14.2三角形全等的判定 原卷版

⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）技巧归纳：．证题的思路：注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形面积相等．【题型探究】题型一：SSS证明三角形全等问题【例1】．（2025八年级上·全国）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）是的中点，，求证：．【跟踪训练2】．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：．题型二：SAS证明三角形全等问题【例2】．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，，，垂足分别为，，，，求证：．【跟踪训练1】．（2025·云南玉溪·三模）如图，点是线段的中点，，．求证：．【跟踪训练2】．（24-25八年级上·陕西咸阳）如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接，．(1)试说明：；(2)试说明与的关系？并说明理由．题型三：ASA（AAS）证明三角形全等问题【例3】．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，直角顶点A在直线l上，，过点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·全国）如图，D是的边上一点，，交于点E，．(1)求证：≌；(2)若，求的长．【跟踪训练2】．（25-26八年级上·四川绵阳）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，．(1)求证：；(2)若，，求的长．题型四：“HL”证明三角形全等问题【例4】．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，，，垂足分别为F、E．，求证：．【跟踪训练1】．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：．【跟踪训练2】．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，已知，于点，于点，．求证：．题型五：添加一个条件证明全等问题【例5】．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（

）A． B． C． D．【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（

）A． B． C． D．【跟踪训练2】．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，添加下列条件还不能判定的是（

）A． B．C． D．题型六：全等三角形的辅助线之倍长中线模型【例6】．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．【问题解决】(1)如图1，请写出的取值范围是；(2)如图2，已知中，平分，且，求证：．【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是．【跟踪训练2】．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到，依据是___________；A．

B．

C．

D．（2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．[初步运用]（3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长．题型七：全等三角形的辅助线之垂线模型【例7】．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证：(1)；(2)．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·重庆）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（

）A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1【跟踪训练2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）(1)如图①，点A是线段上一点，，，，，求证：；(2)如图②，若点A在直线上，（1）中其他条件不变，有什么数量关系？并证明．题型八：全等三角形的辅助线之旋转模型【例8】．（24-25七年级下·山东济南·期末）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，【问题初探】（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：；【类比探究】（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．【跟踪训练1】．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】和是两个都含有角的大小不同的直角三角板．（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________．A．

B．

C．

D．【类比探究】（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．

【跟踪训练2】．（21-22八年级上·天津和平·期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E，（1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________；（2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明；（3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明．题型九：全等三角形判定的综合应用【例9】．（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点．(1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：．(2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：．【跟踪训练1】．（21-22八年级下·福建宁德·开学考试）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以6厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由C点向A点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.

(1)用含有t的代数式表示，则________；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？【跟踪训练2】．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由．（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由．题型十：全等三角形的线段和差问题【例10】．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．【跟踪训练1】．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．

(1)求证：△△．(2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明）(3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．【跟踪训练2】．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”．李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立．请仿照上题方法解决以下问题：变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由．【高分演练】一、单选题1．（2025八年级上·新疆·专题练习）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）能判定的条件是（

）A． B．C． D．3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级上·重庆）如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（

）A． B． C． D．5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，则的度数为（

）A． B． C． D．6．（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，，且，，，分别交于E、F两点，若，，，则的长为（

）A．12 B．11 C．8 D．107．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．58．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，欲证，若，请再添加一个已知条件是．10．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，点为边的中点，，，，若，则的长为11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点D是的中点，，交于点E，连，若的周长是，则的周长等于．12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在四边形中，，，，且，，三点在同一条直线上，若，则的度数为．13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则．三、解答题14．（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）如图，在四边形中，．(1)求证：；(2)若，，求的长．15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：．