一次函数的应用（第3课时两个一次函数图象的应用）（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

4.4.3一次函数的应用（第3课时）教学设计1.教学内容本节课选自北师大版2024八年级上册第四章“一次函数”的4.4.3节，是在学生掌握单个一次函数图象与性质的基础上，进一步学习两个一次函数图象的综合应用。教材以“销售收入与销售成本”“追赶问题”为典型情境，通过图象分析数据、解读交点意义、比较函数值大小，最终实现从“数”（函数表达式）到“形”（图象）再到“实际问题”的转化。2.内容解析其核心是让学生理解两个一次函数图象交点的双重意义（几何上为公共点，代数上坐标满足两个解析式），并能利用图象或函数表达式解决实际中的比较、决策类问题。这既是对一次函数知识的深化，也是后续学习二次函数、反比例函数综合应用的重要铺垫，更是培养学生数形结合思想和几何直观能力的关键内容。​基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过函数图象获取信息，能说出两个一次函数图象交点的实际意义，解决简单的实际问题（重点）.1.教学目标(1)

能从两个一次函数图象中获取关键数据，准确说出交点的实际意义，并解决盈利亏损、追及相遇等简单实际问题。(2)

通过分析一次函数中k与b的实际含义，进一步理解函数表达式与图象的联系，提升数形结合意识和几何直观能力。(3)

在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的联系，培养分析问题、解决问题的逻辑思维能力。2.目标解析(1)

达成“获取数据与解读交点意义”目标的标志：学生能独立完成“销售收入与销售成本”情境中“读取特定销售量对应的收入/成本”“找到收支平衡的销售量”等问题，且能解释“交点横坐标为何是收支平衡点”。(2)

达成“理解k与b含义”目标的标志：学生能结合具体情境（如追赶问题中“路程时间”函数），说出k表示速度、b表示初始路程，且能通过k的大小比较速度快慢。(3)达成“培养思维与联系生活”目标的标志：学生能在变式训练（如印刷厂收费决策）中，自主选择图象或表达式两种方法解决“哪家更省钱”的问题，并清晰阐述理由。（一）已有知识与掌握情况学生已学习一次函数的概念、表达式（y=kx+b）及单个函数图象的应用，能从单个函数图象中读取自变量与函数值，也能根据已知条件求函数表达式，具备初步的“数”“形”转化意识。但对于“两个函数图象叠加”的场景，学生此前未接触过，缺乏对“交点意义”“函数值比较”的系统认知。（二）预估教学困难与解决办法1.

困难1：难以理解“两个函数图象交点的实际意义”，容易混淆“交点横坐标”“纵坐标”分别对应现实中的哪个量。解决办法：以“销售收入与销售成本”图象为例，先让学生观察“销售量为4t时，收入和成本都为4000元”，再引导学生对比“交点处x相同、y也相同”，通过“具体数据→图象特征→实际意义”的递进，让学生自主归纳交点意义。

困难2：不会利用图象比较两个函数值的大小，尤其在“交点两侧哪个函数值更大”的判断上容易出错。解决办法：结合“盈利亏损”问题，先明确“收入函数l₁在成本函数l₂上方时盈利”，再让学生在图象上标记“x<4t”“x>4t”的区域，观察l₁与l₂的上下位置关系，总结“先找交点，再看两侧”的比较方法，随后通过“口头提问+快速判断”巩固（如“销售量为3t时，盈利还是亏损？”）。3.

困难3：无法将“k与b”与实际情境结合，如混淆“路程时间”函数中k是速度还是初始路程。解决办法：用“甲从观景台1出发（初始路程b₁=0），乙在观景台2（初始路程b₂=800m）”的具体场景，对比l₁（s=50t）和l₂（s=30t+800），让学生计算“t=1min时，甲走了50m，乙走了830m”，进而发现“k是单位时间内路程的增加量（速度）”，b是“t=0时的初始路程”。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：

通过比较不同的一次函数中k与b的意义，进一步培养数形结合意识，发展几何直观.1.情景引入前面，我们学习了利用单个一次函数图象解决问题的方法，但有时我们会遇到一些比较复杂的问题，出现两个或多个一次函数的图象，我们如何利用两个一次函数图象来解决问题呢？(设计意图：让学生意识到需要结合两个一次函数图象来解决更复杂的实际问题，同时自然地衔接之前所学的单个一次函数图象应用的旧知识，为后续学习两个一次函数图象的综合应用做好铺垫，引导学生进入新课的学习状态。)(教学建议：在导入过程中，先让学生充分思考“如何解决”，鼓励学生自由表达自己的想法，然后再展示两个函数叠加后的图象。这样可以更好地培养学生的问题意识和主动思考能力，而不是直接给出答案，让学生被动接受。教师还可以进一步引导学生回忆单个函数图象读取信息的方法，为后续分析两个函数图象的关系埋下伏笔。)探究点1一元一次不等式的概念如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的关系，如果将两函数图象合在同一直角坐标系中，结果会怎么样？（引导观察：观察两个图象，它们有什么共同之处？）根据图象填空：(1)当销售量为2t时，销售收入=2000元，销售成本=3000元；(2)当销售量为6t时，销售收入=6000元，销售成本=5000元；(3)当销售量为4t时，销售收入等于销售成本；（引导：图中什么地方表示销售收入=销售成本？）结论:两直线交点的意义：(1)几何意义：两直线交点是它们的公共点；(2)代数意义：两直线交点的坐标同时满足两个解析式.(4)当销售量大于4t时，该公司盈利（收入大于成本）；当销售量小于4t时，该公司亏损（收入小于成本）；（如何利用图象比较函数值的大小？）结论：利用图象比较函数值的方法:先找交点坐标，交点处y1=y2；再看交点左右两侧，图象位于上方的直线函数值较大.(5)当销售量等于6时，该公司盈利（收入减成本）1000元（即纵坐标的差值等于1000时）(6)l1对应的函数表达式是y1=1000x；l2对应的函数表达式是y2=500x+2000.(引导:两点确实表达式)（设计意图：先让学生熟悉“从两个图象中读取数据”的方法，为后续探究打下基础;学生通过“观察→归纳”掌握函数值比较方法，体现数形结合思想;将“求表达式”与“分析k、b意义”结合，强化“表达式与实际情境”的联系）（教学建议：若学生读取数据较慢，可在图象上标注关键格点（如x=2对应l₁的y=2000，l₂的y=3000），降低初始难度；若学生无法关联“代数意义”，可补充提问：“如果l₁的表达式是y₁=1000x，l₂是y₂=500x+2000，当x=4时，y₁和y₂分别是多少？这说明什么？”；若学生求表达式有困难，可回顾“待定系数法”的步骤（找两点→代入列方程→解方程），适当提示图象上的关键点（如l₁过(0,0)和(4,4000)））.思考与交流如图，设l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？k1的意义：每销售1t产品的销售收入.b1的意义：未销售时，销售收入为0.k2的意义：每销售1t产品的销售成本.b2的意义：未销售时，为销售所花的成本为2000.（设计意图：通过结合一次函数y=kx+b中k（斜率，反映变化率）和b（截距，x=0时的函数值）的几何意义，联系“销售收入、销售成本与销售量”的实际情境，引导学生分析两个一次函数l1、l2中k1、b1与k2、b2的实际意义，帮助学生深入理解一次函数表达式与实际问题的联系，强化数形结合思想，为后续利用两个一次函数图象解决盈利亏损、收支平衡等实际问题奠定基础）。（教学建议：

引导回顾基础：先带领学生回顾一次函数y=kx+b中k（变化率）和b（初始值）的几何意义，让学生在已有知识基础上开展分析；小组讨论交流：组织学生分组讨论，分享对k、b实际意义的理解，教师巡视并适时点拨，最后请小组代表发言，师生共同总结，加深学生的认知。典例分析例图1是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2,于是沿着游览路线追赶乙。图2中l1,l2分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s(单位：m)与追赶时间t(单位：min)之间的关系。假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：(1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系?（引导：甲到观景台1的距离是多少？图中有体现吗？）解：当t＝0时，甲到观景台1的路程为0m,即s＝0,故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。（2）甲和乙哪个人的速度快?（速度的快慢，在图象上如何直观的看出？）解：t从0增加到20时，l1上点的纵坐标增加了1000,l2上点的纵坐标增加了600,即20min内，甲行走了1000m,乙行走了600m,所以甲的速度快。（3）30min内甲能否追上乙?（引导：图中什么位置表示追上？）解：如图,延长l1,l2，可以看出，当t＝30时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，30min时甲尚未追上乙。（4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙?（引导：甲到达观景台3共走了多少米？）解：在图中，l1与l2交点P的纵坐标小于（800+1300=）2100,这说明，甲能在到达观景台3前追上乙。（5）设l1与l2对应的两个一次函数分别为s＝k1t＋b1与s＝k2t＋b2,k1,k2的实际意义各是什么?甲、乙两人的速度各是多少?解：k1表示甲的速度，k2表示乙的速度.甲的速度是50m/min,乙的速度是30m/min.（设计意图：综合运用“交点意义”“函数值计算”解决追及问题，提升实际应用能力。.）（教学建议：可结合延长后的图象，让学生直观看到“30min时l₁在l₂下方”“交点P在2100m下方”，强化数形结合的应用。）1.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（D）A．小亮骑自行车的平均速度是12km/hB．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园C．小明在距学校12km处追上小亮D．9：30小明与小亮相距4km2.A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．根据图象填空：（1）乙先出发1后，甲才出发；（2）大约在乙出发1.5h后，两人相遇，这时他们离开A地20km；（3）甲的速度是40km/h;乙的速度是40/3km/h.3.某单位要印制“市民文明出行,遵守交通安全”的宣传材料.甲印刷厂提出:每份材料收2元印制费,另收1000元的制版费;乙印刷厂提出:每份材料收3元印制费,不收制版费.(1)分别写出两个印刷厂的收费y甲(元)、y乙(元)与印制数量x(份)之间的关系式(不用写出自变量的取值范围);解:y甲=2x+1000,y乙=3x.(2)在同一坐标系内画出y甲、y乙关于x的图象,并求出当印制多少份宣传材料时,两个印刷厂的收费相同?此时费用为多少?当y甲=y乙时,可得2x+1000=3x,所以x=1000,此时y甲=y乙=3000,所以当印制1000份宣传材料时,两个印刷厂的收费相同,此时费用为3000元.结合图象回答:选哪家印刷厂印制宣传材料更省钱?解:由图象可知,当印制宣传材料不足1000份时,选择乙印刷厂更省钱;当印制宣传材料为1000份时,两家费用都一样;当印制宣传材料超过1000份时,选择甲印刷厂更省钱.设计意图：过“收费决策”这一生活场景，让学生灵活运用“交点意义”“函数值比较”解决问题，体现数学的实用性,若时间充裕，可补充“若该单位需印制1500份，需花费多少元？”的计算，进一步巩固表达式的应用。设计意图：让学生