2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练(新高考专用)-专题1.3 不等式与复数【七大题型】(讲义)(解析版)

专题1.3不等式与复数【七大题型】【新高考专用】1、不等式不等式是每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。2、复数复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何意义，属于简单题.【知识点1等式性质与不等式性质】1．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【知识点2基本不等式】1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．2．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.3．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【知识点3一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【知识点4复数有关问题的解题策略】1．复数的概念的有关问题的解题策略(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即.(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则.2．复数的运算的解题策略(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.3．复数的几何意义的解题策略由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.4．复数的方程的解题策略(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.【题型1不等式性质及其应用】【例1】（2024·河南驻马店·二模）已知a>b>c>0，则下列说法一定正确的是（

）A．a>b+c B．aC．ac>b2 【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.【解答过程】当a=3,b=2,c=1时，a=b+c，且ac<b2，故因为a>b>0，a>c>0，所以a2ab+bc−b故选：D.【变式1-1】（2024·陕西商洛·三模）已知a,b∈R，则“1a<1b”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解.【解答过程】若

1a<1b，则若a3>b3，则所以“1a<1故选：A．【变式1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知π4<α<β<π2，则A．−π2,C．−π,π【解题思路】应用不等式的性质，线性运算即可求出2α−2β的取值范围.【解答过程】因为π4<α<π则−π2<2α−2β<π2从而−π故选：B．【变式1-3】（2024·浙江金华·模拟预测）设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则（

）A．N<P B．P<MC．N<M D．M+N<2P【解题思路】根据作差法比较大小,首先将要比较的M,N,P,用a,b,c表示,后作差变形,运用a>b>c这个条件,判断正负即可比较出大小.【解答过程】根据题意得,M=a+b+c3,N=a+b对于A选项,N−P=a+b2对于B选项,M−P=∵a>b>c,∴a−c>0,b−c>0,∴a+b−2c>0,∴M−P=对于C选项,M−N=a+b+c3对于D选项,∵M>P,N>P,∴M+N>2P.故选：B.【题型2基本不等式与最值】【例2】（2024·四川绵阳·一模）已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为（

）A．3 B．23 C．6 【解题思路】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy的范围，从而求得xy的最小值.【解答过程】x+y=xy−3≥2xyxy2xy−3≥0,xy≥9当且仅当x=y=3时等号成立，所以xy的最小值为9.故选：D.【变式2-1】（2024·河北·模拟预测）已知非负实数x,y满足x+y=1，则12x+1A．3+222 B．3+224 【解题思路】根据x+y=1，化简求得12x+1+y=1，得到1【解答过程】因为x+y=1，可得x+y+1=2，即12又因为非负实数x,y，所以x>0，y+1>0，则1≥1当且仅当1+y2x=x所以12x+1故选：B．【变式2-2】（2024·山西·模拟预测）已知x>0，y>0，且4x2+5xy=(4+y)(4−y)，则7x+4yA．63 B．65 C．83【解题思路】由条件得到(4x+y)(x+y)=16，再由7x+4y=4x+y+3(x+y)结合基本不等式即可求解.【解答过程】因为4x所以4x所以7x+4y=4x+y+3(x+y)≥23(x+y)(4x+y)当且仅当4x+y=3(x+y)，即x=839所以7x+4y的最小值为83故选：C.【变式2-3】（2024·山东淄博·二模）记maxx,y,z表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则maxA．12 B．1 C．2 【解题思路】设M=max2x【解答过程】由题意可知：x,y均为正实数，设M=max2x,1则3M≥2当且仅当x2=4y又因为2x当且仅当2x=1可得3M≥6，即M≥2，所以M=max故选：C.【题型3基本不等式中的恒成立问题】【例3】（2024·重庆·模拟预测）已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，则2x+y的最小值为（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【解题思路】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.【解答过程】解：已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，y=6−2xx+12x+y=2x+6−2xx+1=2(x+1)+8x+1故2x+y的最小值为4.故选:A.【变式3-1】（2024·四川成都·三模）设函数fx=x3−x，正实数a,b满足fa+fA．2+22 B．4 C．2+2 【解题思路】依题意可得a3+b3=a−b【解答过程】因为fx=x3−x又fa所以a3−a+b因为a>0，b>0，所以a3+b3>0又a2+λb所以λb2≤令t=ab，则所以1+=t−1+2当且仅当t−1=2t−1，即所以b2+a则实数λ的最大值为2+22故选：A.【变式3-2】（23-24高一上·河南商丘·期末）若对任意实数x>0,y>0，不等式x+xy≤a(x+y)恒成立，则实数a的最小值为（A．2−12 B．2−1 C．2【解题思路】分离变量将问题转化为a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立，进而求出x+xyx+y【解答过程】由题意可得，a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立，则只需求x+xyx+y的最大值即可，x+xyx+y=1+yx1+yx，设所以a≥2+12，即实数a故选：D.【变式3-3】（2024·广东湛江·二模）当x，y∈0,+∞时，4x4+17xA．25,+∞ B．26,+∞ C．994【解题思路】将左侧分式的分子因式分解成4x【解答过程】当x，y∈0,+∞时，当且仅当4x2+y=所以4x4+17所以m4>25故选：A.【题型4二次不等式及其参数问题】【例4】（2024·山西·模拟预测）已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式bxA．−14,0C．0,14 【解题思路】先根据不等式的解集可得a,b的关系及a的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【解答过程】由ax+b>0的解集为(−4,+∞)，可得a>0，且方程ax+b=0的解为所以−ba=−4，则b=4a，所以bx2所以4x2−x<0，解得0<x<14，即关于x故选：C.【变式4-1】（2024·浙江绍兴·三模）若关于x的不等式x2+mx+n>0的解集为xA．m=3，n=2 B．m=−3，n=2 C．m=3，n=−2 D．m=−3，n=−2【解题思路】由题得1、2为方程x2【解答过程】由已知可得1、2为方程x2由韦达定理可得：1+2=−m1×2=n，解得：m=−3故选：B.【变式4-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式x2−3x<2−2xA．−1,12 B．−12,1【解题思路】按照x2【解答过程】当x2−3x≥0，即x≥3或不等式x2−3x<2−2x等价于x解得−1<x<2，所以−1<x≤0；当x2−3x<0，即0<x<3时，不等式x2−3x<2−2x解得x>5+172或x<综上，不等式x2−3x<2−2x故选：C.【变式4-3】（2024·河南·模拟预测）某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其解集为(−∞,−3)∪(−2,+A．−1,−15 C．15,1 【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a,b,c的关系式，进而求得不等式bx【解答过程】由题意可知a<0，且−3+(−2)=−ba所以bx2+cx+a>0化为55x−1x−1<0，解得故选：C.【题型5一元二次不等式恒成立、有解问题】【例5】（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+k−6x+2>0A．2≤k≤18 B．−18<k<−2C．2<k<18 D．0<k<2【解题思路】分类讨论k=0与k≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k=0时，不等式kx2+当k≠0时，因为kx所以k>0Δ=k−6综上：2<k<18.故选：C.【变式5-1】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（A．−8,8 B．−∞,8 C．−∞【解题思路】先由x2−mx+16>0得m<x+16x，由基本不等式得【解答过程】当x>0时，由x2−mx+16>0得因x>0，故x+16x≥2x×16因当x>0时，m<x+16x恒成立，得故选：C.【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）已知命题“∃x0∈−1,1，−xA．−∞,−2 B．−∞,4 C．【解题思路】由题知x0∈−1,1【解答过程】解：因为命题“∃x0∈所以，命题“∃x0∈所以，x0∈−1,1因为，y=x所以，当x∈−1,1时，ymin=−2所以，x0∈−1,1时，a>x故选：C.【变式5-3】（24-25高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意−1≤x≤1，不等式x2−2x−4+m<0恒成立；命题q：存在0≤x≤1，使得不等式2x−2≥m2−3m成立，若p，qA．m∣m<−1 B．m∣0≤m≤3C．m∣0≤m<1 D．−∞,0【解题思路】先由二次函数的性质求出p为真时m<1，解二次不等式可得命题q等价于0≤m≤3，可求p，q都是真命题m的范围，进而可得答案.【解答过程】若p为真命题，即对任意−1≤x≤1，不等式x2等价于当−1≤x≤1时，m<−当−1≤x≤1时，−x即−x2+2x+4若q为真命题，即存在0≤x≤1，不等式2x−2≥m等价于当0≤x≤1时，2x−2max由于0≤x≤1，−2≤2x−2≤0，所以m2−3m≤0，解得若p，q都是真命题，则m<10≤m≤3所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则m<0或m≥1.即m∈−∞,0故选：D.【题型6复数的四则运算】【例6】（2024·陕西商洛·一模）若复数z=(2+i)(1−i)，则A．1−i B．1+i C．3−i【解题思路】根据复数的乘法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解.【解答过程】因为z=(2+i)(1−i故选：D.【变式6-1】（2024·海南·模拟预测）若复数z满足z+1i=2−i，则z=A．1−2i B．1+2i C．−2i【解题思路】由复数的四则运算即可求解.【解答过程】由题意得z+1=i2−i故选：D.【变式6-2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）若z=−2+i，则z−zz+1A．−1+i B．1+i C．1−i【解题思路】根据给定条件，利用复数除法运算求解即得.【解答过程】由z=−2+i，得z−故选：C.【变式6-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）若复数z满足z+2z=2−i，则z=A．−1−i B．−1+i C．1−i【解题思路】先化简再根据复数的乘除法计算可得.【解答过程】因为z+2z=2−i所以2z=2故选：D.【题型7复数的几何意义】【例7】（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足z+2z=3+i（i为虚数单位)，则zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解．【解答过程】设z=a+bi,(a,b∈R)则a+bi+2a−bi=3+i，即解得a=1，b=−1，故z=1−i，对应的点1,−1故选：D．【变式7-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知复数z所对应的点在第四象限，且z=22，z2的虚部为−8，则复数z=A．2−2i B．2i−2 C．2【解题思路】设z=a+bi，根据条件列出a、b【解答过程】设z=a+bia,b∈R，则zz2=a复数z所对应的点在第四象限，所以a>0，b<0，a−b>0，a+b2=a所以a+b=0a−b=4，解得a=2b=−2，则故选：A.【变式7-2】（2024·宁夏·二模）已知复数z满足z−4+5i=1，则z在复平面内对应的点位于（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解．【解答过程】令z=x+yi因为z−4+5i=1，所以即点(x,y)在以4,−5为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，所以z在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.【变式7-3】（2024·重庆·二模）若复数z=2−a+2a−1ia∈RA．第一象限内 B．第二象限内C．第三象限内 D．第四象限内【解题思路】根据纯虚数的定义解出a，利用复数的几何意义求解．【解答过程】∵复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为故选：A．1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数z=A．1+3i C．−1+3i 【解题思路】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.【解答过程】z在复平面对应的点是(−1,3)，根据复数的几何意义，由共轭复数的定义可知，z=−1−故选：D.2．（2023·全国·高考真题）2+i2+2A．1 B．2 C．5 D．5【解题思路】由题意首先化简2+i【解答过程】由题意可得2+i则2+i故选：C.3．（2023·全国·高考真题）51+i3A．−1 B．1 C．1−i D．【解题思路】利用复数的四则运算求解即可.【解答过程】5故选：C.4．（2023·全国·高考真题）设a∈R,a+i1−aiA．-1 B．0

C．1 D．2【解题思路】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【解答过程】因为a+i所以2a=21−a2故选：C.5．（2023·全国·高考真题）设z=2+i1+i2A．1−2i B．1+2i C．2−i【解题思路】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【解答过程】由题意可得z=2+则z=1+2故选：B.6．（2023·全国·高考真题）已知z=1−i2+2i，则A．−i B．i C．0 【解题思路】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．【解答过程】因为z=1−i2+2i=故选：A．7．（2023·全国·高考真题）在复平面内，1+3i3−iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【解答过程】因为1+3i则所求复数对应的点为6,8，位于第一象限.故选：A.8．（2024·上海·高考真题）a,b,c∈R,b>c，下列不等式恒成立的是（A．a+b2>a+C．ab2>a【解题思路】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.【解答过程】对于A，若c<b<0，则b2对于B，因为b>c，故a2对于C、D，若a=0，则选项不成立，故C、D错误；故选：B.9．（2024·北京·高考真题）已知zi=−1−i，则z=A．−1−i B．−1+i C．1−i【解题思路】直接根据复数乘法即可得到答案.【解答过程】由题意得z=i故选：C.10．（2024·全国·高考