浙江衢州五校联盟2025年11月高二期中联考数学（含答案）

绝密★考试结束前

2025学年第一学期衢州五校联盟期中联考

高二年级数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.集合A={x|-1<x≤3},B={x|2≤x<4},则A∩B=

A.{x|2<x≤3}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x≤3}D.{x|-1<x<4}

2.点A(1,0)关于直线1:x+y-2=0的对称点的坐标为

A.(2,1)B.(2,2)C.(1,1)D.(1,2)

3.已知a=(1,0),b=(1,1),则a在b方向上的投影向量为

A.(√2,√2)C.(1,1)D.

4.已知直线1的倾斜角为α,则“;”是“直线1的斜率为的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知实数x,y满足xy-2x-y=0,则(x-1)²+(y-2)²的最小值为

A.2B.3C.4D.

6.一组样本数据为5,3,4,x,2,5,6,9,这组数据的第75百分位数为6,则这组数据的方差为

A.2B.4C.8D.无法确定

7.已知函数,若函数g(x)=f[f(x)]-a有7个零点，则a可以为

A.2B.3C.4D.5

高二数学学科试题第1页(共4页)

8.已知函数f(x)=sin(wx+4)(@>0)在上只有一处取到最值，

则w的值不可能为()

A.1BC.2D.3

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列关于复数叙述正确的是(其中i为虚数单位)

A.i²=1B.

C.z=1-√5i在复平面上的点位于第二象限D.若,则z³=1

10.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,下列命题正确的是

A.(DA+DC+DD₁)·AB=4

B.若E为C₁D₁的中点，F为CC的中点，则CE与BF所成的角的余弦值为

C.该封闭正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大为

D.若点M、N分别在AD₁与DB与上移动，且D₁M和DN长度保持相等，则MN最小值为√2

1.已知圆C:(x-5)²+y²=4,椭圆r:P为圆C上的动点，过椭圆右焦点F的直线交

椭圆T于M,N两点，圆C的圆心为C,直线1:x=4与x轴交于点A,若点M,N到直线I的距离分

别为d₁,d₂,则

A.d₁=2|MF|B.△PFC~△APC

C.D.2|PM|+|PF|的取值范围为[2,12]

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若P(A)=0.4,P(B)=0.9,且A与B相互独立，则P(AUB)=.

13.求值：

高二数学学科试题第2页(共4页)

14.已知F₁,F₂为双曲线Γ:的两个焦点，过F的直线与双曲线T交于P,Q两点，双曲线T

在点P处的切线与y轴交于M,且PF₁=4QF,|F₂M|=2|OM|,则双曲线I的离心率为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，已知甲、乙、丙三人能破译密码的概率分别为

(1)求恰有两人成功破译的概率；

(2)若甲、乙、丙三人都没有破译密码，则会派丁独立破译密码，丁能独立破译密码的概率为,求

密码能被成功破译的概率.

16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知(sinC-sinA)(c+a)=(c-b)sinB

(1)求角A的正弦值；

(2)若AB=4,AC=6,BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点Q,求∠MQN的余弦值.

17.(15分)在三棱锥P-ABC中，点P在底面ABC的投影为△ABC的垂心0,

(1)求证：BC⊥平面POA;

(2)若M为线段AC上一点，满足,且PA=AB=6,求直线PM

与平面PAB所成角的正弦值.

高二数学学科试题第3页(共4页)

为奇函数，

18.(17分)已知函数(a>0,且a≠1),函数

(1)(i)求实数k的值，并讨论函数f(x)的单调性(不需要证明);

ii)当a=2时，f(x)在区间[m,n](m<n)的值域为[-2”⁻3,-2”-3],求实数t的取值范围；

(2)当a>1时，对任意的x∈(-2,2),不等式f(x²+z²)+f(-2λ|x|)>2t-1恒成立，求λ的取值范围.

19.(17分)已知抛物线I:y²=2px(p>0),斜率为的直线1交T于A,B两点，且线段AB中点纵坐

标为4.

(1)求抛物线工的方程；

(2)若直线1不过点P(2,4),且直线PA交T于另一点C,记直线PA,PB的斜率为k₁,k₂,

(i)求证：

(ii)求证：直线BC过定点.

高二数学学科试题第4页(共4页)

2025学年第一学期衢州五校联盟期中联考

高二年级数学学科参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

12345678

l

CADBCBAC

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

91011

BDABDABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.0.9413.

四、解答题：共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(1)记事件A为“甲成功破译密码”、事件B为“乙成功破译密码”、事件C为“丙成功

破译密码”,则-----------------------2分

记恰有两人成功破译的概率为P,则

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

----------------------7分

高二数学学科参考答案第1页(共6页)

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(2)记事件D为“丁成功破译密码，

所以密码能被成功破译的概率为

-----------13分

(不同解法酌情给分)

16.(1)∵(sinC-sin4)(c+a)=(c-b)sinB∵(c-a)(c+a)=(c-b)b-------------3分

∴c²-a²=bc-b²∴a²=b²+c²-bc

又由a²=b²+c²-2bccosA,∴cosA=-----------6分

---------------------7分

(2)∵--------------------9分

|AM|=√19,|BN|=√13-—-------------------------11分

AM·BN=-2--------------------------13分

------15分

17.(1)∵PO⊥平面ABC,BCc平面ABC∴PO⊥BC------------3分

又∵○为重心，∴AO⊥BC-------------------------------5分

∵AOnPO=0(一定要写)-----------------------------6分

AO,POc平面AOP

-----------------------7分

∴BC⊥平面AOP

高二数学学科参考答案第2页(共6页)

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(2)由且AO⊥BC,CO⊥BC

----------------------9分

,则OA=OC

2.△ABC为等边三角形-------------------11分

∵PA=AB,∴三棱锥P-ABC为正三棱锥

(法一)记点C到平面PAB的距离为d,则d=PO=2√6

,则M到平面PAB的距离

PM=√PO²+0M²=√24+4=2√7

∴PM与平面PAB所成角的正弦值为15分

(法二)∵OM⊥AO,∴OMI/BC,∴OM⊥平面POA

以0为原点，OAOM、OP为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系

-12分(建系正确即可)

则O(0,0,0),M(0,2,0),A(2√3,0,0),B(-√3,-3,0),P(0,0,2√6)

∴PA=(2√3,0,-2√6),PB=(-√3,-3,-2√6),PM=(0,2,-2√6)

∴平面PAB的一个法向量为m=(-√2,√6,-1)------------------14分

高二数学学科参考答案第3页(共6页)

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∴PM与平面PAB所成角的正弦值为：

18.(1)(i)∵

∴k=2---------------------2分(不验证g(-x)=-g(x)不扣分)

三当0<a<1时，f(x)在R上单调递增：---------------3分

当a>1时，f(x)在R上单调递减.--------------------4分

(ii)∵在[m,n]上单调递减，

----6分

∴关于x的方程即x²+(8t-4)·x+32t=0有两个大于0的不同实根-----------7分

解得t-------------------10分

2)∵g(x)为奇函数∴g(x)+g(-x)=0

高二数学学科参考答案第4页(共6页)

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又∵f(x²+z²)+f(-22|x|)>2t-1

---------—-

一--12分

∴g(x²+a²-2)>-8(-22|x|-2)=g(22|x|+2)-------------14分

∵a>1时，g(x)在R上单调递减，

∴x²+2²-2<22|x|+2,即x²-22|x|+z²-4<0,

即λ-2<x|<λ+2,y|x|∈[0,2]恒成立-------------16分

即λ∈[0,2].------------17分

19.(1)设直线1的方程为x=2y+n代入y²=2px得y²-4py-2pn=0

设点A(x,y),B(x₂,y₂)则y+y₂=4p------------------2分

∴p=2

又

∴厂的方程为y²=4x---------------------------------------4分

法一：(2)(i)由(1)且

--8分

高二数学学科参考答案第5页(共6页)

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所以一---------------------------------------10分

ii)由(i)知

设直线BC方程：x=my+t,B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)

联立可得y²-4my-4t=0,

∴y₂+y₃=4m,y₂y₃=-4t

(韦达定理在(i)给过分这里可不给分)

--------------------------13分

整理得：4m²-2t-14m+mt+12=0

即(m-2)