第2章 特殊三角形（复习讲义）-2024浙教版数学八年级上册（原卷版）

第2章特殊三角形（复习讲义）

工区

单元目标聚焦•明核心

课标要求：从生活实例抽象模型，通过推理掌握“等边对等免”“三线合一”等核心性质；

中考命题：基础题占比高，压轴题聚焦动态等腰三角形存在性与等边三角形综合证明:

备考关键：

概念零混淆（腰羊底边、SSA非判定）；

证明严步骤（标注定理+分类讨论〉；

作图保规范（尺规作图中半径一致，虚线表延长线）

层级训练重点典型例题

基础层边角计算、轴对称作图已知AB=AC,ZA=40",求/B。

进阶层三线合一证明、等腰判定用”等角对等边''证△ABC为等腰三角形。

等边AABC中，D为AC中点，E在BC延长

拓展层等边三角形与全等综合、动态存在性问题

线上，CE=CD,证aBDE为等腰三角形

区又

知识图造梳理•固基础

又a

教材要点精析•夯重点

知识点重点归纳常见易错点

轴对称性：对称轴为顶角平分线所在直线

未分类讨论角的位置（如己知角80。未分顶

等腰三角形等边对等角：两底角相等

角/底角）

三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高

性质非等腰三角形误用三线合一

线重合

知识点重点归纳常见易错点

定义法：两腰相等

等腰三角形误用SSA判定（如两边及一边对角相等）

等角对等边：两底角相等

忽略三角形存在性（如边长336不成立）

判定推论：三角形一边中线和高重合=等腰

三边相等，三角均为60。

等边三角形混淆重心与垂心位置

四心合一（重心、内心、外心、垂心）

求角度时未利用60。特性（如外角=120。）

性质对称性：三条对称轴

勾股定理.：a2+b2=c?（c为斜边）

直角三角形混淆直角边与斜边（如求第三边时未分类）

两锐角互余：NA+NB=90。

误用"HL"于非直角三角形成立

性质斜边中线二斜边一半

定义法：有一个角为90。

直角三角形勾股数记忆错误（如认6.8,11是勾股数）

勾股逆定理：若aZbB则NC=90。

忽略角度互余的隐含条件

判定两角互余：ZA4-ZB=90°=>ZC=90°

仅用于直角三角形：斜边和一条直角边对应相

在非直角△中误用HL

等=全等

HL全等判定

未标注“Rt△"直接使用HL

本质是SSA在直角△中的特例

考点题型突破•拓思堆

题型一图形轴对称

【例1】下列艺术字中，轴对称图形的是（）

A金口榜,题D名

【变式11］世界环境日为每年的6月5日，它的确立反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，表达

了人类对美好环境的向往和追求.下列有关环境保护的图案中，是轴对称图形的是（）

c.D.

【变式12]请你用数学的眼光观察卜.列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图

【变式13]2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了空

巳如意纹“，以下四个如意放样中，不是轴对称图形的是（）

D.

题型三最值问题

【例2】如图所示，军官从军营。出发先到河边（河流用/W表示）饮马，再去同侧的。地开会，应该怎样

走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马''问题吗？下列给出了四个图形，你认为符合要求的

A

C.8D.9

题型三等腰三角形性质

【例3】如图，在等腰三角形A8C中，AB=AC,AD为BC边上的中点，NB=32。，则NCA。的度数为（）

A.58°B.56°C.54°D.62°

【变式31］已知AABC是等腰三角形,它的两条边的长分别为2c〃?和50〃，则它的第三边的长是（)

B.3cmC.2<?〃?或5c〃?D.5cm

【变式32］如图，在△相€?中，点。在BC上，ZDAC=ZADC=2ZB,AC=3,AD=2f则BC的长为（)

A.7B.6C.5D.4

【变式33］如图，在A4BC中，AB=AC,NA=36。，4B的垂史平分线。E交AC于点D,交AB于点E,

下述结论正确的有（）

①8。平分NABC；②△8C。的周长等于/W+8c③AQ=8Q=BC；④点。是线段4c的三等分点.

C.①②③D.①②③④

【变式34】“三等分角”是由古希猎人提出来，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分

角仪由两根有槽的棒04、08组成.两根棒在0点相连并可绕O转动，C点固定，0C=CD=DE,点D、

E在槽中滑动，若NBOE=84。，则N0=

题型四等腰三角形判定

【例4】用一根长10切?的绳子围成一个等腰三角形，其中腰和底的长度都为整数，则腰长为.

【变式41］已知：如图△ABC中，ZB=50°,ZC=90°,在射线84上找一点。，使△ACO为等腰三角形,

则NACO的度数为.

ZC=36°,人£＞平分N84C,则图中共有个等腰三角形.

【变式43］如图，已知产是射线0N上一动点，NAON=40。，当NA=时，“OP为等腰

三角形.

［变式44］如图，AZ）平分NBAC,且AD1.BD于点D,若AABC的面积等于10,则ZUOC的面积等于

题型五命题与定理

【例5】下列命题：①若而＞0,贝I。、b两数符号相同；②锐角与直角的和一定是钝角；③两条直线都与

第三条直线垂直，则这两条直线垂直：④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是真

命题的有.（写出所有真命题的序号）

【变式51】把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：.

【变式52】写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：,该逆命题是—命题（填“真”

或“假”）.

【变式53】写出“对顶角相等”的逆命题.

题型六勾股定理

【例6】在△/WC中，NA、NB、NC所对的边分别是。、b、c,且NA：ZB：ZC=1：I：2,则下列等式

正确的是（）

A.a1=b1+c2,B./=2°2c.（?=2h1D.序=2（?

【变式61】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和

对勾股算术算法的推广.书中的证明方法是将4个边长分别为〃、〃、c的全等直角三角形拼成如图所示

的五边形A6CQ&然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理.己知。=4,4个直角三角形未覆盖区域

即白色部分的面积是10,那么4C的长是（）

A.5B.6C.2>/5D.2夕

【变式62】我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”.如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的,

己知RsABb的周长等于14,正方形ABC。的边长是6,则正方形EFGH的面积为（）

A.2\［2B.8C.20D.2vs

【变式63］已知RS4BC,斜边/B=g,面积等于3,则AC+BC=.

【变式64］如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1）,后人称其为“赵爽

弦图''、由图1变化得到图2,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形A8CQ,正方形

EFGH,正方形的MNKT的面枳分别为Si,S2,S3,若S2=4,则S1+S3的值为.

题型七直角三角形性质

【例7】如图，在AABC中，ZACB=90°,将N8沿C£>折叠，点8正好落在边AC上的点E处，如果N8

【变式71］如图，在RSA8C中，ZC=90°,ZB=62°,D、E分别在A8、AC上，将△AQE沿。E折叠得

【变式72］阅读与思考.

请认真阅读.并完成相应的问题：

“友爱二角形”的研究

定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的去

我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱

三角形

例如：在aABC中，如果NA=80。，ZB=40°,那么

NA与N8互为“友爱角”，ZkABC是“友爱三角形”.

（1）如图1,"8C是“友爱三角形”，且NA与NB互为“友爱角”（N4>NB）,NACB=90。.贝Ij/A

=,ZB=；

（2）如图2,在（1）基础上,作中A8边上的高请判断△ACD和△BCD是不是“友爱三角形”，

并说明理由.

【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质.

【分析】（1）由“友爱三角形”的定义得到N8=^NA,由直角三角形的性质得到NB+NA=90。，即可求

出N4=60。，NB=30°；

11

（2）由直角三角形的性质得到NB=*NBC。，ZACD=^ZA,判定△AC。和"（:。是“友爱三角形”.

题型八直角三角形全等判定

【例8】如图，要用“HL”判定RWABC和RtAAEC全等的条件是（）

A.AC=AC,BC=BCB./A=/A',AC=AC

C.AB=A!B\BC=B'CD.NB=NB',AB=A,B'

【变式8l】l7.如图，BE工AC于点E,。尸，居于点F,若BE=CF,则RsBCrgRsCBE的理由是（）

B.HLC.SASD.ASA

【变式82］如图，点A,B,C,短四个点在同一条直线上，ZBEZ）=ZCM=90°,且AB=CQ,若要使RsAb

咨RtZkOBE,则可以添加条件是（请写出一个答案即可）.

【变式83］如图，在AABE与aCB。中，AE_LB。于点E,于点D,AB=BC,BE=CD.证明:

RSABE/RQBCO.

题型九等腰三角形综合

【例9】如图I和2,在四边形ABC。中，NBAD=a,N4c0=180。-。，BD平分NABC.

（1）如图1,若a=90。，根据教材中一个重要性质直接可得D4=CD,这个性质是

（2）问题解决：如图2,求证4O=CD；

（3）问题拓展：如图3,在等腰△A8C中，ZBAC=100°,6。平分NA8C,求证：BD+AD=BC.

【变式91］在△ABC中，AB=AC,8D平分NA8C,交4C于点D,BD=AD.

（1）如图1,求NA4C的度数；

（2）如图2,E是A8的中点，连接EO并延长，交8c的延长线于点F,连接AF.求证：AF=AB+BC.

图2

【变式92］（1）如图1,"BC中,作N48C、N4CB的角平分线相交于点O,过点。作E/〃8c分别交

4B、AC于E、F.

①求证：OE=BE,

②若二ABC的周长是25,BC=9,试求出aAE/•'的周长;

（2）如图2,若NA8C的平分线与乙4。外角/AC。的平分线相交于点P,连接AP,试探求/84C与

N%C的数量关系式.

【变式93］已知在ZUBC中，AB=AC,且N84C=a,作A4CD使得CD=AC.

（1）如图①，若NAC。与N8AC互余，则NOCB=（用含a的式子表示）：

（2）如图②，若NACO与NH4C互补，过点C.作C〃_LAO于点儿过点A作A从L8c于点《，试说明:

CH=如C；

（3）若NACO与/BAC相等，则ZUBC与AAC。的面积满足什么关系？若/AC。与/84C互补，则上

述关系还成立吗？直接写出结论.

题型十等特殊三角形综合

【例10］（I）如图1,在直角三角形ABC中，NACB=90。，乙4=30。，C。平分N4CB,点E是AB边上

一点，且NACE=NAEC,则NQCE=°：

（2）如图2,若AABC为一般三角形（A8>4C）,NABC=a,CO平分NAC8,点E是力8边上一点，

且NACE=NAEC,求NQCE的度数（用含a的代数式表示〕；

（3）如图3,若△A8C为钝角三角形（NA5c为钝角，AB<AC）,ZABC=a,C£>平分/4C8,点E

是A8延长线上一点，且NACE=NAEC,请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果

不成立，请说明理由.

【变式101】阅读：如图1,在zUBC中，3NA+NB=180。，BC=8,AC=10,求AB的长.

小明的思路：如图2,作8E_LAC于点E,在AC的延长线上取点。，使得。E=AE,连接3。，易得NA

为等腰三角形，由3NA+NB=180。和NA+/ABC+N8c4=180。，易得/8。4=2/448。。

为等腰三角形，依据已知条件可得AE和A3的长.

解决下列问题：

（I）图2中，AE=,AB=；

（2）在△ABC中，NA,ZB,NC的对边分别为a、b、c.如图3,当3N4+2N8=180。时，用含a,c

式子表示b.

【变式102］如图1,在直角三角形A8C中，NAC8=90。，AC=3,BC=4,AM,8N分别是NCA8与2

48C的角平分线，且AM,8N相交于点O.

（1）ZAOB的度数为。.

（2）求点。到人8边的距离及△AON的面积.

（3）如图2,若过点。作CDJLAB,分别交AM,BN于P,。两点，垂足为点。，求P。的长.

AA

Q

I

分层阶梯训练•提能力

基础巩固通关测

2.如图，在等腰△A3。中，AB=AC,N8AC=40。，点。是CE延长线上一点，且A8=8。，连接A。，则

N。的度数为（）

A.70°B.60°C.35。D.30°

3.如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知Si+S2=12,且AC+BC

4.有下列六个命题：

（1）如果一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1：

（2）一个数的立方根等于它本身，则这个数是-1,0,1；

（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

（4）从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离;

（5）两条直线被第三条直线麻截，同位角相等；

（6）垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

其中假命题的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

5.如图，在RtAAAC中，ZACB=90°,分别以AC,BC,A/3为边在三角形外部作正方形，若以AC和3c

为边的正方形面积分别为5和3,则以4B为边的正方形面积S的值为

6.已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为

7.如图，在等腰A4BC中，AB=AC,AD,CE分别是AABC的中线和高.若NACE=32。，则N8AD的度

数为

8.如图，在锐角A4BC中，4c=10,S△八8c=25,/8AC的平分线交于点及，点M,N分别是4。和

AB上的动点，则BM+MN的最小值是.

NBAC=90。，NC=42。，AH,8。分别是△ABC的高和角平分线，点E为8c边上

一点，当ABDE为直角三角形时，则/CDE的度数为

10.如图所示，Z）"_LAB于，，4CJ_8D于C,QH与AC相交于点£

仔细观察图形，回答以下问题：

（1）写出图中所有的直角三角形？—.

（2）直接写出NAE"和N8是什么关系？

（3）若NB=70。,求NA和NCEO各是多少度？

A

11.如图，在A/WC中，AB=AC,N84C为锐角，作交的延长线于点

(I)若/。=20。，求NA4c的度数.

(2)求证：ZBAC=2ZD.

(3)已知/。=22.5。，AC=V2,求BC2的值.

(1)如图1,若AC=8C=2,点。是3C边的中点，点M是线段A8上一动点，求△CM。周长的最小

值；

(2)如图2,若4c=4,BC=8,是否存在点。，使以A,B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，

请直接写出线段C。的长度：若不存在，请说明理由.

能力提升进阶练

1.如图所示，在△ABC中，ZABC=80°,平分/ABC,P为线段8。上一动点，Q为边力B上一动点,

当4P+PQ的值最小时，NAPZ)的度数是()

A

A.50°B.55°C.60°D.65°

2.下列命题：

①如果a〃=0,那么。=0,6=0；

②两个锐角分别相等的两个直宵三角形全等；

③如果两个有理数相等，那么它们的平方相等；

④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.它们的逆命题是真命题的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8,正方形

4的面积是15,B的面积是12,C的面积是17,则D的面积为（）

4.如图，的平分线8r，与△八8c的外角NACG的平分线相交于点尸，过点尸作。/"8C交/W于

点。，交AC于点E,若8。=8,CE=6,则。E的长为（）

A.4B,2.5C.2D.1.5

5.如图，在8c中，AB=BC=2,AO=BO,P是射线CO上的动点，N4OC=60。.

（I）当PO=AO时，AP=.

（2）当△物B是直角三角形时，AP的长为

6.如图，在四边形人BCD中，对角线4C_L8O,尸为CO上一点，连结A尸交80于点E,AFLAB,已知

Z/MG=NABC=45°,且8CAG=10V2.

(I)则AB的长是

(2)若AE=2EF,且NAGO+N8CO=180。，则

7.如图，在ZUBC中，AB=AC,CZ)_L4B于点。.若AB=10,CD=6,则BC的长为

8.八£)平分N94C,交“C于点。，E为八9的中点，连接DE,若BE=

BD,AD=2\/2,则DE的长为

A

9.在ZiABC中，/。=90。,八。平分/84C交8c于点。，若AC=4、CQ=2,则点。到斜边A8的距离为

3BD2-4BD=

10.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的是多少？

（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？