1.3.2+空间向量运算的坐标表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示

人教A版（2019）选择性必修一学习目标1.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应的问题，体现逻辑推理能力（重点）2.掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题，体现逻辑推理能力（重点）3.熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式，体现数学计算能力（难点）1新课导入我们前面学习了空间向量的一些概念以及类比平面向量的一些性质，上一节课我们学习了空间向量的坐标表示，那么，复习一下平面向量的坐标运算：a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，类比平面向量的运算，思考一下空间向量的坐标运算是如何的？新课学习4探究一下：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？设a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)λa=(λa1,λa2,λa3)a•b=a1b1+a2b2+a3b3新课学习下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示设{i，j，k}为单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k.所以a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k).利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，

i·j＝j·k＝i·k＝0，得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.结论：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示时完全一致的.新课学习类似于平面向量，我们可以得到1.一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.当b≠0时，a//ba=λba1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)3.设

a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则a⊥ba·b=0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0新课学习探究一下：你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1,

y1,

z1)，P2(x2,

y2,

z2)是空间中任意两点，则

于是所以这就是空间两点间的距离公式.新课学习例2：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证:EF⊥DA1.分析：要证明EF⊥DA1,只要证明

即证我们只要用坐标表示

并进行数量积运算即可.不妨设正方体的棱长1，建立如图所示的空间直角坐标系

Oxyz，则新课学习所以又A1(1,0,1)，D(0,0,0)，所以所以新课学习思考一下：你能从本题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？1.建立恰当的空间直角坐标系;2.求出有关点的坐标和相关向量;3.转化为向量的运算问题，解决问题;4.求出答案后，再还原到几何问题中去.新课学习(1)

求AM

的长.分析：利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A,M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出AM的长.新课学习新课学习(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.

分析：

与

所成的角就是

所成的角或它的补角.因此,可以通过

的坐标运算得到结果.由已知，得所以新课学习所以所以所以，BE1与DF1所成角的余弦值是

新课学习拓展：利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤1.根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；2.利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；3.利用空间向量的模与夹角的坐标表示及空间两点间的距离公式求解．课堂巩固B课堂巩固课堂巩固B课堂巩固课堂巩固D课堂