高中数学专题-数列知识点讲义及练习题（解析版）

高中数学专题-数列知识点讲义及练习题（解析版）

查朴考点大集金

K散列的三种表示）

Y数列的分类）

「（数列的有关暮念A

Y数列的通项公式）

S5L01臼an与Sn的关系求通项公式

■＜能;1的曲聆式）

遁02田递淮关系次数列的通顶公式

—（o考点数列的微念与薪

DP（猊察/）~（公式法）,03的周喇啦

SS304用品数斫变数列的单调性和母值

-（一黝加）~~（合法）

y数列通项公式的8种求法＞■

-（椅a法）（取倒般去）

Y三项段去不通点法）

等差数列的定义

触01等差数列耀本量桢

会数列的）等差二

3g装02等差数列的住康及应用

—£O考点二等差数列及其前湎和通项公式与前n顼和公式）鞋03等差数列的前n项和性E汲应用

2SS04等差数列的里当性及最值

等是数列通项的性质犍05等差数列的判定与证昭

等差数列的性质25506含途对值等差数列求和

数列一会数列前n项和初婚

■（等比数列的定工）

•等比散列的感念五元汁：斑市血）

S£01等比数列的基本量求婚

等比数列的性质及应用

通项公项蜘式Bffi02

-O考点三等比数列及丽nl贞和0）3等5列的到定与证明

/————^[■＜等比数列的由S）Sffi04等差与等比数列综合

一等比数列的性质H上-------

---------------」等比数列前n项和的性成）

SSoi分组触法求数列的前途和

公式法分组转化法豌型02裂项令看法狗5列的前n项和

—（^^点四数列求和及踪合而鼠）•/wemffleg常用降财

开项阚法例序相加法,03

ESSI04数列与不等式证的向SB

蒙项相治法错位相濡去,05%中99^141变

斐超06数列新定义手

考点大过头

考点一：数列的概念与表示

^核心提炼・查漏补缺

知识点1数列的有关概念

1、数列的一:种表示：列表法、图象法和解析式法.

2、数列的分类

分类标准类型满足条件

按项数有穷数列项数有限

分类无穷数列项数无限

按项与项递增数列%>4其中〃WN’

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间的大小递减数列

关系分类

常数列

有界数列存在正数使

按其他标

摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

准分类

周期数列对〃WN',存在正整数常数上使%

3、数列的通项公式：如果数列｛4,｝的第〃项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫

做这个数列的通项公式.

4、数列的递推公式：如果已知数列｛6｝的首项（或前几项），且任一项劣与它的前一项或前几项）

间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.

知识点2数列通项公式的求法

1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律

写出此数列的一个通项.

2、公式法

一（、[5,,5=1）

（1）使用范围：若已知数列的前〃项和S“与明的关系，求数列｛%｝的通项%可用公式卬=；c,

构造两式作差求解•.

（2）用此公式时要注意结论有两种可能，•种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即“和％合

为一个表达，（要先分〃=1和〃22两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）.

3、累加法：适用于an+i=an+7（网＞可变形为11—小=加?）

要点：利用恒等式。〃=0+（。2—0）+（。3—。2）+…+（〃〃一斯-1）（，左2,求解

4、累乘法：适用于小+产&）。〃，可变形为誓=A〃）

要点：利用恒等式知=。|•詈・詈…•①（0/0，叱2,〃£N,）求解

〃2Cln-1

5、构造法：对于不满足小+|=小+八〃），%”=人〃）为形式的递推关系，常采用构造法

要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解

类型一：形如a,用（其中〃国均为常数且〃工0）型的递推式：

（1）若〃=1时，数列｛4｝为等差数列；

（2）若夕=0时，数列｛%｝为等比数列；

（3）若〃且"工0时・，数列｛〃,｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有

如卜两种：

法一：设。川+/1=〃（q+/1），展开移项整理得％=pa“+（p—l）/l,与题设为讨=网”+4比较系数（待定系

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数法)得4=—^,(〃工0)=>。“+|+—^―=p(aH+—^―)=>au+—^―=/?(«„.!+—^―)，即1。”+—构成以

p-\p-\p-\p-1p-l1

<、

4+」二为首项，以〃为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出。“+—”的通项整理可得

〃一1〃一1J

法二：由4,用=pa“+q得aH=panA+q(n>2)两式相减并整理得——―=p,即｛。，用-｝构成以出-q为首

册

项，以〃为公比的等比数列.求出｛〃的-g｝的通项再转化为累加法便可求出巴.

类型二：形如*=pa.+/(〃)(pw1)型的递推式:

(1)当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：设为+A〃+8=〃［勺_1+4〃-1)+闭，通过待定系数法确定4、A的值，转化成以4+A+8为首项,

以M=(〃：；〃)!为公比的等比数列｛""+A〃+8｝,再利用等比数列的通项公式求出｛an+An+B］的通项整理

可得明

法二：当/(〃)的公差为“时，由递推式得：all+i=pan+f(n),为=4*+/(〃-1)两式相减得：

an+l-an=p｛an-an_x)+d,令么=■一4,得:bn=pbn_i+"转化为类型V(T求出bn,再用累加法便可求出

(2)当/(〃)为指数函数类型(即等比数列)时：

法一：设q+/l/(〃)=〃,*+通过待定系数法确定4的值，转化成以4+2/⑴为首项，以

%”=［士及为公比的等比数列+4"〃)｝，再利用等比数列的通项公式求出｛凡+”(〃)｝的通项整理可

得％.

法二：当/(〃)的公比为g时,由递推式得:%=20+/(〃)一©,勺=政"/(〃-1),两边同时乘以g得

生启=pqa,i+qyST)—②，由①②两式相减得与+］-qq=p(4-/%)，即巴出~~—=p,构造等比数列。

%一屈

法三：递推公式为，*=〃4+4"(其中p,q均为常数)或《向=〃4+%"(其中P，q，r均为常数)时，

要先在原递推公式两边同时除以/用，得：编=2-3+_1,引入辅助数列｛4｝(其中"=生).得：

qqq'qq"

“向=^^+1,再结合第一种类型。

qq

6、取倒数法：廿尸备即，…是常数)，可变形为£=芸十

要点：①若〃=八则是等差数列，且公差为《可用公式求通项；

②若〃行，则转化为知+|=S4〃+/型，再利用待定系数法构造新数列求解

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已知s“求〃〃的三个步骤

（1）利用41=5i求出a1.

（2）当论2时,利用斯=S〃-Si（后2）求出如的表达式.

（3）看⑶是否符合论2时小的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形

S],/2=1>

式，即斯.

|S„—Sw-i，n>2.

根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.

（1）利用a“=S”一S”-i（论2）转化为只含S〃,S1的关系式,再求解.

（2）利用S”一S"—i=a“（〃22）转化为只含小，斯―]的关系式，再求解.

1.（2024.河南开封.二模）已知数列｛q｝的前〃项和为S“=3"-1,则%=（）

A.81B.162C.243D.486

【答案】B

【解析】数列｛q｝的前〃项和为S“=3"—1,所以见=邑-5=35-3，=162.故选：B

2.（2024.四川.模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S,,,若S"=2"T-g,则数列｛&｝的通项公式为（）

口〃=1

fl

A.4=）2,'B.an=2-'

2\n>2

C.凡=（-2广D.〃“=2”2

【答案】D

n|

【解析】5,1=2--1,当〃=1时，4=，=2°-：=:，

当〃之2«=S“一5；尸2'T_2M=2"2吗=1也满足，

所以数列｛%｝的通项公式为凡-2"-2.故选；D

3.（2024•福建漳州•一模）已知各项均不为0的数列｛q｝的前“项和为S"，若3S.=a“+l,则?•=（）

%

【答案】A

【解析】因为3sli=仆+1,则3S,川=«川+1,

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两式相减可得：3《用3一%，即2〃用=一勺，

令〃=7,可得％=-%,且。,工0,所以"=一：.故选：A.

%2

11

4.（2024•江苏•一模）已知正项数列｛%｝满足+^7=^T(〃wN)'若4-24=7,则％=

的2

)

3

A1B.1C.D.2

.32

【答案】D

【解析】二时,表q

Inn-\

2

办之2时,-2n+i2n-l-4W-1

-二』"•W99,%(2%+7)=99,,

99

11心7

4=3吗=18Q,〃必=63,..=弓

=35,「•=10,

3

a2a^=15,.'.«2=—,4%=3,**«q=2.故选:D.

-苫^小武,求数歹心二

5.（23-24高三上•广东深圳•阶段练习）已知《+2%+3%++natl=

1,

——，〃=1

2

【答案】

—,/?>2

2"

【解析】】=1时,q=]_3*不I

〃22时，由q+2a2+36++na）t=1一一；

仃q+2%+3%++（〃-1）%=1-箓,

两式相减，得叫=卷，则有，，

〃=1时，/不符合％=[•,

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——,11=1

2

所以为h

——，〃22

2”

【题型2由递推关系求数列的通项公式】

凡-%=/'(〃-1)

a_-a_=f[n-2)

1、累加法：形如％”=%+/（〃）型的递推数列（其中/（〃）是关于〃的函数）构造:nxn2

a2-at=/(l)

凡7

2、累乘法:形如q…"〃）（十a=加型）的递推数列（其中f（〃）是关于〃的函数）构造也_L±2=f（〃一2）

3、构造法:

（1）形如a“+i=〃/+9（〃国为常数，〃（/工0且〃。1）的递推式，可构造4+|+2=〃（〃“+2）,转化为等

比数列求解.也可以与类比式凡=皿…+。作差，由。,3-4=汉q-。,1），构造｛，，川-4｝为等比数列，然

后利用叠加法求通项.

（2）形如%=*“+小（〃±（）且〃工I,”工1）的递推式，当p=4时，两边同除以“向转化为关于，今

的等差数列；当〃wd时，两边人可以同除以得蔚一/今+:，转化为〃用=/也+[.

（3）通过配凑转化为。“+4〃+8=〃卜*+4〃-1）+可，通过待定系数法确定A、3的值，转化成以

4-A+8为首项，以4"二1二为公比的等比数列｛4+A，?+8｝,再利用等比数列的通项公式求出

（n-my.

｛an+An+8｝的通项整理可得an.

4、取倒数法：对于,.=丁竺一（如工0）,取倒数得_!_=小%L=2，+£.

b+ca“4向aanaana

1

当a=〃时，数列r是等差数列:

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当。工〃时，令r=工,则〃X=<h・〃,c+£,可用待定系数法求解.

4aa

1.（2024.山东潍坊・一模）已知数列㈤｝满足4=0,%=1.若数歹式4+。向｝是公比为2的等比数列，则

°2O：4=（）

22024।

A2叫1

B.-~~—C.2*1D.2,0,,-1

A.f3

【答案】A

n-12n2

【解析】依题意，4+02=1,an+an+i=2,当年22时,an^+an=T~,则a“+i-q.i=2~,

所以。2024=々2+（。4一。2）一（〃6一。4）++（〃2024一。2022）=1+2+2'+2$++

1+北山二丝里.故选：A

1-43

2.（23-24高三上•河南•期中）在数列｛q｝中，%=1,冬土牛=2〃，则卬3=（）

A.4JIZB.15C.V223D.10

【答案】B

222cl

【解析】因为%^=2〃，所以总+q；=2〃（匕/硝，即（1_2〃”3=（-2〃-1）*得与二生

%一可92〃-1

所以山=零乂零*冬,22522322153

Xxfxa：=-----x-----＞：-----x••x-x-xl=225.

4124]।41。22322121931

因为%>0,所以613=15•故选:B.

，崎=（）

3.（23-24高三下.安徽.开学考试）已知正项数列｛《,｝满足

B-ic7D-I

【答案】B

田岩，则数列管｝是吗为公比的等比数列,

【解析】依题意,

因此竺=旦.?丫，所以/《故选:B

842)

4.（2024.江苏南京.模拟预测）已知数列卜/“｝满足4=1,2〃川-%+4,4川=0（〃eN）,则数列｛凡｝的通项公

式为.

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【合案】^,=^r-7

Z—1

【解析】数列｛q｝中，4=1,2%-4+〃“4+]=0,显然《尸0,

则有」一=2・-!-+1,即」一+l=2（-!-+l）,而工+1=2,

Jq44

因此数列｛’+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以《+1=2”，即巴=4,

Cln/一।

5.（23-24高三上.河南焦作•开学考试）已知数列｛6｝满足。川=34+2,4+生=22,则满足q>160的最

小正整数〃=.

【答案】5

%-3a-,+2伉=5

【解析】由《3一”,解得｛-।「

%+%=221%=17

又见=34+2,所以4=1.

另一方面由%+]=3%+2,可得L=3（a.+1）,

所以｛q+1｝是首项为％+1=2,公比为3的等比数列，

所以勺=2x3”J1,易知｛〃“｝是递增数列，

又4=2x27-1=53,«5=2x81-1=161,

所以满足%>160的最小正整数n=5.

【题型3数列的周期性及应用】

1、周期数列的常见形式

（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数：

（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；

（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形彻造出特殊数列.

2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求

有关项的值或者前〃项的和.

1.（2024.广西南宁•一模）已知数列｛凡｝的首项％=。（其中且。工0）,当此2时，勺=7：^—，则

]一4-i

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2024)

A.aB.--C.1--D.无法确定

\-aa

【答案】B

.Ia-\1

4a

【解析】4=。，a2=----,《一1一a，"一1a-\~,

\-a---I-----

l-aa

故数列也｝的周期为3.故%侬=%⑹4+2=%=故选：B

1-a

3a„-1,为奇数

2.（2024.甘肃兰州•一模）数列｛%｝满足4=2皿3=仅可为偶数则出024=（)

A.5B.4C.2D.I

【答案】B

3%+L为奇数

【解析】因为q=2|。"《凡，可为偶数

KHl0(w

所以生=gq=2°,a,=^2=2,L,«I011=2,

4O】2=1，^1013=4，«l014=2，4oi5=1，L,

X2024=1012+3x337+1,所以“的=4。门=4.故选：B

3.（2024・四川宜宾•二模）在数列｛q｝中，已知4=2,4=1,且满足%+2+凡=。…则数列｛%｝的前2024

项的和为（）

A.3B.2C.1D,0

【答案】A

【解析】由题意得/+2=〃向-%，用〃+1替换式子中的"，得《+3=%+2-%+1，

两式相加可得凡+3=-%，即勺+6+3=为，所以数列｛《｝是以6为周期的周期数夕].

乂％=2,%=[，.•.%=-1，〃4=-2,%=-1,。6=].

所以数列｛〃”｝的前2024项和S2=337（4+%++a6）+at+a2=3,故选：A.

4.（2024•山西•一模）已知数列｛q｝满足（勺+产？〃/]-%-1，且4=3,则内必二（）

2

B.-4C.-D.

43

【答案】B

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【解析】由题意可知34=2生-3-1=＞的=-4,

|125

同理田=-3，。4=三，45=4，。6=Z，％=3,仆=-4,

即｛6｝是以6为周期的数列，所以%）24=-37+2=%=-4.故选：B

5.（2024.内蒙古包头.一模）已知数列｛叫的前〃项和为5“，q=2,%=3,a,1+2a，则52产

【答案】6

【解析】因为4=2,a2=3,4+2=4”“一。“，

则为='_4=]，。4=4_，=_2,a5=a4-=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,

所以数列｛〃”｝是周期为6的数列，且$6=%+%+2+。4+%+%=2+3+1-2-3-1=0,

所以S2]=5^+3=$3=4+—+/=6.

【题型4用函数研究数列的单调性和最值】

求数列最大项或最小项的方法

（1）将数列视为函数/a）当XEN*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利

用求函数最值的方法，求出/*）的最值，进而求出数列的最大（小）项.

（2）通过通项公式明研究数列的单调性，

a„＞a,\a„＜a„.

利用in522）确定最大项，利用《日（〃22）确定最小项.

口？4川U工。川

（3）比较法：

①若有可.「4=/（〃+1）-/卬＞。（或。〃〉0时，—＞1）,

则凡”〉凡，即数列｛4｝是递增数列，所以数列加,｝的最小项为4=八1）：

②若有可厂4=/（〃+1）-/卬＜0（或耳〉0时，芳〈1），

则q川＜《，即数列｛“”｝是递减数列，所以数列｛〃“｝的最大项为4=/（i）

1.（2024.全国.模拟预测）己知数列包｝满足4=，,%-24=-〃+1,若｛〃“｝是递减数列，则实数，的取值

范围为（）

A.（-1,1）B.（y⑼C.（-U]D.（1,+8）

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【答案】B

【解析】将2，"=~n+\整理得向一(〃+1)=2(《一〃),

又易知当"1时,4=I,%=2,不满足｛〃”｝是递减数列，故”1,

因此数列｛《,-〃｝是以/-I为首项，2为公比的等比数列，

故=,因比q=“+(…l)2"T,

由于｛q｝是递减数列，故%“<勺恒成立，得〃+1+(1)2"<〃+(，—1)2"、

化简得(1一。2小>1,故17>击，

因此|-/>]!了=|,解得r<0,故选：B.

2.(23-24高三下.湖南长沙•阶段练习)已知数列｛《,｝满足q=3〃-双〃cNfcR),则“力<3”是“｛&1｝是

递增数列''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当bv3时,a„=3n-b>Ot则|4|=|3〃-勿=3〃一，｛&|｝是递增数列;

反之,当〃=3时，|*=3"3,数列｛口|｝递增，

因此数列｛|可1｝是递增数列时,方可以不小于3,

所以“<3"是“｛I%1｝是递增数列”的充分不必耍条件.故选：A

3.(2024・辽宁•一模)若函数/(二)使得数列4=/(〃)，为递减数列，则称函数为'数列保减函

数”，已知函数/(6=11-也•为“数列保减函数”，则。的取值范闱()

A.[in3,+oo)B.(ln2,+a>)C.[1,+co)D.(0,+8)

【答案】B

【解析】由题可知/(«+1)</(〃)对任意的neN'恒成立,

即a>In。+，)对任意的〃eN"恒成立，

因为/=1+,在〃21时单调递减，)，=1皿在f>0时单调递增，

n

(1、

AJ=ln1+-在〃之1时单调递减，

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・•・ln（l+：）在〃=1时取最大值，且最大值为ln2,「.a〉ln2.故选：B.

4.（2024•安徽阜阳•一模）已知数列｛q｝满足q=2,『+力?（4eR）,则“｛4｝为递增数列”是“心0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

（解析】由｛4J为递增数列得，H=[2（〃++4（〃+1）卜（2/+沏）=4+4〃+2>0,〃eN,,

贝（4〃+2）对于〃eN.恒成立，得义>-6.可得220=/1>-6,反之不行，故选：C.

5.（23-24高三下•重庆•阶段练习）已知数列｛4｝满足q+2=3。川-24吗=4%=2,｛4｝单调递增，则义的

取值范围为（）

A.B.（fl]C.（-oo,l）J（l,2）D.（-co,2）

【答案】D

【解析】由4+2=3q+「24得的=2（《+|-勺）,

又依｝单调递增，故&+「〃”>（）,

所以数列｛%“一q｝是以外-6=2-/1为首项，2为公比的等比数列，

所以一凡=（2-丸）•，又｛qJ单调递增，

所以（2-冷•>0对任意正整数〃恒成立,

所以2-尤>0,得％<2,故选：D.

考点二：等差数列及其前n项和

—I核心提炼：查漏补缺

知识点1等差数列的概念及公式

1、等差数列的定义

（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数;

（2）符号语言：4+「4=（〃内，d为常数）.

2、等差中项：若三个数小A,〃组成等差数列，则A叫做小。的等差中项.

3、通项公式与前〃项和公式

（1）通项公式：%=4+（〃-1财.

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//、MTH、八cn(rt-l),n(a,+a„)

(2)削〃项和公式：S"=〃％+—厂----——•

(3)等差数列与函数的关系

①通项公式：当公差4工0时.等差数列的通项公式4=4-(〃-1川=而+4-"是关于〃的一次函数，

且一次项系数为公差4.若公差d>0,则为递增数列，若公差4<0,则为递减数列.

②前〃项和：当公差，/工0时，S.=叫+殁H4=^〃2+(%-^)〃是关于〃的二次函数且常数项为0.

知识点2等差数列的性质

已知数列｛《；｝是等差数列，S”是其前〃项和.

1、等差数列通项公式的性质：

(1)通项公式的推广：an-am+(n-meN*).

(2)若%+/=〃?+n(kd,m,neN'),贝ljq+q=4+an.

(3)若｛%｝的公差为d,则｛/〃｝也是等差数列，公差为24.

(4)若低｝是等差数列，则｛〃q+弛J也是等差数列.

2、等差数列前”项和的性质

⑴S2n=〃(6+/“)=…=〃(勺+)；

⑵521=(2〃-1)6：

(3)两个等差数列｛%｝,｛2｝的前n项和S“，，之间的关系为2二*.

^2n-\

(4)数列SjS2m-Sin，S3”,一切皿，…构成等差数歹人

(5)若项数为2〃，则S^-S奇二〃d,=:

J甥4+1

(6)若项数为2〃一1,则S偶=5-1)。“，=nan,S奇一S偶=q,

3偶〃T

・题型特训•精准提分

【题型1等差数列的基本量求解】

1、等差数列的通项公式及前〃项和公式共涉及五个量0,斯，d,〃，Sn，知其中三个就能求另外两个，体

现了方程思想.

2、数列的通项公式和前〃项和公式在解题中起到变量代换的作用，而0和d是等差数列的两个基本量，用

它门表示已知量和未知量是常用方法.

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1.（2023•全国•高考真题）记S.为等差数列｛4｝的前〃项和.若生+综=1。4％=45,则S$=（）

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【解析】方法一：设等差数列｛6｝的公差为"，首项为可，依题意可得，

%+4=4+d+4+5d=10,即q+3d=5,

又包4=（4+然）（4+7d）=45,解得：d=l,q=2,

5x4

所以S、=54+—xt/=5x2+IO=2O.故选：C.

2

方法二：a2+a6=2a4=10,4%=45,所以4=5,4=9,

从而d="二驾=1,于是/=%-〃=5-1=4,所以S<=5%=20.故选：C.

8-4

2.：2（）23•全国•高考真题）设等差数列｛q｝的公差为小且d>l.令“=宁'，记S.,7；分别为数列｛叫,他｝

的前〃项和.

（1）若初2=3q+%,S3+7；=21,求｛4｝的通项公式；

（2）若｛>｝为等差数列,且$「4=99,求d.

【答案】（1）例=3〃；（2）d卷

【解析】（1）,.•3%=34+%,/3d=4+21,解得q=d,.,.53=3%=3（4+4）=6”,

。69Q

又4=4+8+4=：+§+£=.$+7；=64+7=21,

c2d3dad

即2d2-74+3=0，解得d=3或d=g（舍去），

/.an=q+（〃-1）•</=3〃.

12212

（2）也｝为等差数列，/.2%=4+4，即—=—+一,

a2a\。3

•-6（---）=—=—,即a；—3q"+2d2=0,解得q=d或q=2",

aaa

a2%23\

•;d