备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题01 集合与常用逻辑用语（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语

目录

题型一：集合

易错点01忽视集合中元素的互异性

易错点02未弄清集合的代表元素

易错点03遗忘空集

题型二常用逻辑用语

易错点04判断充分性必要性位置颠倒

易错点05由命题的真假求参数的取值范围

题型一：集合

易错点01：忽视集合中元素的互异性

典例（24-25高三上·云南·期中）已知集合A1,3,a2，B1,a2，若ABB，则a（）

A．2B．1,2C．1,2D．1,1,2

【答案】A

【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性.

【详解】因为ABB，所以BA，由A1,3,a2,B1,a2，

所以a23或a2a2，解得a2或1或1，

经检验集合中元素的互异性，把a1或1舍去，所以a2.

故选：A.

【易错剖析】

本题易忽略集合元素的互异性而错选D.

【避错攻略】

类型1集合与元素关系的判断

(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．

【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定

是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集

合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.

类型2根据元素与集合以及集合间关系求参数

第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；

第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；

第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.

易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用：

(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据．

(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值

后，再根据其互异性检验．

(3)无序性：常用于判断集合相等．

1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知集合A={-1,0,a},B={-1,2,3}.若AB1,0,2,3，则实数a的取

值集合为（）

A．2,3B．0,2,3

C．1,2,3D．{0,-1,2,3}

【答案】A

【分析】利用集合的基本运算及集合中元素的互异性可确定选项.

【详解】由AB1,0,2,3及集合中元素的互异性可得a2或a3，故实数a的取值集合为2,3.

故选：A.

2

2．（2024·全国·模拟预测）已知集合Aa,a，B1,4，若1A，则AB中所有元素之和为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】由1A，求出a1或a1，再分类讨论由集合的互异性可求出AB1,1,4，即可得出答案.

【详解】由1A得a1或a21，解得：a1或a1，

若a1，则a21，不符合题意；

若a1，A1,1，从而AB1,1,4，

所以AB中所有元素之和为4，

故选：C．

3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合A1,a，B2,a2，若AB中恰有三个元素，则由a的取

值组成的集合为（）

A．0B．1,2C．0,2D．0,1,2

【答案】D

【分析】AB中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.

【详解】因为AB中恰有三个元素，所以a2或aa2或1a2，

结合集合中元素的互异性，解得a2或a0或a1（舍去）或a1.

故选：D．

1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A1,16,8a，B1,a4，则满足ABB的实数a的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.

【详解】依题意，BA，若a416，解得a2（a2时不满足集合的互异性，舍去），

若a48a，解得a0（a2时不满足集合的互异性，舍去），

综上所述，a0或a2.

故选：B

2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合A0,m,m23m2，且2A，则实数m为（）

A．2B．3C．0或3D．0,2,3

【答案】B

【分析】由题意可得m2或m23m22，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.

【详解】因为A0,m,m23m2且2A，

所以m2或m23m22，

①若m2，此时m23m20，不满足元素的互异性；

②若m23m22，解得m0或3，

当m0时不满足元素的互异性，当m3时，A{0,3,2}符合题意.

综上所述，m3.

故选：B

3．（2024·四川攀枝花·二模）已知集合A1,a2,B{1,4,a}，若AB，则实数a组成的集合为（）

A．{2,1,0,2}B．{2,2}C．{1,0,2}D．{2,0,2}

【答案】D

【分析】根据题意分a24和a2a两种情况运算求解，注意集合的互异性.

a24a2a

【详解】AB，则有a1或a1，解得a2或a2或a0，

a4a4

实数a组成的集合为{2,0,2}.

故选：D

4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知mR，集合Am,1,2，Ba2aA，若CAB，且C的

所有元素和为12，则m（）

A．3B．0C．1D．2

【答案】A

【分析】先确定集合B中可能的元素，根据两集合中元素的和求出m的值，再根据集合中元素的互异性取

值.

【详解】集合B中的元素可能为：m2，1，4

因为m1，m2.

若m1，则A1,1,2，B1,4，则C1,1,2,4，元素和不为12；

若m2，则A2,1,2，B1,4，则C2,1,2,4，元素和不为12；

当m1,2时，Cm,1,2,m2,1,4，因为C中所有的元素和为12，

所以m2m6，解得m3或m2（舍去）.

综上：m3.

故选：A

b2

5．已知aR，bR，若集合a,,1a,ab,0，则a2019b2020的值为（）

a

A．-2B．-1C．1D．2

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解.

b

【详解】∵集合a,,1a2,ab,0，分母a0，

a

∴b=0，a21，且a2aba，解得a1，

∴a2019b20201.

故选：B.

6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合A1,a2,Ba2,1,3，若对xA,都有xB，则a为（）

A．1B．1C．2D．1或2

【答案】C

【分析】得到AB，分a2a2和a23两种情况，求出a，舍去不合要求的解，得到答案.

【详解】由题意得AB，

当a2a2时，解得a2或1，

当a2时，B4,1,3满足要求，

当a1时，a21，a21，A，B中元素均与互异性矛盾，舍去，

当a23时，a1，此时a21，B中元素与互异性矛盾，舍去，

综上，a2.

故选：C

2

7．已知x为实数，A2,x,x，集合A中有一个元素恰为另一个元素的2倍，则实数x的个数为（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【分析】由题意分情况讨论并判断即可.

【详解】由题意：

当22x时，x1，此时集合A2,1,1，不成立；

当22x2时，x1，x1时不成立，x=1时，集合A2,1,1，成立；

当x224时，集合A2,4,16，成立；

1111

当x2x2时，x0或x，x0时集合A2,0,0，不成立，x时集合A2,,，成立；

2224

当x222时，x2，x2时集合A2,2,4，不成立，x2时集合A2,2,4，成立；

当x22x时，x0或x2，x0时集合A2,0,0，不成立，x2时不成立；

1

故x2,1,,4，

2

故选：B.

2

8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合Axx3,xN，B2m1,m,m，C3,m,3m2，若BC，

则AB的子集个数为（）

A．2B．4C．7D．8

【答案】B

【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集

合A、B的交集，然后可求子集的个数.

【详解】由题意得，A0,1,2,3，又集合BC，

若2m13，则m2，此时B2,3,4，

则AIB2,3，故AB子集个数为224；

若2m1m，则m1，此时显然B,C集合不成立，舍去；

若2m13m2，m1，同理舍去.

综上得：m2时，AB子集个数为4个；

故选：B.

9．（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合Aa22a,3a2,8，则实数a的取值可以是（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】BD

【分析】根据集合中元素的互异性求解.

【详解】集合Aa22a,3a2,8，则a22a8,3a28,a22a3a2，

解得a4,a2,a1，可知BD符合题意，

故选：BD.

10．（多选）（23-24高三上·福建宁德·期中）设集合M3,9,3x，N3,x2，且NM，则x的值可以为

（）

A．3B．3C．0D．1

【答案】AC

【分析】由子集的概念解出x，并注意验证集合间元素是否满足互异性.

【详解】因为NM，所以x29或x23x，解得x3或x0.

当x3时，3x9，集合M中的元素不满足互异性，故舍去.

当x3时，符合题意.

当x0时，也符合题意.

故选：AC.

11．（2024·安徽·三模）已知集合A,2,1,By∣yx2,xA，若AB的所有元素之和为12，则实数

.

【答案】3

【分析】分类讨论是否为1,2，进而可得集合B，结合题意分析求解.

【详解】由题意可知：1且2，

当xλ，则y2；当x2，则y4；当x1，则y1；

若1，则B1,4，此时AB的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；

若2，则B1,4，此时AB的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；

2

若1且2，则B1,4,，故2612，解得3或2（舍去）；

综上所述：3.

故答案为：3.

易错点02：未弄清集合的代表元素

2

典例（2024·湖南衡阳·一模）已知集合A{y|ylg(xx2)}，B{x|yx2x2}，则AB（）

3

A．(1,2)B．[,+)C．(0,)D．R

2

【答案】D

【分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解.

【详解】A{y|ylg(x2x2)}为函数ylg(x2x2)的值域，

令tx2x20x2或x1，t(0,)ylgtyR，

B{x|yx2x2}为函数yx2x2的定义域，

171277

即y(x)2，因为(x)，所以函数yx2x2定义域为R，

24244

故ABR，

故选：D.

【易错剖析】

本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A表示的是函数的值域，而集合B表示的是函数的定义域而

出错.

【避错攻略】

在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法：

方法1列举法

列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。

【具体步骤】

第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；

第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合；

第三步：定结果。

方法二：赋值法

高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差

异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.

【具体步骤】

第一步：辨差异，分析各选项,辨别各选项的差异；

第二步：定特殊，根据选项的差异,选定一些特殊的元素；

第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；

第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。

易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过

集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定

要注意全集的性质，不要想当然的认为是R.

2

1（.24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合My∣yx22x2，Nxy，则MN（）

1x

A．[3,1)B．[1,1)C．(1,3)D．[1，4]

【答案】A

【分析】先化简集合M,N，再利用交集定义即可求得MN.

2

【详解】My∣yx22x2y∣yx13y∣y3

2

Nxyx1x0xx1

1x

故MNy∣y3xx13,1

故选：A

2.（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知集合A1,1，Bx,yxA,yA，则AB（）

A．AB．BC．D．R

【答案】C

【分析】根据题意可知集合B表示点集，而集合A表示数集，即可根据交集的定义求解.

【详解】由Bx,yxA,yA可得B1,1,1,1,1,1,1,1,

故AB，

故选：C

ð

3.（24-25高三上·山东·期中）集合A1,2,3,4,5,6，BxN2xA，则AB（）

A．1,3,6B．3,4,6C．1,2,3D．4,5,6

【答案】D

【分析】由补集定义可得答案.

【详解】因为A1,2,3,4,5,6，BxN2xA，

ð

所以B1,2,3，AB4,5,6.

故选：D.

1．（2024·浙江温州·模拟预测）设集合AxZx23x40，Bxx11，则AB（）

A．1,0B．2,1,0

C．0,1,2D．0,1

【答案】A

【分析】解不等式化简集合A,B，再利用交集的定义求解即可.

【详解】依题意，AxZ1x41,0,1,2,3,4，Bx1x11x2x0，

所以AB1,0.

故选：A

∣2ð

2．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知全集U{x∣x10}，集合Axx3x40，则UA（）

A．,4B．,4C．4,1D．4,1

【答案】B

【分析】先求解集合A，然后利用补集的定义即可求解

【详解】根据题意，集合Ax∣x23x40x∣4x1，

ð

因为U,1，所以UA,4.

故选：B

3．（2024·广东肇庆·一模）已知集合AxNx1x40，Bx0x3，则AB（）

A．1,2B．1,3C．2,3D．1,3

【答案】A

【分析】解不等式可得A1,2,3,4，再由交集运算可得结果.

【详解】由不等式x1x40，得1x4，所以A1,2,3,4，

又Bx0x3，可得AB1,2.

故选：A

xx2

4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知集合M(x,y)y1，N(x,y)y21，则MN的元

24

素个数为（）

A．0B．1C．2D．无数

【答案】C

【分析】根据集合的元素类型，列方程组求解集即可得元素个数.

xx2

【详解】因为集合M(x,y)y1，N(x,y)y21，

24

x

y1

2x0x2

则联立，解得或，

2

x2y1y0

y1

4

故MN0,1,2,0，集合中有2个元素.

2x

5．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合Axylog3x1，集合Byy3，则AB（）

A．0,1B．1,2C．1,D．2,

【答案】C

【分析】根据题意，将集合A,B化简，再结合交集的运算，即可得到结果.

22

【详解】Axylog3x1xx10xx1或x1，

Byy3xyy0，所以AB1,，

故选：C

6.（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设A{(x,y)|yx2x}，B{(x,y)|yx}，则AB（）

A．{(0,0),(2,2)}B．{(0,0)}C．{(2,2)}D．

【答案】A

【分析】联立集合A与集合B的方程组，解方程组可得答案.

yx2x

【详解】根据题意知联立集合A与集合B方程组得，

yx

x0x2

解之可得或，所以AB0,0,2,2.

y0y2

故选：A

（高三上山东济宁期中）已知集合Pxyx21，Qyyx21，则ð（）

7.24-25··PRQ

A．B．1,C．,0D．,1

【答案】D

【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合P，再求出集合Q，最后根据集合的运算法则计算可得.

【详解】由yx21可得x210，解得x1或x1，

所以Pxyx21,11,，

2

又x210，则yx210，所以Qyyx10,，

ðð

所以RQ,0，所以PRQ,1.

故选：D.

易错点03：遗忘空集

典例（24-25高一上·重庆万州·期中）已知集合Ax∣x5，Bx∣5a1xa11，且ABA，则a

的取值范围为（）

66

A．,6B．,C．,3D．3,

55

【答案】B

【分析】由并集的定义可知ABA得到BA，讨论集合B是否为空集，得到对应的参数a的范围，再

求并集得到结果.

【详解】因为ABA，所以BA.

若B，则5a1a11，即a3；

a36

若B，则解得a3.

5a155

6

综上所述，a的取值范围是,.

5

故选：B

【易错剖析】

因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对B的讨

论而错选C..

【避错攻略】

1.当已知AB,AB求参数时，一定要分析集合为空集的情况；

2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；

【具体步骤】

第一步：化简，化简所给集合；

第二步：画图，用数轴表示所给集合；

第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式(组)；

第四步：求解，解出不等式(组的解；

第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到.

3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析.

易错提醒：已知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入

检验的方法加以区分，避免出错.

2

1.集合Ax2x5x20，Bxax20，若BAB，则实数a的取值集合为（）

A．1,4B．0,1,4C．1,4D．0,1,4

【答案】D

1

【解析】首先求出集合A，依题意可得BA，再分B、B2、B三种情况讨论

2

1

因为Ax2x25x202,，BAB，所以BA，又Bxax20

2

11

当B，则a0，当B2，即2a20，解得a1，当B，即a20，解得a4，综上可

22

得实数a的取值集合为0,1,4，故选：D

2.设集合UR，集合A∣x2x5,B{∣xm6x2m1}，若AB，则实数m的取值范围为

（）

111

A．,B．11,C．,11D．,11,

222

【答案】D

【解析】结合B是否为空集进行分类讨论可求m的范围

当B时，AB，则m62m1，即m5

m62m1m62m1

当B时，若AB，则或

2m12m65

11

解得5m或m11，综上，实数m的取值范围为,11,

22

故选：D

3.（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合Px|2x3，Qx|3axa1.

(1)若PQ，求a的取值范围.

(2)若PQP，求a的取值范围.

1

【答案】(1),3,

2

2

(2),

3

【分析】（1）根据题意，分Q和Q两种情况进行讨论，结合PQ，列出不等式，即可求解；

（2）根据题意，分Q和Q两种情况进行讨论，结合PQP，列出不等式，即可求解；

【详解】（1）解：由集合Px|2x3，且Qx|3axa1

因为PQ，可分Q和Q两种情况进行讨论：

1

当Q时，可得3aa1，解得a，此时满足PQ；

2

3aa13aa1

当Q，因为PQ，则满足或，解得a3，

a123a3

1

综上可得，实数a的取值范围为(,3][,).

2

（2）解：由集合Px|2x3，且Qx|3axa1,

因为PQP，可分Q和Q两种情况进行讨论：

1

当Q时，可得3aa1，解得a，此时满足PQP；

2

3aa1

21

当Q，因为PQP，则满足a13，解得a，

32

3a2

2

综上可得，实数a的取值范围为,.

3

1．（2024·河南·模拟预测）已知集合A{x∣1x2},B{x∣1xa}，若BA，则实数a的取值范围是（）

A．2,B．1,2C．,2D．2,

【答案】C

【分析】由集合的包含关系，对集合B是否是空集分类讨论即可求解.

【详解】集合A{x∣1x2},B{x∣1xa}，若BA，

则若a1，则BA满足题意；

若a1，且BA，则1a2，

综上所述，实数a的取值范围是,2.

故选：C

2．设集合Ax2a1x3a5，Bxx221x800，若ABA，则（）

A．a2a7B．a6a7C．aa7D．aa6

【答案】C

【分析】解不等式化简集合B，再利用集合的包含关系求解即得.

【详解】显然Bxx221x800x5x16，由ABA，得AB，

当A时，即2a13a5，解得a6，满足AB，则a6；

当A时，则52a13a516，解得6a7；

所以a7.

故选：C

3．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知UR，集合Axx2x20，Bx|mx10，

Ið

BUA，则实数m（）

111

A．或1B．或0C．1或0D．或1或0

222

【答案】D

ðIð

【分析】求出集合A中方程的解确定A，即可求出UA，根据BUA，分两种情况m0和m0讨论

即可．

ð

【详解】由题可知，A{2,1}，则UA{x|x1或x2}，

因为Bx|mx10，

Ið

所以当m0时，B，则BUA，符合题意；

1

当m0时，B{}，

m

111

由BIðA知，1或2，即m1或m，

Umm2

1

综上所述，实数m为0或1或，

2

故选：D．

4．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）集合P{xx11}，Qxa1xa1，且PQ，则实数a的

取值范围为（）

A．a1或a3B．1a3C．a3D．a1

【答案】A

【分析】首先化解集合A，又Q，即可得到a10或a12，解得即可.

【详解】由x11，即1x11，解得0x2，

所以P{xx11}x|0x2，

又Qxa1xa1，显然Q，

因为PQ，所以a10或a12，

解得a1或a3，

即实数a的取值范围为a1或a3.

故选：A

ð，

5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合Ax|2x10，Bx|1mx1m.若BRA则

实数m的取值范围为（）

A．m3B．m9C．m3或m9D．3m9

【答案】A

Ið

【分析】已知BRA，这意味着B集合与A集合在R中的补集没有交集，那么B集合是A集合的子集.

接下来通过分析B集合的边界与A集合边界的关系来确定m的取值范围.

Ið

【详解】ðRA{x|x2或x10}.因为BRA，所以BA.

由于B{x|1mx1m}，要满足BA，

当B，即1m1m，解得m0.

m0

当B，则有1m2.解得：0m3.

1m10

综上，m的取值范围为m3.

故选：A.

6．已知集合Axx210，Bxax1，若ABB，则实数a取值集合为（）

A．1B．1C．1,1D．1,0,1

【答案】D

【分析】由题意知BA，分别讨论B和B两种情况，即可得出结果.

【详解】由ABB，知BA，因为Axx2101,1，B{x|ax1}，

若B，则方程ax1无解，所以a0；

1

若B，a0，则B{x|ax1}xx，

a

1

因为BA，所以1，则a1；

a

故实数a取值集合为1,0,1.

故选：D.

ð

7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知集合A{2,1,3,4},B{x‖x2∣m,xR}，若ARB，则实数

m取值范围为（）

A．m4B．m4C．m2D．m2

【答案】A

ðð

【分析】根据集合B计算RB，利用ARB求参数的取值范围.

ð

【详解】由ARB得，B,m0.

由B{x‖x2∣m,xR}得，B{x∣2mx2m}，

ðB{x∣x2m

∴R或x2m}，

2m2

∴，解得m4.

2m4

故选：A.

53

8．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）已知集合Ax|x，Bx∣m1x3m,mR，若

22

ABA，则m的取值范围是．

4

【答案】m

3

【分析】解绝对值不等式可得集合A，由ABA得BA，讨论B为空集和不为空集情况，解相应不等

式，即得答案.

5335353

【详解】解|x|，即x,1x4，即Ax|xx|1x4，

2222222

由ABA，得BA;

1

当Bx∣m1x3m,mR时，即m13m,m，符合题意；

2

m13m

14

当B时，需满足m11，解得m，

23

3m4

4

综合可得m，

3

4

故答案为：m

3

9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知集合A{x|x22x30}，B{x|m2xm2}，若AB，

则m的取值范围是.

【答案】mm3或m5

【分析】化简集合A,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解.

【详解】A{x|x22x30}{x|1x3}

因为AB

所以m21或m23

解得：m3或m5

故答案为：mm3或m5

10．（24-25高三上·河南·开学考试）已知集合Ax∣1x2,Bx∣x1m，若ABB，则实数m的

取值范围为.

【答案】2,

【分析】求出集合B，根据集合的包含关系列不等式组求解可得.

【详解】因为ABB，所以AB，

当m0时，B，不满足题意；

当m0时，由x1m解得Bx|1mx1m，

1m1

依题意有，解得m≥2，即实数m的取值范围为2,.

1m2

故答案为：2,

11．（2024·江苏常州·三模）集合Ax1x16，Bxm1x2m1,mR，若ABA，则实

数m的取值范围为．

【答案】,21,2

【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求m的范围．

【详解】由ABABA，且A{x|2x5}，

当B时，BA，则m12m1，即m2，

m12

当B时，若BA，则m2，解得1m2，

2m15

综上，实数m的取值范围为,21,2．

故答案为：,21,2．

题型二：常用逻辑用语

易错点04：判断充分性必要性位置颠倒

典例命题“x1,2,x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A．a4B．a4C．a5D．a5

【答案】D

【解析】求解命题“x1,2,x2a0”为真命题时a4，即可根据真子集求解

命题x1,2,x2a0为真命题则2对x1,2恒成立，所以ax2，故，所以命题

“”,axmaxa4

“x1,2,x2a0”为真命题的充分不必要条件需要满足是aa4的真子集即可，由于aa5是

aa4的真子集，故符合，故选：D

【易错剖析】

本题易混淆A是B的充分条件和A的充分条件是B的区别而出错.

【避错攻略】

1掌握充分、必要条件的概念及类型

(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

(2)如果pq，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；

(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；

(4)如果qp，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；

(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.

【解读】

（1）p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q．一般

来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的．

（2）“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同．

（3）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”，要判断p是否为q

的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，

就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．

2.灵活运用判断充分、必要条件的方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断；

(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它们之

间的关系.

(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分不必要

条件；若p⊇q,则p是q的必要不充分条件；若p＝q,则p是q的充要条件,尤其对于数的集合,可以利用小范

围的数一定在大范围中,即小⇒大,会给我们的解答带来意想不到的惊喜．

(4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可．

易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，

为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析.

1

1.已知命题p：x4,2，x2a0，则p为真命题的一个充分不必要条件是（）

2

A．a2B．a0C．a8D．a16

【答案】A

【解析】先分离参数求出a的取值范围，则p为真命题的一个充分不必要条件应该是,0的一个真子集，

112

由题设命题为真，即ax2在x4,2上恒成立，所以ax0，则p为真命题的一个充分不必要

22min

条件应该是,0的一个真子集，

故选：A

2.（24-25高三上·云南·期中）“x0，a3x10”成立的充分必要条件是（）

A．a1B．a1C．a3D．a3

【答案】C

【分析】讨论a3是否为0，当a30时，显然无解，故a3，用a表示出方程的解，令结果大于0，求

得a的取值范围.

【详解】当a30即a3时，x0，a3x110，所以a3；

1

当a30即a3时，x0，a3x10x0a3.

a3

故选：C.

3.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若不等式x1a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围

是（）

A．a1B．a5C．a1D．a5

【答案】D

【分析】先分情况求不等式x1a的解集，再根据集合的包含关系求参数a的取值范围.

【详解】设不等式x1a的解集为A，B0,4，

因为不等式x1a成立的充分条件是0x4，，所以BA，

所以A，所以a0.

由|x1|aax1aa1xa1，所以Aa1,a1.

a10

由BA可得a5.

a14

故选：D

1．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知a0，b0，则使ab2成立的一个充分条件是（）

A．a2b21B．abab

C．2a2b4D．ab22

【答案】B

【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断．

13

【详解】对于A，取a，b，显然有a2b21成立，但ab2不成立，不符合题意.

22

1111ba

对于B，由abab，得1，所以abab24，可推出ab2，符合题意.

ababab

ab

1

对于，abab，可得，不符合题意

C42222222ab2.

对于D，由ab22，得a2b2，因为a0，b0，所以0b2，所以

2

2199

abbb2b2,，不能推出ab2，不符合题意.

244

故选：B．

2．使“ab”成立的一个充分不必要条件是（）

A．x0,1，a≤bxB．x0,1，axb

C．x0,1，abxD．x0,1，ax≤b

【答案】B

【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．

【详解】对于A，若x0,1，a≤bx，当ab时，abbx成立，

所以“x0,1，a≤bx”“ab”，A不满足条件；

对于B，x0,1，axb，则aaxb，即ab，

所以“x0,1，axb”“ab”，

若ab，则x0,1，不妨取a1，b1.2，x0.5，则axb，

所以“x0,1，axb”“ab”，

所以“x0,1，axb”是“ab”的充分不必要条件，B满足条件；

对于C，若ab，则x0,1，使得abbx，即abx，

即“ab”“x0,1，abx”，

所以“x0,1，abx”是“ab”的充分条件，C不满足条件；

对于D，若x0,1，ax≤b，则aaxb，即ab，当且仅当x0时，等号成立，

所以“x0,1，ax≤b”“ab”，D不满足条件.

故选：B.

3．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知a,b,cR，使ab成立的一个充分不必要条件是（）

A．acbcB．acbc

C．a2b2