有理数运算中的新定义型及规律探究问题（4大题型）原卷版-2024七年级数学上册（人教版）

有理数运算中的新定义型及规律探究问题

(4大题型)

目录

A题型建模•专项突破

题型一、有理数运算中的程序问题.................................................................1

题型二、古代中的有理数运算问题.................................................................3

题型三、有理数运算中的新定义型问题.............................................................4

题型四、有理数运算中的规律探究问题.............................................................8

B综合攻坚•能力跃升

A题型建模•专项突破

题型一、有理数运算中的程序问题

1.按如图所示的程序计算，若开始输入的数为o,则最后输出的结果为

2.如图所示的是一个简单的数值运算程序.当输入x的值为4时，输出的值为—

/tnjAx/—>[>?(-96)|—丑(一0.25)1义+f|一(—1)，输出/

3.按照如图所示的一个数值转换程序，若输入〃?的值是-2,则输出的结果是一

输入〃7m2—►-5—►+3—►义（-2）—►输出

4.小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数

据1=8时，加密后的数据是253；当原始数据x=40时，加密后的数据是235.如果输入的原始数据X是正

整数，加密后的数据是217,那么原始数据x的值可以是

题型二、古代中的有理数运算问题

5.如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三

个数字，其和皆相等，则右下角代表的数是—.

海书

6.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数如图，

一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1,孩子出生

后的天数=3x72+1x71+6=147+7+6=160（天），请根据图2,计算孩子自出生后的天数是天.

7.第十四屈国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素・，展现了我国古代数学

的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数

的数字系统，有。〜7共8个基本数字.八进制数3745换算成•卜进制数是3x8'+7x8?+4x81+5x8°=2021,

表示ICME-14的举办年份.则十进制数2025换算成八进制数是.（注：8°=1）

8.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数一位书

生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数''的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右

到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（1x62+2x6+3=51）,按同样的方法，图2表

示的天数是.

图1图2

题型三、有理数运算中的新定义型问题

9.对于有理数a,b,定义运算：a®b=-a2+ab，如2额=-2?+2x1=-2.

⑴计算(-5)83的值；

(2)计算口包(一3)]③(一2)的值.

10.定义一种新运算"△”：心b=hb，例如：1R-2)=(-2/-1X(_2)=4+2=6.计算:

(1)(-3)A(-5)；

1

⑵63

11.对于任意有理数mb,我们定义一种新运算“※力规定：a^b=a2-ab+b2,如:

(-2)^3=(-2)2-(-2)X3+32=19.

⑴求(-8)※(-5)的值；

⑵求(-5僻(3派2)的值.

题型四、有理数运算中的规律探究问题

3观察下列等式：—=l-p

2x3233x434

把以上三个等式两边分别相加得:——=1

这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些

项，最终达到求和的目的.规律应用：

计算：-+—+—++——的值.

1x22x33x499x100

14.【观察思考】观察下列等式

1,1111111

1x222x3233x434

将以上三个等式两边分别相加得：

【探索规律】

⑴猜想并写出：就if一­

(2)宜接写出下列各式的计算结果：

1111

切+诟+市+……+2023x2024-

【迁移运用】

2222

(3)----F----1-----1------------.

1x33x55x72023x2025

15.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉.

例如：|6+7|=6+7,|6-7|=7-6,|7-6|=7-6,|-6-7|=6+7.

【初步体验】

（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）:

①|7-21|=；

77

（3）------=；

1718------

【拓广应用】

（2）计算:

八115015011

①------

-5557557~2~~2

1111111111

+

32435420232022+2024~2023

16.在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣.借助有理数运算的学习经验，自主探

究新定义运算.

小米设计一种新运算“㊉”，即对任意有理数/),满足如下规律：。㊉称此种运算为“绝佳”运算.

例如，5㊉(-2)=|5+(-2)|=3；(2)(-2)㊉4=|(-2)+4|=2.

【探究一：两个数“绝佳”运算】

(1)填空：①3㊉(-4)=；②(-4)㊉3=；

通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例(举一个反例即可);

(2)①若3㊉x=7,则工=；②若(-3)㊉x=则x=；

【探究二：三个数“绝佳”运算】

(3)小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律.

请你帮助她验证等式[6㊉(-7)]㊉(-8)=6㊉[(-7)㊉(-8)]是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律.

B综合攻坚•能力跃升

一、单选题

1.现定义新运算“※”，对任意有理数。、b,规定。※力=/—副，则_1※2024的值（）

A.-2025B.-2024C.2024D.2025

2.定义一种新运算：对于任何有理数。和力，规定：a※方二"+乩如隰2=1x2+22=6,则（-4忤2的值

为（）

A.—4B.8C.4D.—8

3.乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机"，按如图所示的程序运算，如果输入1,则输出的结果是

（）

4.定义一种对正整数〃的“户”运算：①当〃为奇数时，/（〃）=3〃+1；②当〃为偶数时，（其

中左是使/（〃）为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取〃=12,则有

竺1]-^不丁1〃，,按此规律继续计算，则第2025次“产”运算的结果是（）

----第I次1----1第2次1----1册3次1-----

A.18.3C.4D.5

5.如图1,八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（用。），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”

分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦

之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖.易经八卦中阴爻川中断线表示或数字“0”表示，阳爻用

连线，，一，，表示或数字“I”表示.十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是（）

D.

二、填空题

6.对非零有理数a,〃定义一种运算合,其规则是；a®h=-^-t贝l」(—3)会(-2)三______.

ba

7.如图是一个数值转换机，当输入的数字〃=-3时，按照图中的程序计算，输出的答案为

输入n一+(-3)2—+(-2)一输出答案

8.我国古代典籍《庄子・天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，万世不竭现有一根长为1尺

的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩卜.长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度

的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为.

w'-mn(m>n),,

9.定义一种运算符号“※"：〃※口=<:.例如：4※(-2)=4?-4x(-2)=24,根据定义的运算

mn-n~(w<〃)，

法则，解决下列问题：

(1)(-4)^2=；

(2)[(-3)※(—2)]※(—3)=—.

10.用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正

方形表示1,白色小正方形表示0,将每一行数字从左到右依次汜为a,b,c,d,其序号为

"23+6x2?+cx2+d.例如第一行数字从左往右依次是0,1,1,0,则表示的序号为0x23+1x22+1x2+0=6,

以此规律，第二行序号表示2,第三行序号表示2,第四行序号表示9,该生为6年级2班29号，图2学生

识别为五年级，则要在()涂黑.

图1图2

三、解答题

11.我们定义一种新运算：a®b=a+b-ab.

⑴求38(-2)的值；

(2)求(-4)M1⑥(-5)］的值.

12.现定义一种新的运算，规定：a^b=a2+ab-\,其中06均为有理数，例如:

1X2=12+1x2-1=2.求：

⑴13)※(-2)的值;

⑵2※(--［(-5怦2］的值.

13.根据下图所示的程序回答问题：

色且)叵回=恒十＞＜^是正迹＞邑建承

取绝时值卜

(1)当小明输入-1和-2这两个数时，输出的结果是多少？

(2)当小明输入-1和这两个数时，输出的结果是4.求被墨水污染的数.

14.按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果.

(1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为

(2)设输入的数记作x,且国=5,求出输出的结果.

15.观察卜列等式:

11?

第一个等式：说一诟

112

第2个等式：=

2x33x42x3x4

|12

第3个等式：……

3x44x53x4x5

按照以上规律，解决下列问题：

(1)请直接写出第4个等式：

(2)利用规律计算：丁\+一：+一］的值；

1x2x32x3x43x4x5

⑶直接写出「工+…+的值•

4x5x68x9x10

16.概念感知：第十四屈国际数学教育大会（/CME-14）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素,

展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制

是以8作为进位基数的数字系统，有0〜7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是

3x83+7x82+4x81+5x8°=202b表示/CME-14的举办年份.（注：除0以外的数的0次方都是1）

（I）请把八进制数2163换算成十进制数；

（2）应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2,一位

妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数星，满六进一，她一共采集到的野果数量为

多少个？

17.定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）.

abab

若=则称有理数a,6为“隔一数对”.

例如：2®3=-i-=l2*3=1-1=12每3=2*3,所以2,3就是一对“隔一•数对”,

2x36236

(I)下列各组数是“隔一数对”的是(请填序号).

4\

①。=1,b=2=――»b=-y(3)a=-1,b=I

(2)计算:(-3)*4-(-3)04+(-2024)*(-2024).

18.学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”1、3、6、10…，与“正方形数”1、4.9.16...

之间有一定的联系，他们将“正方形数”4、9、16…分别用如图图形表示.

⑴数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数"4=1+3,9=3+6,16=6+10,得出：任何一个大于1

的“止方形数”都可以看作两个相邻"三角形数''之和.25可以看作两个相邻“三角形数”之和，25=+

(2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：4=22=1+2+1=1+3;

9=3?=1+2+3+2+1=3+6;16=42=1+2+3+4+3+2+1=6+10;…仿照上述规律，36=6=+

(3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数写成两个相邻，，三角形数，，之和，〃2=+

19.【概念学习】定义：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2+2+2、

(一3)+(-3)+(-3)+(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2+2+2记作23,读作“2的下3次方”,

(一3)+(-3"(—3)子(—3)记作(一3)「读作“一3的下4次方”一般地，把”……(。工0)记作，读作

Z的下n次方”.

(1)直接写出计算结果：23=,.

【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加汰运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数

的除方运算如何转化为乘方运算呢？

1I1/1\2

例如：2a=