高考数学一轮复习题型突破：恒成立问题和存在性问题（解析版）

专题4.5恒成立问题和存在性问题

SI题型目录

题型一最值法

题型二分离参数法

题型三分类讨论法

题型四指对数同构

题型五双变量问题

才典例集练

题型一最值法

例1.(2023春•四川成都•盲三树德中学校考阶段练习)若对于任意的aeR及任意的

xe(l,+8),不等式/+%之为+如]"-1)恒成立，则实数人的取值范围是()

A.[0,e]B.[OJ]C.-,+8)D.-0°,-)

【答案】A

【分析】由题意可得左出(汇一1)4文-1对任意的xe(l,十4恒成立，分类讨论k=0,k<0和

k>0,当攵>0时，，之蛇二令g(x)」n(三D,对g")求导，求出g(x)的最大值,

即可得出答案.

【详解】因为对于任意的及任意的xe(L”)，不等式/+xN2a+4n(x—1)恒成立，

则万一加+工一对11(工一1)20对任意的6£1^恒成立，

所以A=(_2)2_4[x_&ln(x_l)]«0,

则A:In(x-l)<A-l对任意的xG(1,-H»)恒成立，

当攵=0时，成立；

当攵<0时，x>2时，不等式左边kln(x-l)<0,x-l>0,所以kln(.E-l)Wx-l不成立；

当&>0时，八皿3

kx-\

令&(力.，小卜年早，

令g'(x)>0,解得：l<x<e+l：令g'(x)<0,解得：jc>e+l,

所以g（x）在（l,e+l）上单调递增，在（e+l,4<Q）上单调递戒，

所以当x=e+l时，g（x）有最大值，

所以g（Ha=g（e+l）=粤=9

目f以5

ke

综上，ke[O,e].

故选：A.

例2.（2023春・四川成都・高三树德中学校考阶段练习）设函数/（》）=加+MawR）.

⑴若直线y=2x-1是函数），=〃x）图像的一条切线，求实数〃的值；

⑵若。>0,当x>0时，不等式2x—8siarv/（工）恒成立，求实数〃的取值范围.

4

【答案】⑴句:

⑵*8

□

【分析】（1）根据导数的几何意义列方程求。的值:

（2）原不等式可化为sinx-fx+L/之0,设，=/_,由已知卜iiu-x+Jd

之0,讨论”,

66。I6min

利用导数研究Mx）=sinxTY+，V的单调性，由此确定〃的取值范围.

【详解】（1）函数/（x）=o?+x的定义域为R,导函数尸（力=%^+1,

设切点尸（公,八），

y0=cix^+x0

则』=2%-1,

3遍+1=2

3

x0=2

解得，:

4

a=——

27

所以。=/；

(2)不等式2x-6t7sinx</(x)可化为：2x-6asiiiivo?+x,

因为。>0,所以sinx-Jx+Jl>0,

6。6

<]

设/=—>由已知^nx-ix+-xy>0

6min

令〃（x）=sill¥一a+'丁，则/（X）=COSX+gx2_/,

令/n（x）=cosx+-x2-t,则加（x）=-sirir+x,

2

再令s（/）=-sinx+R,则/（A：）=-co&r+l＞0,

所以s（x）在（0,+8）单调递增,又s（0）=0,则s（x）＞0,即加（力＞0,

所以）〃（r）在（。,+8）单调递增，y=COST+g.r2（x＞0）的值域为（L-+＜c）.

①当时，即“之，时，/?J（X）=COSX+—x2-I＞0＜=＞/f（x）＞0,

62

则〃（X）在（O.+e）单调递增，又〃（0）=0,所以力（力＞。恒成立,符合.

②当，＞1时，即0＜a＜1时

6

/7?（0）=l-r＜0,当时，〃?（1）＞0,

所以存在事＞0,使〃2（%）=0,

则当xe（0,x0）时，/n（x）＜0,函数〃（x）在（0,小）上单调递减，而〃（0）=0,

所以力（“＜0对XW（0，A））成立，不符合.

综上，实数〃的取值范围是+8）.

举一反三

练习1.（2023・全国・高三专题练习）函数/（力=以-11-1,若存在毛£（0同使得/（小）＜。，

则实数。的取值范围是.

【答案】（一8,1）

【分析】将条件存在不40同使得/1）＜（）转化为在区间（0目上/（“神＜0,求r（r）,

再根据导函数的性质即可求得在区间（0,e］上的/（灯.，进而解不等式即可.

1详解】存在飞«O,e］使得〃（）＜0等价于在区间（0，e］上〃0Mli＜。，

ax-\

由/(x)=av-lnx-l,则外力=4一7xe(O,e],

若aWO,则/。）＜0,此时/（“单调递减，所以/（x）1nhi=/（e）=ae-2＜0成立；

若a＞0,当x＞一时，.盟x）＞0,此时〃x）单调递增；当0＜工＜1时，r（A）＜0,此时/'（力

单调递减,

（2）若/（-V）的最小值为1,求4.

【答案】（1）匕詈v，〃W带生

（2）1

【分析】（I）利用导数研究/*）的单调性，进而可得/（X）min=/（1）=O,并求出/（2）J（3）,

即可确定机的范围；

（2）根据/（幻的值域及/（幻的最小值为1排除。<0、4=0,构造y=eX-x-l并应用导数

研究函数符号，放缩法求/（幻最值，即可得参数值.

【详解】（I）当。=0时=处，则（（幻=4-12^=学，令/。）=0=工=1,

XXXx~X

当Ovxvl时r（x）<0,/（X）递减,当x>l时r*）>0,/（x）递增，，

所以『⑴加『61）=°，"2）=1-罟吧=上强/（3）=1-野=沼》

（2）若〃<0.当汇趋向+00时趋向于0,此时最小值不为1.余去.

由（1）知：。=0时/（X）最小值为0,此时/（X）最小值不为1,舍去.

所以。>0,则=------

X

令尸/一x-l,则y'=e'-l,故xvo时y'v（）,x>0时y'>。恒成立,

所以3在（3,0）上递减,在以+oo）上递增,且）后>ko=O,即e，x+l恒成立,

<u+,l>x

UUI、I■/、e—1—Inxax+Inx+1—Inx—1,,八xnInx«.

所以〃%）=------------>-----------------=a,仅/ri当lzar+lnx=O,即。=----->0时取r

等号，

令）,=一叱，则故0<x<e时y'<。，）'递减，x>e时y'>0,y递增，

XX

所以），之）［工二一一，且0cx<1时y>0,x>l时一一<>,<0,

ee

综上，«=-->0,即0<x<l时，成立.

x

此时要使/（幻的最小值为1,即4=1.

练习4.（2023春・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有

/（x）=eHjlnxTn420在定义域内恒成立，则〃的取值范围为（）

A.(0,1]C.(o,e2]D.(0,+a)

【答案】C

【分析】利用导数研究了⑶单调性，得极小值/（%）=。（-*-+.％-21114+2）,将问题转化为

,+%221n4-2在（（）,收）上恒成、孔再应用导数研究左侧的最小值，即可求解.

【详解】由题设广（幻二小—@且。>0»>0,令g（x）=/'（x）,则/（x）=e'"+=>0,

XX-

所以g（x）=/'W在（0,+OO）上递增，显然X趋向0时f（A）趋向TO,f\a）=eu+,-l>0,

故太。€（0,+8）使f'（x0）=O,即/川二色,则lnXo=ln〃-（Xo+l）,

.%

所以，在（0,与）上r（x）<。，八幻递减；在（%,+<»）上r（x）>。，/（X）递增；

故/（幻之/*0）=/+1-。1!1/一1115=4（,+与一21114+2）,

e

令)，=■!■+X目.工€(0,笆)，则y'=l--故xe(OJ)时y'＜。，xe(l,+＜»)时y'＞。,

所以xw（o,i）上y递减,%w（l,+x）上），递增，则”yL=2,

且当题=1时，0=lna-2=>a=e2,

综上，21na-24ymin=2,可得0<°02.

故选：C

练习5.（2023春•四川德阳•高二德阳五中校考阶段练习）若不等式

合111。一金人+%一111〃2”-2在工曰—1,2］有解，则实数。的取侑范围是（）

r，e

【答案】D

【分析】先得到〃>0,不等式变形得至1」（9-1）［'二］2与-2,换元后令

e/e

“。=卜2-1加-2，+2,问题转化为存在止胃,优，使得/(/)之0,求导后得到了(，)的

e

单调性，结合/⑴=/(0=0,得到当14/久2时，“go,比较端点值得到答案

【详解】由Ina有意义可知，。>0,

e21n.一e2jr+x-lnaN与一2变形为(c?-l)(lna-x)N——2

即(e—)(l哈)《-2,

令/=£,即有仔一1)1球一21+220,

因为xe［—1,2］,所以，=-7er，ae,

e|_e~_

令〃，)=卜2—1)政一力+2,问题转化为存在飞［=“，使得/(/)20,

e

因为/'(/):一—2=e、：I,

令r(/)<o,即金一2.-1<。，解得"宁，

令即e2—2/—1>0,解得0</<F，

所以/⑺在卜,一］上百■调递增，在(一,”］上单调递减，

又/⑴=0j(e2)=(e2-l}lne2-2e2+2=0,

而l<—ve2,所以当区/32时，/(。之0,

若存在/€E，〃e,使得/.⑺20成立，只需/we?且配之1,

解得ae-,e4.

_c

故选；D

题型二分离参数法

例3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(外=1-§-2卜、，若对于)，均有

/(x)>l,则实数。的取值范围为

1

【答案】3,一1一一

Ie」

【分析】分离参数可得〃4/-2》-之在(。,+8)上恒成立，设仪幻=/-24-=>*>0),利

ee

用导数求其最小值即可.

【详解】由题得力•=在(0,+8)上恒成立，

e

设g(x)=f-2x-^(x>0),贝IJg(i)=,

当Ovx<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>l时，g'(x)>0，g(x)单调递增，则

g(X)min=^(1)=-1--»

ce

故实数〃的取值范围为(—,-1.

故答案为:'.

例4.(2023春•甘肃张掖•高三高台县第一中学校考期中)已知〃x)=xlnx,

^(X)=A？4-Or2-X4-2.

⑴讨论函数y=在(0,〃7)(〃〉0)上的单调性；

⑵对一切实数xe(0,+8)，不等式2/(x)Wg'(x)+2恒成立，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)[-2,+oo)

【分析】(1)根据加分类，利用导数求单调区间即可；

(2)参变分离，构造函数Mx)=21nx-3x--,然后利用导数求其最大值可得.

【详解】(1)因为〃x)=Enx,则7(x)=lnx+l,令尸⑴=0可得》」,

e

①当。时，对任意的xe(0.〃，)，/'("<(),此时函数/(力的减区间为(0,〃。；

e.

②当小〉，时，由/'(x)<0可得0<X<1,由/4x)>0可得

eee

此时函数/(X)的减区间为(o，£|,增区间为(，,〃?、.

综上所述，当0V〃区，时，函数“X)的减区间为(0,〃7)；

e

当〃?>：时，函数/(X)的减区间为(0,m，增区间为(；〃?).

(2)因为8'(6=3工2+2⑪-1

所以，对一切实数X«QYO),不等式2/a)«g'(x)+2恒成立,

即2x\nx<3x2+2ax+1恒成立，

可得2or22xlnx-3/-1,即2aN21nx-3x-L

x

令/z(x)=2]nx-3x——，其中x>0,

X

则//(X)=--3+-!T=-MTL=_(3%+l)(x7),

Xfx-x-

当o时，//(A-)>O,此时函数〃(x)单调递增，

当x>l时，"(x)<0,此时函数力(X)单调递减，

所以，/?(xLx=//(1)=-4>则力^〃(力皿=-4,解得。之一2・

所以4的取值范围为[-2,9)

举一反三

练习6.(2023•山东青岛•统考模拟预测)已知函数/(力二j"-1门.

⑴当〃=0时，求曲线y=/(x)在(1J⑴)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积:

⑵若存在不£卜,”)，使〃与)<0成立，求〃的取值范围.

【答案】⑴,二占

⑵a>e

【分析】(1)先求导，把切点的横坐标代入导数方程得切线的斜率，再求切点坐标，从而求

出切线方程，由方程求出切线与x，〉'轴的交点即可求出三角形的面积.

(2)令〃(幻=二，则只要函数/?“)=£在区间上内)的最小值小于丁即可.通过求导讨论

InxInx

函数万(x)的单调性，从而可求函数的最小值，最后求出〃的取值范围.

【详解】(1)当〃=0时./(A)=e*-lnx.

ff(x)=e--,所以曲线y=/(x)在(IJ⑴)处的切线的斜率％=e-l,又〃l)=e,

X

..•切线方程为y=(e-l)x+l.

与x，y轴的交点分别是(「,0),(04)，

1-e

切线与坐标轴围成的三角形的面积5=七二・

2(e-l)

(2)存在$e［e,+<o),使/(见)<0即e"-"-lnXo<0,B3<Inx0.

即存在A)«e,+oo),使e">f一成立.

in/

令加幻二£］，因此，只要函数力(%)=二在区间卜,转)的最小值小于e"即可•

InxInx

下面求函数h(x)=二在区间［e,+CQ)的最小值.

Inx

ev(lnx--)

Mx)=「x，

ln-x

令u(x)=ln工一■!",g|u(x)=—+—>0,

XXX

所以〃")为卜,田)上的增函数，且〃(e)=1」>0.

e

〃，⑴—巴口,0在卜+⑹恒成立.

hrx

h(x)=£—在［e,-Hao)递调递增，

inx

c

函数h(x)=—在区间［e,-FOO)的最小值为//(e)=e,

\nx

/?(e)=ec<ett,得a>e.

【点睛】易错点点睛：第二问的关键点在于把不等式能成立问题转化为求函数的最小值闰题,

在这类问题中，最容易错的地方是分不清恒成立和能成立的区别，若。>/(“在给定区间内

恒成立，则。要大于/(x)的最大值；若。>/(力在给定区间内能成立，则。只需要大于/(力

的最小值.

练习7.(2023春・宁夏银川・高二银川一中校考期中)已知/(x)=2xlnx,g(x)=r2+a-3

⑴求函数/("的最小值；

⑵若存在x«0，"),使f(x)4g("成立，求实数。的取值范围;

(3)证明：对一切x«0,母)，都有/(6>2(f一|)成立.

2

【答案】(1)最小值为-士

e

(2)«>4

⑶证明见解析

【分析】(I)利用导数来求得/(x)的最小值.

(2)由/(x)Wg(x)分离常数。，利用构造函数法，结合导数求得〃的取值范围.

(3)求得〃心)=2仔的最大值，从而证得不等式小)>2仔-成立.

【详解】(1)/'(%)的定义域是(。,+8),r(x)=2(lnx+ii,

所以/(x)在区间(。*)，/''(司<0，/(刈递减；

在区间已，+8)，/'(人)>。，/(人)递增.

I(112

所以当工=2■时，/(力取得最小值f-=2—ln-=—.

eeee

(2)存在xe(O,E),使/(x)Kg(x)成立，

即2xlnx<-x2+ar-3能成立，

即a22lnx+x+3能成立，

x

设/?(x)=21nx+x+2(x>。)，

X

''Xx2X*

所以〃(x)在区间(o,1),〃(x)<0,〃(x)递减；

在区间(L+»),”(x)>0,力㈤递增,

所以当工=1时，〃(无)取得最小值〃(i)=4,

所以。之4.

(3)设〃?("=2(?-：(x>0),；77,(A)=2--!-^

所以在区间(0,1)，H(x)>0,〃?(x)递增；

在区间(1,”卜加(x)v0,〃池x)递减，

所以当x=l时，加(力取得最大值机(1)=——.

e

由(1)得，当X=g时，/(X)取得最小值-j

所以对一切文£(0,也)，都有/(力>2(.-：)成立.

练习8.(2023秋・吉林长春・高三长春市第五中学校考期末)已知函数/(x)=e2-g(x)=x-l,

对任意^wR,存在七金。”)，使/(%)=95)，则&-玉的最小值为().

A.1B.④

31

C.2+In2D.—+—In2

22

【答案】D

【分析】令/(xjuga)3，〉。，将内，占都用”表示，从而可将赴-内构造出关于〃［的函

数，再利用导数求出函数的最小值即可.

【详解】解：由题意，令f(N)=g(%)=〃7>0,则e2、=〃?，x2-\=m,

所以M=gln〃?，x2=m+\,x2-x,=/?2+1Inm,

令h(m)=〃i+1-;hi/〃(/〃>0),所以〃'(〃?)=1-y—,

令人'(〃。=0,得〃?=；,

所以当机€(0,g)时，蛇"7)V0,/?(〃?)单调递减；

当mG(T'4^时，/叫〃2)>0,力(〃7)单调递增,

1?1

所以当加=5时，有最小值耳+5m2,

31

即当-王的最小值为耳+耳皿？.

故选：D.

练习9.(2022春•重庆沙坪坝•高二重庆一中校考期末)若不等式(x-M(e、-l)+x+I>0对

Vx«0,y)恒成立，则整数，〃的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】参变分离后，通过二次求导，结合隐零点得到最小值，即可求解.

【详解】因为x«0,T8),所以e'-l>0,

所以问题转化为机<且比对任意xe(0,y)恒成立.

er-l

涧,+1，•/ev(er-x-2)

令/“)=三?，则/("=…\2,

e-1卜1)

令g(x)=e'-x—2,则g'(x)=e*-1>0对xe(0,内)恒成立，

所以8(幻=已；1-2在(0,+00上单调递增.

因为g⑴=eJ3<0,g(2)=e2-4>0,

故讥€(1⑵，使得g(*=e%—%—2=0

因此当0vx</时，R(x)v0J'(x)v0,即/㈤在(0，NJ上单调递减,

当x>.%时，g(x)>0J'(x)>0,即/(X)在(>,+8)上单调递增.

故/(X)而n=/(,")二釐二==X。+1C(2,3),

所以整数2的最大值为2.

故选：B.

【点睛】方法点睛；

不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立即可)或恒成立(。工/(吐血即可);

②数形结合(y=/(x)图象在y=g(x)上方即可)；

③分类讨论参数.

Inv

练习10.(2023•江西•校联考模拟预测)已知函数/(力=二-％+1.

⑴求了(”的单调区间;

⑵若对于任意的xe(0,位)，/(x)+L+x〈ae'恒成立，求实数”的最小值.

X

【答案】⑴〃力在(0,1)单调递增，在(1,内)单调递减

(2)1

【分析】(1)利用导数分析函数的单调性即可；

(2)不等式恒成立求参数取值范围问题，分离参数，转化为利用导数求函数的最大最小值

问题即可求解.

【详解】⑴由/(x)=*x+l定义域为工£(0,同

W-X-1ILV11.2

又"r-—

令a(x)=l-hu-V,显然网力在(0,+8)单调递减，且力(1)=0；

,当xu(O,l)时，/?(x)>0—>/Z(A)>0；

当xe(l,+co)时，/z(x)<0=>/f(x)<0.

则/(“在(。，1)单调递增，在(1,*。)单调递减

(2)法一：・••任意的xw((),*o),+g+恒成立，

**--x2+x+lnx<arev-x2-1恒成立>即aN"+ln：+l恒成立

xc

人/、x+lnx+1，/、-(x+1)(x4-Inv)

令g(x)=­忑一,则g(x)=

令h(x)=x+Inx,则〃(x)在｛0,+a>)上单调递增,

=1-l<0,/?(l)=l>0.

'使得力（天）一天+叫）

，存在天仁1=0

当x«0,%)时，h(x)<0,g/(x)>0,g(x)单调递增；

当x«q,*o)时,/?(x)>0,/(x)<0,g(x)单调递减,

由/+hi%=0,可得Xo=-ln/,

・••g3mrg(厮

i、x+lnx+1

又-----；—

xe

故〃的最小值是1.

法二：

・・•—JI恒成立，即心皆泞恒成立

x+ln,v+1X+IILV+1x+lnv+1

令g(x)

lav•"ee^ln.v+x

不妨令f=x+huG＞°），显然，=x+lnx在（0,+s）单调递增=fwR.

ci之——在/€R恒成立.

令"。）=~r=〃（"=~7

ee

.,.当,0）时，//（r）＞0;

当，«0,内）时，"（/）＜0即始）在（-8,。）单调递增

右）在（o,y）单调递减

，〃（）「〃（（））=等=1

・・・。21,故。的最小值是1.

题型三分类讨论法

例5.（2023春•江西景德镇•高三景德镇一中校考期中）已知函数/。）=加》，g（x）=/cx-\.

（1）若g（x）之/（x）恒成立，求实数k的取值范围.

(2)证明：当xw(O,l)时，-卜+2.

【答案】(1)[1,+00)

⑵证明见详解

【分析】(1)构建f(力=双幻-/(幻，分类讨论，利用单调判断原函数单调性，结合恒成

立问题分析运算；

(2)由(1)分析可得：x+1<ev,进而可得产+2<W-J.,构建

IvJx

//(x)=lnx-^2-lj,xe(O,l),利用导数证明lnx>V-%.(o/)，进而可得结果.

【详解】(1)构建解X)=g(x)-f(x)=6-1-lnx,

原题意等价于厂(力20恒成立，

可得尸(力的定义域为(0,+8)，且尸'(""」=竺」，

•VX

当AWO时，且x>0,则去一1<0,可得尸'(x)<0恒成立，

则尸(另在(0,也)上单调递减，且不合题意;

当2>0时，且x>0,则有：

令/’(力<0,解得0<x<；；令9(力>0,解得x>)；

KK

可得尸("在(0，；]上单调递减，在],+/上单调递增：

则尸(上咽=1心0,解得0；

综上所述：实数&的取值范围口,收).

(2)由(1)取k=1可得：lnx<x—1,当且仅当x=l时，等号成立，

则Ke'-l，即x+lWe',当且仅当x=0时，等号成立，

当xe(OJ)时，则可得x-L<0,即1」-2<0,且0<x+l<e"

XXX

所以+2v(x_,_])(x+l)+2vd,

即xe(0,1)时，｛x———\eA4-2<x2——；

\x)x

构建〃(x)=Inx—x2--|=lnx-x2+—,xe(0,1),

mil"/\1c1-2r'+x—1

则〃'(x)=——2x7=----;——，

XXX，

因为xw（0,1）,则一2/＜0/—1＜0,可得/«x）＜0恒成立，

则力（力在（0,1）上单调递减,可得何x）＞W）=0,

即Inx〉/__L,X£（0,]）；

X

所以当xw（0,l）时，lnx＞卜一^一】卜+2.

6.（广东省部分地市2023届高三下学期模拟（三〉数学试题）已知函数/（切=匕。，aw

e"

⑴讨论“力的单调性；

⑵若关于X的不等式“6-1之〃吠（2工+1）恒成立，求实数〃?的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

（2）（-oo,0].

【分析】（I）求出导函数，分类讨论〃的取值，判断导函数的符号，即得；

（2）先采用内点效应得出〃=一〃?，再用恒成立问题的处埋方法即可.

【详解】（1）依题意r（x）=—竺二^.

若4=0,则/"(x)=2x,故当xw(-oo,0)时，/(x)<0,当xt(0,+8)时，>0.

若。工0,令)，-2x+4,A=4—4/,令△<(),解得或

①若aW—1,则/'(x)NO.

②若〃之1,则r（x）«0.

③若且令/'（"=。，得苦=2々：;4嗫+.

若一1＜〃＜0,则不＞/，当9）时，/4x）＞0,

当xw（孙N）时，/'（x）＜0，当不£（内，+8）时，/^x）＞0：

若Ova＜l,则不|＜“2，当5）时、/'（x）＜0,

当KW（M，8）时，＞0,当xw（x2,+cc）时，/,（x）＜0.

综上所述：若〃＜-1,则f（x）在R上单调递增；

’?+J4-4a2\（2-\?4-'

若-1＜。＜0.则“X）在-8，一-----和一^——，+8上单调递增,

2a2a

'2+J4—4/2-"-4/)

在一三-----——上单调递减;

2a2a

若a=0,则/（x）在（-oo,0）上单调递减,在（0+8）上单调递增;

则/（X）在-孙经壮2+74347-8

若0vav1,和上单调递减,

’2-“-4/2+)

在T——，T——上单调递增;

2a2a

\/

若aNL则/(%)在R上单调递减;

11，

(2)/(x)-l>7?LV(2X+110———2rrix2-nvc-\>0.

c

设〃(x)=।：：-(Imx1+“nr+1),则，'(x)=————+"-4"tt-tn.

ee

因为〃a”。恒成立,注意到人(。)=0,

故x=0是y=力(工)的极小值点，

故"（0）=0,所以。=一/兄

即对任意XGR,(l+x2)e/,ir>2〃浸+,nr+l恒成立.

①若加>0,则当X--8时，(1+/2卜*-0,不符合条件，舍去.

②若>n<0,则〃及+1>2nix2+mx+1.

下证：(l+x2)ew>wt¥+l,令“(x)=(l+〃aW-l-f,

则/(x)=，讹-必一〃?(1+e-必一2x=—x(2+"%…)，

故当X«YO,0)时，〃'(x)>0,“(x)单调递增;

当X£(0,+8)时，/(X)<O,"(X)单调递减.

所以〃(x)«0)=0,即1+fN(1+"氏)e_,nv,

故（1+X，e心>/?!¥+1>2fWC2+HIX+1.

综上所述，实数用的取值范围为（F，0].

举一反三

练习11.（2023・全国♦高三专题练习）已知函数〃力=。（冗+1困超（力=上当4>0时,若对

于区间[1金上的任意两个不相等的实数.占，都有|/&）-/（七）|<卜（%）—（修）|成立，则

实数。的取值范围__________.

【答案】（0』

【分析】求出〃。的单调性,将绝对值去掉后得f（再）-g（.）<〃再）-g（xj,构造新函

数尸（X），这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数a的取值范围

【详解】不妨设14王<电42.

因为〃>0,所以尸(戈)=“+£|>0,所以/(x)在［⑶上单调递增，即

又因为g(x)=f在［⑼上也单调递增,所以g(M)vg(xJ.

所以不等式|/(苍)-/㈤|<|g(xj-g(再)|即为〃W)-”xJ<g(W)-g(N)，

即/仁)-g(w)<f(%)-ga),

设尸(x)=/(x)-g(x)，即F(x)=O¥+tzlnx-x2,

则尸(七)<FR),因此F(x)在［1,2］上单调递减.

于是产'⑺=。+，2xW0在［1,2］上恒成立，即aV缶在［L2］上恒成立.

2T2，/、2x2+4.r_

令〃(%)=——,则〃(x)=TF>0,

v7x+1(x+1)

即〃(x)在［1.2］上单调递增，因此〃(“在［1.2］上的最小值为〃⑴=1,所以々41,

故实数〃的取值范围是0<aW1.

故答案为：(0,1］

练习12.(2023春•江苏南京•高二南京师大附中校考期中)若关于不的不等式

xcv-«(x+2)-6flnx>0恒成立，则实数〃的取值范围是.

【答案】(Oc).

【分析】令/=AC*，不等式转化为f-aln/+2</20在/《(。，灯心)恒成立，令一/—aln，+2a,

求得/(/)=手，当〃工0时，得到/(，)单调递增，结合if0时，,不符合题

意；当。>0时，求得函数单调性和最小值/(〃)="—alna,得到3a—ahwNO,即可求解.

【详解】令/=xe",由x>0时,可得7>0，则ln£=lnAe*=x+lnx,

则不等式把'一。(1+2)—alnxNO,即为r-mn/+2a20在，e(0，a)恒成立，

令/(/)=r_aln/+2a,可得/(/)=1_。=字，

当a40时，可得r(/)>。，可得单调递增，

因为1-0时，/")-YO,不符合题意，舍去；

当a>0时，令/。)=0,可得，=〃，

当/G(0M)时，r(z)<0,/(/)单调递减；

当，£(4y)时，rs>o,/⑺单调递增，

所以当时，函数/(，)取得极小值，即为最小值/(a)=a-alna+2^=3a-aln”,

因为不等式把'-a(x+2)-alnxN0恒成立，即为了⑺之0恒成立，

贝|J满足3。一alnaNO,即3-lnaNO,解得

所以实数。的取值范围是(0，叫.

故答案为：(0，¥).

练习13.(2023•宁夏银川校联考二模)已知函数/(刈-半.

e

⑴讨论/(“在［(),可上的单调性；

⑵若对于任意若函数/(“工代恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】⑴在0,^单调宛增，在：，兀单调递减.

4J\_4

(2)Ar>l

【分析】(1)运用导数研究函数的单调性即可.

(2)令g(x)=/(x)-履，分别讨论ZWO时身(力20,0<攵<1时存在一个与｛°，胃使得

屋毛)>0,攵之1时，g(x)〈O恒成立即可.

【详解】(1)

/'(力=

/^-v)>0,则o<Y；/z(x)<0,则。VXV兀,

所以“X)在()弓单调递增，在:，冗单调递减.

(2)令g(x)=包f-履,有g(0)=0

e

当欠40时,x>O,ex>0,sinx>0,^(x)>0,不满足;

cosx-sinx,

当我>0时..(力=---:----k

令Mx)=g()=8S三sinj&.

所以/f(x)=芝学〈。在［。尚恒成立,

则g'(x)在呜单调递减,

f7T)-1.八

/(())=—,且3=万一&＜。，

c2

①当—40,即&21时，g'(x)«g'(0)«0,

所以g(x)在%|单调递减,

所以g(x)«g(O)=O,满足题意；

②当1一〃>0,即Ovkvl时.

-l/兀1-1

因为g'(x)在吟1r单调递减，g'(o)=i>o,k=--

所以存在唯一与《。仁)，使得，(不)=0,

所以g(x)在(。小))单调递增，

所以g(W>g⑼=0,不满足,舍去.

综上：k>\.

【点睛】恒成立问题解题策略

方法1：分离参数法求最值

(I)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

⑵a”(x)恒成立Q。>/(XL、；

。</(x)恒成v.<=>a</(x)mjn；

方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助

函数单调性求解.

练习14.(2023•江西・江西省丰城中学校联考模拟预测)已知In卜+£)-220在

(-2,21上恒成立，则实数〃的取值范围________.

【答案】［…)

【分析】令/(x)=〃eaY-ln(x+[)-

2,再分〃<0和。>0两种情况讨论，当〃>0时，不等式

即为,汨"+1(1(比“')21113+2)+0^+2在12,+8上恒成立，令/?(x)=x+lnx,即

〃(比"'”〃(奴+2),易得函数万(x)=x+lnx在(0,+e)上递增，则ae'"Nor+2在一勺,收)上

79

恒成立,即e“「x-4o,构造函数g(x)=*-x-?利用导数求出函数的最小值即可.

【详解】令/(x)=ae"—ln(x+2]—2,

\a)

9

当〃<0时，枇"<0，当X>-一+1时,

a

2A

此时/(x)=ae”-lnx+-2<0,显然题设不成立,

当a〉0时，/(A)=ae<u-Infx+-|-2>0-Ko|上恒成立,

kci)(〃)

BP«ertV-In(ttr+2)-In4/-2>0,

即aeiU+ln(ae"')Nln(av+2)+av+2在(-2,+co)上恒成忆

令Mx)=x+lnx,即/7(^e*u)>//(av+2),

因为=1+"!■>0（x>0）,所以函数〃（x）=x+lnx在（0,+a?）上递增,

•V

所以a*Aat+2在卜1|，一8）上恒成立，

令g（x）=e”-%-£,则g[x）=a铲一1,

当xv-巫时，g'（x）<0,当X>-也0寸，g'（x）>0，

aa

所以函数g"）在（―，-｝）上单调递减，在（-罟，+8）上单调递增,

当-甘4-1,即心1时，函数g（x）在（一，收）上单调递增,

而g（_：）=e-2>0,

2）上恒成立,

所以时，ae'"Nar+2在一一,+幻

Ia

当-皿<二，即0<”©2时，

aa

函数g（X）在（V，-等）上单调递减，在卜等,+8）上单调递增,

（Ini'lna-1、八“n/c,

所以g（x）min=g[---j=---N。，解得e<ave~,

综上所述，实数”的取值范围为卜,丘）.

故答案为：[e,+co）.

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法:

一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过

对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；

二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；

三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

练习15.(2023•广东广州统考模拟预测)已知函数/(幻=311工-2工(。工0),若不等式

22e27Xx)+e2*cos(/q))对x>0恒成立，则实数〃的取值范围为.

【答案】(0,2e]

【分析】将不等式等价转化，构造函数ga)=S-2r-cos/,并探讨其性质，再利用导数分

类讨论，=/(x)的值域即可求解作答.

【详解】

1-2f(x)>cos"")]oe"2_2/Q)-cos"*)]N0oe/(x)-2/(x)-cos[/(x)]>0,

令/=/(x),则g(r)=e'-2f-cosf,g\t)=e'-2+sinz,设/z(/)=e'-2+sinf,则

/?r(r)=ef+cosr,

当F40时,eYLsindl,且等号不同时成立，则g'⑺<0恒成立，

当1>0时，ef>l,cosr>-l,则/«，)>0恒成立，则g'⑺在(0,xo)上单调递增，

又因为g'(0)=-l，g'(l)=e-2+sinl>0,因此存在%e(01)，使得g'&)=0,

当时，g'(f)<0.当/乂)时,g'")>。，

所以函数gQ)在(7Vo)上单调递减，在(％,+8)上单调递增，

又g(0)=0,作出函数g⑺的图像如下:

函数/(x)=alnx-2x(。"))定义域为(。,内)，求导得八x)=@—2=匕二

XX

①当火。时，外幻<。，函数/*)的单调递减区间为(。,一)，

当Ovxvl时，y=41nx的取值集合为(0,+8),而y=-2工取值集合为(-2,0),

因此函数/(外在(0,1)I二的值域包含

当“21时，y=alnx的取值集合为(一8,01,而y=-lx取值集合为(-oo,-2),

因此函数/(1)在口,以)上无最小值，从而函数/(<)的值域为R,BPz=/U)eR,g&)<0,

不合题意，

②当。>0时，由八用<。得工吗，由八幻<。得0c4，函数人幻在%)上单调递增，

在弓，+°°)上单调递减，

/⑶皿=/(垓)=〃呜-a,当0<x«l时，y=alnx的取值集合为(-oo,0],

而)，=-2x取值集合为(-2()],因此函数/*)在((),1]上的值域包含(-=o,0],

此时函数/*)的值域为(t,a呜一,即f=f(x)e(fa呜-a],

当。呜—时，即当0vaW2e时，冢/)之()恒成立，符合题意，

当aln]—a>0时，即当。>2e时，/)=miir«ln^-67,/0>,结合图象可知，g&)<。，不合

题意，

所以实数。的取值范围为。2e].

故答案为：(0,2e]

题型四指对数同构

例7.(2023・全国•高三专题练习)已知不等式--小<3+1门在区间(。工2]上有解，则实数

a的取值范围是()

A.(O,-HX>)B.(l-e，,+8)

C.(l-e2,+oo)D.(1,-KOI

【答案】B

【分析】将不等式等价转化，构造函数/。)=比',利用导数判断单调性，把问题转化为

-出在(od]上有解，构造函数g*)=i-叱，利用导数法