四川省成都市蓉城名校联盟2025-2026学年高三上学期开学联考数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省成都市蓉城名校联盟2025-2026学年高三上学期开学联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知命题，则为（

）A． B．C． D．2．设且，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．3．在的展开式中，含项的系数为（

）A．-56 B．56 C．-28 D．284．随机变量，若，则（

）A． B． C． D．5．某市环保部门研究近十年空气质量数据，得到以下结论：结论一：浓度与机动车保有量的样本相关系数；结论二：绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率的样本相关系数；结论三：工业能耗与近地面臭氧浓度的样本相关系数.下列说法正确的是（

）A．由结论一可知，机动车保有量增加是浓度升高的直接原因B．由结论二可知，绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率无关联C．结论三表明工业能耗与近地面臭氧浓度呈正相关，且线性相关性比结论一更强D．结论一中接近1，说明浓度与机动车保有量存在极强的线性相关关系6．已知数列满足，则（

）A． B． C． D．7．在直三棱柱中，.若点满足，且点在平面内，则（

）A． B． C． D．18．设函数，若存在唯一整数使，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．将6本不同的书分给甲､乙､丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（

）A．若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案B．若每人分得2本，则有90种方案C．若三人分得书本数互不相同，则有360种方案D．共有450种分配方案10．已知圆和直线，则下列说法正确的是（

）A．当时，直线被圆截得的弦长为B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个C．存在实数，使得直线与圆相切D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为11．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若为的极小值点，则的取值范围为B．存在，使得在上有且仅有一个零点C．当时，过点存在两条直线与曲线相切D．存在，使得三、填空题12．设集合，则.13．某产品的广告投入（万元）与销售额（万元）的统计数据如下：235620355055若关于的线性回归方程为，则.14．数列满足，则的前100项和为.四、解答题15．已知等差数列的公差，前项和为，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.16．一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验.(1)求抽到的次品数的分布列；(2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率.17．随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多影响.某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表：学业成绩使用手机小时使用手机小时良好20不良好40记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍.(1)求表中的的值；(2)记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值；(3)根据小概率值的独立性检验，分析周末使用手机时长与学业成绩是否有关联.参考数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论函数在上的单调性；(3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围.19．已知双曲线的离心率为，且过点.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合.(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线与抛物线交于两点，与双曲线的左､右两支分别交于两点.（i）探究是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（ii）求的最小值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川省成都市蓉城名校联盟2025-2026学年高三上学期开学联考数学试卷》参考答案题号12345678910答案DADCDABCABCACD题号11答案ABD1．D【分析】利用存在量词命题的否定直接判断即可.【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以所求的否定是：.故选：D.2．A【分析】由基本不等式“1”的代换可求得最值.【详解】，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：A.3．D【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可.【详解】展开式通项为，令，得，故系数为.故选：D.4．C【分析】由二项分布的性质，计算出，根据方差公式求解.【详解】，故方差.故选：C.5．D【分析】根据相关系数大于0，表示正相关，相关系数小于0表示负相关，且相关系数的绝对值越接近于1，表示线性相关性越强，越接近于0则表示线性相关性越弱，依次判断各选项即可.【详解】选项A:仅表明浓度与机动车保有量线性正相关，且相关性很强，但并不意味着机动车保有量增加是浓度升高的直接原因，所以选项A错误；选项B:表示绿化覆盖率与呼吸道疾病发病率线性负相关，且相关性极弱，但仍有轻微线性相关性，且还可能存在非线性相关关系，所以不能判断无关联，所以选项B错误；选项C：线性相关强度由决定，因为，所以工业能耗与近地面臭氧浓度比结论一的线性相关性更弱，所以选项C错误；选项D：非常接近1，表明两者存在极强的线性相关关系.所以选项D正确.故选：D.6．A【分析】由题知，则，代入计算即可得到，继而得到.【详解】数列满足，则，，则，故选：A.7．B【分析】根据空间向量共面的性质列式求解.【详解】，且点在平面内，.故选：B.

8．C【分析】存在性问题，把直线与曲线分离，找到临界情况为相切时，数形结合来求解；【详解】令因为存在唯一整数使，即，所以的图象在的图象下方的部分有且只有一个横坐标为整数的点，如下图所示：

又因为当时，为的切线，切点为，所以，解得,故选：C.9．ABC【分析】利用分组分配问题的解法即可得解.【详解】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确；对于B，每人2本，方案数为，故B正确；对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确；对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种；第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为，故总的分配方案数为种，故D错误.故选：ABC.10．ACD【分析】由圆的弦长公式可判断A，计算与直线距离为1的直线与圆心的距离，和半径大小比较可判断B，由直线和圆相切的条件可判断C，由直线和圆相交的条件可判断D.【详解】圆的方程为，配方得圆心为，半径为.选项A：当时，圆心到直线的距离为弦长为，故A正确；选项B：当时，直线的方程为，圆心到直线的距离，小于半径，故直线与圆相交，圆上的点到直线的距离范围为，即，因为，所以圆上存在到直线的距离为1的点，与直线距离为1的直线有两条，它们与圆心的距离分别为和，均小于半径，所以每条直线都与圆有两个交点，故圆上到直线的距离为1的点有4个，故B错误；选项C：相切时，即或存在，故C正确；选项D：相交时，即的取值范围为，故D正确；故选：ACD.11．ABD【分析】选项A：根据极值点情况，分析的根的情况，得出的范围；选项B：对正负分类讨论的单调性，根据零点情况，即可得出的解；选项C：求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得关于的方程，根据方程根的个数可判断C；选项D：转化为关于的一次函数的零点情况，即可判断D.【详解】，令，解得，，选项A：为的极小值点，，，故A正确；选项B：，当时，时，，则在上单调递增，此时在上没有零点；当时，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，当时，在上取得极小值，也是最小值，即，在上有且仅有一个零点，，解得，故B正确；选项C：当时，，设切点，则切线斜率，切线方程为，切线过点，代入切线方程即，即，解得，有且仅有一条直线与曲线相切，故C错误；选项D：设，，则，设，由于，故为单调递增的一次函数，存在使得符合题意，故D正确；故选：ABD.12．【分析】解不等式可求得集合，再根据交集运算可得结果.【详解】易知故答案为：.13．2【分析】利用回归方程过样本中心点代入求解即可.【详解】由已知，代入线性回归直线方程得，解得.故答案为：2.14．2500【分析】由递推关系求出求和即可得答案.【详解】由题设知，当，当时，，当时，，，当时，的前100项和为，故答案为：2500.15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列前项和以及等比中项定义列方程组计算即可求得通项公式；（2）利用裂项相消求和公式计算即可.【详解】（1）由已知可得；因为，解得；故通项公式为；（2）由（1）可知，；即.16．(1)分布列见解析(2)【分析】（1）求出的可能取值及对应的概率，列出分布列得解；（2）根据条件概率的公式计算.【详解】（1）的可能取值为，，，故的分布列为：0123（2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”，，故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率为.17．(1)，(2)(3)有【分析】（1）根据列联表结合已知条件列式求解；（2）应用频率估计概率的方法计算求解；（3）先计算卡方，再应用临界值表比较判断下结论.【详解】（1）由已知可得,.（2）根据表中数据可知，使用手机小时的40人中有30人学业成绩良好，故的估计值为；（3）零假设为：周末使用手机时长与学业成绩没有关联，根据表中数据可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即周末使用手机时长与学业成绩有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001.18．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果；（2）求导，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性；（3）原问题转化为在上有两个不同的解，进而转化为的图象与在内恰有两个不同的交点，利用导数进行求解即可.【详解】（1）当时，，，又，，故切线方程为.（2），令，，当时，，故在上单调递增，，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，当时，，使得，故当时，在上单调递减，当时，在上单调递增.（3）在内恰有两个不同的极值点，在内恰有两个不同的实根，故的图象与在内恰有两个不同的交点，由（2）可知，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故当时，，当时，，在处有最大值即，又，的取值范围为.19．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根据已知条件建立方程，求得，得解；（2）（i）由（1）可求得抛物线方程，分别将直线与双曲线和抛物线联立方程