2025高考数学考前回归知识

高中数学考前回归知识必备

1集合与常用逻辑用语

力={)元素特点：互异性、无序性、确定性。

概

念

一组对象的全体.

子集

集力的子集有2"个，真子集有2〃I个，非⑦二4

合空真子集有2”-2个

关真子

集

相等A二8,3二A=A=B

交集AAB={工|工且【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、

集补运算的有力工具.

碍

合运

在具体计算时不要忘了集合本身和

与算

并集AUB={x\A,WtrS空集以两种特殊情况，补集思想常运用

常

于解决否定型或正面较复杂有关问题。

用码

逻

辑

补集Cl;A=且x£A}

用

语概念能够判断真假的语句。

_

_原命题:

原命题

_互逆逆命

_

_若〃，则夕题若

_若P则/q则p

_逆命题:

_互否

_

_若外则.

_

命四种互互

为逆

逻题

否否

命题否命题:

辑

用若一p,则一q

语

逆否命互逆否命题

逆否命题:逆

题若一q则-i

若f，则—p若一q则一〃P

充分条〃一*q，〃是夕的充分条若命题〃对应集合A,命题q对应集合

充件

件B,则p-q等价于A二3,〃=g等

要

价于A=8。

必要条。—q,q是p的必要条

条件件

件

充要条p=q,p,q互为充要条

件件

全称量V,含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称

词命题。

存在量3，含存在量词的命题叫特称命题，或否定为仝称

词命题。

量

词非命-P和p为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补

题

全称量▼，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。

量词

词

存在量3，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。

词

2复数与统计与统计案例概率

规定：产二1.实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加

虚数单位

、乘运算律仍成立。产二1,产“二。产+2=_1,产+3=_j(A£Z)。

复概

数形如。+力•(〃,〃£!<)的数叫做复数，。叫做复数的实部，人叫做复数

念复数

的的虚部。bHU时叫虚数、〃=0,〃H0时叫纯虚数。

概

念复数相等a+bi=c+di(a,b,c,dGR)=a=c,b=d

和

运共挽复数实部相等，虚部互为相反数。BPz=a+bi,^Az=abi.

算

加减法(a+bi)±(c+di)=(〃土c)+(b±d)i,(a,b,c、dGR)。

运

算乘法(a+bi)(c+di)=(aLbd)+(bc+ad)i,(a,b,c,dGR)

ac+bdbeda

除法

(a+bi):(c+di)=-_,+-i(c+di/O,a,b,c,dGR)

c~2+-n~c~2+-/Pr

几复数Z=bi—一二一一复平面内的点“么加向量OZ

何

意向星OZ的模叫做复数的模•闫二心+产

义

*1.运算律:(l)d.中二(2)(/)"=*；⑶/一4第=Zi"V*(m,

〃£N).【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.

复

数*2.模的性质；⑴二1：⑵■卜啰；⑶-二z".

运--Z2\Z2l

算

*3.重要结论：ZI.Z2=|zf=甘；(1±Z)2=±2z；,

-4-/1i性质：T=4；产”=i,产=t,y+3=_j,泮=1.

l-i

【拓展】：①=10(①-0(①?+①+1)=(户①=1瞄』—士洛二

简

单从总体中逐个抽取且不放回抽取样本的方法。

抽

样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体

等

属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样概

率

,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方

抽

法称为分层随机抽桂，每一个子总体称为层.样

。

随1.利用分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都

机是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等.

抽

样

2.在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的

个体差分别为M和M抽取的样本量分别为阳和〃，第1层和第2层

的样本平均数分别为x,y,样本平均数为京，则

分

层—M-.N-tn-.n—

抽

样

(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.

(2)作频率分布直方图的步骤

①求极差;

②决定组距与组数;

③将教据分组；

统

计④列频率分布表；

图

⑤画频率分布直方图.

表

百一般地，一组数据的笫〃百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少

分

样有P%的数据小于或等于这个值，且至少有（100—P）%的数据大于或等于这

位

本个值.

数

估

计

总

一

,众一组数据中出现次数量箜的数据（即频数最大值所对应的样本数据）.

体

数

中位从小到大排序后，中间的数或者中间两数的平均数。

数

—1

平均历,巷,…,修的平均数是K=-（X♦&.・・・.办

数n

方M/2,…，%的平均数为X，d=E（再一式）2,标准差S

差

[11>1

n—

巧用三个有关的结论

⑴若xi,X2,,,,,X”的平均数为1,那么〃m+a,"g+。，mx>,-\-a

的平均数为6十〃：

（2〕数据Xi,及，…，扁与数据Xi'=Xl+a,X2'=X2+a,xn'=居+。

的方差相等，即数据经过平移后方差不变；

⑶若汨，照，…，x的方差为P那么ati+〃，orz+b,…，的

方差为启4

（1）一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为力,匕，…，为，总体平

总软正数为y,则总体方差举=（士"；一了）321加权式：如果总体的N个变量

体

样

<「

二

本X值中，不同的值共有个，不妨记为八丫…，上其中匕出现的频数为

I©AWN）2,

Z

方

#/=1,2,k）,则总体方差为9=3/0，一了「

差

和“广1

总

体

样

1〃

二

本X

J

7

标

准

差

样

本

点

和

有①样本点：随机试验巴的每个可能的基本结果称为样本点,常用G表

限

示.全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用。表示.

样

本

空②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果"I，…，①”，则称样本空间

间。;{.，/2,…，断}为有限样本空间.

如果随机事件A在〃次试验中发生了〃7次，兰试验的次数〃很大时，我们可以将发生

定

的频率工作为事件A发生的概率的近似值，即〃（d）、'”

概义

率nn

事

互

斥

件

事事件A和事件8在任何一次实验中不会同时发生

件

关

系

对立

事件A和事件8,在任何一次实验中有且只有一个发生。

类比集合关系

O

基本

性0<P(A)<1,尸(⑦)=0,P(Q)=lo

性

质¥

事件4A互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)o

古特征基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性

典

概

型计算

〃基本事件的个数、〃2事件A所包含的基本事件个数。

n

3平面向量

重

平向量既有大小乂有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。

要

面

概

向

念

量0向量长度为0,方向任意的向量。【0与任一非零向量共线】

平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

向量的模

高中数学新教材考前回归知识必备全案

两点间的距若4（币,凹）,8（4,%），则1(4f)'+6cJ

离AB\=\

起点放在一点的两向量所成的角，范围是［O,"］。a,b的夹角记为＜a,b＞。

■v--av-avw-tv-aw■■»■

向量夹角

〈〃力）锐角CZn.b＞0,aJ）不同向：（a⑸为宜角Ca.b=0；储力）钝角Oa。＜0,a力不反

向.向量的夹角带有方向性：向量是有方向的，向量间的夹角表示两个向量正方向的夹角

―►

设”，〃是两个非零向量，它们的夹角是仇e与b是方向相同的单位向量，AB

»—＞■»

投影向量a，CD=b,过的起点4和终点A,分别作CO所在直线的垂线，垂足分别为4

Bi,得至以山『我们称上述变换为向量。向向量力投影,4囱叫做向量a在向量

b上的投影向量.记为|a|cosJe.

-tb-TTT-♦

基本定理伙,62不共线，存在唯一"的实数对（A,p）,使〃=人ci+\lei。若白,°2为轴

上

・

的单位正交向量，（入P）就是向量。的坐标。

一般表示坐标表示

■*■

共线条件0M乃-»科=0

aiib（bW0共线=存在唯实数人，a=Xb

垂直条件

a_Lb^crb=0o再M+和2=°。

设AB=a,BC=b,那么向量AC叫府a与b的和，

即a+》=A8+BC=AC：向量力唯勺三多形法则可推广至

加法多个向量相加：AB+BC+CD+…+PQ+QR=AR

法则，但这时必须“首尾相连”。a+b=(x)+跖,凹+%)

运O

算

算

律交换律a+b=b+a,结合律(。+0)+c=a+(/?+c)

减用“三角形法则”：lStAB=a,AC=b,那么。一人

法一一

法

则

=AB-AC=CA,由减向量的终点指向被减向量的终点a—b=(X)-r,y,-}\

运2

o注意：此处减向量与被减向量的起点相同。)

算

为向量，入＞0与。方向相同，

概

-1-■

念

入。=（入x,入y）

数

入＜0与〃方向相反，入a=|Z||tz|o

乘

运

算11111

与数乘运算有同样的坐

分配律人(|J。)=(Ap)«,(入+(J)。=入a+口。，

算标

律

表示。

分配律入(a+b)-Xa+入〃

概■■,■

aba,b>

念cos<

1ab=中2+y%。

数

量

主

积2

要era旧=一，/*F=f+/

运

性a

质

算

算

律ab-ba>分配律(a+b)+'=-卅什力c,(Xa)4=-卅6H~3^-b)0

向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于•个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以

算一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个

律向量，切记两向量不能相除(相约3七)aS・c)W(Q・b)c

句

量几何表示用带箭头的有向线段表示，记8,注意起点在前，终点在后;

为法

麦

符号表示法用一个小写的英文字母来表示，如,〃，等;

云ac

、

万

去在平面内建立直角坐标系，以与X轴、)，轴方向相同的两个单位向量i,/为基底，则平面

内

坐标表示法

的任一向量a可表示为a=xi+vj=(r,y),称(x,、)为向量a的坐标，a=(v,y)叫做向量4

的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相冏。

三角形的五个“心”

重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一

点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

4不等式

a>b,b>c—a>c两个实数的顺序关

系：a>b，二1

_

a>b,c>O>ac>be；a〉b,c<0—ac<beah>0a<b

；a>b,c>d-a+c>b+d

<=>«/?<0

a>b>0,c>d>O->ac>bd11

取倒数法则ab>0,a>/>co-<-

a>b>0,nWN,n>\—^cf>If；:a>\bab

①x,y>0.由x+y^2~xy»若积封=P（定值），则当x=y时和x+y有最小值2.、p;

②x,y>0,由x+2xy,若和x+y=5（定值），则当X=y是积盯有最大值!

最s2.【推广】：已知x,y£R,则有（x+y）2=（xy）2+2xy.

值

定（1）若枳孙是定值，则当|xy|最大时，|x+y|最大；当|x）”最小时，|x+y|最小.

理

（2）若和|x+y|是定值,则当|xy|最大时,|町|最小;当|xy|最小时,|孙|最大

平方平均》算术平均》几何平均》调和平均（而捻产士2）20心立R,当且仅当a=〃取“=-）

______22

基

均

本二-二迫近.心百竺，产至（当旦仅当a=方时取='）

值

不

不

等

式

等2ab

式

红乜土…土32（正数m=G=…=G时取等）算术平均2几何平均

n

重

2+加N2|朝（a,b£R,当且仅当a=b时取到“二”）

要

不3222

a3+63云a~b+ab~tcr+ly+c3abe=（a+b+c）（a+b+cabacbc）

等

—a'+Z/+c323abe（〃+b+c>o等式即可成立，a=8=。或^+b+c=o时取等）；

式

(

b

e

为

正

如

柯

设。也GR（i=1.2..〃）,则（a/1+外/+―I”也尹&4----1-什兴圻+桓H—+优）

西

不等号成立当且仅当々%时成立.（约定q=0时，々=0）

等也怎。・

式

水a>b>0,a>m>0,则。？<匕<此理.【说明】：“<"+，〃(a>b>0,/?z>0).

的ainaa+ntaa+m

浓

度

③已知。x1)y£R*,若av+力y=1，则有：II,L11'如ar>LcL7

“1»/i'-+-=(iu+by)(-+-)=«+b++—^«++2.w*=(.,«+.*

y

的xyxyxy

④1”WR一若则有：工+)，=(*+))("+?=""21=(鼻+

代换

不产yxy

5函数、基本初等函数I的概念、图像与性质

函函数用f(x)来表示；即X按照对应法则f对应的函数值为f(x).函数有解析式和图像两种具体的表示形式。

数

定义域A：X取值范围组成集合。值域B：y取值范围组成集合。对应法则f：y与X对应关系，

的

函

如：函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任苣个.

概

数

概

念

念

及

其(1)具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式：使函数解析式有意义(如:分母工0;

表偶次根式被开方数非负；零指数基底数丰0；实际问题有意义：对数真数>0,底数>0且H1：如Igx<1

一的解集：

小

定

0<A<I0：y=lnx单调增区间(0,+8)：如：不等式］g|*<1的解集________{A}\<X<lKr#0)

义

域(2)复合函数定义域求法：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。若/U)的定义域为口,例

题,其复合函数;［g(x)］的定义域可由不等式a<g(x)<b解出:若Jg(x)］的定义域为①,求/⑺的定

型义域，相当于时，求/=g(x)的值域：如若函数+1)的定义域为|2,1),则定义域为一(

答：［1,5］)

数轴.上的•段数组成的集合可以用区间农示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于

或小于的意思：闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；

区

间(1)区间是集合的另类表示方式，区间就是集合，具有集合的一般性质。

(2)它是无限集，连续的实数。31<%<2或.『4)表示成(1,2〉U{4},不能写成(1.2)g=4。

如果/(r)=/(x)，则J(X)为偶函数；如果J(—X)=-/W，则JW为奇函数。

这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。确定奇偶性方法有定义法、图像法等;

(1)若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断，如判断函数八幻=里二工奇偶性一偶函

定义If212

奇数

偶

性(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性：偶函数在对称的单调区间内有相反单调性：

(3)若/(幻是偶函数,那么〃幻=/(—.r)=/(|.r|)；定义域含零的奇函数必过原点(/(0)=0)；

定义法判断：⑴定义域是关丁原点对称的：(2)II算加)士/(—.1)-0或"'1-±1(/X\)/0)

判断：若函数f(x)=(〃为常数)在定义域上为奇函数，则Q±1

I»Ai

(1).利用公式：f(x)=f(x),f(x)=f(x),计算或求解析式；(2).利用复合函数奇偶性结论:F(x)=f(x)g(x)

,田，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇：F(x)=f(x)+g(x),当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入x得：

利用F(x)=f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解抉问题；(4)奇偶函数图像的对

性称性

质-

对定义域内任意X,存在非零常数T,/(1+71=/(»•),丁为共幻

周

期周期⑴若,v=/Cr)对R时/(A+a)=/(A—a)恒成立，则/(X)的周期为2|

性司；

⑵若)，=/(.t)是偶两数，其图像又关于直线犬=。对•称，则用目的周期为2|。|；

(3)/(A+a)=-f(X)»f(x+a)=—?或/(x+a)/(x)=a或/(*+a)+/(x)=Rr为2Ia|;

/<xl

定义定义域内一区间/,X]yX2/,X,<工2,增修<必一/(阳)</。2)；减K<占一/(内)</(占)

定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等(提混：求单调区间时注意定义域)

求

单导数法：i求定义域：H求/㈤；iiif。)>0的解构成增区问：注意：区间表示。如：函数、._樨,(-，+

2x)

调

区

的单调递增区间是——•((1,2))；函数、，『一!单调增区间是一.((一oo,0)和(0,+8)j

单间

调X

性

定义法、导数法。判断单调性：小题首选复合函数法，其次求导数：大题首选求导数，其次用定义。

证明

(1)定义法：i取值M<x2ii作差变形判断了区)一/(/)符号;

(2)导数法：i求f(X)：ii判断/(x)符号：

(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，断。

(2).比较函数值的大小：画图看(3)解不等式：增.>x2-*/(.<,)>f(x2)或/XM)>f(x2)一匹>4

：减为>再—/«)</(再)或〃M)>/(占)一七<5(4).求系数：利用常规函数单调性结论,根据单

利用调性求系数。则a范围是a>l或0〈av；;

已知/G)=log".电>0,aHl)为R上增，则/Xx—1)<0的实数X的取值范围。(0,1)1/1,2)

由“同增异减”判定:①分解为基本函数：内函数〃=以外与外函数)，=/(“).②分别研究内、外函

V

合

函在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性.已知复合

数函数单调性，求字母范围：i分解出内外层函数：ii研究内外层函数的单调性的关系：市兼顾函数的定

义域；

6函数、基本初等函数I的图像与性质

①确定所求问题含有待定系数的解析式：二次函数解析式的三种形式：一般式：/(x)=ad-b.r+c3H0)

:顶点式：f(x)-a(x—h)2+k(at0)；零点式：f(x)=a(x—xJCr—x,)(«W0).

求待定系

函数②根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

数

解法基本③解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

步

析

式如一元二次不等式/*)<L1解集是(1,2),可设________/,(A-)x+l=a(x+1)(x2)

骤

的

常

若/(1-1)=/+!，则函数人1-1)=_____(答：Y一21+3)

用配凑法

方JTU

法

函数y=/(x)关于函数y=h1+1图形关于直线y=x对称，则/U)=_

坐标转

函数,,=/()与__________的图像关于原点成中心对称；)，=—A—X)

移x

对已知等式进行赋值，从而得到关于凡6及另外一个函数的方程组：

函数八r)是一个偶函数.8(r).是一个奇函数,且小)+或丫)=1.则f⑴等于-----1:

方程的“Lr-1

思

想若函数/(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足/(幻一g(.r)=F,则有/(尤)=-----，-：

4

称

心对

成中

原点

关于

图像

X）的

f—

与产