备战2026年高考物理（新高考）易错点04 对曲线运动的分析存在误区（3陷阱点5考点6题型）（原卷版）

易错点04对曲线运动的分析存在误区

目录

01易错陷阱

易错点一：不会运用运动的合成与分解求解两种模型

易错点二：对抛体运动理解有误

易错点三：对圆周运动理解有误

02易错知识点

知识点一、绳杆末端速度分解的三种方法

知识点二、常见斜面平抛模型与结论

类型一：沿着斜面平抛

类型二：垂直撞斜面平抛运动

类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题

知识点三、水平方向上的圆周运动

知识点四、竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比

知识点五、竖直面内圆周运动常见问题与二级结论

03举一反三——易错题型

题型一：对绳、杆端速度进行分解

题型二：平抛运动与斜面、曲面的结合

题型三：多体平抛运动

题型四：斜抛运动

题型五：水平面上的圆周运动（圆锥摆，圆碗……）

题型六：竖直面的绳、杆模型及临界条件

04易错题通关

易错点一：不会运用运动的合成与分解求解两种模型

1．解决小船渡河问题掌握“三模型、两方案、两确定”

（1）小船渡河三种模型

当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最

渡河时间最短d

短时间tmin＝

v船

如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ

满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡

河位移最短，等于河宽d

渡河位移最短

如果v船<v水，当船头方向(即v船方向)与合

速度方向垂直时，渡河位移最短，等于dv水

v船

2.绳（杆）关联速度问题

（1）易错注意点

①绳或杆质量忽略不计

②绳或杆不可伸长

③沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．

（2）思路方法

合运动（实际发生的运动）→合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v

其一：沿绳杆的速度v1

分运动（对合运动沿某方向分解的运动）→分速度→

其二：与绳杆垂直的速度v2

方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．

（3）绳、杆末端速度分解四步

①找到合运动——物体的实际运动；②确定分运动——沿绳(杆)和垂直于绳(杆)；③作平行四边形；

④根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。

易错点二：对抛体运动理解有误

1．平抛(或类平抛)运动所涉及物理量的特点

物理量公式决定因素

取决于下落高度和重力加

2hh

飞行时间t＝

g速度g，与初速度v0无关

由初速度、下落高度和重

2hv0h

水平射程x＝v0t＝v0

g力加速度g共同决定

与初速度v0、下落高度h和重

222

落地速度vt＝vx＋vy＝v0＋2gh

力加速度g有关

Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下

由重力加速度g和时间间隔

速度改变量

Δt共同决定

2．平抛运动中物理量的关系图

两个三角形，速度与位移；

九个物理量，知二能求一；

时间和角度，桥梁和纽带；

时间为明线，角度为暗线。

3．平抛运动常用三种解法

正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出；

�

①�0=�2ℎ

分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出v=v0/cosθ；

推论法：若已知h、x，可求出tanθ=2tanα=2h/x；

②22

动能定理法：若已知h、v0，动能定理：mgh=½mv-½mv0，可求出。

2

③�=�0+2�ℎ

4.平抛运动中的临界、极值问题

在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可

能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．

1．若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．

2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这

些“起止点”往往就是临界点．

3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也

往往是临界点．

易错点三：对圆周运动理解有误

v22π

1．匀速圆周运动的向心力公式为F＝m＝mω2r＝mr()2.

rT

2．物体做匀速圆周运动的条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，提供物体做

圆周运动的向心力．

易错分析

3．向心力是效果力：向心力是根据力的作用效果命名的，不是性质力，它可以是重力、弹力、摩擦

力等各种性质的力，也可以是它们的合力，或某个力的分力．注意在分析物体受力时，不能说物体

还受一个向心力的作用，向心力可以是某一种性质力，也可以是几个性质力的合力或某一性质力的

分力．

知识点一、绳杆末端速度分解的三种方法

方法一、微元法

要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段

时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

如图所示，设船在θ角位置经t时间向左行驶x距离，滑轮右侧的绳长缩短L，当绳与水平方向

的角度变化很小时，ABC可△近似看做是一直△角三角形，因而有L=xcosθ△，两边同除以t得：

△△△△

，即收绳速率v0=vAcosθ，因此船的速率为：vA=υ0/cosθ。

方法二、效果分解法

首先确定合运动，即物体实际运动；其次确定物体A的两个分运动。两个分运动：一是沿绳的方向

被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于v1=v0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳

长，只改变角度θ的值。这样就可以将vA按图示方向进行分解。所以v1及v2实际上就是vA的两个分

速度，如图所示，由此可得vA=υ0/cosθ。

方法三、功率等值法

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功，即二者做功的功率相等。人对绳子的拉力为

F，则对绳子做功的功率为P1=Fv0；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则

绳子对物体做功的功率为P2=FvAcosθ，因为P1=P2所以vA=v0/cosθ。

知识点二、常见斜面平抛模型与结论

类型一：沿着斜面平抛

1.斜面上平抛运动的时间的计算

斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）

x＝v0t，

1

y＝gt2，

2

y

tanθ＝，

x

2v0tanθ

可求得t＝。

g

2.斜面上平抛运动的推论

根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度

方向相同。

3.与斜面的最大距离问题

【构建模型】如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体，物体落在斜面

上的B点，不计空气阻力．

法一：(1)以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)

所示

vx＝v0cosθ，vy＝v0sinθ，

ax＝gsinθ，ay＝gcosθ.

物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加

速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动．

v0tanθ

令v′y＝v0sinθ－gcosθ·t＝0，即t＝.

g

v0tanθ2v0tanθ

(2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝，

gg

2

122v0tanθ

A、B间距离s＝v0cosθ·T＋gsinθ·T＝.

2gcosθ

法二：(1)如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此

时横坐标的中点P，

12

ygt

则＝＝2，＝v0tanθ

tanθ1t.

x1g

v0t

22

2222

1v0tanθ2v0tanθAD

(2)AC＝y＝gt2＝，而ACCD＝13，所以AD＝4y＝，A、B间距离s＝＝

22ggsinθ

2∶∶

2v0tanθ

.

gcosθ

法三：(1)设物体运动到C点离斜面最远，所用时间为t，将v分解成vx和vy，如图(c)所示，则由tan

vygtv0tanθ

θ＝＝，得t＝.

vxv0g

(2)设由A到B所用时间为t′，水平位移为x，竖直位移为y，如图(d)所示，由图可得

y

tanθ＝，y＝xtanθ

x

1①

y＝gt′2

2

②

x＝v0t′

2v0tanθ

由式得：t′＝③

g

2

①②③2v0tanθ

而x＝v0t′＝，

g

2

x2v0tanθ

因此A、B间的距离s＝＝.

cosθgcosθ

类型二：垂直撞斜面平抛运动

方法：分解速度．

vx＝v0，

vy＝gt，

vxv0

tanθ＝＝，

vygt

v0

可求得t＝.

gtanθ

底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形

类型三：撞斜面平抛运动中的最小位移问题

过抛出点作斜面的垂线，如图所示，

当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则

水平方向：x＝hcosθ·sinθ＝v0t

12gh2h

竖直方向：y＝hcosθ·cosθ＝gt，解得v0＝sinθ，t＝cosθ.

22g

知识点三、水平方向上的圆周运动

1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水

平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。

2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的

合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力�与摆球的重

�Fn��FT�

力平衡，的水平分力提供向心力）。

FT

4．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运

动的轨道半径是��

�=�𝑠��

向心力合

22

�=��𝑡��=𝑡�=���𝑠��=��/(�𝑠��)

摆线的拉力

��=��/𝑐��

【讨论】：(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据

可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度𝑐��=

2

��

�也/越(�大�，)线速度�=�也越大。�=��/𝑐���=�𝑡��

�=����𝑠��𝑡��

结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越

大，转动的越快，运动的也越快，。�

(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相

�𝑐���𝑐��=ℎ

等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力合

�

，向心加速度，角速度，线速度�=��/𝑐�。��=

��𝑡����=�𝑡���=�/ℎ�=��=�ℎ𝑡��

结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角

大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。�

知识点四、竖直面内“绳、杆（单、双轨道）”模型对比

轻绳模型（没有支撑）轻杆模型（有支撑）

常见

类型

v2

过最高点的临由mg＝m得v临＝gr由小球能运动即可得v临＝0

r

界条件

对应最低点速度v低≥对应最低点速度v低≥

绳不松不脱轨5��4��

v低≥或v低≤不脱轨

条件

5��2��

22

F低-mg=mv低/rF低-mg=mv低/r

最低点弹力

22

F低=mg+mv低/r，向上拉力F低=mg+mv低/r，向上拉力

(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力

v2

(2)当0＜v＜gr时，－FN＋mg＝m，FN向

v2r

过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝m，

r

上支持力，随v的增大而减小

最高点弹力v2

绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg

r(3)当v＝gr时，FN＝0

向下压力v2

(4)当v＞gr时，FN＋mg＝m，FN为向下压

r

力并随v的增大而增大

在最高

点的FN

取竖直向下为正方向

图线取竖直向下为正方向

知识点五、竖直面内圆周运动常见问题与二级结论

【问题1】一个小球沿一竖直放置的光滑圆轨道内侧做完整的圆周运动，轨道的最高点记为A和最

低点记为C，与原点等高的位置记为B。圆周的半径为

要使小球做完整的圆周运动，当在最高点的向心力恰�好等于重力时，由可得

A2

�

��=�����①

对应C点的速度有机械能守恒得

1212

2�2��

当小球在C点时给小球一个水平��向2左�=的速�度�若−小球��恰能�到达=与5O��点②等高的D位置则由机械能守恒

得

12

���=2�����=2��③

小结：(1).当时小球能通过最高点A小球在A点受轨道向内的支持力由牛顿第二定律

��>5����+

2

��

��=��④

当时小球恰能通过最高点小球在点受轨道的支持力为由牛顿第二定律。

(2).AA02

��

��=5����=��

(⑤3).当时小球不能通过最高点A小球在A点，上升至DA圆弧间的某一位向右做

斜抛运动2�离�开<圆��周<，且5�v�越大离开的位置越高，离开时轨道的支持力为0

在段射重力与半径方向的夹角为则、

DA2

�ℎ

(4).当时小球不能通过�最高�点��A��上�升=至�C�D圆𝑐弧��的=某�一位置速度减为0之后沿圆弧返

回。上0升<的�最�≤高点2为��C永不脱离轨道

【问题2】常见几种情况下物体受轨道的作用力

(1)从最高点A点静止释放的小球到达最低点C：由机械能守恒

12

��2�=2���

在点由牛顿运动定律：得

C2

��

��−��=����=5��⑥

(2)从与O等高的D点（四分之一圆弧）处静止释放到达最低点C：由机械能守恒

12

���=2���

在点由牛顿运动定律：得

C2

��

��

(3)从A点以初速度�−释�放�小=球�到�达最�低点=3��⑦

�

由机械能守恒�=��

1212

��2�=2���−2���

在点由牛顿运动定律：得

C2

��

��−��=����=6��⑧

题型一：对绳、杆端速度进行分解

【例1】（2024•荆门三模）如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一

箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到

图示的位置时，货箱速度为v，连接货车的缆绳与水平方向夹角为，不计一切摩擦，下列说法正

确的是（）θ

A．货车的速度等于vcos

B．货物处于失重状态θ

C．缆绳中的拉力FT大于（m0+m）g

D．货车对地面的压力大于货车的重力

【变式1-1】（2024•锦江区校级模拟）为了减小关后备箱时箱盖和车体间的冲力，在箱盖和车体间安

装液压缓冲杆，其结构如图所示。当液压杆AO2长度为L时，AO2和水平方向夹角为75°，AO1

和水平方向夹角为45°，A点相对于O1的速度是vA，则A点相对于O2的角速度为（）

A．B．C．D．

3����2��2��

【变式】（•浙江模拟）如图所示，有一半径为的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心

12-2�20242�2r�3�

速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐

角为。则木板转动的角速度为（）

θω

A．B．

����

𝑐��𝑡�𝑠��𝑡�

C．�2D．�2

����

𝑐�𝑡��𝑐��𝑐�

【变式�1-3】（22024•西城区校级模拟）如图所示，小球�A、B用2一根长为L的轻杆相连，竖直放置在

光滑水平地面上，小球C挨着小球B放置在地面上。由于微小扰动，小球A沿光滑的竖直墙面

下滑，小球B、C在同一竖直面内向右运动。当杆与墙面夹角为，小球A和墙面恰好分离，最

后小球A落到水平地面上。下列说法中不正确的是（）θ

A．当小球A的机械能取最小值时，小球B与小球C的加速度为零

B．小球A由静止到与墙面分离的过程中，小球B的速度先增大后减小

C．当小球A和墙面恰好分离时，小球B与小球C也恰好分离

D．当小球A和墙面恰好分离时，A、B两球的速率之比为tan：1

θ

题型二：平抛运动与斜面、曲面的结合

【例2】（2024•五华区校级模拟）国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自

于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有甲、乙两名可视为质点

的运动员从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，初速度大小之比为2：3，不计空气阻力，则甲、

乙从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（）

A．甲、乙飞行时间之比为3：2

B．甲、乙飞行的水平位移之比为4：9

C．甲、乙在空中竖直方向下落的距离之比为2：3

D．甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为2：3

【变式2-1】（2024•德州模拟）如图所示，把一小球从斜面上先后以相同大小的速度抛出，一次水平

抛出，另一次抛出的速度方向与斜面垂直，两小球最终都落到斜面上，水平抛出与垂直斜面抛出

落点到抛出点的距离之比为（）

A．1：2B．2：1C．1：1D．1：3

【变式2-2】（2024•观山湖区校级模拟）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为

圆心，现同时从A、B两点水平相向抛出甲、乙两个小球，其初速度大小分别为v1、v2，且均落

在轨道上的C点，已知OC与竖直方向的夹角＝30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。

则下列说法正确的是（）θ

A．甲、乙两球不会同时落到轨道上

B．两者初速度关系为v1＞v2

C．整个下落过程，甲球速度变化量大于乙球速度变化量

D．甲球可沿半径方向垂直打在轨道上C点

【变式2-3】（多选）（2023•海口三模）如图所示，DOE为竖直半圆，O为圆周的最低点，B、C关

于过O点的竖直线左右对称。现从D点分别水平抛出三个小球a、b、c，其落点分别为圆周上的

A、B、C三点。不计空气阻力，则下列说法正确的是（）

A．飞行时间最短的是小球c

B．飞行位移最小的是小球a

C．三个小球飞行的加速度大小关系为aa＜ab＝ac

D．小球c的初速度比小球b的初速度大

题型三：多体平抛运动

【例3】（2024•南京二模）如图所示，在同一竖直面内，物块1从a点以速度v1水平抛出，同时物

块2从b点以速度v2抛出，两物块在落地前相遇，两物块均视为质点，除重力外不受其他作用力。

下列说法正确的是（）

A．相遇点在二者初速度连线交点的正下方

B．只改变v1的大小，两物块仍可相遇

C．只改变v2的大小，两物块仍可相遇

D．只把v2的方向向左转动，两物块仍可相遇

【变式3-1】（2023•铁东区校级二模）如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间

t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇的过程中，

1

下列说法正确的是（）2

A．相遇时间变为

�

B．相遇时间变为4

�

C．相遇点的高度下2降了

32

��

D．相遇点的位置在原来2的左下方

【变式3-2】如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P点水平射出的同时乙黄豆从另

一吸管末端M点斜向上射出，经过一段时间后两黄豆在N点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄

豆的运动轨迹。若M点在P点正下方，M点与N点位于同一水平线上，且PM长度等于MN的

长度，不计黄豆的空气阻力，可将黄豆看成质点，则（）

A．两黄豆相遇时，甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍

B．甲黄豆在P点速度与乙黄豆在最高点的速度不相等

C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍

D．乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度一半

【变式3-3】（2024•安康模拟）如图所示，小球从O点的正上方离地h＝40m高处的P点以v1＝10m/s

的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度v2斜向左上方与地面成＝45°抛出一小球，

两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。若不计空气阻力θ，则两小球抛出后到

相遇过程中所用的时间为（）

A．1sB．C．2sD．3s

2�

题型四：斜抛运动

【例4】（2024•朝阳区校级模拟）如图为烟花在空中的运动轨迹，虚线为轨迹上a、b、c三点的切线，

其中最高点b的切线方向水平，c点的切线方向竖直，可知该烟花（）

A．由a点运动到c点过程中，水平方向做匀速运动

B．由b点到c点做平抛运动

C．在b点的加速度方向竖直向下

D．在b点处于失重状态

【变式4-1】（2024•南昌一模）一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图所示

甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处清火点B，两水柱最高点在同一水

平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的

时间分别为t1、t2。以下判断正确的是（）

A．v1＞v2，t1＝t2B．v1＜v2，t1＝t2

C．v1＞v2，ι1＜t2D．v1＜v2，t1＜t2

【变式4-2】（2024•江苏模拟）如图所示，从水平面上A点以倾角为斜向上方抛出一小球，抛出时

速度大小为v0，小球落到倾角为的斜面上C点时，速度方向正好α与斜面垂直，B为小球运动的

最高点，已知重力加速度为g，则θ（）

A．小球在B点的速度大小为v0sin

B．小球从A点运动到B点的时间为α

�0𝑐𝑜

C．小球落到C点前瞬间竖直方向的速度�为

�0𝑐𝑜

D．小球从B点运动到C点的时间为𝑡��

�0𝑠𝑜

【变式4-3】（2024•东莞市校级模拟）过�水𝑡门��仪式是国际民航中最高级别的礼仪。如图所示，“过水

门”仪式中的“水门”是由两辆消防车喷出的水柱形成的。两条水柱形成的抛物线对称分布，且

刚好在最高点相遇。已知两水柱均沿与水平方向成45°角喷出，且从喷出到在最高点相遇所用时

间为3s。重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力和水流之间的相互作用，下列说法正确的是（）

A．“水门”的高度一定为90m

B．“水门”的跨度一定为180m

C．在最高点相遇时，水柱的速度为零

D．水喷出的瞬间，速度水平方向分量为15m/s

题型五：水平面上的圆周运动（圆锥摆，圆碗……）

【例5】（2023•朝阳区一模）如图所示，可视为质点的小球用轻质细绳悬挂于B点，使小球在水平

面内做匀速圆周运动。现仅增加绳长，保持轨迹圆的圆心O到悬点B的高度不变，小球仍在水平

面内做匀速圆周运动。增加绳长前后小球运动的角速度、加速度以及所受细绳的拉力大小分别为

1、a1、F1和2、a2、F2。则（）

ωω

A．1＝2B．a1＞a2C．F1＝F2D．F1＞F2

【变式ω5-1】（ω2023•河北一模）如图所示，光滑水平板开有小孔，顶角＝60°的光滑圆锥的顶点紧

靠着小孔，圆锥的高位于竖直面。质量相同的小球用穿过小孔的轻绳θ连接，两球分别位于水平板

和圆锥侧面上。为了保证小球Q的高度不变且刚好不脱离圆锥面，让两小球分别做匀速圆周运动。

重力加速度为g，则小球P、Q做匀速圆周运动的向心加速度的差值为（）

A．B．C．0D．

13−23

【变式�】（多选）（•郴州模拟�）如图所示。在匀速转动的水平圆盘上，�沿直径方向放着用轻

25-2202323

绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB

＝3r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速从

零开始逐渐加快到两物体刚好要发生但还未发μ生滑动时，下列说法正确的是（）

A．绳子的最大张力为FT＝2mg

μ

B．当A所受的摩擦力为零时，圆盘的角速度为

2��

C．随着角速度的增大，A所受摩擦力的方向和大ω小=都会�变化，而B所受的摩擦力方向不变

D．随着角速度的增大，A所受的摩擦力一直减小，而B所受的摩擦力一直增大

【变式5-3】（多选）（2024•博望区校级模拟）通用技术课上，某兴趣小组制作了一个小球爬杆装置，

如图所示，竖直杆OM与光滑杆ON均固定在电动机底座上，且ON与水平面间的夹角＝60°，

一弹簧上端固定在OM杆上的P点，下端与穿在ON杆上质量为m的小球相连。装置静α止时弹簧

与竖直方向间的夹角＝30°，当电动机带动底座开始转动时，小球开始爬杆。已知OP两点间的

距离为L，重力加速度β为g。则（）

A．装置静止时杆对小球的弹力方向垂直杆ON斜向下

B．装置静止时弹簧弹力的大小为mg

C．装置静止时杆对小球的弹力大小为

3��

D．电动机转动后，当小球稳定在与P点等高的位置时杆的角速度为

6�

�

题型六：竖直面的绳、杆模型及临界条件

【例6】（多选）（2024•南昌模拟）如图所示，一物块放在水平木板上，现用木板托住物块一起绕O

点在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，角速度大小为，物块与木板之间的动摩擦因数为

，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若在运动ω过程中物块和木板始终保持相对静

μ止且木板始终保持水平，则下列说法正确的是（）

A．在圆心等高处时物块受到的摩擦力为mg

B．在圆心等高处时物块受到的摩擦力为μm2R

ω

C．的最大值为

��

ω�

D．的最大值为

��

ω2

�1+�

【变式6-1】（2024•西城区一模）如图1所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端

系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不

同。测量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F与v2的关系图线如图2所

示。下列说法中正确的是（）

A．根据图线可以得出小球的质量

��

�=

B．根据图线可以得出重力加速度�

�

C．绳长不变，用质量更小的球做实�=验�，得到的图线斜率更大

D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变

【变式6-2】（2024•洛阳一模）如图（甲），轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上。现

使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分

速度vx随时间t的变化关系如图（乙）所示。不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A．在t1时刻小球通过最低点

B．图（乙）中S1面积的数值为0.8m

C．图（乙）中S1和S2的面积不相等

D．图线第一次与横轴的交点对应小球的速度为4m/s

【变式6-3】（2024•安徽模拟）如图所示，一滑块（可视为质点）在水平力F的作用下由静止沿粗糙

水平直轨道AB开始运动，该力的功率恒定，达到最大速度后，撤掉该力，滑块继续前进一段距

离后进入竖直光滑半圆轨道BCD，并恰好通过该轨道最高点D，然后进入光滑半圆管道DEF，

最终停在粗糙水平直轨道FG上。已知水平力的恒定功率为10W，滑块的质量为0.2kg，滑块与

轨道AB的动摩擦因数为0.5，半圆轨道BCD的半径R＝0.5m，重力加速度g取10m/s2，下列说

法正确的是（）

A．滑块在D点的速度大小为

B．半圆管道DEF的半径r可能1为0�0/.1�5m

C．在轨道AB上，滑块的最大速度为10m/s

D．在轨道AB上，滑块减速过程的距离为2.5m

1.（2024•黄州区校级二模）如图所示，小球A从地面向上斜抛，抛出时的速度大小为10m/s，方

向与水平方向夹角为53°，在A抛出的同时有小球B从某高处自由下落，当A上升到最高点

时恰能击中下落的B，不计空气阻力，sin53°＝0.8，重力加速度g取10m/s2。则A、B两球初

始距离是（）

A．4.8mB．6.4mC．8.0mD．11.2m

2.（2024•顺庆区校级模拟）如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端把一高尔夫球水

平击出让其在与斜面垂直的面内运动，小球刚好落在斜面底端。B点是运动过程中距离斜面的

最远处，A点是在阳光照射下小球经过B点的投影点，不计空气阻力，则（）

A．小球在斜面上的投影做匀速运动

B．OA与AC长度之比为1：3

C．若斜面内D点在B点的正下方，则OD与DC长度不等

D．小球在B点的速度与整个段平均速度大小相等

3.（2024•清江浦区模拟）金秋九月，正是收割玉米的季节，加工过程中，农民会采用如图甲所示

的传送带装置。具体过程如图乙所示，将收割晒干的玉米投入脱粒机后，玉米粒从静止开始被

传送到底端与脱粒机相连的顺时针匀速转动的传送带上，一段时间后和传送带保持静止，直至

从传送带的顶端飞出，最后落在水平地面上，农民迅速装袋转运。提升了加工转运的效率。已

知传送带与水平方向的夹角为、顶端的高度为h，玉米粒相对于传送带顶端的最大高度也是h，

θ

重力加速度为g，若不计风力，空气阻力和玉米粒之间的相互作用力，下列说法正确的是（）

A．玉米粒在传送带上时，所受摩擦力始终不变

B．玉米粒落地点与传送带底端的水平距离为

(2+22)ℎ

C．传送带的速度大小为𝑡��

2�ℎ

D．玉米粒飞出后到落地所𝑠�用�的时间为

ℎ

3

4.（2024•合肥三模）如图所示，在某次跳�台滑雪比赛中，运动员以初速度v0从跳台顶端A水平

飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到

赛道的垂直距离为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为，重力加速度为g，空气

阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离θ是（）

A．B．

2222

�0𝑠��𝑡���0𝑠��𝑡��

C．2�D．�

222222

�0𝑠��𝑡���0𝑠��𝑡��

5.（2024•2盐�城三模）飞镖扎气球是一种民间�娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，

O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置M点水平

射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面O、P、Q三

点的飞镖，下列说法错误的是（）

A．射中O点的飞镖射出时的速度最小

B．射中P点的飞镖射出时的速度最大

C．射中Q点的飞镖空中飞行时间最长

D．射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等

6.（2024•浙江二模）如图在水平地面上放置一边长为0.8m的正方形水箱，一水管可在ABCD面

内绕A点转动≤90°，已知出水口截面积为5cm2，出水速率为2.5m/s，不计水管管口长度及

一切阻力，水落θ至液面或打至侧壁不再弹起，则（）

A．任何方向喷出的水柱都能打到DCGH或CGFB侧面

B．水在空中运动时间的最大值为

C．空中运动的水的质量最大值为0.35k2g2�

D．若保持不变，则随着液面上升，水在空中运动的时长逐渐缩短

7.（2024•镇θ海区校级一模）汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看

作圆弧的一部分，如图所示的A、B、C处，其中B处的曲率半径最大，A处的曲率半径为1，

C处的曲率半径为2，1＞2，重力加速度为g。若有一辆可视为质点、质量为m的小汽车ρ与

路面之间各处的动ρ摩擦ρ因数ρ均为，当该车以恒定的速率v沿这段凹凸路面行驶经过A、B、C

三点时，下列μ说法正确的是（）

A．汽车在A处受到的摩擦力大小为mg

B．汽车经过A处时处于失重状态，经μ过C处时处于超重状态

C．汽车在A点的行驶速度小于时，汽车将做平抛运动

D．汽车经过C处时所受的向心力�最�1小

8.（2024•盐城三模）如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球

穿于环上，一长为R的轻杆一端固定于球上，另一端通过光滑的铰链连接于圆环最低点，重力

加速度为g。当圆环以角速度绕竖直直径转动时，轻杆对小球的作用力大小和方向为

6�

（）