第13课时二次函数的图象和性质（一）

第13课时二次函数的图象和性质（一）第三章函数及其图象

知识点1二次函数的定义及表达式一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的函

数，叫做二次函数.

知识点2二次函数的图象和性质函数y＝a（x－h）2

＋k（a＞0）y＝ax2＋bx＋c（a＜0）图象

开口方向开口向

⁠开口向

⁠对称

轴直线

⁠直线

⁠顶点坐标（

，

⁠

）（

－

，

）上

下

x＝h

h

k

增减

性当

⁠

时，y随x的增大而

⁠

⁠；当

⁠

时，y随x的增大而

⁠

⁠当

时，y随x的增而

⁠；当

时，y随x的增大而

⁠最值当x＝

⁠

时，y有最

⁠

值为

⁠当x＝

－

时，y有最

值为

x＜

h

减

小

x＞

h

增

大

增大

减小

h

小

k

大

知识点3抛物线y＝ax2＋bx＋c中系数a，b，c的几何意义字母字母符号图象特征a（决定开口

方向和开口

大小）a＞0开口向

⁠a＜0开口向

⁠

越大开口越

⁠

越小开口越

⁠a，b（决定对称

轴位置）b＝0对称轴为

⁠ab＞0对称轴在y轴

⁠侧ab＜0对称轴在y轴

⁠侧上

下

小

大

y轴

左

右

c（决定与y

轴交点位置）c＝0抛物线经过

⁠c＞0与y轴

⁠半轴相交c＜0与y轴

⁠半轴相交b2－4ac（决定与x

轴交点个数）b2－4ac＝0与x轴有

⁠个交点b2－4ac＞0与x轴有

⁠个交点b2－4ac＜0与x轴有

⁠个交点特殊关系：①当x＝±1时，y＝a±b＋c；②若a±b＋c＞0，则x＝±1时，y＞0.原点

正

负

一

两

0

考点一

二次函数的概念

（1）判断是不是二次函数，要先化为一般式来判断；（2）二次函数的

二次项系数不为0.①⑤

－1

考点二

二次函数的图象和性质

（1）（2025·福建）已知点A（－2，y1），B（1，y2）在抛物线

y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（

A

）A.1＜y1＜y2B.

y1＜1＜y2C.1＜y2＜y1D.

y2＜1＜y1A

A.

x＜－1B.

－1＜x＜0C.0＜x＜2D.

x＞1

D

图1（3）如图2是一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象，则二次函数y＝kx2

＋bx＋2的图象可能为（

C

）

A

B

CC

D图2（4）已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数y的

几组对应值如下表：x…－4－2035…y…－24－80－3－15…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（

D

）DA.

图象的开口向上B.

当x＞0时，y的值随x的值增大而增大C.

图象经过第二、三、四象限D.

图象的对称轴是直线x＝1（5）若关于x的方程x2＋4x＋a＝0有两个不相等的实数根，则抛物线

y＝x2＋（a－4）x－5的顶点在第

象限.四

考点三

二次函数图象与系数a，b，c的关系

（1）（2025·达州）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x

轴交于点A（1，0），B（3，0）.下列结论：①abc＜0；②4a＋b＝

0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数为（

D

）A.1个B.2个C.3个D.4个D图1

A.1个B.2个C.3个D.4个C图2

1.

关于二次函数y＝（x－2）2＋3，下列说法正确的是（

D

）A.

函数图象的开口向下B.

函数图象的顶点坐标是（－2，3）C.

当x＞2时，y随x的增大而减小D.

该函数图象与y轴的交点坐标是（0，7）

A.

y1＞y2＞y3B.

y2＞y3＞y1C.

y3＞y1＞y2D.

y1＞y3＞y2DD3.

（2025·凉山州）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图

所示，其对称轴为直线x＝2，且图象经过点（6，0），则下列结论错误

的是（

D

）A.

bc＞0B.

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