北师大版七年级数学下册举一反三系列710期末复习之解答压轴题专项训练(北师大版)同步学案(学生版+解析)

专题7,10期末复习之解答压轴题专项训练

【北师大版】

考点1整式的乘除解答期末真题压轴题

1.(2022住广东深圳.七年级南山实验教育麒麟中学校考期末)如图①是一个长为4a、宽

为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回

形“正方形(如图②).

(1)根据上述过程，写出(a+b)2、(a-bV，帅之间的等量关系：；

(2)利用(1)中的结论，若x+y=4,xy=1,则(x-y)?的值是；

⑶实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：

(4)两个正方形力BCD,AEFG如图④摆放，边长分别为《)，，若第2+y2=3%BE=2,求

图中阴影部分面积和.

2.(2022春・广东深圳•七年级校联考期末)在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现

的，请认真观察图形，解答下列问题：

(I)如图1,用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：.

(2)如图1中，a,b满足a+b=9,ab=15,求+〃的值.

⑶如图2,点。在线段力81二，以AC,BC为边向两边作正方形，AC+BC=14,两正方形的

面积分别为Si，$2，且SI+S2=40,求图中阴影部分面积.

3.(2022春・广东深圳•七年级深圳市宝安中学(集团)校考期末)【项目学习】配方法是

数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几

个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决

一些问题.

例如，把二次三项式“2-2%+3进行配方

解：%2-2%+3=x2-2%+1+2=(x2-2x+1)+2=(x-I)24-2

我们定义：一个整数能表示成小+所(〃，〃是整数)的形式，则称这个数为“完美数”例如,

5是“完美数”,理由:因为5=22+/,再如，M=%24-2xy+2y2=(x+y)2+y2,(x,

y是整数)所以M也是“完美数”

【问题解决】

(1)下列各数中，“完美数”有.(填序号)

①10②45③28④29

(2)若二次三项式%2一6%+13(%是整数)是“完美数”，可配方成(％-m)2+n(小,鹿为常

数)，则nui的值为；

【问题探究】

(3)己知S="2+9y2+8x—12y+A(x,)，是整数，4是常数)，要使S为“完美数”，试求

出符合条件的〃的值.

【问题拓展】

(4)已知实数x,)，满足一%?+7%+y-10=0,求4+y的最小值.

4.(2022春・广东深圳•七年级深圳大学附属中学校联考期末)观察下列各式，回答相关问

题：

(x—1)(%+1)=%2—1.

(x-l)(xz4-x4-1)=x3-1.

(x—l)(x3+%2+x4-1)=x4-1.

(x-l)(x44-x3+x2+x+1)=x5-1.

⑴根据规律可得(工一1)(”一】+”一2+...+/+%+l)=(其中〃为正整数).

(2)求32°22+32021+3202C+-••+32+3+1的值.

(3)求22022_22021+2202c一…+22-2+1的值.

5.(2022春・广东佛山•七年级统考期末)现有长与宽分别为a、8的小长方形若干个，用两

个这样的小长方形拼成如图I的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察

图形，解答下列问题：

(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于Q、b的关系式:(用含a、b的代数式表

示出来)；

图1表示：

图2表示：_；

(2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题:

①若x+y=4,x2+y2=10,求的值；

②请直接写出下列问题答案：

若2m+3九=5,mn=1,则6n-47n；

若(7—m)(5—m)=9,则(7—m)2—(5—m)2=.

(3)如图，长方形力BCD中，AD=2CD=2x,AE=44,CG=30,长方形EFGO的面积是200,

四边形NGD”和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形.延长MP至T,使PT=PQ,延

长至0,使F0=FE,过点0、T作MO、M7的垂线，两垂线相交于点R,求四边形M0RT的

面积.(结果必须是一个具体的数值)

6.(2022春•河南平顶山,七年级统考期末)某学校初中部和小学部一起在操场做课间澡初

中部排成长方形，每排(4白・〃)人站成(4a+Z?)排；小学部排成一个边长2(a+b)的方阵.

(1)初中部比小学部多多少人？(用字母a,b表示)

(2)当〃=1(),方=2时，请计算出此时初中部比小学部多多少人.

7.(2022春・河南郑州•七年级统考期末)下面是小明解决一道作业题的全部思考过程.

______202020192______

［题目］计算的值.

202020182+202020202-2

［分析］20202019,20202018,20202020的平方是三个“大文数字”，难道要全部算出来吗？

估计会很复杂：仔细观察式了、数字的特征……

［解题过程］注意到20202018,20202019,20202020是三个连续的正整数，若设〃二

20202019,则20202018=n-l,20202020=n+1,所以原式=----一一—=^=-.

(n-l)2+(n+l)2-22n22

［收获］原式看似是一个很复杂的式子，但在用字母九代替数字20202019后，凸显了式子的结

构特征，形式上得到了化简，从而运用完全平方公式求得其值.

从小明的解题经历中你又有什么启发呢？带着你的思考尝试解决下列问题：

条边04在射线。。上，另一边。8在直线DE上方，将直角三角板绕点。按每秒6。的速度逆时

针旋转一周，设旋转时间为£秒.

图1图2图3

(1)如图2,当t=4时，/-A0C=,Z.B0E=,Z.B0E-

Z-A0C=；

(2)当三角板旋转至边4B与射线0E相交时•(如图3),试猜想440。与乙80£的数量关系，并说

明理由；

(3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线。小。八。。中的某一条射线是另两条射

线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出，的取值，若不存在，请说明理由.

2.(2022秋・河南南阳•七年级统考期末)请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一

段笔记，然后解决问题.

小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线

来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型"猪蹄模型''.即

已知：如图，ABWCD,EfyAB.CD之间一点，连接4E,CE得到〃EC.

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：过点E作EFII4B

贝吐1=乙4

*：AB\\CDfEFWAB

：.EF\\CD

・32=乙C

/.Z.AEC=Z.14-Z.2

Z.AEC=Z.A+Z.C

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成卜.面的两个问题.

(I)如图，若｛8|£0,L.E=60\求NB+zC+4产；

AB

⑵如图，AB||CD,若乙PAB=100°,Z.PDC=110°,求乙P的度数.

B

c

3.（2022秋•河南驻马店•七年级统考期末）已知：如图，AB//CD//GH,G”过点尸.

图1图2图3

（I）如图1,若48力尸=40。，ZDCP=30°,WU/IPC=（直接写出结果）；

（2）如图2,直线MN分别交AB于点E,交C。于点尸，点P在线段E/上，点。在射线/C

上.若NM£3=110。，LPQF=50°,求NEPQ的度数；

⑶如图3,点P在射线FN上,点Q在射线尸。上，NA"的平分线交C7）于点O.若乙PQF=

:NMEB,试判断OE与P0是否平行？并说明理由.

4.（2022春・河南商丘•七年级统考期末）如图，把一个含有30。角的直角三角板ABC的直角

顶点A放在直线。上，a11b,8、。两点在平面上移动，请根据如下条件进行解答:

（1）如图①，若点C在直线人上，点8在直线〃的下方，42=20。，则乙1=

⑵如图②，若点C在直线a,。之间，点B在直线力的下方，Z2=n°,求的度数.

5.（2022春・河南驻马店•七年级统考期末）如图，E是直线A8,CO内部一点，ABIICD,

连接EA,ED.

图①

（1）猜想.

①若NEA8=30。，ZEDC=40°,则NAEO=；

②若NE4B=20°,ZEDC=60°,则NAED=；

③猜想图①中NA£O，NEAB,NEQC的关系并说明理由：

（2）应用.

如图，射线口E与长方形ABC。的边AB交于点E,与边CQ交于点F,①②③©分别是被射

线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线A8的上方），户是位于以上

四个区域内的点，直援写出NPE8,ZPFC,NEP”之间的数量关系.

图②

6.（2022春・河南洛阳•七年级统考期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C

按如图方式叠放在一起（其中NA=60。，Z7）=30°；NE=NB=45。）：

备用图

⑴①若NDCE=45。，则的度数为」

②若NACB=140。，求NOCE的度数；

⑵由（I）猜想NAC8与NQCE的数量关系，并说明理由；

（3）当NACEC180。且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若

存在，请直接写出NACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由.

7.（2022春.河南安阳.七年级统考期末）猜想说理：

(1)如图，ABIICDIIEF.分别就图1、图2、图3写出乙力，zC,zAFC的关系，并任选其

中一个图形说明理由：

拓展应用：

(2)如图4,若ABIICD,则44+2。+24?。=_度；

(3)在图5中，若为8|”〃。，请你用含〃的代数式表示，1+42+z3+44+―+，几的度

数.

8.(2022春・河南洛阳七年级统考期末)课题学习：平行线的“等角转化”功能.

如图1,已知点A是BC外一点，连接求乙B4C+乙B+乙C的度

数.图1

解：过点4作EQII6C,

:•乙B=,Z.C=

又二乙EAB+Z.BAC+乙DAC=180°.

，48+4BAC+4C=18J°.

B

B

E

G

D

D

图2图3

⑴问题解决：

阅读并补充推理过程.

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化''的功能，将NB4C/8/C“凑”在一起,

得出角之间的关系，使问题得以解决.

⑵方法运用：

如图2,已知4811c。，^LBEC=80°,求乙8-47的度数.（提示：过点E作或CD的平

行线.）

（3）深化拓展：

如图3,如图，ABWCD,CG,8b分别平分乙OC瓦乙48E,且所在直线交于点F,ZE=80°,

贝IJ4/=.

9.（2022春•河南许昌♦七年级统考期末）（1）如图1,已知A8IICD.求证：UEP+乙CFP=

乙EPF；小乐想到了以下方法，请帮助他完成证明过程.

证明：如图1,过点尸作PGIIAB,・・FB||CD,.'PGII（平行于同一直线的两条直线

平彳亍），・・・4AEP=,乙CFP=（）,XVzl+z2=^FPF,：,^AEP+

乙CFP=乙EPF；

图1

（2）如图2,ABWCD.请写出41EP,乙EPF,4CFP之同的数量关系并说明理由;

B

图2

（3）如图3,ABWCD.请分别直接写出两个图形中乙4EP,乙EPQ,乙PQF,4QFC之间的数

量关系.

10.（2022秋・河南洛阳•七年级统考期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行,

探索这两个角的关系，并说明理由.

（I）如图（一），ABWEF,BCWDE,41与42的关系是

（2）如图（二），ABWEF,BCWE,41与42的关系是

⑶经过上述证明，我们可以得到一个结论：.

⑷若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30。,则这两个角分别是多少度？

考点3k变量之间的关系解答期末真题压轴题

1.（2022春•河南平顶山•七年级统考期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行

驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为火升），行驶路程为x（千米），则丁随x

的变化而变化.

（1）在上述变化过程中，自变量是:因变量是

⑵用表格表示汽车从出发地行驶10（）千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量.请

将表格补充完整：

行驶路程工（千米）100200300400

油箱内剩油量y（升）4024

⑶试写出y与x的关系式是

（4）这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少干

米？

2.（2022春・河南郑州•七年级校考期末）姐姐帮小明荡秋千（如图①），秋千离地面的高

度〃（m）与摆动时间，（s）之间的关系如图②所示，结合图象：

图1图2

（I）变量万，/中，自变量是因变量是力最大值和最小值相差—m.

（2）当r=5.4s时，力的值是_m,除此之外，还有一次与之高度相同；

（3）秋千摆动第一个来回_s.

3.（2022春.河南焦作.七年级校考期末）一辆汽车油箱内有油。升，从某地出发，每行驶1

小时耗油6升，若设剩余油量为。升，行驶时间为〃小时，根据以上信息回答下列问题:

小0（升）

（1）开始时，汽车的油量a=升；

（2）在行驶了小时汽车加油，加了升，写出加油前。与I之间的关系式

（3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？

4.（2022春・河南郑州•七年级统考期末）已知某函数图象如图所示，请回答下列问题:

（1）自变量x的取值范围是一

（2）函数值y的取值范围是一；

（3）当x=0时，y的对应值是；

（4）当x为—时，函数值最大；

（5）当y随x增大而增大时，x的取值范围是

（6）当y随x的增大而减少时，x的取值范围是,

5.（2022春・山东青岛•七年级校联考期末）果实成熟从树上落到地面，它下落的高度与经

过的时间有如下的关系:

时间〃秒0.50.60.70.80.9•・•

高度h佻4.9x0.254.9x0.364.9x0.494.9x0.644.9x0.81・・・

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？

（2）请你按照表中呈现的规律，列出果子下落的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式;

（3）现有一颗果子经过2秒后离地面一米，请计算这颗果子开始下落时离地面的高度是多少

米？

6.（2022春•山东薄泽•七年级统考期末）某公空车每天的支出费用为600元，每天的乘车

人数x（人）与每天利润（利润=票款收入一支出费用）），（元）的变化关系，如下表所所

示（每位委文的乘车票价固定不变）：

X（人）・.・200250300350400・・.

〃（元）・・・-200-100010()200・・・

根据表格中的数据，回答下列问题：

（1）观察表中数据可知，当乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；

（2）当一天乘客人数为500人时，利润是多少？

（3）请写出公交车每天利润），（元）与每天乘车人数x（人）的关系式.

7.（2022春・山东济南.七年级统考期末）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家,

他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）.

(1)图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)10时和13时,他分别离家多远?

(3)他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

(4)10时到12时他行驶了多少千米？

(5)他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？

(6)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？

9.(2022春•陕西西安•七年级校考期末)为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水

收费标准：

月用水量水费

不超过5t每吨2.4元

超过5t超过的部分按每吨4元收费

(1)该市某户居民5月份用水xt(x>5),应交水费y元，写出y与x之间的关系式.

⑵如果某户居民某月交了24元水费，你能算出这个月这户居民用了多少吨水吗？

10.(2022春•陕西渭南•七年级统考期末)如图，在一个半径为10cm的圆面上，从中心挖

去一个小圆面，当挖去小圆的半径x(cm)由小变大时，剩下的圆环面积'(cm?)也随之发生变

化.(结果保留产).

(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？

（2）求圆环的面积y与％的关系式.

（3）当挖去留的半径比为9cm时，剩下圆环面积y为多少？

考点4三角形解答期末真题压轴题O|

1.（2022春•陕西西安•七年级校考期末）（1）【问题发现】如图1,△ABC与中，

N8=NE=NACD=90°,AC=CD,B、C、E三点在同一直线上，A8=3,ED=4,则BE

（2）【问题提出】如图2,在放ZkABC中，/4BC=90。，BC=4,过点C作CO_LAC,且

CD=AC,求△8C。的面织.

图2

（3）【问题解决】如图3,四边形ABC。中，NABC=/C4B=NAOC=45。，aAC。面积

为12且CO的长为6,求△8CO的面积.

图3

2.（2022春・陕西宝鸡・七年级统考期末）如图，在四边形A8C。中，AD=BC=4,AB=CD,

BD=6,点E从。点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点厂从点C出

发，以每秒3个单位的速度沿C-8TC作匀速移动，点G从点B出发沿8D向点。匀速移

动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动.

（1）试证明：AD//BC.

（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有AOEG与△BPG全等的情

况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，2DEG与ABFG全等.

3.（2022秋・陕西宝鸡・七年级统考期末）动手操作：

（1）如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直

角边DE、DF分别经过点B、C,且BC〃EF,己知NA=30。，则NABD+NACD一度；

（2）如图2,/BDC与NA、/B、NC之间存在着什么关系，并说明理由；

（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：如图3,BE平分NABD,CE平

分NACD,若NBAO40。，NBDO120。，求NBEC的度数.

4.（2022春•山东济南•七年级统考期末）如图，己知△ABC中，AC=CB=20cm,乙4=

乙B,48=16cm,点。为力C的中点.

（1汝I果点P在线段上以6cm/s的速度由八点向8点运动，同时，点Q在线段8C上由点8

向。点运动.

①若点。的运动速度与点尸的运动速度相等，经过1s后，AAPD与ABQP是否全等？说明

理由；

②若点。的运动速度与点尸的运动速度不相等，当时间/为何值时，AAPD与ABQP全等2

求出此时点。的运动速度

（2）若点Q以②中的运动速度从点4出发，点户以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时

针沿△48。三边运动，请直接写出：

①经过多少秒，点P与点。第一次相遇？

②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？

5.（2022春・山东济宁•七年级统考期末）如图，已知点。是射线04上一点且。E_L。。

A

（1）过点石作0人的平行线石〃；

（2）若240c=50°,求/DEF的度数.

6.（2022春•河南平顶山•七年级统考期末）如图所示,A、B两点分别位于一个池塘的两端,

小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，请你利用三角形全等的相关知识帮他设

计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案,并解释其中的道理，

7.（2022春・山东济南•七年级统考期末）把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个

四边形AC8D以。为顶点作/MDN,交边AC、8c于M、N.

①②③

（I）若44CD=30°,4MON=60°,4MDN两边分别交AC、BC于点M、N,AM.MN、BN三

条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；

（2）当乙4CD+乙MDN=90。时，AM.MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；

⑶如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在&4、勺延长线上，完成图3,其余条件不

变，则4M、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）

8.（2022秋.北京海淀•七年级101中学校考期末）如图,在和△北B'C'中,AM,AM'

分别是边BC,8。上的中线,48=A'B'.AC=A'C',AM=试说明：A4BC三△4B'C'.

AA1

9.(2022春•黑龙江哈尔滨•七年级校考期末)如图，CO_LA8,BE1AC,垂足分别为Z)、E,

BE、CO相交于点尸，BF=CF.

(I)求证：N8A*=NCA”；

(2)在不添加辅助线的条件下，直接写出图中所有的全等三角形.

10.(2022春・广东河源•七年级校考期末)直角三角形力8c中，LACB=90°,直线，过点C.

(1)当=时，如图，分别过点48作2WJ.Z于点O,BEJ.I于点、E.

求证：△ACD^△CBE.

(2)当月C=8,BC=6时，如图，点B与点F关于直线/对称，连接8F,CF,动点M从点A出

发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点产出发，以每秒3个

单位的速度沿产TCTBTC7尸向终点F运动，点M,N到达相应的终点时停止运动，过

点M作于点D,过点N作NE1/于点E,设运动时间为£秒.

①CM=，当N在路径上时，CN=.(用含t的代数式表示)

②直接写出当△MOC与△CEN全等时t的值.

考点5卜生活中的轴对称解答期末真题压轴题Q|

1.（2022秋.江苏无锡.七年级统考期末）（1）观察图。~图③中阴影部分的图形，写幕这3

个图形具有的两个共同特征；

（2）在图④和⑤中，各设计一个与前面不同的图形，使它们也具有（1）中的两个共同特征.

2.（2022秋・山东烟台・七年级统考期末）下列四个图都是由16个相同的小正方形拼成的正

方形网格，其中的两个小王方形被涂黑.请你在各图中再将两个空白的小正方形涂黑.使各

图中涂黑部分组成的图形成为轴对称图形（另两个被涂黑的小正方形的位置必须全不相同）,

并画出其对称轴.其对称轴分别是：___________,___________,____________,.

3.（2022春・山东临沂・七年级统考期末）在下面三个2x2的方格中，各作出一个与图中三

角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上

阴影（所画的三个图形不能重复）

4.（2022春•黑龙江绥化七年级校考期末）作图（不写作法）

（1）已知：如图1,点M在锐角NAOB的内部，在边04上求作一点P,在边08上求作一点Q,

使得APMQ的周长最小.

（2）已知：如图2,点M在锐角乙4。8的内部，在边。8上求作一点P,使得点P到点M的距离与

点P到边。4的距离之和最小.

5.（2022春・重庆万州•七年级统考期末）已知：M、N分别是N4OB的边。4、08上的定

点，

(1)如图1,若NO=/OMM过M作射线MD〃。例如图)，点C是射线股。上一动点，4MNC

的平分线NE交射线0A于E点.试探究/MEN与/MCN的数量关系：

(2)如图2,若。是线段ON上一动点，Q是射线M4上一动点.NAO8=20。，当MP+PQ+QN

取得最小值时，求NOPM+NOQN的值.

6.(2022春・广东揭阳•七年级校考期末)如图1,三角形48C中，乙力=64。，ZF=90°,

ZC=26°.点。是AC边上的定点，点E在8C边上运动，沿DE折叠三角形CDE,点C落在

点G处.

图1图2

(1)如图2,若DE//AB,求乙40G的度数.

(2)如图3,若EG〃48,求心AUG的度数.

(3)当三角形QEG的三边与三角形的三边有一组边平行时,直接写出其他所有情况下

乙4DG的度数.

7.(2022秋・江苏无锡・七年级统考期末)有一张正方形运片力BCD,点E是边48上一定点,

在边AZ)上取点F,沿着EF折叠，点A落在点4处，在边BCL取一点G,沿EG折叠，点8

落在点夕处.

专题7,10期末复习之解答压轴题专项训练

【北师大版】

考点1整式的乘除解答期末真题压轴题

1.(2022春・广东深圳•七年级南山实验教育麒麟中学校考期末)如图①是一个长为4a、宽

为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回

形”正方形(如图②).

(1)根据上述过程，写出(a+b)2、(a-6)2、ab之间的等量关系：：

(2)利用(1)中的结论，若x+y=4,xy=1,则(工一?^的值是；

⑶实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如务③，请你写出这个等式：

(4)两个正方形力BCD,4EFG如图④摆放，边长分别为x,)，，若好+丫2=34,BE=2,求

图中阴影部分面积和.

【答案】(l)(a-b)2=(a+b)2-4ab

⑵12

(3)(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+h2

(4)8

【分析】(1)图①的面积是4ab,图②的面积是(a+/)—(a—b)2,由此即可求解；

(2)根据(1)的结论，代入计算即可求解；

(3)将图形中各部分的面枳通过图形面枳计算公式表示出来并等于大长方形的面枳即可求

解；

(4)5E=x-y=2,并计算出x+y=8,分别求出x,y,根据图中阴影部分面积和Sgpc+

SgEF，由此即可求解•

【详解】(1)解：图2中间部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长为a,

宽为b的长方形面积，即(a+b)2-4ab,也可以看作是边长为(a-b)的正方形面积，

/.(a-b)?=(a+b)2-4ab,

故答案为：(a—b)2=(a+d)2-4ab.

22

(2)解：Vx+y=4,xy=1,(%-y)=(x+y)-4xyt

:.(x-y)2=(x+y)2-4xy

=16-4X1

=12,

故答案为：12.

(3)解：•・•大长方形的面积等于4个小长方形的面积加上边长为a的正方形面积加上边长为

b的正方形面积

(3a+b)(a+b)=3a2+4ab+b2,

故答案为：(3a+b)(a4-b)=3a2+4ab+b2.

(4)解：\'x2+y2=34,BE=2,

.\x-y=2①，

Ax2-2xy4-y2=4,

A34-2xy=4,

••xy—15,

V(x+y)2=x2+2xy+y2=344-30=64,且％+y>0,

.*.%+y=8②，

①+②得，%=5,

••y=3,

图中阴影部分面积和=S.FC+s*EF=1^U-y)+-y)=一gxy+-

”=^(x2-y2)

二*25-9)=8.

【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法，乘法公式与图形面积，掌握整式的乘法运算

法则是解题的关键.

2.(2022春・广东深圳•七年级校联考期末)在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现

的，请认真观察图形，解答下列问题：

(I)如图I,用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：

(2)如图1中，a,8满足a+b=9,ab=15,求(^+炉的值.

(3)如图2,点C在线段上，以AC,BC为边向两边作正方形，AC+BC=14,两正方形的

面积分别为Si，$2，且SI+S2=40,求图中阴影部分面积.

【答案】(1)。2+炉=(a+b)2-2ab

(2)51

⑶39

【分析】(1)阴影部分的面积可以表示为：①大正方形面积-空白面积；②两个阴影正方形

面积之和；

(2)根据(1)中得出的结论，代入求值，即可解答；

(3)设正方形力COE的边长为a,正方形BCTG的边长为b,根据完全平方公式转换，即可解

答.

【详解】(1)解：由题意得：大正方形面积-空白面积=两个阴影正方形面积之和，

即M+匕2=(0+炉—2ab.

(2)解：根据(I)中的式子，代入求值，可得：小+/=伍+b)2-2ab=92-15x2=51.

(3)解：设正方形力CDE的边长为a,正方形BCFG的边长为b,

22

则Si=a,S2=b,

vAC+BC=14,Si+$2=40,

•••Q+b=14,a2+b2=40,

a2+b2=(a+b)2—2ab,

40=196-lab,

ab=78>

・•・阴影部分的面积为I。=39.

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练完全平方公式转换是解题的关键.

3.(2022春・广东深圳•七年级深圳市宝安中学(集团)校考期末)【项目学习】配方法是

数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几

个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决

一些问题.

例如，把二次三项式/-2x+3进行配方

解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x2-2x+1)+2=(x-I)2+2

我们定义：一个整数能表示成小+坟(〃，〃是整数)的形式，则称这个数为“完美数”例如，

5是“完美数”，理由：因为5=2?+M,再如,M=%24-2xy4-2y2=(%4-y)2+y2,(x,

y是整数)所以M也是“完美数”

【问题解决】

(1)下列各数中，“完美数”有.(填序号)

①10②45③28©29

(2)若二次三项式/一6%+13(%是整数)是“完美数”，可配方成(x-m)2+n(m,n为常

数)，则nrn的值为；

【问题探究】

⑶已知S=/+9y2+8%—i2y+A(x,)，是整数，女是常数)，要使S为“完美数”，试求

出符合条件的4的值.

【问题拓展】

(4)已知实数x,y满足一/+7x+y-10=0,求x+y的最小值.

【答案】(1)©<2)④

⑵12

(3)k=20

(4)1

【分析】⑴根据“完美数”的定义判断即可；

(2)利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；

(3)利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；

(4)将一/+7%+丫-10=0变形为％+、=/一6%+10,然后再配方即可求解.

【详解】(1)解：:10=32+12,45=62+32,29=52+22,

••.10,45,29都是“完美数”,

故答案为：①②④：

(2)Vx2-6x+13=x2-6%+9+4=(x-3)2+4,

.*.m=3,n=4,

/.mn=12

故答案为:12；

(3)VS=x24-9y2+8x-12y+/c

=(x+4)2+(3y-2)2+/c-20；

IS为“完美数”,

・・・k-20=0,

:.k=20；

(4)V-x2+7x+y-10=0,

Ay=x2-7%+10,

/.%+y=X2-6%+10=x2-6%+94-1=(x-3)2+1>1,

+y的最小值为1。

【点睛】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握完美数的定义，是解题的关键.

4.(2022春・广东深圳,七年级深圳大学附属中学校联考期末)观察下列各式，回答相关问

(X—l)(x+1)=X*2—1.

(x-l)(x2+X+1)=X3-1.

(x-l)(x3+x2+x+1)=x4-1.

(x-l)(x4+x3+x2+x+1)=X5-1.

⑴根据规律可得Q-l)(”T+/-2+...+/+%+i)=(其中〃为正整数).

(2)求32022+32021+3202。+…+32+3+1的值.

(3)求22022_22021+2202C+22-2+1的值.

【答案】(1比切一1

⑶一二士(或者干

【分析】(1)根据等式的规律，即可得出等式；

(2)根据等式的规律，原式乘以(3-1)再除以2,即可求解.

(3)根据等式的规律，原式乘以(-2-1)再除以-3,即可求解.

【详解】(1)根据规律可得a-l)(xnT+/-2+...+x2+%+D=”-i(其中〃为正整

数).

(2)解：原式=(3-1)(32022+32021+32020+…+32+3+1)+2

32023_1

=2

(3)解：原式=(—2)2012+(-2)2021+(-2)2020+.„+(-2)2+(-2)+1

(-2-1)[(-2)2022+(-2)2°22+(-2)2020+...+(_2)2+(-2)+1]

=

/(—27)\2023_17202341

=-3\(或者笑上)

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到规律进行计算是解题的关键.

5.(2022春・广东佛山•七年级统考期末)现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两

个这样的小长方形拼成如图I的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察

图形，解答下列问题：

图2

(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：(用含a、匕的代数式表

示出来)；

图1表示：_；

图2表示：_；

⑵根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

①若x+y=4,x2+y2=10,求xy的值；

②请直接写出下列问题答案：

若2m+3n=5,mn=1,则6几一47n：

若(7-m)(5一m)=9,则(7-in)2一(5—m)2=.

(3)如图，长方形中，AD=2CD=2x,AE=44,CG=30,长方形EFGO的面积是200,

四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形.延长MP至T,使PT=PQ,延

长M尸至。，使F。=FE,过点0、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R,求四边形MORT的

面积.(结果必须是一个具体的数值)

【答案］⑴(a+b)2=a?+3+2a(a+b)2=(a-b)24-4ab

⑵①12：②±2：±4/10；

(3)1856

【分析】(1)由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积

可得；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面现加上4个长方形的面积可得；

(2)①把％+y=4两边平方后，再代入/+好=10,即可求出口的值：

②根据(a+b)2=(a-b)2+4ab将原式变形求解即可；

(3)首先根据题意得到MT=MO=(2x-44)+2(x-30),然后利用长方形E/GD的面积是

200,结合完全平方公式代入求值即可.

【详解】(1)图1中，由图可知S大正方形=(a+b)2,

S组成大正方形的四部分的面积之和=a2+b2+2ab,

由题意得'S大正方形=5组成大正方形的四部分的面积之和'

即(a+J)?=a2+b2+2ab,

故答案为：(a+b)2=a2+b2+2ab.

图2中，由图可知S大正方形=(a+b)?,S小正方形=(a—6)2,S四个长方形=4ab,

由题图可知，S大正方形=5小正方形+S四个长方形，

即(a+b)2=(a—b)2+4ab,

故答案为：(Q+匕)2=(Q—b)2+4ab.

(2)@v(x十y)2=x2+y2+2xy,

二。；[(无+'产一(/+于)]

无+y=4,x2+y2=10,

=3(16-10)

=3.

②由图2可得(2m-3n)2=(2m+3n)2-24mn,

2m+3几=5,mn=1,

•••(2m—3n)2=52-24=1,

:.2m—3n=±1,

•••6n—4m=-2(2m-3n)=-2x(+1)=±2.

故答案为：±2.

由图1可得[(7—m)—(5—m)]2=(7—?n)2+(5—m)2—2(7—m)(5—m),

•••(7-m)2+(5-m)2=[(7-m)-(5-m)]2+2(7-m)(5-m),

(7-m)(5-m)=9,

•••(7-TH)2+(5—in)?=224-2x9=22,

A[(7—m)+(5—m)]2=(7-m)2+(5-m)2+2(7—血)(5-m)=224-2x9=40,

•••(7-m)4-(5—TH)=+-/40=±2>/10>

•••(7—m)2—(5—m)2=(7—m+5-m)[7—m—(5-m)]=±2\/10x2=±4V10.

故答案为：±4仍由.

(3)-ED=AD-AE,DG=DC-CG,

:.ED—2.x—44»DG=x-30,

MT=MO=(2x-44)+2(x-30),

•••长方形E/PD的面积是200,

(2%-44)(%-30)=200,

:.2(x-30)(2x-44)=400,

令a=2x-44,b=2(x-30),

•••ab-400>a—b—16,

•••(a-b)2=a2+b2-2ab=256,

•••a2+b2=256+2ab=1056,

二四边形MORT的面积=MT2=(Q+b)2=a2+b2+2ab=1056+800=1856.

【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的

关键.

6.(2022春・河南平顶山•七年级统考期末)某学校初中部和小学部一起在操场做课间澡初

中部排成长方形，每排(4a-b)人站成(4a+b)排；小学部排成一个边长2(«+/?)的方阵.

⑴初中部比小学部多多少人？(用字母a,”表示)

(2)当。=10,力=2时，请计算出此时初中部比小学部多多少人.

【答案】⑴(⑵2-5从-8时)人

(2)1020人

【分析】(1)初中部的人数=每排的人数x排数，小学部的人数=方阵的边长x边长，据此

求出初中部比小学部多多少人即可.

(2)把《=10,b=2代入(1)求出的算式，计算出此时初中部比小学部多多少人即可.

(I)

解：(4a-b)(4a+b)-2(a+b)x2(a+b)

=16d2-Z>2-4(/+2ab+3)

=16a2-h2-4a2-Sab-4b2

=\2a2-5b2-Sab.

答：初中部比小学部多Ci2a2-5b2-Sab)人.

(2)

解：当a=10,6=2时,

12a2-5b2-8ab

=12xl02-5x22-8x10x2

=12x100-5x4-160

=1200-20-160

=1020(人)

答:当a=10,b=2时,初中部比小学部多1020人.

【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入计算.如果给出的代

数式可以化简，要先化简再求值.题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式

化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简.

7.(2022春・河南郑州•七年级统考期末)下面是小明解决一道作业题的全部思考过程.

202020192

［题目］计算的值.

202020182+202020202-2

［分析］20202019,20202018,20202020的平方是三个“天文数字”，难道要全部算出来吗？

估计会很复杂：仔细观察式子、数字的特征……

［解题过程］注意到20202018,20202019,20202020是三个连续的正整数，若设〃二

20202019,贝屹。2。2。18=n-l,20202020=〃+1,所以原式二。一二…I=?

［收获］原式看似是一个很复杂的式子，但在用字母九代替数字20202019后，凸显了式子的结

构特征，形式上得到了化简，从而运用完全平方公式求得其值.

从小明的解题经历中你又有什么启发呢？带若你的思考尝试解决下列问题：

⑴计算赤翳塞』的值；

(2)已知(Q-2022产+(a-2024)2=16,求(a-2023＞的值;

(3)已知(2024+b)2+(b-2022)2=7,请直接写出(2024+b)(b-2022)的值.

【答案】(叫

(2)7

(3)-8185054.5

【分析】(1)根据题干给出的方法，找到几个“天文数字”的关系，通过设其中一个数字，来

代入其他的数字，通过代入的方法来化简求值；

(2)根据题干给出的方法，找到几个“天文数字”的关系，通过设其中一个数字，来代入其他

的数字，通过完全平方公式的变形来得到结果；

(3)根据题干给出的方法，找到几个“天文数字”的关系，通过设其中•个数字，来代入其他

的数字，通过完全平方公式的变形来得到结果；

【详解】(1)解：设20232023=m,

||.i202320232+1_而+1

川'20232022^+202323242-(mT)2+(m+l)2

M+i

-2m2+2

=­1•

2,

(2)设a—2023=n,则。—2022=n+1,a—2024=n—1,

则有5+1)2+(n-l)2=16.

2n2+2=16,

n2=7,

・•.(a-2023)2=7；

(3)v(2024+bp+(b-2022)2=7,

设2024+b=%,