80,故B错误；

估计这二十人的众数为四詈=75,故C错误；

总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为

3aX10X1000=150,故D正确.

4.（2023・长沙模拟）为调查某地区中学生每天睡眠时间，果用按比例分配的分层随机抽样的方

法，现抽取初中生800人、其每天睡眠时间的平均数为9小时，方差为1,抽取高中生1200

人，其每天睡眠时间的平均数为8小时，方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方

差为（）

A.0.94B.0.96C.0.75D.0.78

答案A

解析该地区中学生每天睡眠时间的平均数为

1200+800X9+1200+800X8=8.4(小时)，

该地区中学生每天睡眠时间的方差为

8()()120()

^^^义口+①―8.4)2]+^55T^X[O.5+(8—8.4)2]=0.94.

5.(2023・贵阳模拟)某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲、乙两个班的学生，

收集并整理他们一周阅读时间(单位：h),绘制了频率分布直方图(如图).根据直方图，得到

甲、乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为7：2,标准差分别为si，我，贝4()

阅读时间/h阅读时间小

甲班频率分布直方图乙班频率分布宜方图

A.X1>X2»51>52B,X1<X2，S\<S2

C.X1=X2».91>52D.X|=X2>S\<S2

答案D

解析根据频率分布直方图可知，

；।=1.5义0.1+2.5X0.2+3.5X0.4+4.5X0.2+5.5X0.1=3.5,

A-2=1.5X0.14-2.5X0.3-1-3.5X0.24-4.5X0.3+5.5X0.1=3.5,

5?=(1.5-3.5)2X0.14-(2.5-3.5)2X0.2+(3.5-3.5)2X0.4-F(4.5-3.5)2X0.24-(5.5-3.5)2X0.1

=1.2,

52=(1.5-3.5)2X0.1+(2.5-3.5)2X0.3+(3.5-3.5)2X0.2-|-(4.5-3.5)2X0.3+(5.5-3.5)2X0.1

=1.4,

所以K1=X2,51<52.

6.(2()23•南昌模拟)在统计中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是

指本月和上一个月相比较的增长率，如图是2022年I月至2022年12月我国居民消费价格月

度涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是()

2022年居•民消戕价格月度涨趺幅度

6.0

T01月2月3月4月5月6月7月8月()月】()月11月12月

A.在这12个月中,我国居民消费价格月度同比数据的中位数为2.1%

B.在这12个月中,月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3

C.在这12个月中,我国，雪民消费价格月度同比数据的平均数为1.85%

D.在这12个月中,我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.0%

答案C

解析在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据由小到大依次为

0.9%,0.9%,1.5%,1.6%,1.8%,2.1%,2.1%,2.1%,2.5%,2.5%,2.7%,2.8%,

2.1%+2.1%

中位数为=2.1%,

2

平均数为=X(0.9%+0.9%+L5%+1.6%+1.8%+2.1%+2.1%+2.1%+2.5%+2.5%+2.7%

+2.8%)r1.958%,

由数据可知我国居民消费价格月度环比的数据中，

有6个月的数据为正数，3个月的数据为0.0%,3个月的数据为负数，

所以月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3,且0.0%出现次数最多，

故众数为0.0%,故A,B,D正确，C错误.

二、多项选择题

7.为庆祝2023年10月26日神舟十七号成功发射，某所中学举办了一场“我爱星辰大海”

航天知识竞赛，满分100分，该校高一(I)班代表队6位参赛学生的成绩(单位：分)分别为

84.100.91,95,95,98,则关于这6位参赛学生的成绩，下列说法正确的是()

A.众数为95B.中位数为93

C.平均成绩超过93分D.第25%分位数是91

答案ACD

解析将成绩按从小到大的顺序排序为84,91,95.95,98,100,

对于A,95出现两次，其他数据只出现一次，所以众数为95,故A正确；

95+95

对于B,中位数为第3,4个数据的平均数，为」y，=95,故B错误；

84+91+95+95+98+100563

对于C,平均数为6=~=93.8>93,故C正确;

对于D.6X25%=1.5,所以第25%分位数是第二个数，为91,故D正确.

8.（2023・曲靖模拟）PM25是衡量空气质量的重要指标.如图是某地4月1日到10日的PM25

日均值（单位：Rg/nf）的折线图，则下列说法正确的是（）

A.这1（）天中PM2.5日均值的众数为33

B.这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36

C.这10天中PM2.5FI均值的中位数大于平均数

D.这1（）天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差

答案AB

解析由折线图得，这10天中PM”所有数据中出现次数最多的数为33,所以众数为33,

故A正确；

将数据从小到大排序得17,23,26,30,31,33,33,36,42,128,

10X0.75=7.5,第75百分位数是从小到大排序第8个数36,故B正确；

将数据从小到大排序得17,23,26,30,31,33,33,36,42/28,

31+33

则中间两个数为31,33,所以中位数为二寸=32,

平均数为

17+23+26+30+31+33+33+36+42+128

10=39.9,

所以平均数大于中位数，故C错误;

36+26+17+23

前4天的平均数为=25.5,

4

42+31+30+33

后4天的平均数为=34

4

所以前4天的方差为

1X[(36-25.5)2+(26-25.5)2+(17-25.5)2-|-(23-25.5)2]=47.25,

后4天的方差为

22

1x[(42-34)+(31—34尸+(30—34)2+(33-34)]=22.5,

因为47.25>22.5,所以前4天的方差大于后4天的方差，故D错误.

三、填空题

9.（2024・黔西模拟）若样本数据%2，…，为0的标准差为3,则数据Zvi—1,2。-1,…，2AIO

-1的标准差为.

答案6

解析因为样本数据箝，A2,…，为0的标准差为3,

故样本数据为，X2,…，汨0的方差为9,

则数据2rLi,2也一1,…，加0—1的方差为22X9=36,

故数据2XL1,2x2—1,…，2xio—1的标准差为6.

10.（2024・济南模拟）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成一组数据，

这组数据的中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,