高考数学二轮复习专题五概率与统计第2讲随机变量及其分布含答案及解析

I专题突破

专题五概率与统计

第2讲随机变量及其分布（新高考专用）

【真题自测】...................................................................2

【考点突破】...................................................................4

【考点一】分布列的性质及应用....................................................4

【考点二】随机变量的分布列......................................................6

【考点三】正态分布.............................................................9

【专题精练】..................................................................11

考情分析:

离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、

二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.

真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱

好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率

为（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

2.（2022•全国•高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手

与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为八〃2，小，且〃记该棋手连胜两盘的概率为〃，则（）

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，〃最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，〃最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，〃最大

二、多选题

3.（2023•全国•高考真题）在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为。

收到0的概率为1-。；发送1时，收到0的概率为尸（0〈尸V1）,攻到1的概率为1-尸.考虑两种传输方案：

单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的

信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数

多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1,则译码为1）.

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到I,0,1的概率为-/产

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1，0,1的概率为夕（1-A）?

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为6（1-6尸+（1[

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为。的概率大于采用单次传输方案译码为。的

概率

三、填空题

4.（2022•全国•高考真题）已知随机变量X服从正态分布N（2,/），且尸（2<X42.5）=0.36,则

P（X>2.5）=.

四、解答题

5.（2024・全国•高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第

一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一

次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该

队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为乙每次

投中的概率为，/，各次投中与否相互独立.

⑴若〃=0.4,67=05,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

⑵假设（）＜〃«，

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

6.（2023•全国•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若

末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为

0.8,由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率：

⑵求第/次投篮的人是印的概率；

⑶已知：若随机变量X服从两点分布，且尸（Xj=i）=i-p（Xj=o）=%i=i,2,则0之记

前八次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为丫，求石（丫）.

7.（2022•全国•高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负

方得。分，没有平局.三个项目匕赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的

概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

⑴求甲学校获得冠军的概率：

⑵用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

8.（2022・全国•高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下

的样本数据的频率分布直方图：

频率

丽

⑴估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)依计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；

⑶已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这和疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位

于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

考点突破

【考点一】分布列的性质及应用

核心梳理：

离散型随机变量X的分布列为

••••••

XX1X2XiXn

P0P2•••Pi•••P”

则⑴/方20,…，n.

(2)pi+p2H-----Fp“=l.

(3)E(X)=xipi+工乎2H----卜MpH------

2

(4)D(X)=%一反刈%+以2一君(划2P2+…+[Xlt-E(X)]Pll.

(5)若y=aX+力，

则E{Y}=aE[X}+bt

D(Y)=crD(X).

一、单选题

L(2024•陕西西安•模拟预测)已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X的方差。(町=()

X02040

P2mHl

A.120B.160C.200D.260

2.（2024・广东•一模）已知随机变量X的分布列如下：

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

3.（23-24高二上•江西•期末）设离散型随机变量X的分布列为：

X0123

pCl0.40.30.2

若离散型随机变量y满足y=3x+i,则（）

A.EX=1.6B.EK=5.8

C.DX=1.84D.DY=7.56

4.（23-24高三下•江西•阶段练习）已知随机变最X、Y,且丫-3X+LX的分布列如下:

X12345

13

Ptnn

K)5To

若E（y）=io,则（）

317

A./n=—B./?=-C.E(X)=3D.D(Y)=—

三、填空题

5.(2024•四川南充•一模)某一随机变量X的分布列如下表，且〃-〃7=0.2,则E(3X+2)=

X0123

P0.1tn0.2n

6.（2024•江西新余•模拟预测）设随机变量X的分布列如图:

若X的数学期望为七（X）=g,事件A：X=0或X=l,事件8：X=1或X=2,则〃?=:P（B|A）=

J

规律方法：

分布列性质的两个作用

（I）利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.

（2）血机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.

【考点二】随机变量的分布列

核心梳理：

1.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试脸中事件4发生的概率为M（）＜/K1）,用X表示事件A发生的次数,

则X的分布列为尸（X=Q=C£/（l-p）‘r,火=0,1,2,…，n.

E(X)=np,D{X}=np{\—p).

2.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取〃件（不放回），用X表示抽取

的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X=k）=/k=m,小+1,〃?+2,…，厂其中〃，N,MEN”，

LN

M

MWN,nWN,〃?=max{0,〃一N+M},r=min{〃，M}.E(X)=iv~^.

一、单选题

L（2024高三•全国•专题练习）已知随机变量X〜3（4,〃），其中。若P（XM3）=?,则P（X=3）=

16

（）

13

A.-B.—CD.

216A4

2.（2024•福建莆田三模）已知数据当，…，Z的平均数为"方差为『，数据％-1,3占-1,3为-1,...,

3七「1的平均数为X，方差为则()

B2

A.x}=3x,$：=9/.x,=3x,sf=9s-I

S

C.x,=3x-l,s；=9s?D.x}=3x-l,：=9$2_]

二、多选题

3.（2024•云南贵州•二模）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个

球，取到白球记。分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X,则（）

A.B.P（X=2）=A

C.X的期望E（x）=1D.X的方差O（x）=：

Jy

4.（2024•安徽黄山•二模）下列论述正确的有（）

A.若随机变量乙〃满足〃=24+1,则。（，7）=20（4）+1

I2S

B.若随机事件A,B满足:P（A）=-,P（B）=-,P（AuB）=~,则事件A与3相互独立

236

C.基于小概率值a的检验规则是：当/N5时，我们就推断名不成立，即认为X和y不独立，该推断

犯错误的概率不超过。；当寸，我们没有充分证据推断〃。不成立，可以认为X和丫独立

D.若V关于x的经验回归方程为夕=0.3-0.7x,则样本点（2,-3）的残差为一1.9

三、填空题

5.（2024・河北•模拟预测）在一次抽奖活动中，抽奖箱里有编号为1到〃（〃wN,〃之5）的〃个相同小球.每次抽

奖从箱中随机抽取一个球，记录编号后放回.连续抽奖5次，设抽到编号为的小球的次数为X,

已知X服从二项分布若（a+版）”展开式中的/系数是X=3的概率的10倍，则〃"力/的值为

（结果用含〃的式子表示）

6.（2023•广东佛山•二模）某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N（800,4），MP（X<801）=0.6,

现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记丫表示800KX<801的瓷砖片数，则Ee）=.

四、解答题

7.（2024・四川成都•三模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于［15,25］之

间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

（1）求。的值;

（2）若从高度在［15,17）和［17,19）中分层抽样抽取5株,在这5株中随机抽取3株，记高度在口5,17）内的株数

为X,求X的分布列及数学期望E（X）；

⑶以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在［21,25］的条件下，至多1株高度

低于23cm的概率.

8.（23-24高三上•江苏南通•阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不

透明箱中装有4个黑球,3个红球,1个黄球,这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，

观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.

⑴求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；

⑵求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.

9.（2024•山东青岛•一模）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出〃读书好、读好

书、好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间

（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为09075,0.0125,后三

个小矩形的高度比为3：2：1.

⑴根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区

间的中点值为代表）；

（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代

表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于［80,100）的人数记为求随机

变量f的分布列与数学期望.

10.（2024•湖南•二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A,B,C三首歌

曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名

才有资格猜下••首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猾对三首歌曲

的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：

歌曲ABC

猜对的概率0.80.50.5

获得的奖励基金金额/元100020003000

⑴求甲按“4,比。〃的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

(2)甲决定按“A8,C〃或者"C,用A〃两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；

为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理.由.

规律方法：

求随机变量X的均值与方差的方法及步骤

(I)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；

(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列：

(3)由均值和方差的计算公式，求得均值£(X),方差。(X)：

(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均

值和方差的公式求解.

【考点三】正态分布

核心梳理：

解决正态分布问题的三个关键点

(1)对称轴x=〃.

(2)详本标准差G.

(3)分布区间：利用3。原则求概率时，要注意利用小。分布区间的特征把所求的范围转化为3。的特殊区间.

—＞单选题

(X-x/)1

1.(23-24高三下•全国•阶段练习)一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为/")=/2工h，其

中乙为输出信号功率最大值(单位：mW),上为频率(单位：Hz),4为输出信号功率的数学期望，，为

输出信号的方差，3dB带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的

频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为«刈=/2第(如图所示)，则其3dB带宽为

()

一一3db带宽一一

-1012345

A.x/h{2B.4x/ln2C.3x/i^2D.2V21n2

2.(2024•河南•三模)已知

P(u-(7<X<//+CT)=0.6827,P(//-2<T<X<//+2CT)=0.9545,P(-3cr<X«〃+3cr)=0.9973.某体育器材

厂生产一批篮球，单个篮球的质量y(单位：克)服从正态分祢N(600,4),从这一批篮球中随机抽检300

个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为()

A.286B.293C.252D.246

二、多选题

3.(2024・江苏宿迁•一模)设随机变量X~N(0,l),〃x)=P(X4x),其中x>0,下列说法正确的是()

A.变量X的方差为1，均值为0B.P(|X|<x)=l-2/(x)

C.函数/(x)在(0,+8)上是单调增函数D./(-x)=l-/(x)

4.(23-24高三下•重庆•阶段练习)随机变量X,丫分别服从正态分布和二项分布，即X〜N(2,l),X~,

贝U()

A.P(X42)=；B.E(X)=E(K)C.£>(X)=D(r)D.P(Y=\)=^

三、填空题

5.(2021・全国•模拟预测)对一个物理量做“次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已

知最后结果的误差弓为使误差与在(-050.5)的概率不小于0.9545,至少要测量一次(若

X~N.,吟,则P(|X-//|<2(T)=0.9545)).

6.(2024•广东•一模)随机变量若尸(XN70)=尸(X490)且尸(724X480)=0.3,则随机变量X

的第80百分位数是.

规律方法：

利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=4对称，及曲线与x轴

之间的面积为1,注意下面三个结论的灵活运用：

(I)对任意的4,有P(X<4-4)=P(X>〃+〃).

⑵P(X4o)=l-P(Xexo).

(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(XWa).

专题精练

一、单选题

1.(2024•四川成都•模拟预测)若随机变量X的可能取值为1,2,3,4，且尸(X=&)=〃(4=1,2,3,4),则D(X)=

()

A.1B.2C.3D.4

2.(23-24高二下•吉林长春•阶段练习)2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心〃出发，

其中男性5人，女性3人，现需挣班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为()

3.（2024•江苏苏州•模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错

开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球

下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格子从左到右

的编号分别为0J2,,1（）,用X表示小球最后落入格子的号码，若P（X=k）WP（X=%）,则%=（）

C.6D.7

4.（2024•湖南•模拟预测）有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现

在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，见X的数学期望石（X）=（）

21-3吏7-15

A.—B.-C.-D.—

16248

5.（2024•广东广州•二模）设104玉＜±＜七＜%＜工5450,随机变量刍取值七,々，与，凡,占的概率均为0.2,

随机变量△取值五产，苫&玉声■，笥殳，玉尹的概率也均为0.2,若记。信）,。（刍）分别为。白的方

差，则（）

A.。（。）＜。（$）

B.a。）=0（4）

C.。（。）＞。©）

D.D信）与Q（刍）的大小关系与引，占,04/的取值有关

6.（2024・河南信阳•一模）对A,B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时

间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min）,X:N（2,4）,对应的曲线为G，B

地员工的上班迟到时间为丫（单位：min）,y对应的曲线为C2,则下列图象正确的是（）

7.（2024・安徽合肥•三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测

试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从N（70,64）,据此估计测试成绩不小于94的学生所占

的百分比为（）

参考数据：PQi<7<X<//I<T）*0.6827,PQi2b<X<〃i2b）、0.9545,PQ/3b<X<〃I3b）、0.9973

A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%

8.（23-24高三下•江苏泰州•阶段练习）每袋食盐的标准质量为500克，现采用自动流水线包装食盐，抽取

一袋食盐检测，它的实际质量与标准质量存在一定的误差，误差值为实际质量减去标准质量.随机抽取100

袋食盐，检测发现误差X（单位：克）近似服从正态分布N（o,4）,P（X>2）=0.02,则X介于一2~2的食

盐袋数大约为（）

A.4B.48C.50D.96

二、多选题

9.（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）已知随机变量X,匕其中y=3X+l,已知随机变量X的分布列如下

表

X12345

123

Pmn

105Io

若E（X）=3,则（）

C.E(r)=10D.D(Y)=2]

10.（2024・吉林•模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（）

A.抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种

B.抽出的产品中至多有1件是次品的概率为1-2

joo

C.抽出的产品中至少有1件是次品的概率为I-导

3

D.抽出的产品中次品数的数学期望为立

11.（2023•浙江温州•三模）近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社

开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满

意度得分分成以下5组：[50,60）、[60,70）、L,[90,100],统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满

意度得分X（单位：分）近似地服从正态分布N（〃,/），且P（〃-b<X<〃+b）=0.6826,

尸X<〃+2。）=0.9544,P（〃—3cr<X<〃+3。）=0.9974,其中〃近似为样本平均数，。近似为

B.由直方图可估计样本的中土数约为75

C.由正态分布可估计全县XN98.5的人数约为2.3万人

D.由正态分布可估计全县625Kx<98.5的人数约为40.9万人

三、填空题

12.（2024・天津和平•一模）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好"学习强国"学习平

台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少

要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的

数学期望为;党员甲能通过初试的概率为.

13.（2024•天津•二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取

后不放回.在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是;若连续取2次球，设随机变量X

表示取到的黑球个数，则£(X)=.

14.(2024•江苏南通•三模)已知随机变量X~N(4,4).若P(X<3)=0.3,则P(3Vx<5)=,若

r=2x+i,则y的方差为.

四、解答题

15.(2024•河北沧州•一模)某商场举办摸球赢购物券活动.现有完全相同的甲、乙两个小盒，每盒中有除颜

色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球.参

加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑

球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸

球.第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随

机摸出一个球.若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100

元购物券.用X表示一位参加活动者所得购物券的金额.

⑴在笫一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率.

(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；

②依据以上分析，求随机变量X的数学期望的最大值.

16.(2024・吉林白山•一模)俗话说：“人配衣服，马配鞍合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目

的感觉.张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次

的点数之和为3的倍数，则称为"完美投掷"，出现"完美投掷"，则记4=1;若掷出的点数之和不是3的倍数，

则称为“不完美投掷"，出现"不完美投掷"，则记4=。；若4=1,则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的

衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为而选择了浅色后，再选西装的可能

3

性为方

⑴求出随机变量J的分布列，并求出期望及方差；

⑵求张老师当天穿西装的概率.

I专题突破

专题五概率与统计

第2讲随机变量及其分布（新高考专用）

【真题自测】...................................................................2

【考点突破】..................................................................10

【考点一】分布列的性质及应用....................................................10

【考点二】随机变量的分布列......................................................14

【考点三】正态分布.............................................................23

【专题精练】..................................................................26

考情分析:

离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、

二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.

真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱

好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率

为（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

2.（2022•全国•高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手

与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为八〃2，小，且〃记该棋手连胜两盘的概率为〃，则（）

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，〃最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，〃最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，〃最大

二、多选题

3.（2023•全国•高考真题）在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为。

收到0的概率为1-。；发送1时，收到0的概率为尸（0〈尸V1）,攻到1的概率为1-尸.考虑两种传输方案：

单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的

信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数

多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1,则译码为1）.

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到I,0,1的概率为-/产

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1，0,1的概率为夕（1-A）?

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为6（1-6尸+（1[

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为。的概率大于采用单次传输方案译码为。的

概率

三、填空题

4.（2022•全国•高考真题）已知随机变量X服从正态分布N（2,/），且尸（2<X42.5）=0.36,则

P（X>2.5）=.

四、解答题

5.（2024・全国•高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第

一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一

次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该

队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为乙每次

投中的概率为，/，各次投中与否相互独立.

⑴若〃=0.4,67=05,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

⑵假设（）＜〃«，

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

6.（2023•全国•高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若

末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为

0.8,由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率：

⑵求第/次投篮的人是印的概率；

⑶已知：若随机变量X服从两点分布，且尸（Xj=i）=i-p（Xj=o）=%i=i,2,则0之记

前八次（即从第1次到第〃次投篮）中甲投篮的次数为丫，求石（丫）.

7.（2022•全国•高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负

方得。分，没有平局.三个项目匕赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的

概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

⑴求甲学校获得冠军的概率：

⑵用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

8.（2022・全国•高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下

的样本数据的频率分布直方图：

频率

丽

⑴依计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(2)依计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

⑶已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这和疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位

于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

参考答案:

题号123

答案A1)ABI)

1.A

【分析】先算出同时爱好两项的概率，利用条件概率的知识求解.

【详解】同时爱好两项的概率为0.5+0.6—0.7=04,

记“该同学爱好滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件8,

则P(A)=O5,尸(AB)=O4,

所以P(8l4)="皿="=0.8.

P(A)().5

故选:A.

2.D

【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率P甲；该

棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率P乙；该机手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率〃肉.并对三者进

行比较即可解决

【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为5,

则此时连胜两盘的概率为小

则知=；[。一〃2）〃1+Pl-〃3）]+g[0-〃2+/"】（1一〃2）]

=从（〃2+〃3）-2〃42〃3；

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为〃乙，

则P乙=（1-P|）P2P3+P|〃2（l一外）=02（P|+「3）-2Plp2P3

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为〃内

则P内=（I-〃I）〃3〃2+P]〃3（l一〃2）=〃3（〃1+〃2）-2Plp2P$

<0

则加一〃乙=Pl（P2+，3）-2"〃2P3Tp2（〃1+P3）-2P]P2P3]=（〃「“2）〃3

-Pfy=P2（Pi+PO-2/?.p2py-[/A（P.+P2）-2p（p2p5]=（-P;）P（<0

即P甲<P乙，P乙<P丙，

则该棋手在第二盘与丙比赛，P最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；

〃与该棋手与甲、乙、内的比赛次序有关.选项A判断错误.

故选：D

3.ABD

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C：求

山两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到I,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1

接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为（1-耳）（1-0）（1-4）=（1-。）（1-尸尸，A正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到I,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为（1-万）0（1—））=尸（1一6）2,B正确；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和，

它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C/（1-夕尸+（1-打尸=（1-。1（1+20）,C错误;

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率P=(l-a)2(1+2a),

单次传输发送0，则译码为0的概率。=1-。，而0<。<0.5,

因此p—p，=(l—a)2(i+2a)—(l-a)=a(l—仪)(1-2。)>0,即尸>尸,D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和,

相互独立事件的积是解题的关键.

4.0.呜.

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】因为XN(2,b?),所以尸(Xv2)=P(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2.5)=0.5-0.36=0.14.

故答案为：0.14.

5.(1)0.686

(2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(i)由甲参加第一阶段比赛；

【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；

(2)(i)首先各自计算出2=口-(1-力1•",再作差因式分解即可判断；(ii)首先得

到X和丫的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.

【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1

次，

•・・比赛成绩不少于5分的概率尸=(1-0.63)(1-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为％=口-(1-PT]/,

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为2=[1-(1-幻3)〃3,

.0<p<q,

y33

：.P^-PZi=q-(q-pq)-p+(p-pqf

=(q-/力(/+/均+)+(〃一4)•[(〃-pqY+(9-pq『+(〃-pqHq-〃幻]

i

=(p-/(3〃2/_3〃2g_3Pq)

=3Mp_q)(pq_p_q)=3Pqlp-^)[(1-p)(l--1]>0,

，m,应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

P(X=0)=(l—〃)3+[1-([一〃)3].(1一夕)3,

P(X=5)=[1—(l—p)[c"(l一小

P(X=10)=[1-(1-p)3].C；^2(1-q),

P(X=15)=[l-(l-/7)3]-^,

/.£(X)=15[l-(l-p)[q=15(p‘-3P2+3p)・9

记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩y的所有可能取值为0,5,10,15,

同理七#)=15(/-3d+3力〃

E(X)-E(Y)=\5[pq(p+g)(p-q)-3Pq(p-q*

=\5(p-q)pq(p+q-3),

因为0<〃<q,则〃一q<0，p+^-3<l+l-3<0,

则(〃-q)pq(P+q_3)>0,

・•・应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大

小关系，最后得到结论.

6.(1)0.6

⑶E(y)=21n

+3

1O

【分析】(1)根据全概率公式即可求出;

(2)设尸(4)=〃,，由题意可得P*=0・4p,+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解出;

(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【详解】(1)记“第i次投篮的人是甲〃为事件4,“第，次投篮的人是乙''为事件用,

所以,p(0)=P(A0)+P(40)=P(A)P(AIA)+Pg)P但1

=0.5x(l-0.6)+0.5x0.8=0.6.

(2)设尸(A)=/Z，依题可知，P⑻=1-%则

7(A+J=P(44+J+4(8M+J=?(A)尸(A+J4)+」(6)P(4+JBJ,

即PM=0.6p,+(l-0.8)x(l-p,)=0.4/?,.+0.2,

构造等比数列｛/乙+4，

设科+1+2=](历+孙解得2=-!，则Pi+iUfp,-；),

JJJJ、J/

又口所以卜一,是首项为5.公比为马的等比数列,

2363165

(3)因为pj='x1|J+g,/=12…,〃，

所以当〃eN♦时E(Y)=P+P2+

5

故后⑺/Fn

3

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数

列的基本知识求解.

7.(1)0.6；

⑵分布列见解析，E(X)=13.

【分析】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为ARC,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利

用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

(2)依题可知,X的可能取值为0」0,20,30,再分别计算出对应的概率,列出分布列,即可求出期望.

【详解】(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A8,C,所以甲学校获得冠军的概率为

P=P(ABC)+P(ABC]+P(A^C)+P(ABC)

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依题可知，X的可能取值为。，10,20,30,所以，

p(X=0)=0.5x04x0.8=0.16,

p(X