为什么要证明-2024北师大版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

7.1为什么要证明北师大版（2024）初中数学八年级上册同步练习

分数：120分考试时间：120分钟；；；命题人：

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.下列说法中正确的是（）

A.若Q1b,b1c,则Q1c

B.在同一平面内，不相交的两条线段必平行

C.两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等

D.两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行

2.一块三角尺和一把直尺如图所示放置.若41=25。，则42的度数为（）

A.50°B.45°C.40°D.35°

3.如图，AB//CD,乙FEN=2乙BEN,乙FGH=2乙CGH,则Z户与乙H的数量关系是（）

B.乙H=2zF

C.2/.H-乙F=180°D.3Z.H-ZF=180°

4.如图，两条公路48和。。互相平行,之间有三段公路连接，KEF1FG,尸GJ.GH若乙1£T=55°,

则乙GHO的度数为（）

A.35°B.55°C.62.5°D.72°

5.下列语句：①点到宜线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④

过一点有且只行一条直线与已如直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第二条直线垂直，那

么这两条直线互相平行.其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.如图是某吸管杯的大致结构示意图，AB//CD,吸管底部M在上，将吸管沿尸点处折弯，使得

PN//AB,若NP=100。，则ZPM。的度数为

A.50°B.60°C.80°D.90°

7.下列说法中，正确的是（）

A.过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离

B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C,两条直线被第三条直线所截，内错角相等

D.平行于同一条直线的两条直线平行

8.下列四个命题：①同旁内角互补；②一组邻补角的平分线互相垂直；③经过宜线外一点，有且只

有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中

是真命题的有（）

A.①④B.③④C.①②③D.②③④

9.下列命题中是真命题的是（）

A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B,两条直线被第三条直线所截，内错角相等

C.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

D.有理数和数轴上的点是一一对应的

10.如图，AB//CD,乙1乙FDE,L2=\LABE,则等于（）

A.2:1B.3:1C.3:2D.4:3

11.已知口//人一块含30。角的直角三角板如图所示放置，Z2=45°,贝”1等于（）

A.100°B.135°C.155°D.165°

12.如图,AB//CD.^Z.B=110°,则，。的度数是（

A.60°

B.70°

C.75°

D.80°

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.如图，点P是直线矽卜一点，过点P画直线P力，PB,PC,分别交已知直线，于点A,B,C,请你用

量角器量N1,乙2,43的度数，并量线段P4PB,PC的长度，你发现的规律是.

/AB\C\

14.如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角44=110。，第二次拐的角

△8=145。，则第三次拐的角/C=时，道路CE才能恰好与4D平行.

15.如图，在△力中，乙54c=45。，41c8是锐角，将△Z18C沿着射线BC的方向平移得到AOEF（平

移后点A,B,C的对应点分别是点0,E,F）,连接C。，若在整个平移过程中，4CD和4CDE的度数

之间存在2倍关系，则乙4CO=.

16.如图,已知AB〃EF,L.C=90°,则a、夕与y的关系是

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(3)在(2)的条件下，若乙BFC300=2Z1,求的度数.

20.(本小题8分)

如图，Z.AGF=Z.ABC,Z1+£2=180°,

⑴求证;BF//DE

(2)如果DE垂直于AC,Z2=150°,求〃FG的度数.

21.(本小题8分)

如图，42+40=180°,Zl=ZF,试说明：AB//EF.

22.(本小题8分)

已知直线48〃C。，点E在48、C。之间，点P、Q分别在直线48、CD上，连接尸E、EQ.

图①图②图③

(1)如图①，过点E作£77〃力心为探究“四、LAPE,“Q£之间的数量关系，请你完成下列解题过

程：

vEH//AB,48//C。(已知)，

:.EH//CD,

•e-N4PE=4_____9乙CQE—Z.______(______),

•:乙PEQ=^PEH+乙QEH,

•••4PEQ=乙APE+乙CQE.

(2)如图②，请直接写出上PEQ、LAPE.4CQE之间的数量关系；

(3)如图③，PF平分乙BPE,Q5平分乙£Q。，当乙PEQ=130,时，直接写出乙PFQ的度数.

23.(本小题8分)

中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“巴”字，如图2是由图1抽象出的

几何图形，其中48//GH,AD//EF,乙A=4G=iEFD,求证：ZD=/.AEF.

证明：如图2,（己知），

ZB+NG=180°（_____）,

又•••LA=ZG（）,

•••4力+乙8=180°（等量代换），

:.AD//BG{）,

•.•40〃EF（已知），

A（平行于同一条直线的两条直线互相平行），

:.乙4EF=28（）,

••.NA+^AEF=180。（等量代换），

•••4力=4EFD（已知），

•••乙EFD+LAEF=180°（____）,

AB//CD（_____）,

乙4+4。=180°（_____）,

•••^AEF=〃（同角的补角相等）.

巴

图1

24.（本小题8分）

如图，AE1BC,FG工BC,垂足分别为M,N,zl=z2,zD-40°=z3,Z.CBD=80°.

(1)试说明；AB//CD；

(2)求乙C的度数.

25.(本小题8分)

如图，已知力C//FE,41+42=180

(1)求证：Z.FAB=乙BDC；

(2)若4C平分NF/1D,£*尸18£1于点岳，Z.FAD=80°,求/BCD的度数.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【点拨】4若alb,61c,则。〃c,故此选项不符合题意；B.在同一平面内，不相交的两

条直线必平行，故此选项不符合题意；C.两条平行线被第三条直线所截，所得的同位角相等，故此选

项不符合题意；。.两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，故此选项符合题

意.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了平行线的性质以及平行公理，过E作EF〃AB,得出4B〃勿〃CD,得至此1=43,Z2=

44,即+△2=60。，已知/1=25。，即可求出42的度数.

【解答】

过E作EF〃AB,

-AB//CD,

AB11EF11CD,

:.Z1=Z3>Z2=Z4,

•••z3+z4=60°,

:.z.1+z.2=60°»

•••zl=25°,

42=35°.

故选D

3.【答案】D

【解析】如图，分别过点凡H^FP//AB,HM//CD,设乙NEB=a,乙HGC=0,所以4FEM=2a,

乙FGH=邓,所以NFEB=3a,Z-FGC=3/?.因为AB//。。，所以FP/]AB"HM//CD,所以

乙PFG=乙CGF=3夕，乙PFE=180°一乙FEB=180°-3a,乙NEB=cNHM=a,4GHM=乙HGC=

6，所以zNHG=乙NHM+Z.GHM=a+/7,乙EFG=乙PFG-乙PFE=3/7-(180°-3a)=3(a+

3)-180°,所以4EFG=3乙NHG-180°,即3乙NHG-乙EFG=180°.故选D.

【解析】解:过点凡作尸M〃AB,过点G,作GN〃CD;

根据FM〃/IB,GN//CD,AB//CD,

则/B//尸M//NG//C。，

:•乙FGN=cMFG,Z-AEF=Z.EFM,乙NGH=(GHD,

vEF1FG,FG1GH,

:.乙EFG=FGH=90°,

则乙AEF=Z-EFM=55°,

二(MFG=90°-乙EFM=90°-55°=35°,

二Z.FGN=Z.MFG=35°,

:.Z-NGH=90°-Z.FGN=90。-35°=55°,

•••乙NGH=乙GHD=55°;

故选：B.

5.【答案】A

【解析】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故错误；

②两直线平行，内错角相等，故错误；

③两点之间线段最短，正确；

④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；

⑤在同•平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，正确,

正确的有2个.

故选A.

本题考查了点到直线的距离的定义、平行线的性质、线段的性质等知识，难度不大.利用点到直线的

距离的定义、平行线的性质、线段的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项.

6.【答案】C

【解析】解：-AB//CD,PN//AB

:.PN//CD

:•乙P十乙PMD=180°

•••乙P=100°

Z.PMD=80°

7.【答案】D

【解析】解：4、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故A选项错误；

8、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故8选项错误；

C、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故C选项错误；

。、平行于同一条直线的两条直线平行，故。选项正确；

故选：D.

根据平行线的判定与性质，平行公理等进行判断.

本题考杳了平行线的判定与性质，平行公理等，掌握相关知识点是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题综合考查了平行线的性质、平行公理、邻补角的概念和角平分线的性质、垂线段最短等知识，解

答时，需要准确掌握相关的概念和性质，才能作出正确的判断和选择.根据平行线的性质、邻补角的

概念和角平分线的性质、平行公理、垂线段最短等知识一一判断即可.

【解答】

解：①同旁内角互补，错误，应该在两直线平行的前提下，才有同旁内角互补；

②一组邻补角的平分线互相垂直，正确；

③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确；

④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确.

综上，正确的结论是②③④，

故选D.

9.【答案】C

【解析】解：根据平行线的性质与判定，数轴与实数一一对应，垂线段最短逐项分析判断如卜.：

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，A选项是假命题，不符合题意；

两条平行直线被第三条直线所载，内错角相等，B选项是假命题，不符合题意；

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，。选项是真命题，符合题意;

实数和数轴上的点是一一对应的，。选项是假命题，不符合题意；

故选：C.

根据平行线的性质与判定，数轴与实数一一对应，垂线段最短逐项分析判断即可.

本题考查真假命题的判断，正潴记忆相关知识点是解题关键.

10.【答案】B

【解析】解：如图，过点F作FN〃C。，过点E作EM〃CD,

'：AB//CD,

:.AB//CD//FN,

Z.DFN=zl,Z.BFN=42,

乙DFB=乙DFN+乙BFN=zl+z2,

同理可证：EM//AB//CD,

z3=Z.CDE,z4=Z-ABE,

•••乙DEB=Z.3+Z.4=Z.CDE4-Z.ABE»

•.•41=｝乙FOE,Z.2=1Z-ABE,

•••z.1=；^CDE,

Z-DFB=41+42=J乙CDE+1^ABE=1（乙CDE+/-ABE'\,

ooo

•••乙DEB=3乙DFB,

^z.DEB：4DFB=3：1.

11.【答案】D

【解析】略

12.【答案】B

【解析】解：-AB//CD,

NB+ZD=180。（两直线平行，同旁内角互补），

•••乙B=110°,

乙D=180°一乙B=180°-110°=70°.

故选：B.

根据两直线平行，同旁内角互补求解即可.

本题考查了平行线的性质，关建是平行线性质的熟练掌握.

13.【答案】随着度数的增大，线段的长度减小

【解析】【分析】本题考查了度量线段，度量角度，角度大小的比较，会使用度量工具度量是解题的

关键.

使用量角器度量角度，带刻度的直尺度量线段的长度，根据度量的数据分析角度和长度之叵的美系即

可.

【详解】解：量得41<Z2<乙3,PA>PB>PC,

.••在P点与直线上的点的连线中，与直线的夹角越大（不超过90°）,P点与直线交点连线的线段长度越

短.

故答案为：随着度数的增大，线段的长度减小.

14.【答案】145°

【解析】略

15.【答案】15°,30。或90。

【解析】略

16.【答案】a+0-y=90。

【解析】【分析】A

..........M

此题考查了平行线的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，\

注意数形结合思想的应用.N•一•二

ENTQ---------------------F

首先过点C作CM〃力8,过点。作。N〃力8,由A8〃EF,即可得

AB//CM//DN//EF,然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案.

【解答】

解：过点。作CM〃/18,过点。作ON〃/18,

vAB//EF,

二AB//CM//DN//EF,

：.4CM=a,乙DCM=LCDN,乙EDN=丫,

•••0=乙CDN+Z,EDN=乙CDN+y①，乙BCD=a+Z-CDN=90。②，

由①②整理得：a+/?-y=90°.

故答案为：a+p-Y=90°.

17.【答案】【小题1】

7

【小题2】

①翻转的这2张纸牌由反到正，总和的变化量为2X[1-(-1)]=4；

②翻转的这2张纸牌由正到反，总和的变化量为2X(-1-1)=-4；

③翻转的这2张纸牌由一正一反到一反一正，总和的变化量为-1一1+1-(-1)=0.不能全部正面向

上.

理由：总变化量仍为14,无法由4,-4,0组成.故答案为4或一4或0.

【小题3】

由题可知，0＜九47.①当九二1时，由7.可知能够使所有纸牌全部正面向上.

②当〃=2时，由8.可知无法使所有纸牌全部正面向上.

③当n=3时，每翻转3张纸牌，总和的变化量为6或一6或2或一2,由于14=6+6+2,故?t=3可以

使所有纸牌全部正血向上.

④当几=4时，每翻转4张纸牌，总和的变化量为8或一8或4或一4或0,由于14无法由8,-8,4,-4,

0组成，

故〃=4无法使所有纸牌全部正面向上.⑤当〃=5时，每翻转5张纸牌，总和的变化量为10或-10或6

或-6或2或-2,

由于14=10+2+2,故〃=5可以使所有纸牌全部正面向上.

⑥当n=6时\每翻转6张纸牌，总和的变化量为12或-12或8或-8或4或-4或0,

由于14无法由它们组成，故九=6无法使所有纸牌全部正面向上.

⑦当〃=7时，一次全翻完，可以使所有纸牌全部正面向上.故几=1,3,5,7.

【解析】1.

从-7变化为+7的总变化量为7-(-7)=14,则操作次数至少为14+2=7,故答案为7.

2.略

3.略

18.【答案】【小题1】

证明：•••Z-CED+Z-FHD=180°,乙GHD+乙FHD=180°,

Z.CED=乙GHD,

CE//GF,

【小题2】

解；^AEDIZD=180°；

理由：♦.♦CE〃G/，

:.乙C=乙FGD,

Z.C=乙EFG,

:.Z.FGD=Z.EFG,

:.AB//CD,

:.Z-AED+Z-D=180°；

【小题3】

解：v乙GHD=/.EHF=88°,zD=28°,

Z-CGF=乙GHD+4。=880+28°=116°,

又•:CE//GF,

Z-C+/-CGF=180°,

:.zC=180116°=64°,

XvAB//CD,

•••Z-AEC=zC=64°,

•••Z.AEM=180°-64°=116

【解析】1.

本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行

线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.

结合邻补角定义求出4CED=ZGHD,依据同位角相等，两直线平行即可得证；

2.

依据平行线的性质，可得;l"FGD="FG,进而判定力8〃C。，即可得出iAEC+4=180°；

3.

依据已知条件求得"GF的度数，进而利用平行线的性质得出乙"F的度数，依据对■顶角相等即可得到

乙4EM的度数.

19.【答案】【小题1】

证明：Z.1=42,z3=zC,z.2=z3,

•••zl=zf,

--.AB//CD：

【小题2】

证明：•••N2I乙4=180°,匕2=N3,

AZ3+Z4=180°,

BF//EC,

•••(BFC+乙C=180°；

【小题3】

解：vABFC+ZC=180。,

■:Z-BFC-300=241=2Z.C,

Z.BFC=2Z-C+30°,

.••2%+30°+"=180°,

zC=50°,

£.BFC=2Z.C+30°=130°,

vAB//CD,

:.乙B+乙BFC=180",

乙B=180。一乙BFC=50

【解析】1.

根据对顶角相等结合已知条件得出乙1=乙。，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；

2.

根据对顶角相等结合已知得出乙3+44=180。，证得B/7/EC,即可得解；

3.

根据平行线的性质和已知得出乙B"=130。，最后根据平行线的性质即可求得=50。.

20.【答案】【小题1】

BF//DE,理由如下：

Z.AGF=LABC,,GF//BC,AZ.1=43,

v乙1+42=180°,43+42=180°,ABF//DE；

【小题2】

vBF//DE,BF1.AC,DE1AC,

•••zl+z2=180°,z2=150°,zl=30°,•••Z-AFG=90c-30°=60°.

【解析】1.

根据平行线的判定定理，由乙4G户=可判断GF〃8C,由平行线的性质可得乙1=乙3,由N1+

乙2=180。得HU3+42=180，即可判断出B/7/0E；

2.

lhBF//DE,BF1AC^iDE1AC,由乙2=150。得出Z1=30°,从而得出结论.

21.【答案】证明因为乙2+乙。=180。，

所以（同旁内角互补，两直线平行），

因为N1=乙B,

所以A8〃0C（同位角相等，两直线平行），

所以（平行于同一条直线的两条直线平行）.

【解析】本题考查/平行线的判定，关键掌握平行线的判定方法.由同旁内角互补、同位角相等判定

两直线平行，再根据平行于同一条直线的两条直线平行得到结论.

22.【答案】PE"；QEH；两直线平行，内错角相等；

区PEQ+/.APE+Z.CQE=360；

乙PFQ=115°.

【解析】（1）vEH//AB,4B〃CD（已知）,

EH//CD,

••/APE="£1","QE=“£H（两直线平行，内错角相等），

•••乙PEQ=乙PEH+乙QEH,

:.乙PEQ=乙APE+乙CQE.

故答案为：PEH；QEH；两直线平行，内错角相等；

（2）zPE（2+Z.APE+Z.CQE=360°,理由如下：

过点E作EH〃力B,如图所示：

vEH//AB,AB//CD,

EH//CD,

乙APE+乙HEP=180°,乙CQE+乙HEQ=180°,

v乙PEQ=乙PEH+乙QEH,

:.乙PEQ+Z-APE+乙CQE=360°

(3)过点E作EH〃/IB,过点尸作/M〃/18,如图所示:

APB

vEH//AB,AB//CD,

EH//CD,

Z.BPE+Z.HEP=180°,乙DQE+UiEQ=180%

vZ.PEQ=乙PEH+乙QEH,

:.Z.PEQ+Z,BPE+乙DQE=360°,

•••Z.PEQ=130°,

:•乙BPE+乙DQE=230°,

•••PF平分NBPE,Qr平分ZEQD,

11

.•.乙BPF=：乙BPE,乙DQF=，DQE,

乙BPF+乙DQF=g(NBPE+乙DQE)=115°,

vFM//AB,AB//CD,

FM//CD,

:•乙BPF=^PFM,乙DQF=“FM,

v乙PFQ=乙PFM+乙QFM,

:.乙PFQ=Z.BPF+乙DQF=115°.

(1)根据平行线的性质即可完成推理过程；

(2)由(1)可作£77〃力8,即可求解；

(3)综合(1)(2)中的结论即可求解.

本题考查平行线的判定与性质、平行公理及推论，过“拐点”作平行线是解决此题的关键.

23.【答案】两直线平行、同旁内角互补已知同旁内角互补、两直线平行EF//BG两直线平行,

同位角相等等量代换同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补

【解析】证明：由条件可知48+/6=180。(两直线平行，同旁内角互补)，

乂•.•乙4="(已知)，

=180。(等量代换),

AD〃8G(同旁内角互补，两直线平行)，

由条件可知EF〃8G(平行于同一条直线的两条直线互相平行)，

乙力EF=43(两直线平行，同位角相等)，

•••Z/4卜^AEF=180。（等量代换），

由条件可知NEF。+LAEF=