大连滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中Ⅱ考试数学试卷（含答案）

滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中I考试

数学试卷

命题人：大连一中高志岩校对人：大连一中贾天雷

一.单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求)

1.已知复数z满足z(1+i)=|1-il²,则z的虚部为()

A.iB.-iC.1D.-1

2.设α,β是两个不同平面，m,n是两条不重合直线，若mcα,ncα,则“a//β”是“m//β,

n/lβ”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量a,b满足la|=3,|5|=√5,且a⊥(a-35),设a,b的夹角为θ,则cos2θ=()

AB

4.已知函数A>0,w>0)的部分图象如图所示(P为图象与x轴的一

个交点，Q为图象的一个最高点),且,则f(x)的一个对称中心可以是()

A.B.D

5.已知一正三棱柱的底面边长为6,其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球

的表面积为()

A.20√15πB.64√6πC.96πD.60π

6.已知f'(x)为函数的导函数，

则f(2025)+f(2025)+f(-2025)-f(-2025)的值为()

A.2B.21n2C.0D.2025

7.已知EF是圆C:x²+y²-2x-4y+3=0的一条弦，且CE⊥CF,P是EF的中点，当弦

高三数学试卷第1页共4页

EF在圆C上运动时，直线1:x-y-3=0上存在两点A,B,使得恒成立，则线段AB长

度的最小值是()

A.3√2+1B.4√2+2C.4√3+1D.4√3+2

8.若函数f(x)的定义域内存在x₁,x₂(x₁≠x₂),使得成立，则称该函数为“完

整函数”.已知上的“完整函数”,

则@的取值范围为()

A.(2,+∞)B.(3,+00)C.[3,5]D.(4,+∞)

二.多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知椭圆的左、右焦点分别为F,F₂,点P在椭圆上，则下列说法正确的是()

A.使△PF₁F₂为直角三角形的点P有8个B.△PF₁F₂的面积可能为2

C.|PF|·|PF₂|的最大值为4D.PF·PF₂的最小值为-2

10.下列说法正确的是()

A.已知直线kx-y-k-1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围

为

B.经过点(2,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0

C.已知A(-1,0),圆O:x²+y²=49,过点A作两条互相垂直的直线，分别交圆O于点E,G

和F,H,则四边形EFGH的面积的最大值为97

D.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a²-1=0互相平行，则a=-1

11.在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁B₁的中点，点F在线段B₁D₁上，点G

在四边形C₁CDD₁(包含边)内，且EG平面B₁CD₁,则()

A.CF的最小值是2√3

B.三棱锥G-B₁CD的体积为定值

C.点G的轨迹长度为2√2

D.(CF+EF)²的最小值为28+8√3

三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

高三数学试卷第2页共4页

12.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,

∠BAA'=∠DAA'=60°.则AA'与BD所成角的余弦值为

13.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,焦距为2,若直线

y=-√3(x+1)与椭圆交于其中一个点M,满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F,则离心率是

14.设函数f(x)=(x-a)sinax,若存在x₀使得x₀既是f(x)的零点，也是f(x)的极值点，

则a的可能取值为(写出符合条件的一个即可)

四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15(13分).在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

acosC+√3asinC=b+c,AD是BC边上的中线，且

(1)求角A的大小；(2)求a及△ABC的面积S.

16.(15分)已知椭圆C:(a>b>0)的短轴长为2√3,离心率为

(1)求椭圆C的方程.

(2)过椭圆C的右焦点F,斜率存在且与x轴不重合的直线交椭圆C于P,Q两点，

在x轴上是否存在点M,使若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由，.

17.(15分)已知函数,a>0.

(1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在[0,1]内的最大值为2,求a的值.

18.(17分)在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD1平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形，AB//CD,

∠ADC=90⁰,AD=AB=2,DC=4,△PAD为等边三角形，点E,F分别为AD,AB的中点.

(1)证明：BC1平面PE;

(2)求平面PEF与平面PCD所成角的余弦值；

(3)点M为线段DC上的动点，求直线PM与平面PEF所成角的正弦值的取值范围.

高三数学试卷第3页共4页

19.(17分)对于一个函数f(x)和一个点M(a,b),令s(x)=(x-a)²+(f(x)-b)²,若P(x₀,f(x₀))

是s(x)取到最小值的点，则称P是M在f(x)的“最近点”.

(1)对于求证：对于点M(-1,-1),存在点P,使得点P是M在f(x)的“最近点”;

(2)对于f(x)=Inx,M(0,1),请判断是否存在一个点P,它是M在f(x)的“最近点”,且直线MP与y=

f(x)在点P处的切线垂直；

(3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f(x),且函数g(x)在定义域R上恒正，设点M₁(t-

1,f(t)-g(t)),M₂(t+1,f(t)+g(t)).若对任意的t∈R,存在点P同时是M₁,M₂在f(x)的“最

近点”,试判断f(x)的单调性.

高三数学试卷第4页共4页

滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中Ⅱ考试

数学答案

1.D.【详解】考查了模，复数概念，除法运算

2.A【详解】若m/1β,nllβ,则α,β可能平行，也可能相交，故α//β不一定成立，

若α/lβ,则m/1β,nllβ,故α//β是m/Iβ,n/lβ的充分不必要条件.故选A

3D【详解】由a⊥(a-3b),则a·(a-3b)=la²-3a·b=0,

则

.故选：D.

4.B【详解】,得,A=2,所以T=π,

所以令,k∈Z,得,k1Z,

所以当k=-1时，所是函数的一个对称中心.故选：B.

5.D【详解】边长为6的正三角形的内切圆半径为：

所以正三棱柱的高为h=2R=2√3,

则外接球半

所以外接球的表面积为：4πr²=4π×15=60π,故选：D.

6.B【详解】由题可得：,所以

则f(2025)+f(-2025)=2ln2,f(2025)-f(-2025)=0,

f(2025)+f(2025)+f(-2025)-f(-2025)=2ln2故选：B

7.B【详解】由题可知：OC:(x-1)²+(y-2)²=2,圆心C(1,2),半径r=√2,

1

又CE⊥CF,P是EF的中点，所以

所以点P的轨迹方程(x-1)²+(y-2)²=1,圆心为点C(1,2),半径为R=1,

若直线1:x-y-3=0上存在两点A,B,使得恒成立，

则以AB为直径的圆要包括圆(x-1)²+(y-2)²=1,

点C(1,2)到直线1的距离为

所以AB长度的最小值为2(d+1)=4√2+2,故选：B.

8.B【详解】由题意可得：

即f(x)=sinwx是上的“完整函数”,所以存在x,

使得成立；

即存在x,,使得f(x₁)+f(x₂)=2成立；

又因为f(x)m=1,因此f(x₁)=f(x₂)=1,

即f(x)=sinox在上至少存在两个最大值点，

所以,解得@≥2;

当,即w≥4时，一定满足题意；

若2≤①<4,因为@>0,所以

又易知

所以只需保证即可，解得3≤w<4,综上可知w≥3.故选：B.

2

二.多选题

9.ACD【详解】选项A:P为直角顶点的有4个，F₁为直角顶点的有2个，F₂为直角顶点的

有2个，故A正确；

选项B:当P位于短轴端点时，不妨取上端点，则P(0,1),

此时△PF₁F₂的面积最大，且

所以△PF₁F₂的面积最大为√3,不可能为2,故B错误；

选项C:由椭圆定义得|PF|+|PF₂|=2a=4,

当且仅当P|F|=|PF₂|=2时取等号，所以P|F|·|PF₂|的最大值为4,故C正确；

选项D:设P(x,y),由题意F(-√3,0),F₂(√3,0),

所以PF=(-√3-x,-y),PF₂=(√3-x,-y),所以PF·PF₂=x²+y²-3,

因为P在椭圆上，所以且x∈[-2,2],

所以当x=0时，的最小值为-2,故D正确.故选：ACD

10.CD【详解】对于选项A:k的取值范围为以A错误；

对于选项B:当直线经过原点和点(2,1)时，在x轴和y轴上截距都相等，直线方程为

所以B错误；

对于C,记点C到直线EG,FH距离为d,d₂,|FH|=2√49-d2,

d²+d2=|OA²=1,|EG|=2√49-d²,

所以|EG²+|FH²=388≥2|EG||FH|,

即|EG·|FH|≤194,则四边形EFGH的面积

即四边形EFGH的面积的最大值为97,故C正确；

3

对于选项D:当直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a-1=0互相平行时，

可得解得a=-1,所以D正确.故选：D.

11.BCD【详解】因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,所以B₁C=B₁D₁=CD₁=4√2.

因为点F在线段B₁D₁上，所以当F为B₁D₁的中点时，

CF取最小值为所以A错误.

因为EG//平面B₁CD₁,所以三棱锥G-B₁CD₁的体积与三棱锥E-B₁CD的体积相等，

因为点E是固定的，所以点E到平面B.CD₁的距离确定，所以三棱锥G-B₁CD₁的体积与三棱锥

E-B₁CD₁的体积是定值，B正确.

分别取棱CD,DD₁的中点M,N,连接EM,EX.MN.

所以MN/ICD₁,EMI/B₁C.

又CD₁,B₁Cc平面B₁CD₁,而MN,EM不在平面BCD.内，

所以M//平面B₁CD₁,EMI/平面B₁CD₁.

又MNnEM=M,所以平面EMN//平面B₁CD₁.

因为点G在四边形C₁CDD₁(包含边)内，且EG//平面B₁CD₁,所以点G的轨迹为线段MN.

因为M,N分别是棱CD,DD₁的中点，所以,C正确.

将平面B₁D₁E与平面B₁CD₁展开到同一平面，则CF=CF,连接C'E.

由题意可得BE=2,BC=4√2,∠C'B₁E=45°+60°=105°,

则CE²=BE²+BC²-2BE·BCcos∠CBE=28+8√3,

4

当F是线段C'E与B₁D₁的交点时，CF+EF=CE,即(CF+EF)²的最小值为28+8√3,D正

确.

三.填空题：

12.答案：

13.答案：√3-1

【详解】依题意，直线y=-√3(x+1)经过椭圆的左焦点F₁,且∠MF₁F₂=60°,

由∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁,得∠MF₂F=30°,则∠F₁MF₂=90°,

因此MF|=1,|MF₂|=√3,所以离心率

故答案为：√3-1

14.答案：√π(答案不唯一)

【详解】由f(x)=(x-a)sinax,得f'(x)=sinax+(ax-a²)cosax,

令f(x。)=(x₀-a)sinax,=0,则x₀=a或sinax₀=0,

当x₀=a时，由f(x。)=sinax₀+(ax₀-a²)cosax₀=0,得sina²=0,

所以a²=hπ(k∈N),则a=±√kπ(k∈N),

当sinax。=0时，由f(x。)=sinax₀+(ax₀-a²)cosax₀=0,得(ax₀-a²)cosax₀=0,

由cosax。≠0,得a=0或x₀=a,

5

当a=0时，f(x)=0不存在极值点，

当x₀=a时，得a=±√k(keN),

综上，a=±√π(k∈n),

所以当k=1时，a=√π.故答案为：√π(答案不唯一).

四.解答题

15.【答案】(1)(2)a=√21,

【详解】(1)由正弦定理得：sinAcosC+√3sinAsinC=sinB+sinC

∵sinB=sin(A+C),再根据两角和的正弦公式展开得：

sinAcosC+√3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

消去sinAcosC,整理得：√3sinAsinC-cosAsinC=sinC,-----------2分

∵0<C<π,∴sinC≠0,两边同除以sinC得：√3sin4-cS4=1,

由辅助角公式得：-------------4分

又0<A<π,则,故,解得.---------6分

(2)由题意得：2AD=AB+AC,--------7分

平方得：,化简得b²+5b-6=0,

解得b=1(b=-6舍).------9分

由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+25-10cos60°=21

∴a=√21----------11分

△ABC的面积---------13分

16.【答案】①(2)存在，M(4,0).

【详解】(1)因为2b=2√3,所以b=√3,

所以a=2c,所以b²=a²-c²=3c²=3,所以c=1,a=2,

故椭圆C的方程为：----------4分

(2)F(1,0),设直线PQ的方程为：x=my+1,P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),

6

联立得(3m²+4)y²+6ny-9=0,

△>0,,(*)-------6分

又因为所以sin∠PMF=sin∠QMF,

结合图形可知，∠PMF=∠QMF,------9分

所以直线PM的斜率与直线QM的斜率互为相反数，-------10分

设直线PM的斜率为k,直线QM的斜率为k₂,设点M(s,0),

将x₁=my₁+1,x₂=my₂+1代入整理得：

2my₁y₂+(1-s)(y₁+y₂)=0-------13分

再将(*)代入，可得因为m≠0,解得s=4,

即点M的坐标为(4,0).

故在x轴上存在M(4,0),使-4-15分

17.【答案】(1)单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为(2)a=e

【详解】(1)函数.的定义域为(0,+∞),

7

当a=2时，(x>0)------------5分

令f'(x)>0,解得：令f'(x)<0,解得：

所以函数f(x)的单调递增区间为和(1,+∞),单调递减区间为------7分

(2)(x>0)

①当0<a≤1时，f'(x)≥0在(0,1)内恒成立，f(x)在(0,1)内单调递增，

则f(x)mx=f(1)=a-1=2,解得a=3与0<a≤1矛盾；----9分

②当a>1时，有时f'(x)>0;时f'(x)<0,

所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，

即a-(a+1)Ina+1=0,-----11分

令g(x)=x-(x+1)Inx+1(x>1),则

则g(x)在(1,+∞)上单调递减，-----------13分

又g(e)=e-(e+1)Ine+1=0,故a=e;

综上，a=e--------15分

18.【答案】(1)证明见解析②③

【详解】(1)连接BD,因为点E,F分别为AD,AB的中点，所以EF//BD,

因为四边形ABCD为直角梯形，AB//CD,∠ADC=90°,AD=AB=2,

所以BD=√AD²+AB²=2√2,∠ADB=∠BDC=45°,

在△BDC中，由余弦定理可得

所以BC²+BD²=DC²,所以BD⊥BC,所以EF⊥BC,

又因为△PAD为等边三角形，点E为AD的中点，所以PE⊥AD,

又因为侧面PAD平面ABCD,侧面PADn平面ABCD=AD,

所以PE⊥平面ABCD,又BCc平面ABCD,所以PE⊥BC,

又因为EFnPE=E,EF,PEc平面PEF,所以BC⊥平面PEF;-----4分

8

(2)取BC的中点N,连接EN,可得EN⊥AD,

又PE⊥平面ABCD,又ENc平面ABCD,所以PE⊥EN,

以E为坐标原点，EA,EN,EP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(-1,0,0),P(0,0,√3),F(1,1,0),C(-1,4,0),E(0,0,0),

则EP=(0,0,√3),EF=(1,1,0),DP=(1,0,√3),DC=(0,4,0)

设平面PEF的一个法向量为m=(x,y,z),

令x=1,则y=-1,z=0,

则平面PEF的一个法向量为m=分

设平面PCD的一个法向量为n=(mns),

则,令s=1,则m=-√3,n=0,

所以平面PCD的一个法向量为n=(-√3,0,1),,-----------8分

-------9分

所以平面PEF与平面PCD所成角的余弦值为----------10分

(3)设DM=λDC(0≤λ≤1),则DM=λDC=2(0,4,0)=(0,42,0),

又PM=DM-DP=(0,42,0)-(1,0,√3)=(-1,4λ,-√3),

又平面PEF的一个法向量为m=(1,-1,0),

设平面PM与平面PEF所成的夹角为θ,

9

令t=1+4λ∈[1,5],

可得-------------15分

所以

所以直线PM与平面PEF所成角的正弦偿的取值范围为.-------17分

19.【答案】(1)证明见解析(2)存在，P(1,0)(3)严格单调递减

【详解】(1)当M(-1,-1)时，

当且仅当：