山东省济宁第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省济宁第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．的值为（）A． B． C． D．3．复数，则的虚部为（

）A．1 B． C． D．4．已知，，，则（

）A．－1 B．1C．3 D．－35．已知角的终边在直线上，则的值是（

）A． B． C． D．6．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实.同理，由此请计算（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴正半轴重合，终边过点，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．如图，在等边三角形中，.动点从点出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到此三角形中心距离的平方为，给出下列结论正确的有（

）A．函数的最大值为12；B．函数的最小值为6；C．关于的方程最多有6个实数根；D．当时能取得最大值.10．已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（

）A． B．α为钝角C． D．点(tanθ，tanα)在第四象限11．已知，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．在上单调递增C．的图象向左平移个单位长度后关于原点对称D．的图象的对称轴方程为三、填空题12．复数（为虚数单位），则的共轭复数为.13．一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为nmile.客船由处向正北航行nmile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则nmile;设灯塔在处的南偏西度,则.14．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形的周长等于.四、解答题15．已知满足，且时，(1)判断的单调性并证明；(2)证明：；(3)若，解不等式．16．已知函数.(1)证明在上是增函数；(2)求在[1.2]上的最大值及最小值．17．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.18．已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，其中，求的值.19．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点，连接．(1)证明：平面平面：(2)当三棱锥的体积等于时，求的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《山东省济宁第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DCCDCCCDACACD题号11答案ACD1．D【分析】由题意列不等式组求解【详解】由题意得，解得且，故选：D2．C【分析】将所求式子化为，利用两角和差余弦公式可求得结果.【详解】原式.故选：C.3．C【分析】根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解.【详解】由得，所以，故的虚部为为，故选：C4．D【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算求解.【详解】已知，，则有，又，所以，即.故选：D.5．C【分析】先由三角函数的定义求出，把利用诱导公式化简后直接得到答案.【详解】因为角的终边在直线上，所以，所以.故选：C6．C【分析】根据分段函数的解析式、的值域、的图象来求得的取值范围.【详解】当时，，值域为当时，由，得，由，得，解得或，作出的图象如下图所示，由图象可得：，即实数的取值范围是.故选：C.7．C【分析】应用诱导公式化目标式为，结合已知及诱导公式化简求值.【详解】由，，原式可化为，由，故.故选：C8．D【分析】根据三角函数的定义，求得，，再利用两角和的正弦公式，即可求解．【详解】根据三角函数的定义，可得，，又由.故选：D．9．AC【分析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.【详解】分别在上运动时的函数解析式，，分别在上运动时的函数解析式，，分别在上运动时的函数解析式，，，由图象可得，方程最多有6个实数根，函数的最大值为12，最小值为3，当时能取得最小值故选：AC.10．ACD【分析】根据角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，先算出和，进而逐个选项判断即可【详解】角θ的终边经过点，，A正确．θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B错误，C正确．因为tanθ=>0，，所以点(tanθ，tanα)在第四象限，D正确．故选：ACD11．ACD【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性、图象变换、对称轴等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A：，A正确；B：，，所以在上不单调，所以B错误；C：的图象向左平移个单位长度得到：，为奇函数，C正确.D：由，得，D正确.故选：ACD12．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得，再由共轭复数的定义得答案．【详解】解：，∴的共轭复数.故答案为：.13．3660【分析】根据题意画出草图,在中由正弦定理得长度,在中,由余弦定理,得长度,发现在中符合勾股定理,从而得到值.【详解】解:由题意画草图如下:在中,由已知得,,则,.由正弦定理,得,在中,由余弦定理,得即,,,从而,所以灯塔在处的南偏西.故答案为:14．【分析】分别取的中点E，N，M，G，F，易证平面，则，从而，同理，由线面垂直判定定理得到平面，进而得到所有点构成的平面图形为正六边形求解.【详解】如图所示：分别取的中点E，N，M，G，F，则，易知，，又，所以平面，则，所以，同理，又，所以平面，即所有点构成的平面图形为正六边形，因为正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，所以正六边形的周长为，故答案为：15．(1)减函数，证明见解析(2)证明见解析(3)或．【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；（2）采用赋值法探索与之间的关系；（3）利用单调性及特殊点的函数值解不等式即可.【详解】（1）是上的减函数，证明如下：对任意且，则，所以；又即，所以.所以是上的减函数.（2）由，令，得；再令可得；即.（3），，，即，又是上的减函数，所以，解得：或，所以不等式的解集为或.16．（1）见详解（2）；【分析】（1）根据函数的单调性定义即可证明.（2）由（1）函数是增函数即可求解.【详解】（1）在上任取，且则，，，，即，在上是增函数（2）由（1）知：函数在上是增函数，时，取得最小值当时，取得最大值.【点睛】本题主要考查函数单调性的定义以及利用函数的单调性求最值，属于基础题.17．证明见解析【分析】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN．【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.18．（1）单调递增区间为；（2）.【解析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，再利用同角三角函数的基本关系求出，则利用两角差的余弦公式计算可得；【详解】解：（1）因为所以.令，得函数的单调递增区间为.（2）若，则，因为，所以，所以..【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；