曲线运动 运动的合成与分解-高中物理一轮复习

曲线运动万有引力与宇宙航行

第1讲曲线运动运动的合成与分解

学习目标1.理解物体做曲线运动的条件及运动性质。2.理解合运动与分运动的

概念，会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。

■夯实必备知识

1.曲线运动

2.运动的合成与分解

厂运动的合成一已知分运动求合运动

基本

概念

H运动的分解J-已知合运动求分运动

运分解

动-“以根据运动的实际效果分解,也可以采川王交分向举

原则

的

合

位移、速度、加速度都是矢量，它们的合成与分解都

成

遵循平行四边形定则

与

分

解—［等时性—合运动和分运动经历的典_相等，即同

时开始、同时进行、同时停止

疝有F)_一个物体同时参与几个分运动,各分运动

------厂独立进行.不受其他运动的影响

各分运动的规律强加起来与合运动的规

丁奇双件厂律有完全相同的效果

1.思考判断

(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(X)

（2）做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。（X）

（3）做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。（J）

（4）合运动的速度一定比分运动的速度大。（X）

（5）只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。（X）

（6）曲线运动一定不是匀变速运动。（X）

（7）运动的合成与分解的实质是对描述运动的物理量（位移、速度、加速度）的合成

与分解。（V）

2.（2023•全国乙卷，15）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加，

如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正

确的是（）

AB

CD

答案D

•研透核心考点

考点一曲线运动的条件与轨迹分析

1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系

（1）速度方向与运动轨迹相切。

⑵合力方向指向曲线的“凹”侧。

（3）运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。

2.速率变化的判断

pH锐仰）~T物体的速率增大］

合力方向与速

T钝角）~~物体的速率减小］

度方向的夹角I

-（^万）~~（物体的速率不变］

例1（人教版必修第二册改编）在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在

水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁

铁，第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图1所示，虚线表示小钢球的

运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是（）

图1

A.第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动

B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线

C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向

D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同

一直线上

答案D

解析第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运

动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线

运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁

铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项

B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向

不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向,

选项C错误，D正确。

方法总结合外力与轨迹、速度间的关系分析思路

轨迹在分外力已知物体的运动轨迹,

厂方向与速度方一।可以判断合外力的大

轨迹向夹余间致方向

判断”已知合外力方向和速

曲L合外力一定指」度方向可判断出轨迹

线向曲线的凹侧的大致情况

运

动沿轨迹的产生一切向

合外力「切线方向"加速度改变速度大小

的效果,垂直于轨迹产生法向

的切线方向"加速度改变速度方向

跟踪训练

1.（2024•福建三明高三联考）如图2是一种创新设计的“空气伞”，它的原理是从

伞柄下方吸入空气将空气加速，并从顶部喷出，形成辐射状气流，从而改变周围

雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若“空

气伞”喷出的气流水平，则雨滴从气流上方某处下落并穿过气流区的运动轨迹，

可能是下列哪一幅图（）

7

空气出不二冬空气出

空气入空气入

答案c

解析气流对雨滴有作用力，当雨滴接近空气伞时，受到水平方向的作用力，将

产生水平方向的加速度，此时雨滴所受的合力与运动的方向不在一条直线上，所

以其运动轨迹将逐渐发生弯曲，速度的方向不能发生突变，故A、B错误；雨滴

原来的运动方向沿竖直方向向下，当受到水平方向的作用力后，水平方向做加速

直线运动，竖直方向做加速直线运动，从受力点开始，合外力和速度方向成锐角，

雨滴所做的运动的轨迹一定是向合外力方向发生弯曲；穿过气流区后，由于雨滴

的速度方向斜向下，与重力不在同一直线上，雨滴仍做曲线运动，故C正确，D

错误。

考点二运动的合成与分解

1•合运动的性质判断

'变化：非匀变速运动

加速度（或合外力）

不变：匀变速运动

加速度（或合外力）［共线：直线运动

方向与速度方向1不共线：曲线运动

加速度（或合外力）为0：匀速直线运动

2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断

依据：看合初速度方向与合加速度（或合外力）方向是否共线。

两个互成角度的分运动合运动的性质

两个匀速直线运动匀速直线运动

一个匀速直线运动、一个匀变速匀变速曲线运动

直线运动

两个初速度为零的匀加速直线

匀加速直线运动

运动

如果唳与。介共线，为匀变速

两个初速度不为零的匀变速直直线运动

线运动如果/合与。合不共线，为匀变

速曲线运动

例2（2023・江苏卷，10）达・芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿

水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中

能反映空中沙子排列的几何图形是（）

答案D

解析

第1粒沙列水平

经过fI竖直D

正

第2粒沙子确

42="丫+‘

刚移放位置A

=>B、

C、

罐子初速度为飞.错

加速度为明开始误

时第1粒沙子下落,

经过，，第2粒沙子

下落

I跟踪训练

2.（2024•重庆模拟预测）如图3所示，某跳伞运动员从一定高度跳伞，在降落过程

中受到水平恒向风力影响，最后降落到同一水平而上，下列说法正确的是（）

图3

A.该运动员一定做曲线运动

B.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越短

C.其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越长

D.其他条件不变，风力越大，该运动员着地时的速率越大

答案D

解析若运动员跳伞时的速度方向与运动员所受的合力方向相同，则运动员做直

线运动，A错误；竖直方向，根据〃=上巴可得/2/z,可知该运动员在空中

运动时间与风力无关，B、C错误；水平方向风力越大，水平方向的加速度越大，

落地时的水平速度就越大，可知其他条件不变，该运动员着地时的速率越大，D

正确。

考点三小船渡河模型

1.船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。

2.三种速度：船在静水中的速度/附、水流的速度/水、船的实际速度入

3.两类问题、三种情景

渡河xzzzz//zz//zz/zzzz^zz^z/当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，

a£I

时间最短时间Zmin=d

最短

1如果，朋〉，灯当船头方向与上游河岸夹

渡河丸

尸

1

位移

角。满足/船COS0=/水时，合速度垂直于河

最短

岸，渡河位移最短，等于河宽d

如果，船V，水，当船头方向（即，船方向）与

合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于

例3（2024•河南名校联盟期末）在某次抗洪救援演练中，一条可视为质点的救灾冲

锋舟要渡过一条两岸平行的河流。已知冲锋舟在静水中的速度大小为/=5m/s,

河水的流速大小为@=4m/s,冲锋舟渡河的最短时间为z=40s。若冲锋舟在静水

中的速度大小为区,河水的流速大小为力,河宽不变，则冲锋舟渡河的最短距离

为（）

图4

A.225mB.238m

C.242mD.250m

答案D

解析当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，由题意可知，冲锋舟渡河的最

短时间为，=40s,由运动学公式有河宽d=%=200m。若冲锋舟在静水中的速

度大小为心,河水的流速大小为口,则冲锋舟在静水中的速度小于水速，设合速

度方向与河岸夹角为仇由几何关系可知，当船头方向垂直于合速度时，此时小船

d

渡河位移最短，sin0=,则渡河的最短距离s=.==250m,D正确。

口sin6%

方法总结小船渡河问题的分析思路

I跟踪训练

3.（2023•福建福州模拟）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身

影。如图5所示，水速为％消防武警驾驶冲锋舟行驶，若冲锋舟沿与平直河岸

成30。角的线路把被困群众从力处送到对岸安全地4处，采取以最小速度和最短

时间两种方案行驶，则两种方案中冲锋舟的最小速度力和以最短时间行驶冲锋舟

的速度片之比为（)

平直河岸「RB

30。1」

A

图5

A.1:2B.1:3

C.2:3D.3：2

答案D

解析冲锋舟以最小速度片和最短时间分别从4到8,冲锋舟最小速度口垂直

于48连线，有ki=PSin30°,最短时间行驶时冲锋舟速度岭垂直于平直河岸，有

30°,可知=cos300=,故选项D正确。

於2

考点四绳（杆）端速度分解模型

1.模型特点

与绳（杆）相连的物体运动方向与绳（杆）不在一条直线上，沿绳（杆）方向的速度分量

大小相等。

2.常见模型

模型n绳端速度分解模型

例4（多选）如图6所示，物体，套在光滑的细杆上，P和0通过轻质细绳连接并

跨过定滑轮，一水平力尸拉着水平面上的物体。向左运动。在某一小段时间内，

。沿细杆匀速向上运动通过48段的过程中，下列说法正确的是（）

A.0做加速直线运动B.Q做减速直线运动

C.细绳对P的拉力在增大D.杆对P的弹力在减小

答案BC

解析设绳与竖直方向夹角为仇则"cos®=也，当。匀速运动，。增大时，。做

减速运动，故A错误，B正确；对尸有"Zg=7cos。，。角增大时绳子拉力r在增

大，杆对。的弹力八=Tsin6在增大，故C正确，D错误。

I跟踪训练

4.（2024•福建宁德高三期末）如图7,一条不可伸长的轻绳跨过一个光滑轻小滑轮,

将力、8两物体连在一起，8在外力作用下以速度片）向右匀速运动。当轻绳与水

平方向成。角时（0<*90。），下列说法正确的是（）

图7

A.J物体的速度为I4）cos仇轻绳拉力大于A物体重力

B.J物体的速度为kt）cos6,轻绳拉力小于A物体重力

C.A物体的速度为/sina轻绳拉力大于A物体重力

D.J物体的速度为K>sin仇轻绳拉力小于A物体直力

答案A

解析将3的速度沿绳和垂直于绳进行分解，可知力的速度为匕=/cos仇当B

向右匀速运动时，夹角夕不断增大，A的速度不断减小，因此/做减速运动，加速

度向上，即轻绳的拉力大于/物体的重力，A正确，B、C、D错误。

模型国杆端速度分解模型

例5（2023・湖北武汉高三期末）活塞带动飞轮转动可简化为如图8所示的模型：图

中力、B、。三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆49运动，进

而带动04杆以O点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为人连杆与

水平方向夹角为44杆与03杆的夹角为此时3点做圆周运动的线速度大小

为（）

图8

k$inaKosa

A.B.

sinpsinp

Kosapsina

C.D.

cos4cosP

答案B

解析设8点做圆周运动的线速度大小为“，此速度为夕点的实际速度，根据运

动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如图，

沿杆方向的分速度为n="cos[2）="sin夕，A点实际速度为水平方向的匕根

据运动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如

图，沿杆方向的分速度为S=«os〃，又二者沿杆方向的分速度相等，即为in£

Kosa丁丘

=ktosa,则MI”=，故B正确。

sinB

l跟踪训练

5.（2024・辽宁大连高三质检）如图9所示，质量相同的小球力、8通过质量不计的细

杆相连接，紧靠竖直墙壁放置。由于轻微扰动，小球4、8分别沿水平地面和竖

直墙面滑动，滑动过程中小球和杆始终在同一竖直平面内，当细杆与水平方向成

37。角M,小球6的速度大小为人重力加速度为g,忽略一切摩擦和阻力，sin37°

=0.6,cos37°=0.8o则下列说法正确的是（）

图9

A.小球/速度为1/B.小球/速度为:，

c.小球/速度为:,D.小球力速度为4,

45

答案C

解析小球8的速度大小为，，设小球力的速度大小为“，则由连接体的速度关

联关系有Kin37。="cos37。，解得故C正确，A、B、D错误。

4

方法总结

三步法求解绳（杆或接触面）连接体的速度问题

-提升素养能力（限时：40分钟）

A级基础对点练

对点练1曲线运动的条件与轨迹分析

1.（2024・四川眉山模拟）关于做曲线运动的物体，下列说法正确的是（）

A.所受合外力可以为零

B.所受合外力一定为恒力

C.所受合外力一定为变力

D.所受合外力的方向与物体的速度方向一定不在一条直线上

答案D

解析微曲线运动的物体，速度方向时刻在发生变化，所以一定是变速运动，合

外力一定不为零，合外力可以是恒力，例如平抛运动，合外力也可以是变力，例

如匀速圆周运动，故A、B、C错误；做曲线运动的条件是所受合外力的方向与

物体的速度方向不在一条直线上，故D正确。

2.（2023・辽宁卷，1）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图1中虚线所示,

篮球所受合力F的示意图可能正确的是（）

ABCD

答案A

解析篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹

应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；当篮球的速度斜向右上方的，A

选项符合条件，故A1E确。

对点练2运动的合成与分解

3.如图2所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路

径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过

筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是

()

A.乒乓球将保持原有的速度继续前进

B.乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒

C.乒乓球定能沿吹气方向进入纸筒

D.只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒

答案B

解析当乒乓球经过筒口时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运

动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，则一定

不会进入纸筒，要提前吹才会进入纸筒，故B正确。

4.（2024•安徽合肥高三期中）某同学用如图3所示的装置研究运动合成规律，长方

体物块上固定一长为上的竖直杆，物块及杆的总质量为质量为〃7的小环套在

杆上，当小环从杆顶端由静止滑下时（小环与杆的摩擦可忽略），物块在水平恒力产

的作用下，从静止开始沿光滑水平面向右运动。小环落到杆底端时，物块移动的

距离为2乙重力加速度大小为g,则小环从顶端下落到底端的过程中（）

图3

A.小环通过的路程为2AB.小环落到底部的时间为L

g

C.杆对小环的作用力为〃7gD.杆对小环的作用力为2mg

答案D

解析小环从顶端下落到底端的过程中，其水平位移为2A,竖直位移为，其实

际位移为工合=（2L）2+〃=5£,所以小环通过的路程大于23故A错误；

小环在竖直方向做自由落体运动，则有£=解得/=2匕故B错误；设

2g

小环在水平方向的加速度大小为公，则有2£=1"2,又/=2L、联立解得以

2g

=2g,根据牛顿第二定律可得，小环受到杆的作用力大小为广=7Mx=2〃7g,故C

错误，D正确。

对点练3小船渡河模型

5.（2024•安徽六安高三期中）如图4所示，一条小船从码头力过河，小船在静水中

的速度为％船头指向始终与河岸垂直（沿44方向）。当水流速度为修时，小船运

动到河对岸的码头8靠岸，与河岸的夹角为a=60。。当水流速度为以时，小

船运动到河对岸的码头。靠岸，力。与河岸的夹角为或=30。。下列说法正确的是

（）

图4

A.小船沿48、4C过河的时间相等

B.小船沿4C过河的时间更长

C.H:%=1:2

D.当水流速度为修时，要使小船到达码头4,船头应指向河的上游且与河岸夹角

为60。

答案A

解析因船头始终垂直于河岸，所以小船过河的时间为，=4即小船沿48、力。

过河的时间相等，选项A正确，B错误；由题意可知tan60。=",tan30。=",

解得%：0=1：3,选项C错误；当水流速度为灯时，要使小船到达码头4,

则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角满足cos6==,

/3

则6W60。，选项D错误。

6.（多选）2023年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援中，一冲

锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行

时，恰能到达正对岸下游600m处；若冲锋舟船头保持与河岸成30。角向上游航

行时，则恰能到达正对岸，己知河水的流速大小为5m/s,下列说法正确的是（）

A.冲锋舟在静水中的速度大小为10m/s

B.河的宽度为4003m

C.冲锋舟在静水中的速度大小为3mzs

D.河的宽度为6003m

答案BC

解析冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度〜与水的流速,水的合速度垂直

于河岸，则有/fjCOS30。=，水，解得，好=113rn/s,故A错误，C正确；当冲

锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处，由于冲锋舟在垂直河

岸方向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度

之比，即式中S指沿河岸方向的位移，为600m,d指河宽，可解得d=

$,水

4003m,故B正确，D错误。

对点练4绳（杆）端速度分解模型

7.（2024•河南安阳商三期末）如图5所示，水平固定的光滑细长杆L套有--物块Q,

跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的细线一端连接。，另一端悬挂一物块P。设细

线的左边部分与水平方向的夹角为仇初始时。很小，现将P、。由静止同时释放,

关于尸、。以后的运动，下列说法正确的是（）

A.在。向90。增大的过程中，夕一直处于超重状态

B.当。=90。时，尸的速度最大

C.当。=90。时，。的速度最大

D.当d=60。时，P、。的速度大小之比是3：2

答案C

解析。从开始运动到到达最低点的过程中，P先向下做加速运动，加速度向下,

处于失重状态，然后又减速向下运动，加速度向上，处于超重状态，故A错误；

当。=90。时，尸的速度最小，为零，位置最低，即。到达。点正下方时，。的速

度最大，故B错误，C正确；由题可知，尸、。用同一根绳连接，则。沿绳子方

向的速度与。的速度相等，则当0=60。时，侬。560。=",解得"：«=1：2,

故D错误。

8.（2024•河南省驻马店高级中学月考）如图6所示，一根长为/的轻杆04。端用

较链固定，另一端固定着一个小球儿轻杆靠在一个高为〃的物块上。不计摩擦,

则当物块以速度，向右运动至轻杆与水平面的夹角为。时，物块与轻杆的接触点

为以下列说法正确的是（）

A

B

0

图6

A.小球4的线速度大小为“

h

B.轻杆转动的角速度为㈤n"

h

C.小球4的线速度大小为

h

tz/cin-9

D.轻杆转动的角速度为“s

h

答案C

解析物块的速度，在垂直于杆方向的分速度等于3点的线速度，即/=Kin。,

根据沙=3,可知”="=［，联立以上两式解得匕="|小夕，故A错误，C正

“Bhh

s\nO

确；轻杆转动的角速度为①=匕=^m\",故B、D错误。

/h

B级综合提升练

9.今年夏天暴雨灾害频发。若雨滴（可视为球形、密度一定）在空中下落时受到的空

气阻力为/=4解四〃是常量，R为雨滴半径，，为雨滴速度。所有雨滴从同一足

够高高度由静止下落，无风时最终匀速落到地面上。重力加速度为g,落地过程

雨滴保持球形不变，下列说法正确的是（）

A.无风时，雨滴开始下落做匀加速直线运动

B.无风时，半径不同的雨滴落到地面时的速度可能相等

C.刮水平风时，雨滴落地的竖直速度不会改变

D.刮水平风时，雨滴落地速率与无风时相等

答案C

解析由〃需一AR2d=小。可知，无风时，雨滴开始下落做加速度减小的加速直线

运动，故A错误；落地前匀速下落，由AR2k2=〃区，其中〃7=；jlR3p,解得（/=

岬gR8R,可知无风时，半径不同的雨滴落到地面时的速度不相等，故B错

误；刮水平风时，雨滴落地的竖直速度不受水平风力的影响，则落地的竖直速度

不会改变，故C正确；刮水平风时，雨滴落地的水平速度改变，竖直速度不变，

则落地的速率与无风时不相等，故D错误。

10.如图7所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M.N分别是甲、乙

两船的出发点，两船头与河岸均成。角，甲船船头恰好对准N点的正对岸。点，

经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相等，且两船相遇不影响各

自的航行，下列判断正确的是（）

P

图7

A.甲船也能到达正对岸

B.甲船渡河时间一定短

C.两船相遇在NP直线上的某点（非P点）

D.渡河过程中两船不会相遇

答案C

解析甲船航行的方向与河岸成a角，水流速度水平向右，合速度一定不会垂直

河岸，则甲船不能垂直到达对岸，故A错误；在垂直河岸方向上，Z«=^ina,

,乙=对11。，渡河时间为，甲="=d，/乙=