有理数及其运算专项训练（16种题型55题）解析版-七年级数学上册

有理数及其运算专项训练（16种题型）

划重点•冲高分区

有理数混合运算中的常见运算技巧

有理数混合运算的实际应用

科学记数法

有理数混合运算的新定义问题

利用绝对值几何意义求最值

绝对值的化简问题

画三视图绝对值与数轴综合问题

根据已知视图，确定几何体含小正方体个数

题型1有理数的分类

对干有理数的分类，一般应遵循以下原则：i

①分类不重合.所分各类应互不包容，如有理数分为非负有理数、o和非正有理数就违反了这一原则；！

②分类无遗漏.所分各类之和必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉ro；

।

③标准要统一.必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、。和负分数，分类标准就不统;

【易错点】对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.；

1.（24-25七年级上•内蒙古乌海•阶段练习）“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通

过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（只填序

号）：①一岛；②+0,007；③除④0：⑤0.3：@10；⑦-44：⑧+101.

运动会检录窗口

非负整数正分数负整数负分数

【答案】见解析

【分析】本题考查了有理数的分类，理解其概念是解题关键.

根据有理数得分类进行划分即可，有理数是整数与分数统称，而整数分为正整数，0,负整数：分数分为正

分数，负分数.

【详解】解：

运动会检录窗口

非负整数正分数负整数负分数

④⑥⑧②③⑤⑦①

2.（24-25七年级上•四川自贡•阶段练习）把下列各数填入相应的集合里：一3.14,0,23%,3,-1,

-25,

①正有理数集合：{—…}

②负有理数集合：{_•••}

③分数集合：{—…}

④非负数集合：{—…}

⑤非正整数集合：{一…}

【答案】23%,3；-3.14,-1,-25,-3.14,23%,0,23%,3；0,-1,-25

【分析】本题考查有理数的分类，根据正有理数、负有理数、分数、非负数、非正整数的定义进行判断即

可.

【详解】解：①正有理数集合：（23%,3,-}

②负有理数集合：{-3.14,-1,-25,一；，…}

③分数集合：{-3.14,23%,­••）

④非负数集合：（0,23%,3,…}

⑤非正整数集合：{0，—1，-25,…}

故答案为:23%,3：-3.14,-1,-25,-3.14,23%,0,23%,3；0,-1,-25.

3.（24-25七年级上-全国-课后作业）请观察下列一组数：

+1,-4.8,+畀-9.8,-5,0,-3,15,3.14.

（1）以上各数，哪些是小学学过的数？他们可以分为哪几类？试说出名称.

（2）你能用小学学过的数的分类方法对I•面的数进行分类吗？还能进一步分吗？

(3)想•想，小数与分数的关系如何？

【答案】(1)+1,-4.8,+得，-9.8,一提-5,0,-3,15,3.14；整数，分数和小数

(2)能，分为整数和分数，整数有：+1,-5,0,-3,15,其进一步分为正整数：+1,15,负整数：

-5,-3,和0；分数有：-4.8,+奈-9.8,_三,3.14,其进一步分为正分数：+芥3.14,负分数:

-4.8,-9.8,一g

(3)有限小数和无限循环小数可化为分数，分数(分子分母为整数，分母不为0)可化为有限小数或无限循

环小数，即有限小数、无限循环小数是分数的特殊表现形式

【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的定义进行分类即可.

【详解】⑴解：小学学的数有：+1,-4.8,+焉-9.8,一巳-5,0,-3,15,3.14；可以分为整

乙JLx

数、分数和小数；

(2)能，分为有整数和分数，

整数有：+1,—5,0,-3,15,

其进一步分为正整数：+1,15,负整数：一5,-3,和0；

分数有：-4.8,十卷■，—9.8,一：,3.14,

其进一步分为正分数：+佛，3.14,负分数：一4.8,-9.8,一，

(3)有限小数和无限循环小数可化为分数，分数(分子分母为整数，分母不为0)可化为有限小数或无限

循环小数，即有限小数、无限循环小数是分数的特殊表现形式.

题型2数轴上两点间的距离

■■■■■■・MM・■■■■・.i^Mi・■■■■■■

1)若两数大小己知，数轴上两点之间的距离=大数-小数二右数一左数：

I

2)若两数大小未知，可加绝对值表示距离.即：数轴上数m所对应点和数n对应点之间的距离为|m-n|.j

简称：数轴公式大减小，大小未知带绝对值.！

【易错点】由「距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有1

可能出现的结果.；

4.(24-25七年级下•河南信阳•期中)数轴上有两个点4B,分别代表的整数是Q和b,a、b满足

|Q+8|+(6-2)2=0.

(1)Q=_____，b=______，点4与点8之间的距离是______.

(2)点力以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点4、B同时运动，

设运动时间为£秒，回答卜.列问题：

①附时，点/对应的数为;(用含£的式子表示)

②当5时，求点A与点8之间的距离.(用含£的式子表示)

【答案】(1)-8,2,10；

(2)①一8—2t：@2t-10.

【分析】本题考查了数轴、绝对值的非负性及乘方，解题的关键是：

(1)根据绝对值的非负性及乘方可得Q+8=0,b-2=0,,求出a,〃的值即可求解：

(2)①根据数轴上点移动的规律即可求解；

②根据数轴卜.点移动的规律得点8对应的数为2—43当点〃与点火相遇时，根据一8—2£=2—41可求得

t=5,进而可求解.

【详解】(1)解：•••|Q+8|+(力-2)2=0,

:.a+8=0,b—2=0,

•*.a=-8,b=2,

•••点力与点B之间的距离是2-(-8)=10,

故答案为：一8,2,10；

(2)解：①t秒时，点A对应的数为一8—23

故答案为：-8一2t；

②•••点8以每秒4个单位长度的速度向左运动，

•・"秒时，点8对应的数为2—43

当点B与点4相遇时，则一8-2亡=2-43

解得亡=5,

.•.当t>5时,点A在点B的右侧，

•••—8—2t—(2—4t)=2t—10»

答：点A与点8之间的距离2£—10.

5.(24-25七年级下-全国-假期作业)如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点4

B；C刚好对应着直尺上的刻度2,刻度8和刻度10.设点4B.C所表示的数的和是如该数轴的原点为

。，向右为正方向.

Bo，

ITT

78910

（1）若点A所表示的数是一3,则点C所表示的数是_______；

（2）若点4C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点。对应直尺上的刻度为：

⑶若点8。之间的距离为4,求加的值.

【答案】（1）5

⑵6

⑶一16或8

【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键.

（1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解；

（2）根据AC的距离，得出点力表示是的数为一4,点C表示的数为4,由图中点。所在的位置为10,即可

得出原点。对应百尺卜的刻度为10—4=6：

（3）分当〃在点片的左边和右边两种情况讨论即可求解.

【详解】（1）解：•・•数轴上的点4B,。对应着直尺上的刻度2,8和10,

・•・"=8,

•・•点/所表示的数是一3,

・••点「所表示的数是一3+8=5,

故答案为：5；

（2）解：・・，/^=10—2=8,点儿。所表示的数互为相反数，

・•・则点力表示是的数为一4,点。表示的数为4,

•・•图中点。所在的位置为10,

・•・数轴的原点。对应直尺上的刻度为10-4=6,

故答案为：6；

（3）解：.:点5,。之间的距离为4,点6对着直尺上的刻度8,

①当。在点片的左边时，即点。对着直尺上的刻度4,

・•・〃点表示的数为4,

\'AC=8fAB=6,BC=2,

・••此时点力表示的数为一2,点。表示的数为6,

n=8；

②当。在点〃的右边时，即点。灯着直尺上的刻度12,

・•・3点表示的数为-4,

VAC=8,AB=6,BC=2,

・•・此时点月表示的数为一10,点C表示的数为一2,

Am=-16,

综上，/〃的值为一16或8.

6.(24-25九年级下•广东湛江•阶段练习)如图，数轴上两点4、8对应的数分别是a、b,其中a、b满足

(a-f-l)2+|3b-9|=0,

(1)求Q、匕的值，并在数轴上标出小B两点;

(2)数轴上有一动点P,当PA=2/1B时，请直接写出点P对应的数x的值.

【答案】(1)。=一1,6=3,数轴上标出力、8两点见解析

(2)x=­9或％=7

【分析】本题考查了非负数的性质，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握

相关知识.

(1)根据非负数的性质求出a、匕的值，再在数轴上标出4、8两点即可；

(2)根据数轴上两点间的距离公式可得P4=|-l-x|,AB=4,结合P4=248即可求解.

【详解】(1)解：(a+l)2+|3b-9|-0,

•••a+1=0,3b—9=0,

解得：a=—1,匕=3,

数轴上标出4、8两点如下：

(2)；4、3两点对应的数分别为-1和3,点P对应的数为工

*'•PA=|-1—x\>AB—3—(—1)=4,

vPA=2AB,

•••|-1-x|=2x4,

解得：%=-9或%=7.

题型3与数轴上有关的动点问题

利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和单位长度，将各个i

I

点在数轴上一一表示出来，并以动点表示出行走的方向和路线，便可清晰直观地看出所要求的解.!

I・■MM・-MM■■■■■■■aHBI■SMB■■■■■■W■■■■■■.W■■■■■■MBHi■■■■■■■■■■■■BMBB-SBM■flMB■MM―1MB.■■■■■■SHHIl

7.(24-25七年级上•广东江门,阶段练习)如图，数轴上4B两点对应的有理数分别为-8和12,点P从

点0出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点。出发，以每秒2个单位长度的速度

沿数轴正方向运动，设运动时间为£秒.

-----------A1-----------O-1------------------B1------>

(1)当£=2时，数轴上的点P、Q表示的数分别是和；

(2)当£=5时,求P、Q两点间的距离；

(3)在运动过程中是否存在时间t使小P两点间的距离与8、Q两点间的距离相等，若存在，请求出此时Z的

值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)-2；4

(2)15

(3)t=4或t=V

【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键.

(1)列出点的表达式，代入t运算即可；

(2)根据表达式代入£运算即可；

(3)分类讨论点的位置，列出方程运算即可.

【详解】(1)解：由题意可得：P=T,Q=2t

・•・当t=2时，P=-t=-2,Q=2t=2x2=4

故答案为：一2：4；

(2)解：把t=5代入P=-3Q=2£可得：

P=-5,Q=10,

:,PQ=10-(-5)=15；

(3)解：•・•点P到点A的时间为：8+1=8：点Q到点B的时间为：12+2=6；

,当046时，大致如图所示：

―d―,O__B

VP=-t,Q-2t,A=-8,B-12,

・MP=-t-(—8),BQ=12-2t

：,AP=BQ=T—(-8)=12—2t

解得：t=4；

当6WtW8时，大致如图所示:

AO

,-,AP=-t-(-8),BQ=2t-12

：.AP=BQ=-t-(-8)=2t-12

解得：£=日；

«3

当t>8时,大致如图所示:

;.AP=(-R)-(-r),BQ=2t-12

：.AP=BQ=(-8)-(-t)=2t-12

解得：£=4(舍去)：

综上所述：t=4或£=?.

8.(24-25七年级上•湖北省直辖县级单位•期末)已知，数轴上点力在原点左边，到原点的距离为8个

单位长度，点占在原点的右边，从点力走到点氏要经过32个单位长度.

(1)求48两点所对应的数：

(2)若点C也是数轴上的点，点。到点6的距离是点。到原点的距离的3倍，求点C对应的数：

⑶己知，点"从点力向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时点"从点8向右出发，速度为每秒2个单

位长度，设线段N。的中点为月线段P。一AM的值是否变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由.

【答案】(D点力表示的数为一8,点〃表示的数为24

⑵点。表示的数为一12或6

(3)不变，PO-AM=12

【分析】本题考查数轴的应用及一元一次方程的应用.

(1)直接根据有理数与数轴上各点的对应关系求出46表示的数即可；

(2)设点C表示的数为。，再根据点C到点6的距离是点C到原点的距离的3倍列出关于。的方程，求出c

的值即可；

(3)设运动时间为t秒，则4M=3N0=24+23再根据点〃是N。的中点用才表示出P。的长，再求出

尸。一力”的值即可.

【详解】(1)由题意知，点力表示的数为-8,

设8为b,

则：b-(-8)=32

解得：b=24

・••点〃表示的数为24；

(2)设点。表示的数为筋

依题意，得

|x-24|=3|x|,

解得x=-12或x=6,

即点。表示的数为一12或6；

(3)设运动时间为E秒,贝必M=t.NO=24+2t,

•・•线段N。的中点为P

・・・P0=扣0=；(24+2t)

即P0=12+t,

即P0-4M=12+t-t=12,

所以PO一力M的值不变，PO-AM=12.

9.(24-25七年级上•广东汕头•期中)如图，在数轴.匕点力表示的数是8,若动点尸从原点。出发，以2

个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点0从点力出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后

立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为1秒.

PQ

IIII»

OA

(1)当t=0.5时，求点0到原点。的距离；

⑵当t=2.5时，求点0到原点。的距离；

⑶当点。到点A的距离为4时，求点尸到点。的距离.

【答案】(1)6

(2)2

(3)6或10或22

【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间

距离的表示方法是解题的关键.

（1）计算出点。运动的路程，即可解答；

（2）计算出点。的运动路程，即可解答：

（3）分三种情况，点Q在还没达到原点，点。到点力的距离为4；到达原点后返回未经过点力，与点力的距

离为4,返回经过点力后，与点力的距离为4,再计算时间，即可得到点P运动的路程，即可解答.

【详解】（1）解：•・•动点〃从原点。出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点。从点力出发,

以4个单位/秒的速度也向左运动，

・••当t=0.5时，4Q=4t=4x0.5=2,

•・•在数轴上点力表示的数是8,

：.OA=8,

；・OQ=04一AQ=8—2=6,

・•・当£=0.5时.点Q到原点。的距离为6：

（2）解：•・•动点U从原点。出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点力出发，以4个

单位/秒的速度也向左运动

・•・当t=2.5时，点Q运动的距离为4t=4x2.5=10,

•・・在数轴上点力表示的数是8,

：.OA=8,

：.OQ-10-8-2,

:.当t=2.5时•，点Q到原点。的距离为2；

（3）解：当点Q到点力的距离为4时，

分两种情况讨论：

①点Q向左运动还没达到原点时，

•・•在数轴上点力表示的数是8,

：,OA=8,

•・・仅=4，

.,.（20=8-4=8

运动时间为t=4+4=1（秒），

：.OP=2x1=2；

：.PQ=4+2=6；

②点Q向右运动时且还没经过点A时，

\*AQ=4,

.\Q0=8-4=8,

运动时间为t=(04+OQ)+4=[8+4)+4=3(秒)，

；・0P=2x3=6；

：.PQ=6+4=10；

③点Q向右运动时且经过点4后，

'：AQ=4,

：.QO=OA+AQ=8+4=12,

运动时间为t=(04+OQ)♦4=[8+12)+4=5(秒)，

OP=2x5=10；

:・PQ=10+12=22；

综卜，点P到点0的距离为6或10或22.

题型4利用绝对值/偶次方的非负性求解

■■■■・・MM■・MBB・・MM・■■■■■■.

RO的嫉

根据绝对值或平方的非负性可知，如果儿个非负数和为0,那么每一个非负数为0.

■,一・■—B■,■—・»»・W■I

10.(2024七年级上•全国•专题练习)根据⑷之0这一性质，解答下列问题:

(1)当Q=_时，|。一4|有最小值，此时最小值为「

⑵当a取何值时，|a—1|+3有最小值？这个最小值是多少？

(3)当3取何值时，4一同有最大值？这个最大值是多少？

【答案】(1)4,0

(2)a=1,3

(3)a=0,1

【分析】本题考杳了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键.

(1)根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0,则可得。-4=0时，|。一引有最小值，由此即可求

解；

(2)要使|a—1|+3有最小值，则|a—1|要取最小，即a—1=0,由此即可求解；

(3)要使4一4有最大值,则同取最小值,结合同N0即可求解.

【详解】(1)因为|。一4|20,所以当Q=4时，口一4|有最小值，这个最小值是0.

故答案为：4,0

(2)因为|。一1|之0,所以当Q=1时，|。-1|+3有最小值，这个最小值是3.

(3)因为|3之0,所以一|a|WO,所以当a=0时，4一间有最大值，这个最大值是4.

11.(24-25七年级上•河南南任•阶段练习)用字母a表示一个有理数，同一定是非负数，也就是它的

值为正数或者0,所以间的最小值为0,而一|a|一定是非正数，即它的值为负数或者0,所以一⑷有最大

值为0,根据这个结论完成以下叵题：

⑴|可+1有最______值为______:5一|。|有最______值为；

(2)当。=_______时，佃-1|+2有最______值_____；

(3)当。=_______时，9一|0-3|有最______值_____;

(4)当|。+3|+也一2|=0,求Q+b的值

【答案】(1)小；1;大；5

(2)1：小:2

(3)3；大；9

(4)-1

【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0列式是解题的关键.

(1)根据非负数的性质⑷N0,可以求出有最小值；根据一⑷W0,可以求出有最小值；

(2)把他一1)看作一个整体，根据非负数的性质求解；

(3)把(a—3)看作一个整体，根据非负数的性质求解；

(4)根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解.

【详解】(1)W：V|a|>0,

/.|a|+1>1,

・••回+1有最小值1,

•・•-|a|<0

***5—|a|<5

・・・5—3有最大值5

故答案为：小；1;大；5.

(2)解：V|a-l|>0

A|a-l|+2>2,

・•.当a=l时，|Q-1|+2有最小值2,

故答案为：1；小；2.

(3)解：V-|a-3|<0

A9-|a-3|<9

.•.当a=3时，9一|a-3|有最大值9,

故答案为：3；大；9.

(4)解：V|a+3|+\b-2\=0

G+3=0,b—2=0,

解得：a=-3,b=2,

a+匕=—3+2=-1.

12.(24-25七年级上•湖南株洲•期中)已知有理数。、匕满足|a-6|+3+5)2=0,

(1)求b-a-2024的值;

(2)如图，在一个无盖正方体展开图中，相对的两个面的数字互为相反数，求x—y+2024的值.

【答案】⑴-2035：

(2)2013

【分析】本题考查了绝对值非负性，求代数式的值，正方体相对两个面上的文字，熟练掌握知识点的应用

是解题的关键.

(1)根据绝对值非负性即可求出Q=6,d=-5,然后代入求值即可；

(2)根据正方体的展开图，判断出相对的面，利用相对面上的两个数字互为相反数，求出％、y,进而计算

出x-y+2024的值即可.

【详解】(1)解：•••|a—6|+(b+5)2=0,

/.G-6=0,6+5=0,

Ac=6,b=—5,

・•・/?-Q-2024=-5-6-2024=-2035；

(2)解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

与b是相对面，x与a是相对面，

由(1)得：a=6,b=—5,

•・•相对的两个面的数字互为相反数，

:.x=-6,y=5,

・・・x—y+2024=-6-5+2024=2013,

・・・x-y+2024的值为2013.

题型5比较有理数的大小

-I

0。旬0

比较数大小数轴最直接；数比0大，负数比0小；同负绝对值，值大数反小.

13.（25-26七年级上-全国-课后作业）比较下列各组数的大小:

(1)+(—3)和一(一4)；

（2）一（一2）和一|+2卜

(3)+|-3|和|一(+5)|：

⑷-(+3和T-小

【答案】(1)+(—3)<—(—4)

⑵一(-2)>—|+2|

⑶+|-3|<|-(+5)|

⑷-(+3<T7

【分析】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，有理数的大小比较;

(1)先化简各数,再根据负数小于正数比较大小即可;

(2)先化简各数,再根据负数小于正数比较大小即可:

(3)先化简各数,再根据两个正数比较大小的方法比较即可;

(4)先化简各数,再根据两个负数，绝对值大的反而小即可得到答案:

【详解】(1)解：•・•+(-3)=-3,-(-4)=4,

.・.4-(-3)<-(-4)；

(2)解：V-(-2)=2,-|+2|=-2

:.—(—2)>—|+2］；

(3)解：•・•+|-3|=3,|-(+5)|=5,

・•・+1-31<|-(+5)|;

1312

解：・(==

••+9=2铲336,

•一（+31

14.（24-25七年级上♦广西贵港•期末）有理数：-3a-|-1|,3.2,0,2,一5.

IllIIIIIIIII1»

-6-5-4-3-2-10123456

（1）在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点；

（2）把这6个数用“V”连接起来;

⑶这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有几个；

⑷由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算）

【答案】⑴见解析

（2）-5<-31<-|-1|<0<2<3,2

⑶4

（4）8.2

【分析】本题考查数轴，绝对值，和有理数的分类及比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数的相关概念.

（1）先在数轴上表示出各个数即可；

（2）由（1）的数轴即可得出答案；

（3）根据相反数的定义和绝对值的定义得出即可；

（4）由（1）的数轴上距离最远的两点作差进行计算即可.

【详解】（1）如图所示.

（2）正方向向右时，数轴上右边点表示的数比左边点表示的数大，可得一5<-3]<—|-1|<0<2<3.2

（3）•・•负数和0的绝对值等丁它的相反数,

・••这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有一3右一|一1|,0,-5,

绝对值等于它的相反数的数有：一3/一|一1|,0,—5,共4个

（4）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是:

3.2-（-5）=8.2.

题型6根据点在数轴的位置判断式子正负

15.（24-25七年级上•甘肃平凉•期中）有理数a,Ac在数轴上的位置如图所示，求3+卷+亩的值.

1it।»

c0ba

【答案】1

【分析】本题考查数轴与有理数，化简绝对值，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，

化简绝对值后，进行计算即可.

【详解】解：由图可得cVOVb<Q,

,abcabc

・・而+而+百=^+%+7=1+1-1=L

16.（24-25七年级上•江苏无锡•期中）有理数a、b、。在数轴上的位置如图：

III■

a0bc

（1）判断正负，用“〉”或“V”填空：c—bj）,a+b_O,c-aj）.

（2）化简：|c—b|+\a+b\-\c-a\.

【答案】⑴>，V,>

⑵-2b

【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，有理数的加减法，绝对值的意义，

对于（1），根据数轴确定反反。的正负情况、再根据有理数的加减法确定各式的值即可；

对于（2）,根据（1）的结论化简绝对值然后合并即可.

【详解】⑴解:由数轴可知：a<O<b<c,|ZJ|<|a|<|c|,

c-b>0,a+b<0,c—a>0,

故答案为：>,<»>;

（2）,**c—b>0,a+b<0,c—Q>0,

：.\c-b\^\a+b\-\c-a\

=c—b—（a+b）—（c—a）

=c-b—a—b—c+a

=—2b.

17.（24-25七年级上•湖南长沙•阶段练习）已知有理数a、5、c在数轴上的位置如图所示：

______IIIIII»

c-1b0a1

（】）判断正负，用“>”、"V”或“="填空：c-a0,a-b0；

（2）化简:\c-a\+\a-b\-\b\.

【答案】（1）V,>.

（2）2a—c

【分析】本题考查了数轴上表示的数，有理数的加减运算，解题关键是根据数轴上数的位置确定数的正负,

再判断各个式子的符号和化简即可.

（1）根据有理数以&。在数轴上的位置确定数的大小和符号即可求解；

（2）根据各个式子的符号化简绝对值，再合并同类项即可.

【详解】（1）解：根据有理数a、b、c在数轴上的位置可知，

c<b<0<a

•*»C—Q<0,CL—匕>0,

故答案为：V,>.

（2）解：Vc-a<0,a-b>（i,b<0,

：.\c-a\+\a-b\-\b\

=a—c+a—b+b

2a—c.

18.（24-25七年级上-重庆巴南-阶段练习）有理数a、b、。在数轴上的位置如图：

111I>

a0bc

（1）用“>”或“v”填空：a____0,Q+C_____0,b-a____0,a+b____c-b.

⑵化简：I。-川+甘-鬻+木

【答案】（1）V：>:>:<

⑵-a+h+4

【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，化简绝对值：

（1）根据数轴可得QVOvbCc,据此根据有理数的加减计算法则求解即可；

（2）由（1）可知，a-b<0,abVO,c>0,据此化简绝对值，然后根据有理数的四则混合计算法则求

解即可.

【详解】（1）解：由数轴可知，a<O<b<c,\c\>|a|>\b\,

a4-c>0,d—a>0,a+b<0<c—

故答案为：<；>；>；<；

(2)解：由(1)可知，a-b<0,ab<0,c>0,

।2(a+c)31a川.上

：

.\a-b\a+c

—3abc

=-(a-b)+2+一

ab

=-a+d+2+3-l

=-a+b+4.

题型7有理数混合运算

运算顺序：如果无括号，那么要按照“先乘除，后加减”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号：

I

里面的，再算括号外面的；同i级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运！

衿।

算.

■■W♦

19.(24-25七年级上♦陕西西安-开学考试)计算

(l)3^xll%+24.6x2(-3%

JLJLO

(2)2.35+4.75-4.5x(0.2+0]

(3)Tx(6.75+,—2.4+4；x2

6\1245/

".1177

(4)-x0.875+—x—+—x0.5

5lbioID

【答案】(1)66

(2)1

(3)4

(4)—

'，16

【分析】本题主要考查了分数混合运算，有理数四则混合运算，乘法运算律，熟练掌握运算法则，是解题

的关键.

(1)根据分数、百分数混合运算法则进行计算即可；

(2)先计算括号里面的，然后根据分数混合运算法则进行计算即可；

(3)根据分数四则混合运算法则进行计算即可；

(4)将原式进行变形，然后结合乘法分配律进行计算即可.

【详解】⑴解：3^x11%+24.6x2|-3%

431183

--X-----+24.6x—

11100100

433

+8.2x8

Too100

433

+65.6

WO100

=0.4+65.6

=66；

(2)解：2.35+4.75一4.5x(0.2+3]

=2.35+1.75-4.5x0.2-4.5xJ

=2.35+(4.75—0.9—1.5)

=2.35+2.35

=1;

(3)解：/(6.75+得-2.4+4；x2|)

1/2712121712\

=6XITXT-T+TXTJ

112/2717\

=6XT4T-1+T)

112

=x—x10

765

-4；

(4)解：|x0.875+^x-^+-^x0.5

□lbloio

177171

=5X8+l5XT6+T5X2

737171

=l5X§+i5Xl6+l5X2

7/311\

=l5Xl8+T6+2；

715

=—x-

1516

7

=而

20.(24-25七年级上•吉林四平•阶段练习)小明在计算题目：24x；+2+Q—g)时，步骤如下:

解：原式=6+2+：—2+).........第一步

=6+6—4第二步

=8.......第三步

根据小明的计算过程解答卜列过程：

(1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第步：

(2)写出该题正确的解题过程.

【答案】(1)一

(2)—6,过程见解析

【分析】此题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是关键.

(1)根据有理数的运算法则进行判断即可；

(2)先计算乘法和括号内的减法，再计算除法，最后计算加减法即可.

【详解】(1)解：小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第一步，原因是除法没有分配律;

故答案为：一

⑵解：24>4+2+@_乡

=6+2+0|)

=6+2+(])

=64-2x(—6)

=6-12

=-6

21.(24-25六年级下-江苏南京-期末)计算下面各题.

(1)672-372+6

(2)7.25x(6.4-2.8)

⑶7个磊

喈-Q4+9

⑸G+白

(6端+辰(1削

【答案】(1)610

(2)26.1

⑶B

（4）1

⑸4

（6）3

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解答本题的关键.

（1）原式先计算除法，再计算减法即可；

（2）原式先计算括号内的减法，再计算乘法即可；

（3）原式把除法转换为乘法，再约分可得结论；

（4）原式先计算括号内的除法，再把括号展开，最后计算减法即可；

（5）原式运用乘法分配律将括号展开，再运用加法结合律进行计算即可；

（6）原式分别计算括号内的，再进行除法运算即可.

【详解】（1）解：672-372+6

=672-62

=610；

(2)解：7.25x(6.4-2.8)

=7.25x3.6

=26.1；

⑶解：7+"要

58

=7x-x——

249

20

=

（4）解:+l

81154'

针亍+£

1254

775

4

=1-5

5'

(5)解:

811

=3+19+19

=3+1

=4；

⑹解:》[|xQ-|)]

4+导(*4)]

31

20^20

3

=—X20

20

=3.

22.(24-25七年级上-重庆・开学考试)计算:

(1)3.5+1g+6.5x[12x(1-0.3)-15%]

⑵侬号、2卷)“(3a+4.375)+1叫

(3)2026—10.5xg+8|+(26-1.6-b^x2.5)

⑷河(025+9X-0.3x卜(0.6-i)]

(5)22.5+(311.8+1.21x1

(6)卜»(0.4-1)x4.5]+(3.25-1i)

【答案】(D?

⑵骨

(3)2027

'(4)，—20

(5)50.1

(6)|

【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键.

(1)先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可;

(2)先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可;

(3)先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可；

（4）先将小数化为分数，再对括号内通分计算，再计算乘除法.最后计算加减法即可；

（5）先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可；

（6）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可.

【详解】（1）解：3.511+6.5x[12x15%]

7413[/I3\151

=2^3+TXl12X（3-ioJ-iool

7313[/109\31

=2X4+TXl12Xl3O-3O）-^ol

2113/13\

=T+Txl12x5o-5oJ

2113/23\

=T+TX（5-20）

2113/83\

=T+Txl2o-2oJ

21131

=-8"+TX4

2113

=--+--

88

=—34=—17・

84'

（2）解：侬一。2»+[（3那4.375）+1叫

\8314/-1\12+8;，91

~\87）,[\24+24）179」

\5656/1\24X179；

593

---+—

568

598

=——x—

563

=­59•

21，

（3）解：2026-10.5xg+8|+（26_1.6+和2.5）

=2026-8.4+8.4+（26-10x2.5）

=2026-8.4+8.4+（26-25）

=2026-8.4+8.4+1

=2027；

⑷解：|[（0,254-i）x^]-0.3x[Z^（0,6-1）]

冬传+协引4需40]

3[/78\713

=广[总+却*对F二8化\20-外20/

31635

==X——--X-

53102

163

=--——

54

6415

=20-20

（5）解：22.5+（3江1.8+1.2"»]/

=[22.5+（3.6+1.8+0.55）]+；

1

=[22.5+（2+0.55）]4--

乙

=25.05x2

-50.1；

（6）解：[31-（0.4-x4.5]-（3.25-1

二6一（l-9Kk（工25一1・25）

/719\

=匕一玉x引+2

-110-10尸2

321

=10X2

16

=10

8

=?

23.（24-25七年级上-甘肃天水-阶段练习）计算

(1)(-28)-(+12)-(-3)-(+6)

(2)(-25)+(-7)-(-15)-(-6)+(-11)-(-2)

⑶11+(-6.5)+3号+(—1.25)+23

⑷5一(一0.25)一|一8|-3

【答案】⑴-43

⑵一20

⑶一0.5

(4)-3

【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键;

(1)根据有理数的加减混合运算法则计算即可；

(2)根据有理数的加减混合运算法则计算即可；

(3)根据有理数的加减简便运算计算即可；

(4)根据有理数的加减简便运算计算即可.

【详解】⑴解:(-28)-(+12)-(-3)-(+6)

=-28-12+3-6

二-40+3—6

=-37-6

=—43；

(2)解：(-25)+(-7)-(-15)-(-6)+(-11)-(-2)

=-25-7+15+6-114-2

=-32+21-9

=-20；

(3)解：G+(—6.5)+3亮+(-1.25)+29

=(11—1.25)+(-6.5)+(3/2§

=—6.5+6

=-0.5：

(4)解.：5-(-0.25)-|-8|-1

1

8

4-

=5—8+0.25—4

=—3.

题型8有理数混合运算中的简便运算

24.（24-25七年级上•河北保定・开学考试）能简便计算的用简便方法计算.

2024

⑴2024X

2025

⑵-27xfl

（3）12.5x（36-71）-3.6

（4）14x5+0.65x-^-|x14+-^x0.65

【答案】（1）2023剧

⑵高

（3）100

（4）2.65

【分析】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律.

（1）把2024写成2025-1,然后根据乘法的分配律计算即可；

（2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可；

（3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可；

（4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可.

【详解】（1）解：2024x|^

2024

(2025-l)x

2025

20242024

=2025x————lx____

20252025

2024

=2024

2025

=20232025；

（2）解：V+27X号

9122

=TTX27X27

2

=—•

81'

(3)解：12.5X(36-7»3.6

=12.5x

/103610\

=12.5x(?6x花-豆X君)

=12.5x(10-2)

=12.5x8

=100.

(4)解：14x2.65x}"14+得X0.65

3285

=14x———x14+0.65x——十—x0.65

//AO10

=14x(泊+0.65x偌+合

1

=14X-+0.65x1

=24-0.65

=2.65.

25.(24-25七年级上-湖南永州-开学考试)计算下面各题，能简算的要简算

呜啡x(2)]

(2)3.28X37+6.4X32.8-328X1%

(3)9.6-11+7+"4

(力运5