正多边形和圆 测试卷-初中九年级数学上册（含解析）

专题24.3正多边形和圆

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求

的）

1.（2020•全国初二课时练习）下列组形为正多边形的是（）

【答案】D

【解析】根据正多边形的定义，得到。中图形是正五边形.

故选D.

2.（202（）.全国初三课时练习）正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法

的理论依据应（）

A.把圆〃等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正〃边形

B.把圆〃等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正〃边形

C.各边相等，并一旦各角也相等的多边形是正多边形

D.用量角器等分圆是一种简单而常用的方法

【答案】A

【解析】正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是把圆〃

等分，顺次连接各分点得到的多逅形是圆的内接正〃边形.

故选A.

3.（2020•山西初三其他）如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个

圆形纸片的直径是（）.

A.6cmB.2GemC.2cmD.4cm

【答案】B

【解析】解：连接OA，OB,过点。作OQ_LA8于点力，如下图，

•・•此六边形是正六边形，

即这张圆形纸片的直径为：2百cm.

故选B.

A.30°B.36°C.60°D.72°

【答案】B

【解析】连接CO、DO,正五边形内心与相邻两点的夹角为72。，即NCOD=72。,

同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，

故选B.

5.（2020・陕西旬阳•初三期末）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的

半径是2jjcm,则这个正六边形的周长是（）

A.12B.66C.36D.126

【答案】D

【脩析】设正六边形的中心为O,连接A。，BO,如图所示:

V0是正六边形ABCDEF的中心,

AAB=BC=CD=DE=EF=FA,ZAOB=60°,AO=BO=20cm,

•••△AOB是等边三角形，

/.AB=OA=2^/3cm,

・••正六边形ABCDEF的周长=6AB=12VJcm.

故选D

6.（2020•全国初三课时练习）正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）

A.互余B.互补C.互余或互补D.不能确定

【答案】B

故选B.

a

*

DE

【答案】B

【解析】解：如图，连接OAOH,作OP_LOH于P,作OQ_LAH于Q,易知OQ是。。的半径，

C\UF

DE

设OA=OH=2x,

・•・NOAP=45。，

/.OP=AP=y[2x，

故选：B.

8.（2020•陕西初三三模）如图,已知。0是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点,则NBEC

的度数为（）

R

A/^7V\p

B

D,巫

A.2B.1C.5/3

2

【答案】B

【解析】因为圆内接正三角形的面积为6，

故选：B.

11.（2019•和平天津二十中初三二模）正方形48CO内接于。0,若。。的半径是亚，则正方形的边长是

・••正方形的边长是2,

12.（2020•嘉峪关市第六中学初三期末）一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是（)

A.24cm2B.673cm2C.125/3cm2D.85/3cm2

【答案】B

【解析】解：如图所示：

设0是正六边形的中心力。是正六边形的一边,OC是边心距,

则NAOB=60。，OA=OB=2cm,

是正三角形，

,\AB=OA=2cm,

OC=OAsinZA=2x^―-=5/3（cm）,

(cm2),

，正六边形的面积=6x=66（cnF）.

故选B.

13.（2020.云南师大附中初三一模）如图，若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个正五边形，则要

完成这一圆环连管（）个这样的正五边形

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】如图，

•・•多边形是正五边形,

，内角是5x（52）x|800=108。，

:.ZO=180°（18（尸108°）（180。108°）-36°,

I

36。度圆心角所对的弧长为圆周长的1°,

即10个正五边形能围城这一个圆环，

所以要完成这一圆环还需7个正五边形.

故选B.

14.（2020.全国初三课时练习）如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相

等，顺次连接这/'、条线段外端点可以得到一个新的正八边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到

的正六边形的边长是原正六边形边长的（）

【答案】C

【解析】•・•此六边形是正六边形,

AZl=l80o120o=60°,

VAD=CD=BC,

•••△BCD为等边三角形，

J_

，BD=2AC,

•••△ABC是直角三角形

XVBC=-AC,

2

AZ2=30°,

Z.AB=^BC=^CD,

•，

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15.（2020・西安交通大学附属中学雁塔校区三模）某正多边形外接圆的半径为4,边心距为20,则该正多

边形的边长为.

【解析】解：・・•正多边形外接圆的半径为4,边心距为2®,

，边长为2/20=472，

故答案为：A五.

【答案】10

【解析】如图，连接AO,BO,

.,.ZAOB=2ZADB=36°

故答案为：10.

D

%

【解析】解：解：•・•五边形ABCDE是。O的内接正五边形,

AZACB=ZBAC=36°,

同理NEAD=36。，

/.ZCAD=108o36°36o=36°,

故答案为：36°.

【解析】如图，过点A作AC_LOB,垂足为C,

,:QO的半径为1,

/.AC=—OB=—，

22

1.1

SAAOB=-OB*AC=—,

24

・••圆的内接正十二边形的面积SI=12SAAOB=3,

1921每题6分，2225每题8分，26题10分，满分60分）

【解析】解：连接DO并延长，交BF于点G.

•・•正六边形ABCDEF内接于。0,

・••阳影部分为正三角形，

设边长是a,则FG=2a,DG=2a,

解得@=46，

走

贝I」DG=BD・sin6（『=4石x2=6

22

・•・半径0D=-DG=6x-=4.

33

20.（2018•浙江初三课时练习）如图，半径为R的圆内，ABCDEF是正六边形，EFGH是正方形.

⑴求正六边形与正方形的面积比；（2）连接OF,OG,求NOGF.

【答案】⑴正六边形与正方形的面积比3G：2：（2）ZOGF=15°.

【解析】（1）设止六边形的边长为a,则三角形OEF的边EF上的高为立a,

2

（2）VOF=EF=FG,

:.ZOGF=-x（180°60°90°）=15°.

2

21.（2020•江西南昌•初三二模）如图，在网格纸中，。、A都是格点，以。为圆心，04为半径作圆，用无

刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）设A0的延长线与圆交于点D,

⑵圆的内接八边形的中心角为360*8=45。，而正方形的对角线与边的夹角也为45°

・••在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B,此时NAON=45。；•・•/NOP=45。，

・・・OP的延长线与圆的交点即为点C

同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，

【点睛】

此题考查的是画圆的内接正六边形和内接正八边形，掌握圆的内接正六边形和内接正八边形的性质和中心

角的求法是解决此题的关键.

22.（2019•江西宜春・中考模拟汝U图，已知AB、AC是。O的弦，AB、AC的长分别等于00的内接正六边

形和正五边形的边长.

⑴试判断BC的长是否等于00的内接正几边形的边长；

（2）如果。O的半径OA=6,求。0的内接正六边形的面积.

【答案】（DBC的长等于。O的内接正30边形的边长，理由见解析；

【解析】解：（1）・・・AB、AC是。O的弦，AB、AC的长分别等于00的内接正六边形和正五边形的边长，

AZAOB=60°,ZAOC=72°,

.-.ZDOC=12O,

••・n=360+12=30,

ABC的氏等于0O的内接正30边形的边长；

（2）:。0的半径OA=6,且ZkOAB为等边三角形，

23.（2019•全国单元测试）如图，有一个圆O和两个正六边形Ti,T2.TI的6个顶点都在圆周上，T2的6

条边都和圆O相切（我们称Ti,七分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）.

Ti

（1）设T”T2的边长分别为a,b,圆O的半径为r,求r：a及r：b的值;

⑵求正六边形Ti,T2的面积比Si：S2的值.

【答案】（1）1:1,也：2（2）3：4

【解析】（1）连接圆心。和Ti的6个顶点可得6个全等的正三角形.

所以r：a=I：1；

连接圆心O和T?相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，

所以r：b=AO：BO=sin60°=V3：2：

2

（2）Ti：T2的边长比是6：2,所以Si：S2=（a：b）=3：4.

24.（2019•江苏南京市第二十九中学初三二模）如图1、图2、图3、…、图n分别是。O的内接正三角形ABC,

正四边形ABCD、正五边形ABCDE.........正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度

在（DO上逆时针运动.

（1）求图1中NAPN的度数;

(2)图2中，NAPN的度数是,图3中/APN的度数是.

⑶试探索NAPN的度数与正多边形边数n的关系(直接写答案)

【解析】解：(I)图1：•・•点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在。。上逆时针运动,

AZBAM=ZCBN,

又：NAPN=NBPM,

NAPN=NBPM=NABN+NBAM=NABN+ZCBN=ZABC=60°；

【解析】解：(1)解法•:连接。80G

•・,正△ABC内接于00,

JZOBM=Z0C/V=3()°,ZBOC=12()°.

又<BM=CN,0B=0C,

.••△08M且△OCN,

・・・NBOM=NOCN,

・・・NMON=N8OC=120。.

解法二:连接OA.OB,