第三章 机构结构理论(张)

第三章机构的结构理论

本章介绍机构的组成理论，空间开链与空间闭链机构的自由度计算方法，平面机构的结构分析与运用图论原理讨论平面运动链的结构综合，介绍空间运动链的型综合。其目的是为机构类型的创新设计提供理论基础。

§3-1机构的组成理论

1．运动副(1)运动副的自由度

运动副所能提供的最小约束为Cmin=1，最大约束为Cmax=5。而运动副的自由度数为6减去运动副的约束数。f=6-Cf:运动副的自由度，c:运动副提供的约束数。2．运动副的分类1)根据运动副的自由度数分类具有1个自由度的运动副为类副具有2个自由度运动副为类副具有3个自由度的运动副为类副具有4个自由度的运动副为

Ⅴ类副具有5个自由度的运动副为Ⅴ类副2)根据运动副的约束分类1)Ⅰ类副：自由度f=1的运动副

转动副（用R表示，revolutepair）移动副（用P表示，prismaticpair）螺旋副（用H表示，helicalpair）Ⅰ类副中，共提供5个约束，故C=5根据运动副的自由度数分类的运动副2)Ⅱ类副：自由度f=2的运动副圆柱副(用C表示，cylindricalpair)球销副(用S′表示,slottedsphericalpair)

Ⅱ类副中，共提供4个约束，即C=4。球销副圆柱副3)Ⅲ类副：自由度f=3的运动副

Ⅲ类运动副中，提供3个约束，即C=3。球面副(用S表示,

sphericalpair)

平面副(用E

表示,evenpair)4)Ⅳ类副：自由度f=4的运动副

Ⅳ类副中，提供2个约束，即C=2。球槽副(用SG表示,spheregroovepair)

圆柱平面副(用CE表示,cylindricalevenpair)5)Ⅴ类副：自由度f=5的运动副

Ⅴ类副中，提供1个约束，即C=1。球平面(SE,sphereevenpair)为其代表，提供三个转动自由度和二个移动自由度。根据Ⅴ类副的自由度特点，通常为空间点接触高副。zxy

若干构件通过运动副的连接而组成的可动构件系统，称之为运动链。按构件系统是否封闭，分为闭链系统和开链。（1）闭链：构成封闭环式的运动链，称为闭链闭链中，每个构件上至少有2个运动副元素。闭链中有单环闭链和多环闭链，

二、运动链闭链示意图单环闭链空间闭链双环闭链(2)开链：用运动副连接的构件没有形成首尾封闭的系统，称之为开链。开链中，首尾构件上仅有一个运动副元素。空间开链平面开链32141230三、机构(1)闭链机构：选择闭式运动链中的某个构件为机架，则该运动链成为闭链机构。闭链机构分为单环闭链机构和多环闭链机构

把运动链中的一个构件固定，该运动链成为机构单环空间机构双环平面机构(2)开链机构：具有固定构件的开式运动链。开链机构中，活动构件数目n

和运动副数目相等。图示所示机械手为开链机构。开链机械手机构5=5注意:机械手机构不计腕部自由度n=p30第二次课6学时

§3-2机构的自由度的计算

n---活动构件的数目机构中低副的数目机构中高副的数目

平面机构自由度的计算公式

根据运动副提供的自由度计算机构自由度

根据运动副提供的约束计算机构自由度空间机构自由度的计算有两种计算方法

两种计算方法基本相同,但其含义有别。各有优缺点。以下分别说明：

1．空间闭链机构的自由度

在空间闭链机构中，每个可动构件在三维空间有6个自由度，绕x,y,z轴的转动和沿x,y,z轴的移动.

如该机构有n个可动构件，则自由度总数为6n。

每个Ⅰ类运动副有1个自由度，提供5个约束，若机构中有个Ⅰ类副，将提供5个约束。每个Ⅱ类运动副有2个自由度，提供4个约束，若机构中有个Ⅱ类副，将提供4个约束。每个Ⅲ类运动副有3个自由度，提供3个约束，若机构中有个Ⅲ类副，将提供3个约束。根据运动副提供的自由度计算机构自由度每个Ⅳ类运动副有4个自由度，提供2个约束，若机构中有个Ⅳ类副，将提供2个约束。

每个Ⅴ类运动副有5个自由度，提供1个约束，若机构中有个Ⅴ类副，提供1个约束

机构自由度应为各可动构件自由度之和减去各类运动副提供的约束总和

机构中各类运动副数目之和各类运动副的自由度数目之和写成通式后在开链机构中，可动构件数目与运动副数目相等。即有n=P，将其代入式上中，可推导出开链机构的自由度计算公式。

2．空间开链机构的自由度

n=P开链机构自由度为其运动副自由度数总和例1：计算图示开链机构自由度F=1+1+1+2+1+1=7R副=4，自由度数目为4P副=1，自由度数目为1

C副=1，自由度数目为2运动副数为P=6计算公式:RRRPRC开链机构的自由度数目一般较多，因此其所需的原动机数目也较多。控制技术的发展对开链机构的应用促进明显，开链机构缺点：1.承载大载荷时，构件的变形较大，末端执行部件的运动精度较低；2.在机构的奇异位置时，出现难以控制的情况。机构的奇异位置机构的Jacobian矩阵为奇异矩阵时所对应的位置，此时Jacobian矩阵的行列式值为零，机构的运动反解不存在，存在某些不可控的自由度。当当机构处于奇异位形附近时，关节驱动力将趋于无穷大从而造成并联机器人的损坏，因此在设计和应用并联机器人时应避开奇异位形。3、单环闭链机构的自由度计算单环闭链机构的特点是：运动副的数目P等于机构中构件的数目N，即P-N=0而可动构件数目为：n=N-1因此：左图R3C机构中，F=1+2+2+2-6=1右图SCRR机构中，F=3+2+1+1-6=1CRCCSRRC

根据运动副提供的约束计算机构自由度按运动副的约束进行运动副分类提供1个约束的运动副称为I类副，提供2个约束的运动副称为II类副提供3个约束的运动副称为III类副提供4个约束的运动副称为IV类副提供5个约束的运动副称为V类副I类副提供1个约束，P1个I类副，提供1P1个约束II类副提供2个约束，P2个II类副，提供2P2个约束III类副提供3个约束，P3个III类副，提供3P3个约束IV类副提供4个约束，P4个IV类副，提供4P4个约束V类副提供5个约束，P5个V类副，提供5P5个约束各类运动副引入的约束总数为：（P1+2P2+3P3+4P4+5P5）=式中:n为机构中可动构件数目为机构中各运动副的约束总和3、自由度公式小结按运动副自由度分类的机构自由度计算公式本课程教材按上述公式计算机构自由度按运动副的约束分类的机构自由度计算公式在仿生机械领域,常按该式计算自由度。该公式形式简单，但在深入研究机构自由度时有些困难。四、计算机构自由度注意事项一些机构中，由于运动副位置的特殊布置或机构中的特殊几何约束条件的存在，使得机构自由度发生了变化。1、公共约束：机构中各构件都受到相同的约束，他们失去相同的基本运动，这种使各构件失去相同的基本运动数为公共约束。图示平面机构中，各构件都失去沿Z轴的移动，绕X、Y轴的转动，公共约束为3个。xyzCBAy

zxyzDABCy

z设想把图示闭链机构中的末杆拆开后，就得到一个开链机构单环闭链机构的自由度为：开链机构的自由度为：开链机构的末杆封闭后，末杆将失去6个自由度DA4431BC2DAC134BC2当机构受到公共约束m后，末杆也受到相同的约束m。末杆的自由度为（6-m）=考虑到公共约束m后，单环闭链机构的自由度公式为：公共约束的判别:（1）作平面运动的机构，各构件受到3个公共约束，即m=3xyzCBAy

zxyzDABCy

z公共约束的判别:由于各转动副的轴线相交于一个公共点，各构件均失去3个移动功能，故公共约束m=3。（2）机构中各转动副的轴线相交一点xyzDABC公共约束的判别:（3）机构中各转动副的轴线平行由于各转动副的轴线平行，各构件将失去两个转动和一个移动自由度，公共约束m=3。xyzDABCxzy（4）在一般情况下，公共约束的判别方法比较复杂，可用直观判断方法分析末杆的自由度为末杆的移动自由度为末杆的转动自由度末杆的自由度末杆的移动自由度又包括末杆的移动自由度和由转动派生的移动自由度公共约束的判别:转动自由度的判别：转动副的轴线非全部平行，且矢量共面，=2，否则=3。转动副的轴线全部平行，由于矢量共线=1xyzDABCxzyxyzDABCDABCEF移动副的轴线平行两个不同方向，由于矢量共面，=2，否则=3。移动自由度的判别：移动副的轴线全部平行，由于矢量共线，=1一般说来，当构件绕一组平行轴线转动时，派生出两个移动自由度，=2转动派生的移动自由度的判别：当

3时应分析的数目xyzDABCyz当构件绕两组平行且共面轴线转动时，则派生出三个移动自由度DABCEF构件AF绕两组平行轴线转动当构件绕不平行轴线转动时的分析比较复杂，涉及到构件的转动是否线形相关，需利用矩阵求秩数的方法判断反螺旋理论计算自由度黄真编著的《高等空间机构学》例1:求图示4R机构的自由度

解:各转动副轴线平行,

派生出两个移动自由度,

xyzDABCyz不含移动副,则

例2:求图示2RH2R机构的自由度

解:各转动副轴线不共面,

螺旋副派生一个移动副,

ARHRRR例3:求图示Sarrus机构的自由度

DABCEF转动副的轴线平行两个不同方向，且矢量共面两个派生的速度矢量不共面，派生出三个移动自由度2、消极自由度fp由于机构结构的特殊几何条件，使机构中原有自由度中的一些不起运动学作用，称之为消极自由度，用fp表示。在计算自由度时，应减去消极自由度。2、消极自由度fp（b)（a）D处球面副有2个消极自由度B处球面副有2个消极自由度C处球销副有1个消极自由度DCBASS’RROCB3、局部自由度：不影响机构运动的自由度，构件2绕自身轴线的转动不影响机构的运动,局部自由度是空间机构中常见的问题。C2SSSSR23123311例:求图示的6SPS并联机构的自由度（第一种公式）构件数:n=6+6+1=13运动副数:p=6+6+6=18

=6运动副自由度数为:局部自由度数为:3-SPS3-RPSSPSSPRF=67-(33+33+35)-3=42-33-3=6F=67-(33+35+35)-0=42-39=3求图示的并联机构的自由度（第二种公式）第三次课9学时全移动副机构的自由度31233123公共约束举例低副高代，引入局部自由度全移动副机构的自由度3123公共约束举例可利用公共约束的方法求其自由度：公共约束数目m为4另一种方法把机构中的原动件和机架去掉后，所剩余的运动链自由度为零。而自由度为零的运动链有时还可分解为自由度为零的基本运动链，并称之为杆组。

§3-3平面机构的结构分析机构的结构分析对于了解机构的组成和机构的创新设计有重要意义。一、杆组机构具有确定运动的条件：

假设机构中的高副己用低副代替，这样就可以抛开高副机构而专门讨论由低副组成的杆组，杆组自由度为：1、杆组的结构构件数目n必为偶数，运动副数目才能为整数。故有n=2，4，6，8……，=3，6，9，12……

n=2,

=3时，该杆组称之为Ⅱ级杆组，(1)Ⅱ级杆组Ⅱ级杆组的基本型如图所示。B为内接副，A、C为外接副。内接副可以是转动副也可以是移动副，外接副也如此。BABBBCBCCCACAAA共有种类：6种(2)Ⅲ级杆组Ⅲ级杆组的基本型如图所示

n=4,

=6且有3个内接副的杆组，称为Ⅲ级杆组A、B、C为内接副，内接副可以是转动副，也可是移动副ACBBACBCA共有种类：内接副相同8种(3)Ⅳ级杆组a图中，转动副B、E为外接副。(b)n=4，=6且有4个内接副的杆组，称Ⅳ级杆组(a)AFDCBEAFDCBE该杆组尽管还可以分为两个Ⅱ级杆组，但该杆组所组成的机构，在进行结构分析时，却不能拆出Ⅱ级杆组，若硬拆下Ⅱ级杆组，剩余部分则不能成为机构.在进行结构分析时，却不能拆出Ⅱ级杆组，若硬拆下Ⅱ级杆组，剩余部分则不能成为机构。AFDCBEEAFDCB由于结构的多样性，要具体情况具体分析对于n=6,=9的杆组可能是Ⅲ级杆组，也可能是Ⅳ级杆组，或是Ⅴ级杆组等等。Ⅳ级杆组Ⅴ级杆组双Ⅲ级杆组DEHFCBAIGDEFCBAGIH2、杆组的基本条件

杆组的分类方法很多，但必须满足下列基本要求。（1）杆组要满足结构条件:3n-2p=0（2)杆组要满足运动的确定性。即杆组外接副与已知运动的构件联接时，杆组中每个构件的运动都是确定的。（3)杆组要满足静力的确定性。即杆组中各运动副中的约束反力可通过杆组各构件的力平衡方程求解。因此，杆组对运动分析，受力分析有指导作用。上述杆组理论可推广到空间机构中去。以无公共约束或无特殊几何约束的空间机构为例来说明杆组的推广对平面杆组：3n-2=0或：6n-C=0，C为杆组中各运动副约束总数

3、杆组的推广对空间杆组应用按运动副的约束分类时，提供一个约束的类副，工程中少见。提供二个约束的

类副，工程中少见。提供三个约束的

类副，有球面副S，工程中多见提供四个约束的

V类副，圆柱副C，提供五个约束的V类副，转动副、移动副，螺旋副以例说明杆组的结构条件6n

-C=6×5-5×6=0，该图中共有5个构件，6个转动副，每个转动副提供5个约束。2个构件，3个运动副。球面副S提供3个约束。圆柱副C提供4个约束，转动副R提供5个约束，故有6n-C=6×2-3-4-5=0

54321RRRRRR12RSC空间杆组的分类说明平面杆组的分类基本成熟，如前述的级杆组、

级杆组等。空间杆组的分类研究基本是空白。CSRCSR空间的级杆组的基本形式之一满足空间的杆组的结构公式杆组类型有多少是待研究的课题。二、机构的结构分析把机构分解为原动件和基本杆组的过程，称为机构的结构分析。下图说明了以构件1为原动件时的机构结构分析的过程。若以构件7为原动件，机构结构分析的过程则有不同情况。DAIHGBC4321675FEDAB32GIH671ECF45以构件1为原动件时的机构结构分析的过程3个II级杆组C1EF45H6DAB32I7以构件7为原动件时的机构结构分析的过程(错误的分析过程)DAIHGBC4321675FE1个II级杆组1个III级杆组DAIHGBC4321675FECF451EH6DAB32I7以构件7为原动件时的机构结构分析的过程1个II级杆组1个III级杆组DAIHGBC4321675FEI7以构件7为原动件时的机构结构分析的过程DAHGBC432165FE1个IV级杆组67Ａ‘Ｂ‘Ｋ5E4DC32B1KAA’B’C’7689D’E’5E4Ｃ98ＥＤ‘Ｃ‘ＡＤＢＣ对图示机构进行结构分析BACBC+=注意：杆组一端外接副连接到原动件上，另一个外接副连接到机架上。机构结构分析与组成原理是机构创新的重要途径机构创新设计牛头刨床的组合过程

加其他杆组+=+=BCDAFEO1O1BCDAFE级杆组的三个外接副连接到一个原动件和机架上,可组成一个串联级机构。O2O1BCDAFEO3HO2O1BCDAFEO3O4G如级杆组的三个外接副连接到三个原动件上,可组成一个三自由度的平面并联机构。在三自由度的平面并联机构的基础上，再连接一个级杆组，可得到一个过驱动的并联机构PSSSPP如空间级杆组的三个外接副连接到三个自由度为1的原动件上，可组成一个三自由度的空间并联机构。PSSSPPCSSSSSSCCCCCSPS空间6级杆组的创新设计6n-C=6×7-3×6-4×6=0，该图中共有7个构件，6个S副，6个C副，每个S副提供3个约束，每个C副提供4个约束。平面机构的结构综合分为两类问题。一类是为获得某种运动的变换，所使用的机构应该由多少构件以及那种类型的运动副所组成，该类问题称之为机构的型综合，又称机构的选型设计。另一类问题是研究一定数量的构件和一定类型的运动副可以组成一定自由度的运动链的数目。一般称之为机构的数综合，数综合是一种机构枚举学。§3-4平面运动链的结构综合一、综合的基本理论

在进行类型综合时，以全转动副的低副运动链最具有代表性。本节内容是建立在单自由度的全转动副的低副机构的基础上。其它类型的机构可通过机构演化方式获得。由平面机构的结构特点可知，杆组的结构公式为:3n-2p=0而运动链的结构公式为：3n-2p=4

杆组n=2,p=3，满足杆组的结构公式3n-2p=0运动链

n=4,p=4满足平面运动链的结构公式3n-2p=4211243所以运动链中的构件和运动副关系如下：由3n-2p=4.可有:p=（3n-4)/2n=4,p=4;n=6,p=7;n=8,p=10

n=j,p=

运动链的环数、构件数和运动副之间的关系L=1+p-n而3n-2p=4。联立求解以上的关系式，则有L=L=n=2,L=0。不能构成闭链，当然也无闭环。n=4,L=1。构成四杆运动链，仅有一个闭环。n=6,L=2。构成六杆运动链，有二个闭环。n=8,L=3。构成八杆运动链，有三个闭环。n=10,L=4。构成十杆运动链，可形成四个封闭

四杆运动链中，L=1,n=4,p=4。六杆运动链中，L=2,n=6,p=7。八杆运动链中，L=3,n=8,p=10。十杆运动链中，L=4,n=10,p=13

六杆运动链，可认为是在四杆运动链上联接一个Ⅱ级杆组获得的，共有下图所示的两种结构WATT运动链连接相邻杆AD,DCSTEPHENSON运动链连接不相邻杆AB,DC654312DCBAEFG135426CBAEFGD在六杆运动链的基础上，联接一个Ⅱ级杆组就可得到八杆运动链。共有16种形式。在八杆运动链的基础上，联接一个Ⅱ级杆组就可得到十杆运动链。共有230种形式。可以用图论的相关知识探讨运动链的组成规律。图论这一数学方法引入到运动链的结构综合中，加速了机构创新设计的进程。以下对图论的基本知识作简单介绍。二、图论的基本知识(1)图：由一系列边和顶点组成的相互连通的网络。(2)顶：图中的两边连接点，称之为顶点或节点。用表示。75431262345617712612367图子图(3)边：两顶点之连线，称为边。用表示i顶和j顶之间的边(4)子图：一图是另一图的子集，称该图为子图。(5)平面图：图中各边均在节点相交，其它处不相交，称之为平面图。75431262345617712612367图子图e12e15（7)支路：一系列边的集合，边1、2、6、7成为一支路

(8)环路：支路封闭则形成环路，环路中，只能通过节点一次，不能重复平面图完全连接图(6)完全连接图:图中节点与节点之间均有边连接，称之为完全连接图。（9）支路长度：构成支路或环的边数，称支路长度支路1，2，6，7长度为4126775431262345617712612367（10）关联矩阵，把图中的节点Vi作为矩阵的行，所得之矩阵称为关联矩阵。=1，表示i顶和j边连接。=0,表示i顶和j边无连接。关联矩阵元素为把边作为矩阵的列，节点①与边1，6，7联接，则节点②与边1，2联接，==1，余者为零。=0，说明节点④与边5无联接。

为1，12354671234651234567100001111000000110000123456001100100011000000110顶边（11）同构：当两个图具有相同的关联矩阵时，称之为同构。（12）变换图：前一图的顶点对应后一图的边，称后者为前者的变换图。图b为a图的变换图。2143576①②③⑤④⑥15432①②③④⑤⑥⑦(a)(b)运用图论的基本知识和分析方法，可把运动链的型综合转化为研究由一定数量的顶和边可组成多少种不同构的图的问题。在图中，顶点代表运动链中的构件，边代表运动副。而在图的变换图中，顶点代表转动副，边代表构件，此时的变换图就变成了运动链的图形。因此，变换图中的顶点、边与运动链中的转动副、构件则形成了一一对应的关系。三、图与运动链的变换（a）watt运动链（b）watt运动链对应的图715432①②③⑤6④⑥④⑥154326①②③⑤⑦四、构图示例

以8杆运动链说明数综合过程由3n-2p=4及L=1+p-n得n=8;p=10;L=3.因此该图的最大长度为8，最小长度为4。(长度为3时该环不可动)长度为8长度为7长度为6长度为5长度为4五、平面机构的演化

由型综合得到的运动链，可通过固定不同构件为机架或者转动副向移动副转化或者低副向高副演化，可获得多种实用机构。以下以6杆运动链为例说明。在图示的瓦特型运动链中，若以构件AFG为机架，则可获得图b所示机构，若将F处转动副演化成移动副，则可得到图c机构，该机构获得了广泛应用。由低副机构向高副机构的演化一、概述空间运动链的类型比平面运动链复杂得多，本节只讨论低副运动链，而且是不存在公共约束的单环空间闭链。自由度F=1的单环空间闭链中，构件n与运动副p有如下关系：(1)构件数n

=运动副数p,且运动副数大于等于3。§3-5空间运动链的型综合

(2)各运动副的自由度之和等于7

(1)构件数n

=运动副数p，且运动副数大于等于3

因自由度等于1的单环空间闭链机构中，由=1可知，即:由于仅考虑低副机构，该机构没有IV类副和V类副，则=0,=0，上述二关系式为：

满足运动副的自由度总和为7，且运动副数大于3的组合原则时，上述二式的解共有8个，即运动副种类的组合有8种，分别为：：说明该运动链由7个Ⅰ类副组成。:说明该运动链由5个Ⅰ类副和1