专题01有理数（期中复习讲义）（原卷版）七年级数学上学期新教材沪科版

专题01有理数（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律正负数的意义能准确判断正负数在实际情境中的意义基础必考点，常出现在小题有理数的分类能依据不同标准（定义、正负性），准确对有理数进行分类，不混淆各类别界限高频易错点，容易忽略“0”的归属，或对有限小数、无限循环小数的分类判断错误数轴的应用能正确画出数轴，并在数轴上表示有理数；能利用数轴比较有理数的大小常考知识点，多以选择题、填空题形式考查，题目难度较低，但需注意数轴三要素的准确性相反数与绝对值能快速求出有理数的相反数，正确计算有理数的绝对值必考点，易在绝对值的性质（尤其是负数绝对值的计算）上出错，题型多样有理数的运算能熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算重点考查内容，运算中的符号错误是高频易错点，计算题占比较大科学记数法与近似数能正确用科学记数法表示数，准确判断近似数的精确度和有效数字常考知识点，科学记数法中a的取值范围和n的确定易出错，近似数的相关判断也易混淆概念知识点01正数和负数正数的概念：大于0的数叫做正数.负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数.注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数.（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.）知识点02相反意义的量在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量.知识点03：有理数的概念概念：整数和分数统称有理数.整数：正整数、0、负整数统称为整数.分数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数.知识点04：有理数的分类两种分类：⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点05：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。（2）三要素：原点、正方向、单位长度（3）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。（4）应用：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。知识点06:相反数（1）概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0.（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数.（3）多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数.（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点07:绝对值（1）概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值.（2）①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.（3）①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a=0，|a|=0；③a＜0，|a|=a.（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数.即±a.（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；（6）利用绝对值比较大小:代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.两个负数比较大小时，绝对值大的反而小.知识点08:有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.知识点09：有理数的加法运算定律加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a；加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）；知识点10：有理数的减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b知识点11：有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数.【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和1.知识点12：有理数的乘法运算律知识点13：确定乘积符号（1）若a＜0，b＞0，则ab<0；（2）若a＜0，b＜0，则ab>0；（3）若ab＞0，则a、b同号；（4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab=0，则a、b中至少有一个数为0.知识点14：有理数除法法则除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【注意】：0除以任何不为0的数，都得0.知识点15：有理数的乘方运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂.知识点16：有理数的乘方运算（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.知识点18：科学记数法把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．知识点19：有理数的混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。题型一正数和负数解｜题｜技｜巧正数的概念：大于0的数叫做正数.负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数.注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数.【变式1】小明的妈妈在北京建行数字人民币钱包中存入100元．记作+100，那么－40表示（

）A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元题型二数轴的三要素及其画法解｜题｜技｜巧（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。（2）三要素：原点、正方向、单位长度【典例1】如图，下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】下列选项中，能正确表示数轴的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2】下列关于数轴的说法正确的是（

）A．规定直线上向左的方向为正方向B．所有数轴上的单位长度一定相等C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线题型三相反数及其应用解｜题｜技｜巧（1）概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0.（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数.【典例1】下列表示的“相反数”的是（

）【变式2】两个有理数的和为0，则这两个数（）A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负题型四绝对值解｜题｜技｜巧（1）概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值.（2）①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.（3）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；【典例1】绝对值大于且不大于的负整数有．【变式1】绝对值小于3的整数有个，绝对值等于7的数是．题型五有理数的大小解｜题｜技｜巧（1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数。（2）两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。（3）在数轴上，右边的数总比左边的数大。【典例1】比较大小：；7；．【变式1】几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（

）液体水银酒精水乙醚凝固温度（℃）0A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚【变式2】将下列各数在数轴上表示出来并用“”连接起来题型六有理数的加减解｜题｜技｜巧加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）bA． B．0 C．1 D．2【变式1】计算下列各式：【变式2】某市一天上午的气温是，下午上升了，半夜（时）下降了，半夜的气温是．题型七有理数的乘除解｜题｜技｜巧（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.（2）任何数同0相乘，都得0.（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数（5）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除.【典例1】计算：【变式1】计算下列各题题型八有理数的乘方解｜题｜技｜巧运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.2.在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂.3.有理数的乘方运算（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.【变式2】所有放射性物质都有自己的半衰期．半衰期是放射性物质的质量缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．质量为的放射性物质，经历了个半衰期后的质量为（

）．A． B． C． D．题型九科学记数法解｜题｜技｜巧把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．【典例1】面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据统计共投入约21亿元资金，21亿用科学记数法可表示为（

）．题型十有理数的混合运算解｜题｜技｜巧（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。期中基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2526七年级上·吉林长春·期中）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果支出60元记作元，则元表示（

）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元2．（2425七年级上·全国·期中）下列各组数中，互为相反数的是（

）3．（2526七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（

）A．3 B． C．3或 D．5或4．（2425七年级上·江苏扬州·期中）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则在这5天中最低气温的日期是（

）A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五A．2025 B．2024 C．2023 D．2022(1)把上列各数序号填入相应的大括号里：负数集合：{____________…}；整数集合：{____________…}