2023-2025全国高考数学试题汇编：三角函数的图象与性质

2023-2025全国高考真题数学汇编

三角函数的图象与性质

一、单选题

1.(2023天津高考真题)已知函数/⑺的部分图象如下图所示，则/(%)的解析式可能为()

人二B.5sinx

x2+l

5cosx

CD.

x2+l

2.（2024天津高考真题）下列函数是偶函数的为（）

X22

4e-x-cosx-x三ex-x—sinx-x

A.y=B.y=C.〜+xD.尸/+1

-e+x2x2+l

3.A（2024全国高考.真题;）函数H厂卜inx在区间［-2.8,2.8］的图象大致为（）

o'D

w

4.（2024北京高考真题）设函数〃x）=sins（3叫.已知且忖-引的最小值为标

则勿=（）

A.1B.2C.3D.4

5.(2025全国高考真题)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-

的图像的一个对称中心，则a的最小值为

()

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6.（2023天津高考真题）已知函数y=〃x）的图象关于直线x=2对称，且/（尤）的一个周期为4,则/（无）的

解析式可以是（）

Asin—xBcos—x

UJV2J

C.sin（%）D.cosgx）

7.（2023上海高考真题）已知加>0,函数〉=sinx在区间［加,2句上最小值为S,在区间［2加,3间上的最小

值为/，机变化时，下列不可能的是（）

A.S>0且/>0B,S<0且l<0C,S<0S.t>0D.S>0且/<0

8.(2024全国高考真题)设函数/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2ax,当时，曲线y=/(x)与

V=g（x）恰有一个交点，则。=（）

A.-1B.yC.1D.2

9.（2024天津高考真题）已知函数7'（耳=3$苗（5+外（3>0）的最小正周期为兀.则八竹在区间一

上的最小值是（）

3

C.0D.

2

10.（2024全国高考真题）当尤1［0,2R时，曲线y=sinx与y=2sin（3x-|J的交点个数为（

A.3B.4C.6D.8

二、多选题

11.（2024全国高考真题）对于函数〃x）=sin2x和g（x）=sin（2x-：），下列说法中正确的有（）

A.〃x）与g（x）有相同的零点B.〃x）与g（x）有相同的最大值

C./（x）与g（x）有相同的最小正周期D./（x）与g（x）的图象有相同的对称轴

三、填空题

12.（2023北京高考真题）已知命题0：若£为第一象限角，且。>万，则tana>tan£.能说明p为假命

题的一组明£的值为a=,B=.

13.（2024北京高考真题）在平面直角坐标系xQy中，角。与角，均以Ox为始边，它们的终边关于原点对

称.若ae,则cos/5的最大值为________.

63

TTTT

14.（2025上海高考真题）函数了=cos尤在-弓］上的值域为.

15.（2023全国高考真题）已知函数〃x）=cos3_l（g>0）在区间［0,2可有且仅有3个零点，则出的取值范

围是.

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四、解答题

16.(2025全国高考真题)已知函数〃x)=cos(2x+0)(0w夕＜兀),/(0)=；.

⑴求夕；

⑵设函数g(x)=/(x)+/(x-W,求g(x)的值域和单调区间.

17.(2025上海高考真题)已知函数了=/(%)的定义域为R.对于正实数a,定义集合".={尤"(x+a)=/(x)}.

⑴若/(x)=sinx,判断三是否是新.中的元素，请说明理由；

,、fx+2,x＜0

⑵若〃X)=，此W0,求a的取值范围；

vx,xN0

⑶若了=/(x)是偶函数，当xe(0,l］时，/(x)=l-x,且对任意ae(0,2),均有/“=弧.写出了=/(x),

xw(1,2)解析式，并证明：对任意实数c,函数＞=/(x)-c在［-3,3］上至多有9个零点.

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参考答案

1.D

【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,«»)上的

函数符号排除选项，即得答案.

【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且/(-2)=/(2)<0,

由普㈡=一滔且定义域为口，即B中函数为奇函数，排除；

(-X)+1X+1

当时等了>°、7鲁>。，即A、C中(。,+00)上函数值为正’排除:

故选：D

2.B

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【详解】对A,设〃力=2二4,函数定义域为R，但/(-!)=£」="，/(1)==，则[(T)//。),

故A错误；

对B,设g(x)=c。；：]；,函数定义域为R,

且g(-x)=cos：X、(x)=COS：-：则g(x)为偶函数，故B正确；

[-X)+1X+1

e-1+11+e7…\e-l

对C,设«1)

)e+xm=E(i)F

/z(-l)*A(l),则力(x)不是偶函数，故C错误;

对D,设少(可=学/，函数定义域为R,

因为0(f)=:=一01且0X不恒为0,

[-X)+1X+1

则0(x)不是偶函数，故D错误.

故选：B.

3.B

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/⑴>0,可排除D.

［详解］/(-^)=-x2+(e-x-exjsin(-x)=-x2+(ex-e-JC)sinx=f(x),

又函数定义域为卜2.8,2.8],故该函数为偶函数，可排除A、C,

sinl>-1+fe-—

又〃1)=T+sii=

622e42e

故可排除D.

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故选：B.

4.B

【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.

【详解】由题意可知：占为了(X)的最小值点，/为/⑴的最大值点，

且3>0,所以3=—=2.

T

故选：B.

5.B

【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.

【详解】根据正切函数的性质，y=2tan(x-+的对称中心横坐标满足x-；=g,keZ,

即y=2tan(x-g)的对称中心是(三+墨0卜eZ,

即0=四+蛆水eZ,

32

7T

又〃>0,贝！J左=0时。最小，最小值是

即0=;.

故选：B

6.B

【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足

题意的函数解析式.

【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：

7=至=4T=—=4

A选项中一三一，B选项中一三一,

55

T-空-8T---8

C选项中/一£一",D选项中/一£一",

44

排除选项CD,

对于A选项，当x=2时，函数值sin('x2)=0,故(2,0)是函数的一个对称中心，排除选项A,

对于B选项，当x=2时，函数值cos(/x2)=-l,故x=2是函数的一条对称轴，

故选：B.

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7.C

【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.

【详解】因为函数/(x)=sinx的最小正周期是2小因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可，

兀2兀_

当时，0<2加〈丁，0<3加<兀，而Vxw(0,7i),sinx>0,

因此/(%)在［冽,2加］上的最小值S>0,在［2冽,3冽］上的最小值％>0,A可能；

当乌〈加v冲■时，7i<2m<—,—<3m<2K,

2332

因此/(%)在0,2词上的最小值Sv0,在［2九3m上的最小值fvO,B可能;

、i,兀兀rt2兀_37r

当一v加v一日寸，——<2m<7i,7i<3m<一，

3232

因此/(无)在阿,2〃力上的最小值S>0,在［2机,3仞上的最小值/<0,D可能；

对于C,若S<0,贝U2加>兀，

若f>0,则区间［2根,3〃4的长度"Y兀，并且sin2机>0且sin3机>0,

即2me(0,z)且3根e(0,兀)与2加>兀矛盾，所以C不可能.

故选:C

【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.

8.D

【分析】解法一：令尸(无)="2+aT,G(x)=cosx,分析可知曲线y=尸。)与y=G(x)恰有一•个交点，结合

偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得。=2,并代入检验即可；解法二：令

〃(x)=/(x)-g(x),xe(-M),可知〃(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知〃(x)的零点只能为0,即可得

a=2,并代入检验即可.

【详解】解法一":令/(x)=g(x),即。(x+l)2-1=cosx+2ax,可得"？+a-l=cosx,

令尸(x)=ax2+a-l,G(x)=cosx,

原题意等价于当xe(-1,1)时，曲线y=F(x)与夕=G(x)恰有一个交点，

注意到尸(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得尸(0)=G(0),即a-l=l,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2/+1-cosx=0

因为贝IJ2尤,N0,l-cosxN0,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2,+l-cosxN0,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2X2+1-COSX=0有且仅有一个实根0,即曲线y=尸⑺与y=G(x)恰有一个交点，

所以。=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二:令〃(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-l-cosx,xe(-l,l),

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原题意等价于〃(x)有且仅有一个零点，

因为〃(-X)=)2+6Z-1-COS(-X)=ax2+6Z-1-COSX=A(X),

则〃(X)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知乂”的零点只能为0,

即〃(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,则〃(x)=2x?+1-cosx,xe,

又因为2x?20,1-＜：05钎0当且仅当》=0时，等号成立，

可得力(》”0,当且仅当x=0时，等号成立，

即〃(x)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选：D.

9.D

【分析】结合周期公式求出口，得〃x)=3sin(2x+?[,再整体求出当时，2x+f的范围，结

k3；L126」3

合正弦三角函数图象特征即可求解.

【详解】因为函数〃X)的最小正周期为巴贝=g=j所以3=2,

即〃x)=3sin12x+J当xe卡常吐2x+三712兀

G了牙卜

33

所以当2x+N=工，即x=_2L时，fix),=3sin-=-

3612v7m,n62

故选:D

10.C

【分析】画出两函数在[0,2可上的图象，根据图象即可求解

【详解】因为函数〉=sinx的最小正周期为7=2兀，

函数y=2sing一的最小正周期为T=y,

所以在xe[0,2兀]上函数了=2而卜-。|有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

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由图可知，两函数图象有6个交点.

故选:C

11.BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，令〃x)=sin2x=0,解得x=g,kcZ,即为/(x)零点，

令g(x)=sin(2x-?)=0,解得x="+g,左eZ,即为g(x)零点，

428

显然〃x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然/(X)max=g(X)max=l,B选项正确；

c选项，根据周期公式，/a),g(x)的周期均为2胃7r=兀，c选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质〃尤)的对称轴满足=E+Z,

g(x)的对称轴满足2x-二=加+工0》=包+型Z,

4228

显然/(%),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

-9兀兀

12.--

43

【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.

【详解】因为/(x)=tanx在陷上单调递增，若0<。。<为柠，则面1%<面1缘

取4=2勺兀+40，尸=2%兀+月温£eZ,

贝(Jtano=tan(2^71+<70)=tan(70?tan/?=tan(2A:27H-/^))=tan/^,gptanavtan£,

令K>人,则a-万=(2左兀+%)-(2&兀+/)=2(左一网)g+(4,—屁)),

因为2(左-左2"N27t,-5<ao-£0<O,则。-/?=2(左-&)兀+(a()-£o)>4>O,

即匕>质,则。.

不妨取用=1也=0,4=:&=。，即a=?,£=］满足题意.

QjTIT

故答案为：y；y.

13.—/—0.5

2

1分析】首先得出£=。+兀+2E,左eZ,结合三角函数单调性即可求解最值.

【详解】由题意£=a+n+2Mi,A"eZ,从而cos£=cos(a+兀+2桁)=-cosa,

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因为aJmM，所以cosa的取值范围是,cos£的取值范围是,

03J2222

TT47rj

当且仅当a=g,即万=^+2阮,左eZ时，cos,取得最大值，且最大值为-

故答案为：-g.

14.[0,1]

【分析】利用余弦函数的单调性可得.

JTJT

【详解】由函数V=cosx在-万,0上单调递增，在0,-单调递减，

且/(q)=0J(0)=ij£)=#，

jrjr

故函数v=cosx在一1]上的值域为[0,1].

故答案为：[0』.

15.[2,3)

【分析】令〃x)=0,得coss=l有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.

【详解】因为0sxw2兀，所以0WgxW237r,

令/(x)=COS3X-1=0,则COS3X=1有3个根，

令t=3x,则cos/=1有3个根，其中1©[0,2加],

结合余弦函数y=cost的图像性质可得47ts2/兀＜6兀，故2S3＜3,

故答案为：[2,3).

71

16.(1)^=3

(2)答案见解析

【分析】(D直接由题意得cos夕=；,(05P＜兀)，结合余弦函数的单调性即可得解；

(2)由三角恒等变换得g(x)=6cos(2x+。)，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数g(x)的单调

区间.

1jr

【详解】⑴由题意l(0)=cosp=5，(0w9V兀),所以夕=鼠

(2)由⑴可知/(x)=cos(2x+；),

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所以g(x)=/(x)+/|X+cos2x

=—cos2x------sin2x+cos2x=•s2x-sin2x="^cos

7171j71

令2历iw2x+—w兀+2阮，左cZ,解得---+kTi<x<—+kit,keZ,

715兀]]兀

令兀+2祈w2x+—w2兀+2hr,左£Z,解得一+kn<x<---+E,左EZ,

所以函数g(M的单调递减区间为4+纳!|+包卡口,

函数g(x)的单调递增区间为—+H,—+hi，左eZ

17.⑴不是;

⑵

(3)证明见解析.

【分析】(1)直接代入计算和/(

即可;

⑵法一：转化为在实数不使得〃/+4=〃％),分析得％+2=后甚，再计算得0§+(,

最后根据方的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线丁=/与该函数有两个交点，将。用/表

示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；

(3)利用函数奇偶性和集合新定义即可求出xe(l,2)时解析式，再分析出/"(-3"(0,1),最后对。的范围进

行分类讨论即可.

【详解】(1)(1)/(g)=sing=4，/(g+〃)=_sing=-4，则5不是中的元素.

⑵法一：因为".NO,则存在实数/使得/(X°+4)=/(X。)，且0>0,

当x<0时，〃x)=x+2,其在(9,0)上严格单调递增，

当xN0时，〃x)=4,其在［0,+◎上也严格单调递增，

则/<060+a,则为+2="0+a,

令x+2=0,解得x=-2,贝I」-2v/<0,

则a=(Jx(,+a)-x(,=(Xo+2『-x。=(壬+={a'，)

法二：作出该函数图象，则由题意知直线夕=，与该函数有两个交点，

由图知0v/<2,假设交点分另I」为B(n,。,

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联立方程组,Ma=|AB\=m-n=t2-(t-2)={-g)+孑^4

（3）（3）对任意/6（1,2）,毛-26（-1,0）,因为其是偶函数,

则/（七一2）=/（2—而2-尤。一（无。-2）=4-2/€（0,2）,

所以4-2€%_2阳口以，

所以〃无。)=/(%-