与绝对值有关的十大题型（专项训练）-2024人教版七年级数学上册【附答案】

专题08与绝对值有关的十大题型（举一反三专项训练）

【人教版2024]

题型归纳

【题型1代数视角看绝对值的意义】

【题型2几何视角看绝对值的意义】

【题型3绝对值的非负性】

【题型4多绝对值处理——数形结合】

【题型5多绝对值处理——分类讨论】

【题型6多绝对值处理——零点分段】

【题型7多绝对值之和的最小值】

【题型8多绝对值之差的最大值】

【题型9绝对值和差的最值】

【题型10利用隐最值求最值】

举一反三

知识点1代数视角看绝对值的意义

变式结论：①若

|非负卜

\a\=a则

（>0）,f（420）；

绝对值的代数意义：|Q|=0（a=0）,♦■

（-a（a<0）.

②若同二一“，则

1非正

（去绝对值法则）

（心0）;

③同

知识点2几何视角看绝对值的意义

绝对值=距离，数=形

"一」.

,1-“1N1”1,I1nr**%IE

—L.-------子-------尸间的1V几l何意乂：数—1------里--------1—4的几何忠乂：数轴

XCX

轴上表示。的点到原点的电离.上表示X的点与表示。的点之间的距离.

知识点3绝对值的非负性

试卷第1页，共8页

1.同20,绝对值无负2.若同+例=0,则〃=0巨3.若回+/=0,则a=0且

数6=06=0

知识点4多绝对值处理——数形结合

4=k—讯表示P,力两点之间的距离；PB=\x-b\,\x-b\

「一|x-a|plx-i）LB表示P,3两点之间的距离；

---------------J~

axbPA+PB=\x-a\+\x-b\,

|x-a|+|x-〃|表示。至|J48两点的距离之和.

知识点5多绝对值处理——分类讨论

@+@=±2或。.①。，方同正，值为1+1=2；

ab

\a\a

U或口a>0=值为1；

②a,匕同负，值为一1-1=-2；

a\a\

③〃，b异号,值为1-1=0.

a<0=>值为-1.

注：无需讨论具体数的符号.

知识点6多绝对值处理——零点分段

零点：使绝对值为0的未知数的值

即为零点.方法：

"(匕同：卜一。|十卜一b[(a<0).令x-a=0,x-A=0,

①寻找所有零点，并在数轴上表

解得x=a,x=b,

示；

故零点为a，b,分三种情况讨论：

②依据零点将数轴进行分段；

①x<“；

③分别根据每段未知数的范围去

（2）a<x<b；

绝对.

③x>b.

易错点：分类不明确，不会去绝对

值，

知识点7多绝对值型最值

1.若a<b,则当时,卜-。|+卜7，|有最小值6-4.

2.若"bvc,则当x=b时，上一4+上一4+上一4有最小值一.

3.〃个绝对值之和求最小值

试卷第2页，共8页

一般地，设<%<,,,%，°=,_《|+卜—〃2|+,_%|+…+卜-%|.

①若〃为奇数，则当*="?时，夕有最小值：②若〃为偶数，则当之"""夕守时，夕有最

小值.

口诀：按序排列，奇取中值，偶取中段.

4.系数不为1型绝对值之和求最小值，可化为系数为1型问题解决.

5.若a<b,则当xNb时，卜一4一卜一耳的最大值为.

6.绝对值和差混搭求最大值：数形结合，分析表示数x的点的位置.

7.注意挖掘几个绝对值之和有最小值，及取得最小值时字母的范围这个隐藏的条件.

【题型1代数视角看绝对值的意义】

[例1]（24—25七年级下•陕西榆林•开学考试）

1.已知有理数％。在数轴上的位置如图所示，化简式子|。4|c-a|-i\bc|的值为一.

abc

-1011

【变式1—1]（2025七年级上•全国•专题练习）

2.己知l<x<2,则|x-3|+|x-2|的值为.

【变式1一2]（23-24七年级上•辽宁大连•阶段练习）

3.若。，则。的取值范围是.

【变式1一3]（24-25七年级上•江苏盐城•期中）

4.若a?=9，网=7,^\a-b\=b-a,贝lj2a—b的值为.

【题型2几何视角看绝对值的意义】

【例2】

5.已知何+12|=3加—8],求小的值.

【变式2一1】

6.数轴上点彳表示的数为T,点8表示的数为x,若九8两点之间的距离为11,求x的

值.

【变式2一2】

试卷第3页，共8页

②要使|X+2|+|X-4|=8,数轴上表示的数工=.

(3)求1+2|+1+1|+卜-2|+1一4|的最小值.

【变式4一1】

14.如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d.若|a・d|=10,|。・4=6,\b-d\=

2\b-c\,则|c・"|=()

■:it1

abcd'

A.1B.1.5C.2.5D.2

【变式4—2】

15.如图力，8,C,D,E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数

a对应的点在〃与。之间，数b对应的点在。与石之间，若同+网=3则原点可能是.

，,aQA11b1

ABCDE

【变式4一3】

16.点A、8在数轴上分别表示有理数A、8两点之间的距离表示为48,则在数

轴上A、4两点之间的距离力8=卜-4.

所以式子卜-2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离.借助于数轴回答

下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离

是•

②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为.

③数轴上表示x的点到表示1的点的距离与它到表示-3的点的距离之和可表示为：

卜-1|+卜+3|.则卜-1|+卜43|的最小值是.

④若卜-3|+卜+1|=8,贝ljx=

AB

—J--------------------------------->-----i>

a0b

【题型5多绝对值处理——分类讨论】

【例5】

试卷第5页，共8页

17.已知。也。为有理数.

（1）若。40,则|。|=；若6>0,则|〃|=.

,,lxaabacbeJr

（2）已知Q》C/O,avO,bc>0求^--+—j-+:----^+737■[的值.

t|a|\ah\\ac\\bc\

…r、、abcabbeacahc皿〃

（3）已知。反。0,且Q+Z）+C=O,求^—:+—+r_;+r-n+7T_i+1—：[।的值.

|a|\b\\c\\bc\\ac\\abc\

【变式5-1】

18.已知x,y均为整数，且|x・y|+|x-3|=1,则x+y的值为.

【变式5-2]（24—25七年级上•四川德阳•阶段练习）

abcabc

19.如果a,b,。为非零有理数且a+〃+c=0,那么时一网+冏+蕨[的值为.

【变式5一3]（23—24八年级上•浙江宁波•期末）

20.若关于x的方程卜-2卜1|=。有三个整数解，则。的值是（）

A.0B.1C.2D.3

【题型6多绝对值处理——零点分段】

【例6】

21.无论x取何值，k-2|+|x-5,a都成立，则。的取值范围是.

【变式6一1】

22.已知|x+4|+|x—2|=10,求x的值.

【变式6一2】

23.已知xK2,求卜-3|-卜+2|的最大值和最小值.

【变式6一3】

24.若卜一12|=2卜+1|+4,求工的值.

【题型7多绝对值之和的最小值】

【例7】（23-24七年级上•四川成都•期中）

25.设“=k一3|,*=|x-l|,c=\x+\2\,贝ij3a+5+c的最小值是.

【变式7-1]（23-24七年级上•浙江嘉兴•阶段练习）

26.式子式+100|+卜-2+|「-5|的最小值是.

【变式7一2】

27.请解答下列问题：

试卷第6页，共8页

①当代数式k+U+|x-i|取最小值时，x的取值范围是,最小值为.

②求上一1|+打一2林”3|+…+|x—24|的最小值为.

【变式7一3］（24-25七年级上•湖北武汉•期中）

22

28.设有理数a,b,C,满足"0,c＞0,且同＜网＜|［,则§|x+H+#-W+k+c|的最

小值为.

【题型8多绝对值之差的最大值】

【例8】（22-23七年级上•四川成都•期中）

29.若|x+l|+|x-l|的最小值记为〃，卜*-1卜卜-1|的最大值记为“，则—心=.

【变式8一1］（24—25七年级上•安徽六安♦期中）

30.若点4«在数轴上分别表示有理数。、h,则44两点之间的距离表示为48=|。一方|

（1）若|x-3|=2,这样的数x为：

（2）结合数轴探究：存在文的值，使式子|x+l|Tx-5|有最大值，这个最大值是.

【变式8一2］（22-23七年级上•浙江宁波•期中）

31.卜―2|一卜一5|的最大值为.

【变式8一3］（24-25七年级上•江苏无锡•阶段练习）

32.当式子卜-3|-|x+5|取得最大值时，x的最大整数值是.

【题型9绝对值和差的最值】

【例9】（22-23七年级上•浙江温州•阶段练习）

33.式子|x-l|+2|x-2|+3|x-3|+2|x-4|+|x-5|的最小值是.

【变式9一1】

34.求卜-1卜|工-2|+k-3|-卜-4|的最大值，并写出此时x的取值范围.

【变式9一2］（22-23九年级下•福建南平•自主招生）

1R

35.已知则|2x+l|—卜一1|+3国—卜―2|的最大值为.

【变式9一3］（24—25七年级上北京•期中）

36.1.已知，有理数。、6、c在数轴上的位置如图所示，

IIIIIIIJ

修631

试卷第7页，共8页

(1)化简：|34+4―卜_24+卜+2同=；

(2)若凡。两数的倒数是他们自身，当x的范围是时，卜-4+k-有最小值，最小值

为.

(3)在(2)的条件下，若未知数X、歹满足(卜-〃|+k-3|曲-2|+|)，-4)=6,则代数式x+2y

的最大值是.

【题型10利用隐最值求最值】

【例10](24-25七年级上•陕西西安•阶段练习)

37.若：,一2|+|〃+3卜|八1|+也+2|=8,则〃+6的最小值是一

【变式10-1](23—24七年级上•浙江绍兴•阶段练习)

38.已知人人为整数，|。+20231T力-2|=0,且bv%则a的最小值为.

【变式10-2]

39.我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离,我们可以把看作|x-0],所以，|x・

3|就表示x在数轴上对应的点到3的距离，|x+l|=|x-(-1)|就表示x在数轴上对应的点到-1

的距离，由上面绝对值的几意义，解答下列问题：

(1)当|x-4,|x+2|有最小值时，x的取值情况是二

(2)|x-3|+|x+2|+|x+6|的最小值是」

(3)已知|x-l|+|x+2|+|y-3|+|y+4|=10求2x+y的最大值和最小值.

【变式10-3](23—24九年级下•浙江温州咱主招生)

40.已知|x+2|+|x-l1=8——4|一|y+l|,则2*-3»的最小值为.

试卷第8页，共8页

1.0

【分析】本题考查了有理数与数轴，整式的加减，由数地可得即得。-6<0,

c-«>0,6-c<0,再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴判断求出"6、c-。、b-c

的符号是解题的关键.

【详解】解：由数轴可得，a<b<c,

.,.a-b<0,c-a>0,b-c<0,

原式=6_a_(c_a)+(e_b)

=b-a-c+a+c-b

=0,

故答案为：0.

2.5-2x##-2x+5

【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键.根据x的取值范

围，结合绝对值的性质，可得3-X+2-x,整理得出答案.

【详解】解：V1<X<2,

|x-3|+|x—2|=3-x+2—x=5—2x,

故答案为：5-2x.

3.a<1

【分析】根据绝对值的性质可得1&0,即可获得答案.

【详解】解：・.・|"1|=一,

..a<\.

故答案为：a<\.

【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键.

4.一1或一13

【分析】此题考查了有理数的减法，绝对值，代数式，掌握绝对值性质的逆向运用是解题的

关键.由/=9,同=7,可得出a=±3,b=±7,分别代入=中，得出满足题意。力

即可得出结果.

【详解】•."2=9,网=7,

答案第1页，共22页

a=±3,Z)=±7,

当〃=3,5=7时，

|a-b|=|3-7|=7-3=b-a,满足题意，

，2a—6=2x3—7=-1,

当〃=3,b=-7时，

|〃一4=|3_(_7)卜3_(_7)=。_/,w不满足题意舍去，

当〃=-3］=7时，

卜-耳=卜3-7|=7-(-3)=6-。，满足题意，

/.2i/-/?=2x(-3)-7=-13,

当。=-3*=-7时，

,一4=卜3-(-7)卜-3-(-7)="方工人-%不满足题意舍去，

综上所述，2。-方的值为-1或-13,

故答案为：-1或-13.

5.m的值为3或18

【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程，设力，从尸表示的数分别为

-12,8,m,则帆+12|=3加-8］的几何意义是尸4=3PB,分三种情况：当点尸在点力的左

侧时，当点尸在点4,8两点之间,即一124加《8时,当点尸在点8的右侧时,即止>8时,

分别画出图形求解即可.

【详解】解：如图，设力，B,。表示的数分别为-12,B,〃?，则帆+12|=3|〃?-8］的几何意

义是PA=3PB；

①如图1,当点P在点彳的左侧时，PA<PB,PA=3PB不成立;

②如图2,当点P在点48两点之间，即-时，

\m+\2\=PA=m+\2,

|w-8|=P5=8-/n,

.•.机+12=3(8—〃？),

解得〃?=3；

答案第2页，共22页

③如图3,当点〃在点8的右侧时，即机>8时,

|TM+12|=PA=w+12,

|m—=PB=〃？一8,

ZH+12=3(W-8),

解得〃?=18.

综上所述，，〃的值为3或18.

PAB

9--1------------1-------->

m-128

图1

APB

----1----------1---------->

-12m8

图2

ABP

----1-------------1e->•

-128---------m

图3

6.x=7或-15

【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键.

由力、4两点之间的距离为11,根据两点间的距离公式列出方程卜+4|=11,解方程即可.

【详解】解：•••/，8两点之间的距离为11,

|x+4|=11,

，x+4=l1或-11,

x=7或-15.

7.|〃?+1|的值为7或13

【分析】该题考查了绝对值的性质，一元一次方程,代数式求值,分为当m在2的左侧即加<2

时，和当，〃在2的右侧即,〃>2时，分别化询求出机的值，再代入“算即可.

【详解】解：的几何意义是数轴上表示数机和2两点之间的距离.

当用在2的左侧，即加<2时，卜〃-2|==10,解得：加=一8,

此时加+"=卜8+1|=7；

当加在2的右侧，即/〃>2时，］〃?一2|=〃?-2=1(),解得：〃?=12,

答案第3页，共22页

此时帆+1|=|12+1|=13；

综上所述，|〃?+1|的值为7或13.

8./=1

【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算，根据绝对值的几何意义

得到|2+4|+/-1|+"8|=12为数轴上表示数/的点到表示数—4,1,8这三个点的距离之和

为12,再借助数轴分析，即可解题.

【详解】解：++8|=12的几何意义是数轴上表示数/的点到表示数—4,1,8

这三个点的距离之和为12,

ABPC

III1、

-4I/8

即图中P/+PB+PC=12,

由图可知，PA+PB+PC>AC=\2,

只有当点尸与点8重合时，PA+PB+PC=4C=12,

9.y=3

【分析】本题考查了绝对值的非负性，化简绝对值，解一元一次方程，解题的关键是掌握绝

对值的非负性.

先由绝对值的非负性得到y-liO,那么|尸1|=k1,则得到卜-2|+,+八5|=0,再由绝

对值非负性得到方程，求解即可.

【详解】I?：v|x-2|+|x+^-5|+|j-l|=y-l,

二.歹—120,

•••,-1|二尸1,

|x一2|++y_5|+y_[=y_],

|x—2|+|x+y—5|=0,

Xv|x-2|>0,|x+j；-5|>0,

x-2=0,x+y-5=0,

x=2,x+y=5,

答案第4页，共22页

y=3.

10.1

【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值.熟练掌握绝对值的非负性是解题的关

键.由题意知。+1=0,8-2024=0,求4,6的值，然后代入求解即可.

2

【详解】解：v(fl+l)4-|/)-2024|=0,

a+1=0,b—2024=0,

解得a=-l,b=2024,

A(-1)2024=I,

故答案为：1.

11.10

【分析】本题考查了代数式的求值、绝对值的非负性、相反数，熟练掌握相关知识点是解题

的关键.由题意得，|x-2|+|J，+6|=0,利用绝对值的非负性求出X/的值，再代入2》-)，即

可求值.

【详解】解：..卡—2|与|j+6|互为相反数，

|jr-2|+|^+6|=0,

/.x-2=0,y+6=0,

/.x=2,y=-6,

2x-y=2x2-(-6)=10.

故答案为：10.

12.a+b=l

【分析】本题考查了绝对道的非负性质，代数式求值，几个非负式子相加等于0,则每个式

子的值都是0.

首先得至张一4|二。一4,推出卜-2|+也一5|=0,然后得到a—2=0,且力一5=0,求出”2,

6=5,代入a+b求解即可.

【详解】解：v|a-2|+|Z>-5|+|c-4|=c-4,

c-4>0,

|c—4|—c—4,

答案第5页，共22页

.\|«-2|+|Z)-5|=0,

:.a-2=0,且6-5=0,

**.—2,h=S9

a+b=7.

13.(1)①4；@|A-4|；③-2

⑵①6：②5或-3

(3)9

【分析】本题考查了绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离，理解绝对值的几何意义是

解题的关键.

(1)直接根据题干中两点之间的距离公式计算即可；

(2)①分析出卜+2|+卜-4|的意义，再结合数轴可得；

②分析出|x+2|+|x-4|=8的意义，再根据两点之间的距离为8列式计算即可；

(3)分5种情况去绝对值符号，计算各种不同情况的值，最后讨论得出最小值.

【详解】(1)解：①在数轴上表示-2与-6两点间的距离是卜2-(-6)|=4；

②在数轴上表示x与4两点间的距离是卜-4|；

@|x+2|=|x-(-2)|

则在数轴上表示x与-2两点之间的距离为卜+2|；

(2)解:①当表示数x的点在-2与4之间移动时，

卜+2|+|x-4|表示数轴上工与-2的距离和与4的距离之却，

则此时卜+2|+*一4|=4一(-2)=6；

②卜+2|+W-4|=8表示数轴上x与一2的距离和与4的距离之和为8,

则x的值为一2—十8-6=-3或4+8—-6=5；

22

(3)解：,+2|+k+1|+卜一2|十k一4|表示数轴上工分别与4,2,-1,一2的距离之和，

xN4时，原式=X一4+工一2+*+1+工+2=4工一3,此时的最小值是13；

2W4时，原式=4-x+x-2+x+l+x+2=2x+5,此时的最小值是9；

答案第6页，共22页

-I<x<2H^t，原式=4-x+2-x+x+l+x+2=9,

-24KW-1时，原式=4-x+2-x-l-x+x+2=7-2x,此时的最小值是9：

x《-2时，原式=4-x+2-x-I-2-x=3-4x,此时的最小值是11,

综上：|x+2|+k+l|+|x-2|+|x-4|的最小值为9.

14.D

【分析】根据依-旬=10,口-4=6得出/）和d之间的距离，从而求出8和c之间的距离，然

后假设。表示的数为0,分别求出从c,d表示的数，艮J可得出答案.

【详解】解：v|a-</|=10,

和d之间的距离为10,

假设a表示的数为0,则d表示的数为10，

^\a-b\=6,

”和6之间的距离为6

:力表示的数为6,

•­\h-d\=4,

•,.|6-c|=2,

表示的数为8,

•••|c-M=|8-10|=2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出。、机

。、d表示的数.

15.B或E

【分析】先利用数轴特点确定a,b的关系从而求出a,b的值，确定原点.

【详解】解：当为A为原点时,|a|+|b|>3,

当B为原点时,|a|+|b|可能等于3,

当C为原点时,|a|+|b|<3,

当D为原点时，|a|+|b|<3,

当E为原点时，|a|+|b|可能等于3.

故答案为：B或E.

【点睛】本题主要考查的是数轴与绝对值，分类讨论是解题的关键.

答案第7页，共22页

16.34,+2|4-3或5

【分析】①根据题目中公式求解即可；

②根据题目中公式求解即可；

③根据题目中公式求解即可；

④分为三种情况讨论，第一种x<-3,第二种第三种x>\,分别求解即可；

⑤方法一：根据④求解方法，可得原方程等号左侧最小值为4,而日前值为8,囚此将3和

-I同时向左或向右移动三个单位即可；方法二：根据题意，参考④的方法，分三种情况

套路即可.

【详解】①|2-5|=3,所以2和5之间的距离为3；

②卜3-1|=4,所以-3和1之间的距离为4；

③卜-(-2)|邛+2|,所以x和.2之间的距离为|x+2|：

④当第一种情况x<-3时，原式=—(x—l)—(x+3)=—2x-2,无最小值

当第二种情况—34x41时，原式=-(x—l)+(x+3)=—x+l+x+3=4,所以最小值为4

当第三种情况时，原式=(x-l)+(x+3)=2x+2,无最小值

所以原式的最小值为4：

⑤方法一：根据④得到|x-3|+|x+l|当-lvxv4时，最小值为4

因为|x-3|+|x+l|=8,所以将3向右移动2个单位或-1向左移动两个单位，此时x到两点的距

离和为8,此时x=-1-2=-3,或x=3+2=5

因此x=-3或5

方法二：当xV-l时，得-(x-3)-(x+l)=8,解得x=-3

当-1<XW3时，得—(x—3)+(x+l)=8,此时无解

当x>3时，得(x—3)+(x+l)=8,解得x=5

故原方程的解为-3或5

故答案为①3；②4；③|x+2]:④4；⑤-3或5.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值返程，熟练掌握绝对值的含义是本题的关键，绝

对值的几何意义表示两点间的距离.

17.(1)-a,b；(2)2或-2；(3)-1

答案第8页，共22页

【分析】(1)根据绝对值的性质即可解答；

(2)根据。<0,bc>(),判断出b,c同号，再对b,c的符号进行分类讨论，利用绝对值

的性质即可化简；

(3)根据。儿=0,且a+6+c=0,可得a,b,c可能是一正两负，或者是两正一负；进行

分类讨论，利用绝时值的性质进行化简即可.

【详解】解：(1)若则l〃l=-a,

若b>0,则I昨b,

故答案为：-a,b：

(2)v«<0,be>0,

••.b,c同号,

①若。<0,b<0,c<0,则ab>0,ac>(),

aabacbe.,.,_

——+——+——+—=-14-1+1+1=2,

-aabacbe

②若a<0,b>0,c>0,则abVO,ac<0,

aabacbe,.,,,

:.—+-------1------+—=-1-1-1+1=-2,

-a-ab-acbe

abci*'be

综上所述，-^^+[丁+尸;+7^的值为2或-2；

l«lI如1敬1I如

(3)vabc0,且a+&+c=0,

•••a,b,c可■能是一正两负，或者是两正一负;

①若a,b,c是一正两负，不妨设a为正，b,c为负,

abcabbeacabc

Oil------+------+------+---------+--------+---------+-----------

\a|161\c\\ab|15c|\ac\\abc\

abcabbeacabc

=—+—+—4--------4--+--------4---------

a-b-c-abbe-acabc

=1+(-1)+(-1)+(-1)+1+(-1)+1

②若a,b,c是两正一负，不妨设a,b为正，c为负,

abcabbeacabc

贝1]—+—+—+J-+

⑷叫©|ab||bc|14cl\abc|

abcabbeacabc

+_1_

一—__T_I.十_1_十4-十41

ab-cab-be-ac-abc

=1+1+(-!)+l+(-l)+(-l)+(-l)

=-l

答案第9页，共22页

，上abcahbeacabc上,，…,

综上所述：T~\+7r\+r~\^"r~r\+7r~\+'\—i+cn的值为」•

|a||Z?|\c\\ab\\bc\\ac\\abc\

【点睛】本题主要考查了绝对值性质以及有理数的运算，解题的关键是讨论字母的符号进行

分类讨论.

18.5或7或8或4

【分析】由绝对值的非负性质可知和|x-3|这两个非负整数一个为1,一个为0,即

|x-j|=l,|x-3|=0或卜-3|=1,|x-y|=0,然后解绝对值方程组即可,.

【详解】解：因为解/均为整数，17|+k-3|=1,

可得：\x-y\=^t|x-3|=0«£|x-3|=l,\x-y\=ot

二当工一3=0,x-y=\t可得：x=3,y=2,则x+y=5：

当x-3=0,x-y=-\,可得：x=3,y=4,则x+y=7；

当x—3=l,x—y=U,可得：x=4,y=4,则x+y=8：

当x-3=-l,x-y=(),可得：x=2,y=2,则x+y=4,

故答案为5或7或8或4.

【点睛】本题考查了绝对值性质，由非负整数和为1得出加数分别为I和0,然后分类讨论

解含绝对值的方程是关键.

19.0

【分析】本题考查绝对值的意义、有理数四则混合计算，应用“分类讨论''的数学思想是关键.

根据。、b、c,是非零实数，且a+b+c=0可知。，A,c为两正一负或两负一正，按两种情

况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可.

【详解】解：:。，b,。为非零有理数且4+/)+c=0,

由已知可得：a,b,c为两正一负或两负一正.

①当。，b,c为两正一负时，不妨设。、b为正，。为负:

bcabcababc.,,.

•=—+-+—+-----=0.

.・同网同\ahc\ab-c-abc

②当“，b,c为两负一正时，不妨设a、b为负,C为正,

abcabc

综上所述，时+网+向+网的值为。・

故答案为：().

答案第10页，共22页

20.B

【分析】根据绝对值的性质可得卜-2卜1=±0,然后讨论x22及x<2的情况下解的情况，再

根据方程有三个整数解可得出。的值.

【详解】解：①若卜-2卜1=〃,

当x22时，x-2-l=a,解得：x=〃+3,a>-\；

当x<2时，2-工-1=〃,解得：x=\-a；a>-1；

②若卜-2卜l=-a,

当x22时，工-2-1=一。,解得：x=-a+3,a<\；

当2时，2-工-1=-〃,解得：x=a+1,a<1；

又••,方程有三个整数解，

・•・可得：a=-1或1,根据绝对值的非负怦可得：a>0.

即。只能取1.

故选：B.

【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集

的求法是关键.

21.a<3

【分析】分类讨论求出不同情况下卜-2|十卜-5|的取值即可求出”的取值范围.

【详解】解：当x<2时，

|x-2|+|x-5|=2-x+5-x=7-2x>3；

当2Wx<5时，

|x-2|+|x-5|=x-2+5-x=3；

当人>5时，

|x-2|+|x-5|=x-2+x-5=2x-7>3；

综上，|x-2|+|x-5|>3,

则当a«3时，卜一2|十卜一5,。恒成立.

故答案为：“W3.

【点睛】本题考食:的知识力、是求•元一次不等式的解集、化简绝对值、含绝对值的•元•次

答案第11页，共22页

不等式，解题关键是对含绝对值的不等式分类讨论求解.

22.x=-6或4

【分析】本题主要考查了绝对值方程，熟练掌握绝对值意义，注意分类讨论，是解题的关

键.分三种情况讨论：当x<-4时，当-44x42时，当x>2时，分别去绝对值，解方程即

可.

【详解】解：令x+4=0,x—2=0,分别解得x=—4,x=2.

①当4<-4时，-(x+4)-(.r-2)=10,

-2x=12,

x=-6；

②当—4KxK2时，原方程化为x+4—x+2=10,此方程无解：

③当x>2时，x+4+x-2=10,

x=4.

综上所述，1=-6或4.

23.最大值为5,最小值为-3

【分析】此题考查了化简绝对值，整式的加减运算，解题的关键是掌握以上知识点.

根据题意分-2Wx«2和x<-2两种情况讨论，然后分别化简绝对值，利用整式的加减君算

法则求解即可.

【详解］解：当_2«x«2时，卜一3卜卜+2|=3-x-x_2=l_2x,

二当％=-2时，有最大值>2x(-2)=5：

当x=2时，有最小值1-2x2=-3；

当x<—2时，|x_3|一|x+2|=3_x+x+2=5.

综上可得最大值为5,最小值为-3.

24.x=-10或2

【分析】本题主要考查了绝对值方程，熟练掌握绝对值意义，注意分类讨论，是解题的关

键.分三种情况讨论：当x<-l时，当时，兰彳212时，分别去绝对值，解方程

即可.

【详解】解：分三种情况讨论：

①当时，一(x-12)=-2(x+l)+4,

答案第12页，共22页

解得：x=-10；

②当一14x<12时，一"一12)=2"+1)+4,

解得x=2；

③当xZ12时，x-12=2(x+l)+4,

解得x=-18<12不成立.

综上所述可知：x=-10或2.

25.17

【分析】本题考查了绝对值和数轴上两点间的距离，熟练掌握用绝对值表示数轴上两点间的

距离是解题关键.

【详解】解：•.F=|X-3|,6=|X-1|,C=|K+12|

3a+b+c=3|x-3|+|x-l|+|x+12|

因为3|x—3|+|x-l|+|x+12|表示。到1,72的距离以及到3的距离的3倍之和,

所以当x=3时，它们的距离之和最小，

此时3a+b+c=\l\

故答案为：17.

26.105

【分析】利用绝对值的意义判断即可.

【详解】解：・.也+100|+|》-2|+|工-5|表示数轴上一个动点一到-100,2,5三个点之间的距

离之和，

.•.当x=2时,|x+100|+|x-2|+|x-5|最小，此时最小值为

|2+100|+|2-2|+|2-5|=102+0+3=105,

故答案为：105.

【点睛】本题考有了绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律以及绝对值的几何意义是解

题的关键.

27.-1<X<12144

【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算,①由题意得，,+1,卜-1|

表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数-1的点的距离之和，设点4点8,点C表

示的数分别为-1,1,X,则|x+l|+|x-1|=4C+8C,分点。在点4左侧，点。在点力和点

答案第13页，共22页

8之间时（包括力和8）,点。在点8右侧，三种情况结合数轴可得当点。在点力和点8之

间时（包括力和B）,4C+8C有最小值，最小值为”的长；则当-1"<1时，|x+l|+|x-1|

取最小值，据此求解即可；②同①可知当1WXW24时，卜-1|小-24|有最小值，当24x423

时，卜一2|小一23|有最小值,当3"M22时，k-3|巾-22|有最小值,……,当12WxW13

时，卜―12H丫-1可有最小值，则当12&x<13时，卜―1卜］丫-2|+|丫一3|*1—24］有最小

值，据此求解即可.

【详解】解：①由题意得，k+l|+|x-l|表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数T的

点的距离之和，

设点4点8,点。表示的数分别为—1,1,X,则|x+l|+|x—l|=4C+8C,

当点。在点力彳侧时，AC+BC=2AC+AB>AB：

CAB

-5-4-3-2-1012345

当点。在点力和点〃之间时（包括4和4）,则力。+8。=48；

ACB

11111111111^

-5-4-3-2-1012345

当点。在点4右侧时,则AC+BC=AB+2BC>AB；

ABC

-5-4-3-2-1012345

综上所述，当点C在点力和点4之间时（包括力和8）,4C+8C有最小值，最小值为

的长；

.••当-14x41时，卜+1|巾-1|取最小值，最小值为1-（-1）=2,

故答案为：-1<X<1；2：

②同①可知当1W24时，1-1|巾-24|有最小值,

当2W23时，卜一2|十|工一23|有最小值,

当3W22时，卜-3|+卜-22|有最小值,

...,

当12WxW13时，1一12|+归一13|有最小值,

综上所述，当12所xW13时，卜-1|+«-24|,k_2|可/_23|,4-3|+|*-22|....

答案第14页，共22页

1-12|+卜-13|能同时取得最小值,

即当12WxW13时，1一1|+「一2|+|%-3|+…+卜-24|有最小值,

最小值为24-1+23-2+22-3+21-4+3+13-12=144,

故答案为：144.

〜八2h-a+3cb-2a+3c

28.——-——或——-——

【分析】本题考查了绝对值的性质、整式的加减，根据题意将〃分成〃>0时，即

6<0时，即-。<力<()<"根据绝对值的性质及几何意义进行化简，即可求解：理解绝对

值的几何意义，能进行分类进行讨论是解题的关键.

【详解】解：^\a\<\b\<\c\,。<0,c>0,

故当6〉0时，a<0<b<c,即一。<0<—。<力，

v1%+4+：,一4+k+

JJ

.•.当x=_q时，

|x-(-a)|+|x-/>|+|x-(-e)|的最小值为V到-C之间的距离,

p-(-C)|为-。到H之间的距离,

•••：[卜-(-。)|+卜-4+卜-(-训+共L(F)|的最小值为

2b+2c-a+c

=------+------

33

_2b-a+3c

=3-：

当力<0时，b<a<0<c,

即一。vbV0<-a,

,.,■||x+i7|+|-|x-h|+|x+c|

=|[|^-(-«)|+|x-Z)|+|x-(-c)|]+!|x-(-c)|;

.•.当X=b时,

k一(-。)|+卜-/)|+卜-(-。)|的最小值为一。到F之间的距离，

答案第15页，共22页

X-为。到Y之间的距离,

•••|［卜-（-。）|+k-4+卜-（-叫］+；,-（-。）|的最小值为：［-"（-。）］+；［“-（-。）］

-2a+2cb+c

=-------+----

33

_b-2a+3c

~3，

故答案为：至二产或咨土主.

JJ

29.-4

【分析】本题考查了绝对管的化简，整式的加减，首先找到驻点，确定x的取值范围，分类

讨论确定”和小的值，再计算T7m的值，运用分类讨论是解题的关键.

［详解】解：•••当xWT时，k+l|+|x_l|=_x_l_x+l=_2xN2,

当一ICJVCI时，|xI1卜上一1|=x+1I1X=2,

当xNl时，|x+l|+|x-l|=x+l+（x-l）=2x>2,

二〃=2,

•••当x4-1时，|—x-1|—|x-1|=-x-1—（I-A-）=-2；

当一1cxvl时，|-x-l|-|x-l|=x+l-（l-x）=2x,-2<2x<2；

当时，|-X-1|-|A:-1|=X+1-（X-1）=2,

:.m=2,

=-22=-4,

故答案为：-4.

30.5或16

【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识，

（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；

（2）分、<-1、-l<x<5,x>5分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而

求出代数式的最大值；

熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键.

【详解】（1）由绝对值的几何意义知：卜-3|=2表示在数轴上x表示的点到3的距离等于

2,

答案第16页，共22页

•••x=3+2=5,或x=3-2=1,

•••x=5或1；

故答案为：5或1；

（2）当时，即表求x的点在-1的左侧时，

|x+11-|x-5|=-x-1-（5-x）=-x-1-5+x=-6

当TSx'5时，即表求x的点在T和5之间时

卜+1卜|工-51=x+l-（5-x）=x+l-5+x=2.x—4,

二-642x-446,

当x>5时，即表求x的点在5的右侧时卜+1卜|工一5|