专题62等差数列及其前n项和（举一反三讲义）

专题6.2等差数列及其前n项和（举一反三讲义）【全国通用】TOC\o"13"\h\u【题型1等差数列的基本量计算】 3【题型2等差数列的判定与证明】 5【题型3等差数列的性质及应用】 7【题型4等差数列的通项公式】 8【题型5等差数列前n项和的性质】 11【题型6等差数列的前n项和的最值】 12【题型7等差数列的简单应用】 14【题型8等差数列的奇偶项讨论问题】 16【题型9含绝对值的等差数列问题】 20【题型10等差数列中的恒成立问题】 22【题型11与等差数列有关的新定义、新情景问题】 251、等差数列及其前n项和考点要求真题统计考情分析(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义(2)探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系(3)能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题(4)体会等差数列与一元函数的关系2023年新高考I卷：第7题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分2024年新高考I卷：第19题，17分2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分2025年全国一卷：第16题，15分2025年全国二卷：第7题，5分2025年北京卷：第5题，4分2025年天津卷：第19题，15分2025年上海卷：第3题，4分等差数列是高考的重点、热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等差数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等.近年高考压轴题中也会出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解.知识点1等差数列的概念1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.2．等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.3．等差数列的通项公式等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d，其中a1为首项，d为公差.4．等差数列的单调性由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 5．等差数列的性质设{an}为等差数列，公差为d，则(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.(2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.(5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0.知识点2等差数列的基本运算的解题策略1．等差数列的基本运算的两大求解思路：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.知识点3等差数列的判定的方法与结论1．证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证anan1为同一常数.即作差法，将关于an1的an代入anan1，在化简得到定值.(2)等差中项法：验证2an1=an+an2（n≥3，n∈N*）都成立.2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论：问题的最终判定还是利用定义.知识点4等差数列及其前n项和的性质及应用1．项的性质：在等差数列an中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.2．和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n1=(2n1)an；(3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k,…成等差数列.3．求等差数列前n项和的最值的常用方法：(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.【方法技巧与总结】1．已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.3．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常数列.【题型1等差数列的基本量计算】【例1】（2025·山西吕梁·三模）已知等差数列an的公差d>0,a1=1,a22A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解题思路】根据等差数列的通项公式，将a2、a3用a1和d【解答过程】由等差数列通项公式an=a已知a1=1，所以a2将a2=1+d，a3=1+2d代入则1+2d+d2−1−2d=9，化简可得：d2=9因为已知公差d>0，所以舍去d=−3，得到故选：B.【变式11】（2025·全国二卷·高考真题）记Sn为等差数列an的前n项和，若S3=6,SA．−20 B．−15 C．−10 D．−5【答案】B【解题思路】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项a1和公差d的方程求出首项a1和公差d，再由等差数列前【解答过程】设等差数列an的公差为d，则由题可得3所以S6故选：B.【变式12】（2025·山东·一模）已知数列an是公差不为0的等差数列，若a1a2=a3A．−1 B．−12 C．1【答案】A【解题思路】设等差数列an是公差为d【解答过程】设等差数列an是公差为d由a1a2=a因为d≠0，所以得3a由a5=2，得解得：a1故选：A.【变式13】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，若S5=2SA．14 B．12 C．2【答案】C【解题思路】由等差数列的性质及前n项和公式有5a3=6a2【解答过程】由S5=2S3，则所以5(a2+d)=6由a1+a故选：C.【题型2等差数列的判定与证明】【例2】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知数列an，则“an−2+an+2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解题思路】根据等差数列定义以及等差中项性质对充分性和必要性分别进行判断即可得结论.【解答过程】判断充分性：因为an−2+a令n=2kk∈N*，则a令n=2k−1k∈N*，则a但数列an所以“an−2+a再判断必要性：若数列an是等差数列，则2所以2an=an−2综上，“an−2+a故选：B.【变式21】（2425高二下·广东茂名·阶段练习）已知数列an和数列bn满足an=bA．an+1an B．an【答案】D【解题思路】根据等差数列的定义逐一判断即可.【解答过程】依题意，对an−1an=−2bn消去所以bn2是等差数列，故D正确，C错误；若an−1与bn2是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为故选：D．【变式22】（2025·河北·模拟预测）已知数列an满足a1=(1)求证：1a(2)若bn=anan+1(n∈【答案】(1)证明见解析；(2)Tn【解题思路】（1）变形给定等式，利用等差数列定义推理得证.（2）由（1）求出an【解答过程】（1）数列an中，a1=12，a所以数列1an是以（2）由（1）知，1an=2+(n−1)⋅2=2n，则a所以数列bn的前n项和T【变式23】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，an+1(1)证明：数列1S(2)求an(3)求1a【答案】(1)证明见解析；(2)an(3)3.【解题思路】（1）利用an,Sn的关系，将（2）根据（1）中结论，求出1S（3）根据通项公式即可得解.【解答过程】（1）因为an+1=Sn+1−又1S1=（2）由（1）知1S当n≥2时，an而n=1时，a1所以an（3）由（2）知，当n≥2时，1a又1a1=3>0，所以1【题型3等差数列的性质及应用】【例3】（2025·辽宁·二模）已知等差数列an满足a2+a4+aA．1 B．32 C．4 【答案】C【解题思路】根据等差数列的性质有a2【解答过程】因为数列an为等差数列，且a2+所以3a4=3，3a5=9，解得故选：C．【变式31】（2025·重庆·二模）已知等差数列an的前4项为a，3b，2，5b，则a9=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解题思路】根据等差中项可得b=1【解答过程】由题意可知3b，2，5b成等差，故3b+5b=4，解得b=1故公差d=2−3b=1故a9故选：A.【变式32】（2025·广东·模拟预测）在等差数列an中，若a5+a7A．18 B．15 C．12 D．9【答案】D【解题思路】由等差数列的下标和性质求出a7=9，再化简【解答过程】在等差数列an中，a则2a故选：D.【变式33】（2025·山东日照·一模）已知等差数列an中，a2+a4A．15 B．9 C．36 D．【答案】B【解题思路】根据等差数列的性质，利用已知条件求出a3【解答过程】在等差数列{an}中，已知a2+a4同样根据等差数列性质，所以a1则a1把a3=3代入可得故选：B.【题型4等差数列的通项公式】【例4】（2025·北京通州·一模）已知等差数列an满足：a5−2a3=1，且A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【答案】D【解题思路】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解.【解答过程】设公差为d，由a5−2a得a1+4d−2a所以an所以a2025故选：D.【变式41】（2025·辽宁·二模）已知数列an满足a1=3，an+1=A．an=2n+1 B．an=2n C．【答案】C【解题思路】由已知等式变形得出an+1+1=an+1【解答过程】因为a1=3，an+1=an+4以此类推可知，对任意的n∈N∗，且an+1所以，an+1+1=所以，an+1+1−所以，数列an+1是以2为首项，以故an+1=2+2故选：C.【变式42】（2425高二下·四川广安·期中）等差数列an中，a7=4，a(1)求an(2)设bn=1n+3an，求数列【答案】(1)an=(2)S【解题思路】（1）由已知结合等差数列的性质列出方程组求解即可；（2）根据裂项相消法求和即可．【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d∵a7=4，a解得，a1=1，∴an=1+（2）∵b∴=1【变式43】（2425高二下·安徽芜湖·期末）已知数列an是等差数列，且a2=4(1)求an(2)设数列1anan+1的前n项和为【答案】(1)a(2)证明见解析【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式，结合已知条件求出首项和公差，进而得到数列an（2）先对1anan+1进行裂项，然后利用裂项相消法求出【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d，首项为根据等差数列通项公式an=a1+a用第二个方程a1+3d=10减去第一个方程a1a解得d=3将d=3代入a1+d=4，可得a所以an的通项公式为（2）由（1）可知an=3n−2所以1对其进行裂项相消变形，利用分式拆分技巧1A1则TnT括号内中间项可相互抵消，可得：T因为13n+1>0，所以1−13n+1<1【题型5等差数列前n项和的性质】【例5】（2025·四川乐山·一模）设等差数列an的前n项和Sn，若S3=9，S6A．18 B．27 C．45 D．63【答案】C【解题思路】根据S3【解答过程】由题意得S3即9,36−9,a即2×36−9=9+a故选：C.【变式51】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm=−3,SA．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【解题思路】方法一：先利用an方法二：利用等差数列的性质即Sn【解答过程】方法一：由题意得：am+1=S则等差数列的公差d=a则a1=3−m，所以m=6.方法二：因为等差数列的性质即Sn则Smm+Sm+2故选：C.【变式52】（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，若A．289 B．149 C．28 【答案】D【解题思路】根据等差数列的性质来计算求得正确答案.【解答过程】依题意，an和b而SnTn其中k≠0，所以S5T4a2故选：D.【变式53】（2024·河南周口·模拟预测）设Sn为等差数列an的前n项和，已知S3=4,SA．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【解题思路】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得.【解答过程】由等差数列的片段和性质知，S3由S3所以a16故选：B.【题型6等差数列的前n项和的最值】【例6】（2025·广西南宁·三模）设等差数列an的前n项和为Sn，若a5=2，a3A．−14 B．−494 C．−12 【答案】C【解题思路】根据等差数列的通项公式和性质求得an【解答过程】假设等差数列an的公差为d，由a3+所以3d=12−3a5=12−6=6，所以d=2则S则Sn故选：C．【变式61】（2025·河北衡水·模拟预测）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a5=1，S11A．16 B．18 C．23 D．25【答案】D【解题思路】设出公差，根据通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式，当n≥6时，an<0，当1≤n≤5时，an>0，从而确定当【解答过程】设公差为d，则a1+4d=1，解得a1=9,d=−2，所以当n≥6时，an<0，当1≤n≤5时，所以当n=5时，Sn取得最大值，最大值为S故选：D.【变式62】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列an的前n项和为Sn，若a1<0，S9=SA．12 B．13 C．14 D．25【答案】C【解题思路】利用等差数列的性质化简S9=S19，得到5(a14+【解答过程】由S9=S19可得因a1<0，则等差数列an的公差d>0故a14<0,a15>0故选：C.【变式63】（2025·浙江·模拟预测）设等差数列an的前n项和是Sn，前n项积是Tn，若S6=3A．Sn无最大值，Tn无最小值 B．SnC．Sn无最大值，Tn有最小值 D．Sn【答案】D【解题思路】根据等差数列前n项和公式求基本量，进而确定an=4−n且Sn=−1【解答过程】令数列公差为d，则S3=3(a1所以d=−1，则a1=3，故当an>0得1≤n<4，当an=0得n=4，当显然，当1≤n<4时Tn>0，n≥4时Tn且Sn=n(7−n)2=−故选：D.【题型7等差数列的简单应用】【例7】（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（

）A．13 B．12 C．23【答案】C【解题思路】设第n1≤n≤5,n∈N∗所得钱数为an钱，设数列a1、a2、a3、a4、a5【解答过程】设第n1≤n≤5,n∈N∗所得钱数为an钱，则数列a1、a2、设数列a1、a2、a3、a4、则5a1+5×42故选：C.【变式71】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【解题思路】令所给等差数列为{a【解答过程】令所给等差数列为{an},n∈N∗则a2+a5+解得a4则数列{an}的公差d=故选：B.【变式72】（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为1mm､公差为4mm的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为190mmA．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解题思路】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前n项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数n.【解答过程】已知每层与其外一层球面的间距构成首项a1=1mm、公差d=4由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前n项和，即Sn根据等差数列前n项和公式Sn将a1=1，d=4，Sn=190得到n1=10，n2该鬼工球的层数为11.故选：C.【变式73】（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（

）A．9升 B．10.5升 C．12升 D．13.5升【答案】B【解题思路】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式计算即得.【解答过程】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列{a则a1+a所以这根竹子的装米量为S7故选：B.【题型8等差数列的奇偶项讨论问题】【例8】（2025·山东威海·一模）已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n(1)求数列an(2)记cn=−1nana【答案】(1)an(2)当n为偶数时,Tn=n2+2n【解题思路】（1）根据Sn,a(2)数列{cn}的前n又a2，a4，…，【解答过程】（1）由2Sn=a两式相减得2an=因为an>0，所以an−a在2Sn=a所以an（2）当n=2k时T+a2k−3a又a2，a4，所以a2故T2k=2k当n=2k+1时，T+a2k−3a又a2，a4，...，a所以2a故T2k+1=−2k+1当n为偶数时,Tn=n2+2n2【变式81】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设Sn为数列an的前n项和，已知an>0,4(1)求数列an(2)记数列bn的前n项和为Tn，若对于任意n∈N【答案】(1)a(2)−【解题思路】（1）由an与S（2）分n为奇数与偶数讨论，由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果.【解答过程】（1）令n=1，可得4S1=a1an所以2a所以an+an−1a数列an是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为a（2）由（1）得an+1−a所以bn当n为偶时，TnTTn当n为偶数时，Tn所以Tn因为对于任意n∈N当n为奇数时λ≤n2当n=3时，n2−7n取最小值，最小值为所以λ≤−12，当n为偶数时λ≤n2当n=4时，n2−9n取最小值，最小值为所以λ≤−20，综上可得λ的取值范围−∞【变式82】（2024·湖北·模拟预测）数列an中，a1=1，a(1)求数列an(2)数列bn的前n项和为Sn，且满足bn2=【答案】(1)an(2)当b1=1时，Sn=【解题思路】（1）依题意可得an+2−an+1=（2）由（1）可得bn=±2n−1，由bnbn+1<0【解答过程】（1）因为an+2+a所以数列an+1−an是公差为于是an+1则an−an−1=8a3−a所以an所以an=4n2−4n+1（2）由（1）问知，an=2n−1又bnbn+1<0，则bn+1因此bn与b因为b1b2<0，所以当b1当n为奇数时，Sn当n为偶数时，Sn当b1=−1时，b2当n为奇数时，Sn当n为偶数时，Sn综上，当b1=1时，Sn=−1【变式83】（2024·全国·模拟预测）已知数列an的前n项积为T(1)求证：数列Tn是等差数列，并求数列a(2)令bn=−1n−1an+1【答案】(1)an(2)S【解题思路】（1）由前n项积定义可得an=TnT（2）利用裂项相消法求和，对n的奇偶进行分类讨论即可得Sn【解答过程】（1）由题意得当n=1时，T1因为an≠0，所以Tn当n≥2时，an=TnT所以数列Tn可得Tn所以an（2）由题意知bn当n为偶数时，Sn当n为奇数时，Sn所以Sn【题型9含绝对值的等差数列问题】【例9】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列an是公差为2的等差数列，且a4=3a7A．80 B．208 C．680 D．780【答案】B【解题思路】根据题意求出等差数列an的首项，可得到通项公式以及前n项和，再根据通项公式判断出前20项中，前8项为负数，后12项为正数，故所求数列的前20项之和为S【解答过程】因为a4=3a7⇒所以an=−17+2n，前n项和所以数列an所以a=20故选：B．【变式91】（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列an中，a1=9，a4=3，设TA．245 B．263 C．281 D．290【答案】C【解题思路】根据给定条件，求出等差数列an的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出T【解答过程】等差数列an中，由a1=9，a则an=a1+(n−1)d=−2n+11，显然当n≤5时，a所以T=2(a故选：C.【变式92】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列an为等差数列，a(1)求数列an(2)若bn+an=19，求数列b【答案】(1)a(2)S【解题思路】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解；（2）结合（1）得到bn=20−2n，再分n≤10和【解答过程】（1）设等差数列an的公差为d因为a3+a又因为a5=9，则所以数列an的通项公式a（2）由（1）知，bn当n≤10时，bnSn当n≥11时，bnSn=S综上，Sn【变式93】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列an的前n项和为Sn，已知a6(1)求数列an(2)求数列an的前n项和T【答案】(1)a(2)T【解题思路】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论Tn与S【解答过程】（1）设数列an的公差为d∵S12=6，∴a6+a7=1，∵a6∴an（2）由已知Snn≤5时，Tnn≥6时，Tn综上Tn【题型10等差数列中的恒成立问题】【例10】（2024·湖北·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．−2 B．0 C．1 D．2【答案】A【解题思路】由Sn与an的关系且an为等差数列，求出an，由ann<2，得x2−(1+a)x−2【解答过程】因为Sn=n2+mn≥2时，an所以a1=1+m，a2因为an为等差数列，所以a1=1从而an=2n−1，所以x2−(1+a)x−2a则当0≤a≤1时，g(a)=2ag(0)=−x2+x≤0g(1)=2+1+x−x只有选项A符合题意，故选：A.【变式101】（2024·陕西西安·二模）已知数列an满足a1=3，an+1−an=2，bn=−1n+11A．110,+∞ B．15,+∞【答案】D【解题思路】先求得数列an的通项公式，进而可得bn=−1n+112n+1【解答过程】因为数列an满足a1=3所以数列an是以a所以an所以bn当n为偶数时，T=1当n为奇数时，T=1因为不等式Tn<4所以815所以25<λ3−5λ所以解得15<λ<25，所以故选：D.【变式102】（2024·贵州六盘水·三模）已知an为等差数列，且a5＝(1)求an(2)若2n⋅λ≥a【答案】(1)a(2)[【解题思路】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；（2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．【解答过程】（1）设数列an的公差为d，则根据题意可得a解得a1=4d=2（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到Sn又2n⋅λ≥a设fn=n当n＝1时，f2当n≥2时，−n2−n+4≤−2，则f(n+1)−f则fnmax=f(2)故实数λ的取值范围为[5【变式103】（2024·全国·模拟预测）数列an的前n项和为Sn，2S(1)证明：1S(2)对于任意n∈N*，不等式2n【答案】(1)证明见解析(2)−【解题思路】（1）根据an=S（2）根据Sn可得an的表达式，进而将问题转化为λ<2【解答过程】（1）当n≥2,n∈N*时，an化简得Sn−1−S所以1Sn−所以1S（2）由（1）得1Sn=1+故a则an+1由2nan+1+λ令cn则cn+1−c又c1=43，故λ<4【题型11与等差数列有关的新定义、新情景问题】【例11】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，a2−a1=2，a3−A．38 B．51 C．66 D．83【答案】B【解题思路】由高阶等差数列的定义，通过列举即可求解.【解答过程】由3−2=1，6−3=3，11−6=5，18−11=7，可知：a6−18=9a7−a8−a即第8项是51，故选：B.【变式111】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知an是一个公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn.若存在正整数p,q(其中p<q)使得Sp+Sq=0，则称an具有性质Γ，称有序数对p,q是an的一组“Γ数对”，记由an的全体“Γ数对”所组成的集合为Ωan.关于命题①“若an具有性质Γ且1,4∈Ωan，则ΩanA．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题【答案】A【解题思路】根据等差数列的前n项和公式，依据题目所给定义，判断命题真假.【解答过程】解析：Sn∵1,4∈Ωan，带入S∴S当Sp+S化简得p2+若p=1，则q2−175q−125若p=2，则q2−175q−145若p=3，则q2−175q−65若p≥4，则q≥5，p,q∈因为p2−17所以p2+q设Sn=n故选：A.【变式112】（2025·广西·模拟预测）我们把公差不为0的等差数列ann∈N*称为“一阶等差数列”，若数列(1)若数列an的通项公式为an=(2)若数列an为“二阶等差数列”，且a1=1【答案】(1)是，理由见解析(2)a【解题思路】（1）结合已知定义及等差数列的定义即可判断；（2）由已知定义及等差数列的通项公式，求和公式即可求解.【解答过程】（1）因an=n故an+1∴an+1−（2）由题意an+1又an+1−a则a=3又a1=1满足上式，故则“二阶等差数列”an的通项公式为a【变式113】（2025·山东临沂·三模）定义：若数列an满足an−n(1)若an=1−3n，bn=2(2)若等差数列cn为“数项增数列”，且c1=2，求c(3)若数列dn为共4项的“数项增数列”，满足di∈【答案】(1)an是，b(2)(−∞(3)31.【解题思路】（1）由|an−n|=4n−1（2）利用定义列式，取特值求出d范围，再就一般情况分类判断即可.（3）根据给定的定义，再分类推理计算判断..【解答过程】（1）对于数列an，|an−n|=|1−4n|=4n−1，则即|an−n|>|对于数列bn，|bn−n|=|2所以数列bn（2）依题意，设cn=2+(n−1)d，则由等差数列cn为“数项增数列”，得|cn即|(n−1)d−n+2|>|(n−2)d−n+3|，当n=2时，|d|>1，解得d<−1或d>1，当d>1时，|cn−n|=|(d−1)(n−1)+1|=(d−1)(n−1)+1随n当d<−1时，令|cn0当n>n0时，−d+1>0，|an−n|随n所以cn的公差d的取值范围是(−（3）由di∈1,2,3,4,5,6,7,8,9①若|d4−4|=5，则d若|d3−3|=2，则d3=1或d3=5，|d1=1，因此数列{d若|d3−3|=3，则d3=6，|d2|d1−1|=1或|d1−1|=0，此时d1=2或此时|d1−1|=0，d1=1若|d3−3|=4，则d3=7，|当|d2−2|=3时，d2=5当|d2−2|=2时，d2=4，|d1当|d2−2|=1时，d2=3或d3=1，此时|②若|d4−4|=4，则d4=8，|③若|d4−4|=3，则d4=7,1，|d3|d1−1|=0，d1=1所以所有满足条件的数列dn的个数是4+4+7+8+8=31一、单选题1．（2025·四川成都·一模）在等差数列an中，a3=3，a4+A．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】B【解题思路】根据等差数列的性质若m+n=p+q，则am【解答过程】在等差数列an中，a4+故选：B.2．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列an的前n项和为Sn，若S4−SA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解题思路】由等差数列的性质结合S4−S1=9【解答过程】因为S4−S1=9,又a1+a所以公差为a3故选：A．3．（2025·北京·高考真题）已知an是公差不为零的等差数列，a1=−2，若a3,A．−20 B．−18 C．16 D．18【答案】C【解题思路】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.【解答过程】设等差数列an的公差为d,因为a3,a所以a42=a3a6所以a10故选：C.4．（2025·江苏南通·模拟预测）设an为等差数列，且a1+a2A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【解题思路】由等差数列的通项公式求解出基本量，计算求解即可.【解答过程】设等差数列an的公差为d由于a13a1+3d=3解得a1=−1，所以a6故选：C.5．（2025·江苏泰州·模拟预测）设Sn是等差数列an的前n项和，Tn是数列Snn的前n项和.若SA．49 B．50 C．51 D．52【答案】C【解题思路】设等差数列an的公差为d，根据题意，列出方程组求得a1,【解答过程】设等差数列an的公差为d因为S4=12，S8所以Sn=3n所以T12故选：C.6．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列an的首项a1=2，公差d=12，在an中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列bnA．4n−2 B．3n−1C．3n D．2n+1【答案】B【解题思路】根据等差数列的定义求解即可.【解答过程】设bn的公差为d′，则b1故bn故选：B.7．（2025·江西·模拟预测）记Sn为等差数列an的前n项和，且a2=2a1=2A．40 B．41 C．42 D．43【答案】B【解题思路】由等差数列求和公式得Sn【解答过程】由已知可得a1an的公差为a2−故Sn令n(n+1)2<888，又n∈N∗，所以验证S41=41×42所以n的最大值为41.故选：B.8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知Sn，Tn分别是等差数列an，bn的前n项和，且SnA．710 B．1118 C．2138【答案】C【解题思路】根据条件，利用等差数列的性质得a3【解答过程】因为an所以a3b4所以a3故选：C.二、多选题9．（2025·海南三亚·一模）数列an为等差数列，Sn为其前n项和，已知a3A．a7=−2 C．S5=30 D．当n=8或n=9时，【答案】AB【解题思路】利用等差数列的通项公式和求和公式进行运算，即可得到判断.【解答过程】设等差数列an的公差为d，则d=所以a7S5由a1=a由于二次函数y=12x所以当n=8或n=9时，Sn故选：AB.10．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列an的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且SA．d=1 B．S5=15 C．an【答案】ABC【解题思路】根据条件列出关于a1和d【解答过程】由条件S5=4a4−1数列2Snan是以1为公差的等差数列，所以即4a1+2d=3综合①②可知，aS5=5a1+10d=15故选：ABC.11．（2025·四川成都·一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第n层有an个球，则（

A．a5=15 B．C．a2025为偶数 D．【答案】ABD【解题思路】根据题意an−an−1=n,an−1【解答过程】根据题意，当n≥2时，an累加得an∴an=nn+1∴aan+1a2025∵an=1a∵n∈N即1≤1故选：ABD.三、填空题12．（2025·上海·高考真题）已知等差数列an的首项a1=−3，公差d=2【答案】12【解题思路】直接根据等差数列求和公式求解.【解答过程】根据等差数列的求和公式，S6故答案为：12.13．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知Sn是等差数列an的前n项和，若S4=12,S8【答案】84【解题思路】分析可知S4【解答过程】因为数列an为等差数列，则S可得2S8−S4故答案为：84.14．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列an中，a1=10，an=an−1−4n≥2【答案】18【解题思路】由题意可知数列an是首项为10，公差为−4的等差数列，求出前n【解答过程】当n≥2时，an−a所以，数列an是首项为10，公差为−4则数列an的前n项和