天津市南开中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测（10月月考）数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页天津市南开中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测（10月月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x|−3≤xA．x|−2≤x≤1 B．2．已知命题p:a>b，命题q:a2A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数y=fxA．fx=eC．fx=14．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是r1,rA．r1 B．C．r3 D．5．已知sinπ3−x=63A．433 B．233 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosB=A．1 B．2 C．3 D．47．已知定义在R上的函数y=f(x)满足：y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且当∀x1,A．a>b>c B．b>a8．已知fx=2sinx+π4cosx−π4−1A．74 B．2 C．94 9．已知函数fx的定义域为12,2，对于∀x∈12,1，满足fxA．34,32 B．34,二、填空题10．已知复数z=1+i的共轭复数为z11．3x−12x12．如图，在△ABC中，F，E分别在线段BC，AC上，且2BF=FC，AE=13．某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得−20分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是14．已知函数fx=2sinωx+φω>015．若函数f(x)=4sin2x三、解答题16．设函数f(x)=3(1)求函数f((2)若f(A)=317．如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF//A(1)求证：BF//平面(2)求直线EC与平面B(3)求点F到平面AC18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且(2c−3(1)求角A；(2)若AB=2(3)若0<C<π419．已知函数f(x)(1)讨论f((2)设a>1，函数g(x)=x2−20．已知函数f((1)求曲线y=f((2)设函数g(（ⅰ）设x0为g(x（ⅱ）对任意a>0，b>0，判断答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《天津市南开中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测（10月月考）数学试题》参考答案题号123456789答案ADDABBACD1．A【分析】由题知B=【详解】解：解不等式x≤2得−2所以A∩故选：A2．D【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.【详解】当a=1,当a2>b2时，即所以a>b且a+b>故选：D【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及不等式的基本性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．D【分析】通过观察图象，可知f0=0，f【详解】从图象上看，可知f0对于A选项：f0对于B选项：f0对于C选项：f0对于D选项：f0从图象上看，可知fπ对于B选项：fπ对于C选项：fπ对于D选项：fπ从图象上看，可知f2对于B选项：f2对于D选项：f2故选：D4．A【分析】根据散点图中点的分布，即可判断答案.【详解】由散点图可知r1第三、四个图中的点的分布更为分散，因此r1更接近于1，r即最大的是r1故选：A5．B【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算求解.【详解】因为sinπ所以sinπ3−x=cosπ6则sinπ故选：B.6．B【分析】根据题意，利用余弦定理化简求得a=b，且cosC=−【详解】因为2acosB=c又因为tanC=−43因为c=4，由余弦定理即16=a2所以S△故选：B.7．A【分析】根据题意可得y=fx为偶函数，令Fx=xfx，易得Fx为奇函数，结合∀x1【详解】∵y=f(∴y=fx的图像关于直线令Fx=x又x1,x∴x∈(−又Fx所以x∈(0∵sin12<sin∴sin∴a故选：A．8．C【分析】首先将函数fx化简为标准三角函数形式，再根据图像变换规律得到gx的表达式，最后利用正弦函数的性质分析不等式gx【详解】fx将fx图象上所有点的横坐标变为原来的1ωω从而gx因为gx≥gπ2，所以当x=π解得ω=3k−34ω故选：C.9．D【分析】根据条件计算函数fx在12,1上的解析式，分析fx单调性，画出函数图象，令t=f【详解】当x∈12,1时，2∵fx在1,2上单调递减，∴f∵∀x∈12,1，满足∵f1=32，f2=3由y=ff令t=fx，则ft=y=fx图象如图所示，结合图象得ft=1又∵a>0故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把问题转化为ft=1−a10．1【分析】利用共轭复数的定义求出z1【详解】由题意，z1=z故答案为：1211．−32【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】展开式的通项为Tk+1令4−2k所以含x−2项的系数为故答案为：−312．2【分析】由已知可得向量AP与向量AF共线，设AP=λAF，根据向量线性运算法则可得CP=【详解】由已知向量AP与向量AF共线，故可设所以CP因为2BF=故AF所以CP又CP=xAB由平面向量基本定理可得，x=2λ所以x−故答案为：213．491【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求选手仅回答正确两个问题的概率，分析知只需第三问回答正确则选手即可闯关成功，否则失败，即可确定选手闯关成功的概率.【详解】由题设，选手仅回答正确两个问题的概率P(由题意，只要第三问回答正确，不论第一、二问是否正确，该选手得分都不低于30分，只要第三问回答错误，不论第一、二问是否正确，该选手得分都低于30分，所以选手闯关成功，只需第三问回答正确即可，故概率为12故答案为：49，14．π【分析】根据图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可求解.【详解】由fπ4=1，可得2sin由f5π8=0联立解得ω=2，φ=−π4+若将函数fx的图象向右平移θθ>则−2θ−π4所以当k=1时，θ取得最小值为故答案为：π815．5【分析】令t=sinx【详解】解：令t=所以t因为4=所以f(==−设y因为a>0，故a2故当t=−5时，y解得a=故答案为：516．(1)−5π12(2)3【分析】（1）根据正余弦的二倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，再结合正弦型最小正周期公式求得ω，利用整体法可求得正弦型函数的单调递增区间；（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.【详解】（1）函数f(x)=3所以周期T=2π2ω由正弦函数的单调性，可令−π2+解得−5π12+kπ≤x≤（2）根据题意，sin2A+π所以cos2A17．(1)证明见解析(2)42(3)2【分析】（1）连接BD，交AC于点O，根据中位线的性质及线面平行的判断定理即可判断BF（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得平面BCF的法向量，根据线面角公式即可求得直线CE（3）求得平面APC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求得F到平面【详解】（1）连接BD，交AC于点由P，O分别为DF和DB的中点，得BF//PO，而PO所以BF//平面（2）由直线AF⊥平面ABCD，A以AD所在的直线为y轴，以AF所在的直线为则B(1,0,0)，D(0所以BC=(设平面BCF的法向量n=令z=1，则所以平面BCF的一个法向量为n设直线EC与平面BCF所成角的正弦值θ（3）AC=(设平面APC的法向量为则m⋅AC=a所以平面APC的一个法向量为m=所以点F到平面ACP的距离18．(1)A(2)3(3)C【分析】（1）由正弦定理将边转化为角的正弦值，然后由正弦的和差角公式化简，即可求得角A；（2）由余弦定理求得b，然后得到CD（3）由边的关系，得到C的相关结果，在△ABD和△BCD分别由正弦定理求得【详解】（1）因为(2由正弦定理得(2即2sin又sinC>0又A∈(0（2）在△ABC即1=b2所以CD（3）因为BD=CD，所以在△ABD则BD在△BCD则BD所以12sin5所以cosC=cosπ3−2

19．(1)a≤0时，f(x)在0,+∞单调递减；(2)a【分析】（1）对函数求导，讨论a≤0、（2）问题化为f(x1)min【详解】（1）由题设f′x=当a≤0时f′当a>0时，令当0<x<1a当x>1a时f所以当a≤0时，fx当a>0时，fx的增区间为1（2）由题设对于∀x1∈[1,e]，∃x由（1）当a>1时，x∈1,e,对于x2∈[2,+∞)，函数所以只需f1综上：a≥20．(1)((2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）f(【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程；（2）（i）利用导数判断gx的单调性，求得x0的范围和gx0的表达式，利用单调性证明；（ii)通过求导得到fx的最小值为fx1，满足x1+lnx1−ln2=0，由（i）已得g【详解】（1）由fx=ex−则k切故曲线y=f