三角形重点题型复习（14大题型68道）原卷版-2024八年级数学上册（人教版）

三角形重点题型复习（14大题型68道）

划重点•冲高分区

三角形

题型1三角形的相关概念

■■■■■,■MM■■MHB■■MM■■■■,■SMB■MM■W・・W・■MM・■MM■MM■■■■>■■■■・■■■■■

u-

I）对于三角形的相关概念，切记死记硬背，要理解概念的本质属性，复杂的图形应重视图形的分解与组i

I

A口・I

2）在复杂图形中寻找三角形的方法是先以一个顶点为基础，然后改变另外两个顶点依次组成三角形，将!

I

含有这个顶点的所有三角形确定完全后，再以其他的顶点为基础，依次找到所有的三角形，要注意去掠

重复计数的三角形.有些数三角形的问题可以转化为数线段的问题.;

I

1.（2025•陕西延安•三模）如图，在。中，48c=90。，BD1.4c于点、D,DE〃AB交BC于点

£,则图中的直角三角形共有（）

A.3个R.4个C.5个D.6个

2.（23-24八年级下•湖南湘西•阶段练习）3BC,若48=几，8c=1+&，C/=g则下列式子成立

的是（）

A.Z/l>ZC>ZZ?B.NC>>NA

C.NB>N4>NCD.NC>Z4>NB

3.（24-25八年级上•湖北襄阳•阶段练习）以卜.是某数学兴趣小组群内进行测试的聊天记录，组长：任

意说出一个与三角形有关的结论.嘉嘉：三角形的中线、高、角平分线都是线段.琪琪：三角形的三条角

平分线交于一点.亮亮：任意三角形的外角和都是360。.明明：三角形的外角大于任何一个内角.其中回

答的结论错误的人是（）

A.嘉嘉B.琪琪C.亮亮i）.明明

4.（24-25八年级上•山东威海•期末）若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三

角形中锐角三角形的个数为个.

5.（24-25七年级上•山东青岛•阶段练习）△/8。中，/力是的2倍，且/C比N4+NB大12。，试

判断△48C的形状并说明理由.

题型2与三角形高、中线有关的画图问题

1）一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定:

【小结】三角形的高，一定记住垂足不一定落在三角形的边上，有能落在边的延长线上.

2）一个三角形有三条中线，它们都是线段，都在三角形的内部.

6.（22-23七年级下-黑龙江哈尔滨•期中）如图，这是9X11的小正方形组成的网格，每个小正方形的

边长均为1,已知△力3c的三个顶点均在格点.上，按要求画图：

⑴画出AABC的边上的中线AE.

⑵画出3BC的边BC上的高AD.

（3）若力C=10,求边4c上的高的长度.

7.（23-24七年级下•江苏扬州・期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将△力8c经过一次平

移后得到图中标出了点4的对应点*.根据下列条件，利用格点和三角尺画图：

⑴补全"®C；

（2）请在力。边上找一点〃使得线段8。平分△力4c的面积，在图上作出线段80；

⑶找△力（要求各顶点在格点上，尸不与点。重合），使其面积等于的面积.满足这样条件的点，

共一个.

9.(22-23八年级上•湖北武汉•阶段练习)如图，在8x6的长方形网格中，每个小正方形的边长为1,

小正方形的每一个顶点叫做格点，△力^。的顶点都在格点.匕

图1

⑴直接写出dABC的面积=；

(2)请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

①请在图1中画出△/1比?的高8W；

②请在图1中在线段8c上找一点〃，使N/MC=45。；

③在图2中回出所有满足条件ZUBC的面枳=ZX4CE的面积的格点£.

题型3三角形三边关系的应用

■■■■■■■MM■MHB・■MM-flHM・■MM・■MM・MM・■MM・-MM・■MM■MM・

v*

三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.即已知三角形的两边长为a,b,则第三i

边满足|a-b|VxV|a+b|,这种表述方式在解决已知两边求第三力的取值范围问题时有重要作用.

_________________________________________________________________________________________I

10.（2025•江苏无锡・二:模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰.如图中的灰色线条表示4条不同路径，

分别标记为只。、R、S.请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（)

C.Q,S,P,RD.R,P,S,Q

11.（24-25八年级上•安徽淮北•期中）已知a,b,c分别为三角形N8C的三边，且满足a+c=3b-2,

a-c=2/）-4,则力的取值范围是（）

44

A.-<b<4B.1<6<4C.\<h<3D.-<b<3

12.（24-25八年级上•河南周口•期中）如图，。是△48。的三条角平分线的交点，连接。1,OB,

OC,若△0/8,&OAC,△O8C的面积分别为凡，52,S3,则下列关系正确的是（)

A.S)+S2=S3B.S{+S2>S3

C.S[+s]<s?D.S,+S2=2S3

13.（24-25八年级上•全国•单元测试）已知ZU8C中，力8=15,4C=11,则中线力。的取值范围是

A.4<AD<26B.4<AD<\3

C.2</ID<26D.2<AD<\3

14.（2025七年级下•全国•专题练习）如图，48两点都在直线MV的上方，AB=5,点4到直线彻N

的距离力。=8,点6到直线MV的距离80=5,点夕在宜线MY上运动，则|尸力一的最大值等于

15.（24-25七年级下-福建福外・期末）设△力8c的三边〃力,。的长度均为自然数，且

a<b<c,a+b+c=\3t请你分析以。，仪。为三边长的三角形可能有哪些，并求出出仇。对应的值.

16.（24-25七年级下•广东揭阳•阶段练习）已知：。的三边长分别为a,b,c.

（1）化简：+/?+cj—+6—c|+|a-/?—c|—|—a-b+cj；

⑵若&b,。满足区一。|+（。一。）2=0,试判断△X8C的形状.

17.（24-25七年级上-上海-阶段练习）设三角形三边长为a、b、c,且三边长满足方程组

lab+c?-。=91

•Ibc-a1+Z）=24,试求a+b-c的值.

2ac-b2-c=61

题型4与等腰三角形边、角有关的分类讨论问题（易错）

i等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶角i

II

I还是底角，需要分类讨论.!

【易错点】边所求结果需满足三角形三边关系.

!________________________________________________________________________________________________I

18.（24-25八年级上•全国•期中）在等腰三角形力中，力8=4C,若中线将该三角形的周长分为

5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（）

445

A.-B.4C.1或4D.§或4

19.（21-22九年级上•江苏无锡・期中）已知a"是一个等腰三角形的两边长，且满足。2十人-6。一昉+25=0,

则这个等腰三角形的周长为（）

A.10B.11C.10或11D.12

20.（24-25八年级上-江苏扬州•期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫

做“倍长三角形”.若等腰ZUAC是“倍长三角形”，腰48的长为6,则△力4C的周长为.

21.（23-24八年级下•安徽宿州•阶段练习）在等腰△力8c中，AB=AC,一腰上的中线40将这个三角

形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的腰长.

22.（21-22七年级下-四川成都-期末）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰上高所在直线

的夹角为40°,则该等腰三角形顶角的度数为.

23.（21-22八年级上•湖北十堰•期中）在等腰△力ZC中，一腰上的肩与另一腰的夹角为20。，则底角的

度数为一度.

题型5利用三角形的中线求解

ii）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系.

II

!2）中线性质：①中点将边平分：②中线将面积平分；!

③三边中线交点为重心，切记重心的性质.

!_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________I

24.（24-25七年级下•辽宁大连•期末）如图，是△48C的中线，BC=a,AC=b,a>bf则△BCQ

的周长比△力CO的周长大（用含a,6的代数式表示）.

25.（24-25七年级下•江苏南通•期末）如图，在△4%'中，4。=6,点。，E分别是48,BC上的点,

21

且AD=BD,CE=2BE,连接ZE,CO交于点尸，当四边形6石尸。的面积为不时，边力C长度的最小值

26.（24-25七年级下-海南省直辖县级单位-期末）如图是一块面积为28cm?的三角形纸板，其中点。，区/

分别是线段的中点，则阴影部分的面积是

27.（24-25七年级下•山西运城•期末）若四边形48。。的面积是12,点MMP,Q分别为48,BC,

CD,的中点，八⑺与N。相交于点”则图中阴影部分的面积为.

28.（24-25七年级下•北京•开学考试）如图，在三角形中，BD:DC=1:2,E为4。的中点，若

三角形力8C的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

29.（23-24八年级上•湖南永州-期末）发现与探究：三角形的重心.三角形三条中线的交点叫三角形的

重心.重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的

重心.如图1,如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心。处将三角形提起来，纸板就会处于水

平状态.关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.

A

图4

⑴如图2,力。是MBC的中线，△48。与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：S.BD—

S.ACD（填＞、（或=）；

（2）如图3,若a/lBC三条中线力。、BE、CF交点、为G,则GZ）也是AGBC的中线，利用上述结论可得：

===

,^AGCDSdGBD,同理SQF,^^CCE•若设=X,S^GBF=y,SAC4E=Z,猜想X,必Z之间

的数量关系为：_____；

⑶如图3,。被三条中线分成六个小三角形，点。为△ABC的重心，则丝=_______;

AG

⑷如图4,点〃、£在4/出。的边/C、月8上，BD、CE交于G,G是△/女?的重心，40=6,CE=3,

BDLCE,求四边形AEG。的面积.

题型6利用等面积法求高或底

|GO艮

i等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那么这两个表示的面积是相i

II

I等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情况卜.:一种是利用面积公式表示三角形面积，另一种是利用I

!割补法表示三角形的面积.

!__________________________________________________________________________________________I

30.（24-25七年级下•四川达州•期末）如图，在△力8。中，，4E_L8C于点七，4B=9,BC=8,AE=7,p

为48边上一动点，连接CP,则CP的最小值为

31.（24-25七年级下•上海•阶段练习）如图，在等腰△48。中，AB=AC,其一腰上的高为力，材是底

边8C上的任意一点，3到腰18,力。的距离分别为4,为2,则8。=

32.（2023七年级下•江苏•专题练习）（1）如图1,在Rta/SC中，NACB=9/,BC=3,AC=4,

AB=5,CD1AB于点求C'。的长：

（2）如图2,在△/8C中，AB=4,BC=2,求△NBC的高CO与力后的比；

（3）如图3,在△ABC中，ZC=90°,点D,P分别在边44,4c上，且32二力2，DEIBP,

图1图2图3

33.（24-25八年级上•江苏无锡•阶段练习）【问题情境】章老师给爱好学习的小毅提出这样一个问题:

如图1,在灰？中，AB=AC,夕为边AC上的任一点，过点夕作PEA,AC,垂足分别为〃

E,过点。作CF_L43,垂足为£求证：PD+PE=CF.

(1)小毅的证明思路是：如图②，连接八，由“必与△力CP面积之和等于UBC的面积可以证得:

。。+尸£=6.请完成证明

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:

(2)【变式探究】如图3,当点尸在8C延长线上时，其余条件不变，求证：PF—PE=CD：

【结论运用】

(3)如图4,将矩形/出CO沿E/折叠，使点〃落在点夕上，点。落在点C处，点尸为折痕)上的任一点,

过点尸作尸PHLBG,垂足分别为G、H,若［0=8,CF=3,/出=4,则0G+P”的值为

题型7三角形高、中线、角平分线综合

点

①三角形的高一90°的角：

I

②三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高）；三角形的中线延长1倍，容!

易构造平行四边形（倍长中线模型）.

।

③三角形的角平分线一相等的角或成2倍关系的角.

■■.MM--MM・-MM--MM,-■«■-~■.MM-I

34.（24-25八年级上•海南省直辖县级单位•期末）如图，在△48C中，AD,/厂分别是△W8C的中线

和高，8E是△力4。的角平分线.

（1）若々瓦）=60。，㈤Q=40。，求/8力/的度数.

⑵若MBC面积为40,4）=5,求的长.

35.（21-22八年级上•江苏宿迁•期中）如图，力。是△力8C的角平分线，OE//C,垂足为E.AF是&ABC

的中线，力3=16,JC=6,DE=5.求的面积.

36.（24-25七年级下•河南南阳•阶段练习）如图，4。为△/出C的中线，8E为△力4。的中线.

（1）已知力A-4C=5cm,△力3。的周长为25cm,求△4。。的周长;

⑵在△力£?中作4E边上的高；

⑶若。的面积为40,AE=5,则点8到/IE边的距离为多少？

37.（24-25七年级下•河南郑州•期中）如图，彳。是△48。的高，CE是△/lAC的角平分线，BF是“BC

的中线.

(1)若乙4c8=50°,NB4D=65。,求/NEC的度数；

(2)若45=9,BC>AB,abC尸与△A4尸的冏长差为3,求6c的长.

题型8三角形内角与外角综合

1g"

i1）三角形的内角和为180°：

II

!2）直角三角形中两锐角和为90°；!

!3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

!____________________________________________________________________________________________________________________________________________I

38.（24-25七年级下-山东烟台・期中）如图①，在△49C中，BD平分乙4BC,且与△48C的外角4CE

的平分线交于点D.

【问题解决】

（1）若41BC=750,4c8=45。，求/。的度数；

（2）若4BC=80。，44=60。，则NO=_.

【猾想证明】

（3）当48。和4C8在变化，而4始终保持不变，则NO是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？

（用含有/力的式子表示NO）

【拓展提高】

（4）若把//截去，得到四边形MNC8,如图②，猜想。、ZM.NN的数量关系，并说明理由.

39.（24-25七年级下•山东烟台•期中）如图，己知在△48C中.

D

B匕------------------

(1)若N/:N/4C:N/C8=3:4:5,求的最大内角的度数；

(2)若BDtAC于点、D,CE是/4C5的平分线，4=69。，ZCTZ)=40°,求/3EC的度数.

40.(24-25七年级下•江苏扬舛•期末)【问题探究】

(1)已知：如图1,在△/4C中，ZJ=60°,BP,CP分别平分和N/CB,N4PC的度数是

(2)已知：如图2,/O8C与NECB分别是△48C的两个外角，且4厉C+NEC3=210。，则N/=

【拓展与应用】

(3)如图3,在四边形48。。中，N/为四边形［8CO的N/18C的平分线及外角/OCE的平分线所在的直

线构成的锐角，若设4=a,NQ=Q,求//的度数；(用含。，夕的式子表示)

(4)如图4.8/平分NABC,C/平分N4CB,把折叠，使点力与点/重合，若N1+N2=13()。，

则4/C=_____.

41.(24-25七年级下•四川成都•期中)如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们不妨

把这样图形叫做“规形图”，

①如图1,请直接写出的C与//、4B、NC之间的关系:

②如图2,把一块三角尺短放置在△48。上，使三角尺的两条直角边XX、应恰好经过点8、C,若

4=50。，直接写出48X+4CY的结果；

③如图3,DC平分4DB,平分若〃力E=50。，/DBE=T30。,求NZX为t的度数；

图1图2图3

题型9三角形折叠中的角度问题

42.（24-25七年级下•江苏南京•期末）如图，将△力8C纸片沿折叠，点A的对应点为方.若

/1+/2=146。，则N3+N4=°.

43.（23-24八年级上•辽宁葫芦岛•期末）如图，ZUBC中，AB=AC,4=36。，〃点在边力8上运动

（Q与儿夕不重合），设=将△XCO沿CO翻折至△HCO处，GT与N8边相交于点£若△4。“

是等腰二角形,则a的值为.

44.（23-24八年级上•河南安隹•期末）如图，一个等腰三角形纸片期C,其中历1.

图1图2图3

(1)把a/iBC纸片按图1所示折叠，使点月落在4C边上的点尸处，是折痕，说明8。〃分；

(2)把△力8。纸片沿。E折叠，当点力落在四边形6CEQ内部时(如图2),探索/C与NI+N2之间的数量

关系，并说明理由；

(3)当点力落在四边形8CEO外部时(如图3),直接写出/C与Nl,N2之间的数量关系.

45.(24-25八年级上•江苏镇江•期中)综合与探究：如图，已知，△48。中，AB=AC,点D为BC边

上一点，连接4。，将△/出。沿直线4。折叠，得到△力。£,作力/平分㈤C交8c于人.

【尝试发现］（1）①若/。跖=80。，则

②若NDEF=ND4F,则N£M"=_；

③若NDEF=a,则/。力尸=_（用含。的式子表示）；

【简单应用】

（2）如图1,若ZDEF=90。,ZEAF=2ZDAE,求证：DF=2BD；

【拓展延伸】

（3）如图2,若ND比'=120。，过点尸作的的垂线交4）延长线于点G,在回G延长线上取点〃，使

4HF+ZD4E=90。,BD=2FC,试探究GO,GH,G厂三条线段之间的数量关系并证明.

图1图2

题型10三角板拼接问题

46.（24-25七年级上•湖北武汉-阶段练习）将一副直角三角尺按如图1方式会放，点D,B,力在同一直

线上（NE="4C=90。，ZD="AE=45。,ZC=30°,ZJ5C=60°）,若将含30。的三隹尺44c绕顶

点力顺时针旋转一周，使两块三角尺至少有一组边互相平行，直接写出符合条件的241。的度数为.

图1图2

47.（24-25七年级下-福建三明•期中）综合与实践

D

学习完《平行线的证明》，我们积累了一定的研究经验，小明和小颖将一副透明

A

OB

E

三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起.

⑴操作判断

若4）08=50。，则乙4CE=________；

若44cfi'rlSO。，则〃C8=________；

⑵性质探究由（1）猜想力CE与〃C8的数量关系，并证明你的猜想；

（3）拓展应用

当N4CEC180。且点8在直线CE的上方时，如果这两个三角尺存在一组边互相平行，则NBCE的度数为:

（写出所有可能的结果）

48.（24-25八年级下•广东深圳•期中）如图1是一副三角尺，AC=BC,ZC=Z£=90°,

4=4=45°,Z/J=3U°,/b=60°.

图1

备用图

⑴如图2,直角顶点。与E重合,当产。〃月8时，求NR78的度数.

(2)如图3,直角顶点。与£重合,当点尸恰好落在48上时，在C。上截取CF=CF,连接8F',判断江

和8k的数量关系并说明理由.

⑶将三角尺力6c从图4所示的位置开始，绕点。以每秒3。的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为，秒,

当/。旋转到尸。延长线上时，停止旋转.

①如图5.当尸D〃,4C时，，的俏是____秒;

②当三角板48c中的边力8与三角板OE/中的某条边平行时，1的值是秒.

49.(24-25七年级下•上海静安-期中)如图1,数学课上老师将一副三角板按图中所示位置摆放，点

在直线力C上，且。厂与相交于点G,具中/4C4=90。，//HC=6U。，N/MC=3(T,

/EFD=90。，ZDEF=ZEDF=45。.

(1)求此时/OG力的度数:

⑵如图2,若三角板。/绕点厂按顺时针方向旋转，当七力力"时，求此时“刈的度数;

⑶在(2)的前提下，三角板绕尸点按逆时针方向以每秒5。的速度旋转，设旋转的时间为f(O</<72)

秒，当三角板。石厂第一次回到图2的位置时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板。石尸的某一条边与/出

平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的，值；若不存在，请说明理由.

题型11探究角度之间存在的关系

50.(24-25八年级上•安徽淮北•期中)直角三角形中，ZABC=90°,8。是斜边力。上的高,

4=35。，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。

51.（2024八年级卜.•黑龙江•专题练习）（I）如图①，在中,ZJCB=90%CDLAB,垂足

为Q,AACDNB.（填“>”“=”或“<”）

（2）如图②，在RtAMC中，NC=90。，点。、?分别在力CAB上，且ZADE=/B,的形状是

（3）如图③，在RtA45C和RLQ8E中,ZC=90°,ZE=90°,AB1BD,点CB、E在同一直线上,

与一。的关系是

图②

52.（24-25八年级上•贵州六盘水•期末）如图，在△48C中，AD,CE分别为NBAC,/力C8的角平

分线，4。与CE相交于点P.

⑴若月C=70。，ZACB=60°,贝ij/月/50=度；

⑵求证：Z/IPC=180°-1(ZBAC+ABCA)；

(3)直接写出“力尸C与NB,/BAD,ZZ?CE的数量关系.

53.（24-25八年级上•四川成都•期末）如图1,在△力8c中：力。平分/历1C.

AA

P)

BEB

DCE^JDC

P

ffll图2

(1)若尸为线段AD上的一个点，过点?作尸石工AD交线段BC的延长线于点E.

①若N8=30。，Z4G9=80°,则/E=_；

②猜想NE与/6、N4C8之间的数量关系，并给出证明.

⑵如图2,若尸在线段力。的延长线上，过点P作PE/4D交直线BC于点E,请直接写出/PE。与28、

/。的数量关系.

题型12与三角形有关的热考模型

54.(24-25八年级上-山东临沂-期中)研究三角形的角平分线:

(D尺规作图：如图1,作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹；

(2)如图2,8C与/4C8的平分线相交于点尸，若/4=60。，则/82。的度数是；

(3)如图3,作△48C外角NMSC,NNC8的角平分线交于点Q,试探索/。，/力之间的数量关系.

55.(24-25七年级下•吉林•期中)如图I,△48C中，的角平分线和的角平分线交于点

D

⑵从上述计算中，我们能发现：4BDC=（用含的代数式表示）；

⑶如图2,△川?。中，/川北的角平分线和的角平分线交于点4,请用含/力的代数式表示

并说明理由.

⑷如图3,N4BC的角平分线和的角平分线交于点4,如此继续下去，可得4，4,…，4,请

写出44与44的数量关系为.（直接写出结果即可）.

56.（23-24八年级上•浙江杭舛•阶段练习）△RBC中，力。是/A4c的角平分线，AE是△力8。的高.

A

(1)如图1,若/8=40。,/。=62。，请说明N0力E的度数；

(2)如图2(Z5<ZC),试说明/"£、NB、NC的数量关系：

⑶如图3,延长力。到点用/C4E和4BC厂的角平分线交于点£求NG的度数.

57.(24-25七年级下•江苏宿迁•期末)【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可

以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数显关系.

（1）如图1，探究/力、/B、NC、之间的数量关系，弃证明:

（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题:

【类比探究】

①如图2,已知/4+/。+/£=90。,/8+/。=150。，求Z/FE的度数:

【拓展延伸】

②如图3,已知4M〃上川,/4+/。=150。,/。+/七=5（）。，求的度数.

图1图2图3

58.（24-25八年级上-山东青忠・期末）【建立模型】如图1,在-4内部有一点户,连接BP、CP,求

证：ZP=Zl+ZJ+Z2：

【尝试应用】如图2,利用上面的结论，直接写出五角星中，4+N3+NC+〃+NE=度；

【拓展创新】如图3,将五角星截去一个角后多出一个角，求乙1+/4+NC+NO+NE+/G的度数.

【提升思维】如图4,将五角星的每个角都截去，则••共得到10个角，则这10个角的和

乙4+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH+〃+NJ的度数是度.

59.（24-25八年级上•河北沧州-阶段练习）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型,

给同学们解答几何题带来很大的便捷.

(1)初识模型：如图1,是我们常见的“8”字模型图，它的结论是4+/8=/。+/七，请你给予证明.

⑵模型求解：如图2,线段功在四边形力8C7)内部，连接4E、CF,相交于点0,请借助“8”字模型的

结论求：4+4BE+ZZ)CF+ZD+Z£1+ZF的度数.

(3)构造模型：如图3,是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出

/4+/8+/。+/。+/£的度数.

(4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、

“八角星”等，如图4“七角星/BCQEPG”的七个内角和：4+/2+N3+N4+N5+N6+N7=

________°;猜测“〃角星”的〃个内角的和为_________(用含〃的式子表示).

A东

_______A,------------f中

穴//\By-T\X:Y\\

DE

60.(22-23七年级下•吉林长春•期末)【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问

题:

如图①，在。中，BP平分N/1BC,CP平分N/4CB,请你判断//和/P间的数量关系并说明理由.

刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程.

解：结论：ZP=_________.

理由：•；BP平分Z/tBC,CP平分NACB,

・•・/尸8c=NPCB'NACB.

22

N产=180°-ZP5C-NPCB

=180°-1(ZJ^C+Zz4C5)

=1SO°-1(I8O°-ZJ)

【模型发展】如图②，点夕是△力BC的外角平分线8尸与CP的交点，请你判断,力和/尸间的数量关系并

说明理由.

【解决问题】如图③，在△48C中，BP平分N4BC,CP平分/4C8,点。是△尸8c的外角平分线8。与

61.（24-25七年级下•辽宁大连•期末）已知NM4N=52。，点4,。分别在4M,AN上.

MM

(1)如图1,连接8C,4BC=a,"CB=。，NA^?C的平分线与N8CN的平分线交于点O,则。+4=

,NO=°；

(2)如图2,点E是线段4C延长线上一点，过点E作即J./1N,垂足为点尸，NM4N与/C瓦'的平分线交

于点。，求/力CE与/ZOE的数量关系：

⑶如图3,若点G在/M4N内部(点G不在线段5C上)，NCGB=108。，连接8G与CG,/GBM与/GCN

的平分线交于点〃，求/8H。的度数.

题型13与三角形有关的新定义问题

62.（24-25八年级下•山东青岛•期中）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.

例如：如图①.在△/AC和中，AD,HQ'分别是8C和"C边上的高线，且4。=/。'，则△45C

和“®。是等高三角形.

BDCB'DC'BDCBD

图①图②图©

【性质探究】

如图①，用'诋，分别表示和"FC的面积.

则Sfc=；BCYD,=\B'C",

vAD=AD1

••S^ABC-=BC:B'C'.

【性质应用】

⑴如图②，。是△48C的边8C上的一点.若80=3,力C=4,则

⑵如图③，在ZU4C中，D,£分别是4c和他边上的点.若BE:AB=1:2,CD：BC=1,3tS△.=1,

则BEC~-----------»SMDE=-----------；

(3)如图③，在△48C中，D,E分别是8c和48边上的点，若BE:4B=l:m,CD:BC=\:n,SaABC=a,

则S△口

⑷在。中，4c8=90。，4=30。，CO是48边上的高.

求：①“C。与△4CQ的面积之比；

②若SRIAMBC=16，求SAAC［）和S4BCD的具体值.

63.（24-25七年级下-辽宁沈BE・阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形

的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”

【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个

三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均

等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”.

（图1）（图2）（备用图）

【概念理解】

（1）如图1,在中，4CB=90。,CDLAB,△8CO和△ICQ均等三角形（填“是”或

者“不是”）.

（2）如图2,在△川?。中，CO为的角平分线，=75°,NB=35。,试说明CO为△44C的均等分

割线.

【应用拓展】

（3）在△48C中，4=47。，CD是△48C的均等分割线，若“CO是等腰三角形，则/XC8的度数为

64.（23-24七年级下•湖南衡阳•期末）【定义】如果两个角的差为30。，就称这两个角互为“创新角”，

其中一个角叫做另一个角的“创新角”.

例如：a=80°,力=50。,a-夕=30。，则a和夕互为“创新角”,即a是"的“创新角”,《也是a的“创

新角”.

图1图2图3

⑴已知N1和N2互为“创新角”，KZ1>Z2,若N1和N2互补，则N1=___________；

⑵如图1所示，在中，4c3=90。，过点。作力4的平行线CM,/48C的平分线8。分别交力。、

CM于。、E两点.

①若ZA>ZBEC,且/力和28EC互为“创新角”，则N4=；

②如图2所示，过点。作力B的垂线,垂足为尸，B。、CF相交千点N.若NDCN与N8N6为“创新

角”，求/力的度数；

③如图3所示，ZACM的平分线CH交8后于点〃，当