2025年下学期高一数学能力拓展训练（三）

2025年下学期高一数学能力拓展训练（三）一、函数与方程综合应用1.1分段函数的零点问题解析分段函数零点的求解需要结合各区间定义域特征进行分类讨论。例如，已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2-2x+3,&x\leq0\\lnx+2x,&x>0\end{cases}$，求方程$f(x)=k$有三个不同实根时$k$的取值范围。此类问题需分别绘制两段函数图像：左侧二次函数在$(-\infty,0]$区间内的顶点坐标为$(1,2)$，但由于定义域限制，实际图像为抛物线左半支，在$x=0$处取得最大值3；右侧对数函数与一次函数的复合函数在$(0,+\infty)$上单调递增，且$x$趋近于0时函数值趋近于$-\infty$，$x=1$时函数值为2。通过图像交点分析可知，当$k\in(2,3)$时方程有三个不同实根。1.2含参方程的整数解问题对于含参数的一元二次方程整数解问题，可采用判别式与韦达定理结合的方法。例如：已知关于$x$的方程$x^2+(m-1)x+m=0$有两个正整数根，求$m$的值。首先计算判别式$\Delta=(m-1)^2-4m=m^2-6m+1$，需满足$\Delta$为完全平方数。设两根为$x_1,x_2(x_1\leqx_2)$，则有$\begin{cases}x_1+x_2=1-m\x_1x_2=m\end{cases}$，两式相加得$x_1x_2+x_1+x_2=1$，即$(x_1+1)(x_2+1)=2$。由于$x_1,x_2$为正整数，解得$x_1=1,x_2=1$，代入可得$m=1$。此类问题需注意参数取值范围对根的影响，必要时结合求根公式进行验证。二、三角函数深化应用2.1三角恒等变换的综合应用复杂三角函数式的化简需灵活运用和差角公式与二倍角公式。例如化简$\sin15^\circ\cos15^\circ+\sin^215^\circ$，可先利用二倍角公式$\sin15^\circ\cos15^\circ=\frac{1}{2}\sin30^\circ=\frac{1}{4}$，再利用降幂公式$\sin^215^\circ=\frac{1-\cos30^\circ}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，相加得结果为$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$。在恒等变换中，需注意“角的配凑”技巧，如将$75^\circ$表示为$45^\circ+30^\circ$，将$2\alpha$表示为$(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)$等，通过角的分解与组合简化计算。2.2三角函数图像与性质的拓展研究函数$y=A\sin(\omegax+\varphi)+B$的图像变换时，需区分相位变换与周期变换的顺序差异。例如函数$y=\sin2x$向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位后，得到$y=\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，而非$\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$。在求解三角函数的最值问题时，常需结合辅助角公式，如求$f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx$的最大值，可变形为$f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$，从而得出最大值为2，此时$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi(k\in\mathbb{Z})$。2.3解三角形的实际应用在解三角形的实际问题中，需准确转化为数学模型。例如：某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路上B处有一人正沿公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，求此人距A还有多少km。根据题意构建三角形，其中$\angleCAD=25^\circ+35^\circ=60^\circ$，在$\triangleBCD$中使用余弦定理求$\cos\angleCDB=\frac{20^2+21^2-31^2}{2\times20\times21}=-\frac{1}{7}$，进而得$\sin\angleCDB=\frac{4\sqrt{3}}{7}$，在$\triangleACD$中利用正弦定理$\frac{AD}{\sin\angleACD}=\frac{CD}{\sin60^\circ}$，解得$AD=15km$。三、不等式证明与应用3.1均值不等式的拓展应用均值不等式的多元形式在最值问题中具有广泛应用。已知$x,y,z>0$且$x+y+z=1$，求$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$的最小值。可采用柯西不等式$(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z})(x+y+z)\geq(1+2+3)^2=36$，当且仅当$x^2=\frac{y^2}{4}=\frac{z^2}{9}$即$x=\frac{1}{6},y=\frac{1}{3},z=\frac{1}{2}$时取等号。对于含限制条件的分式不等式，也可通过三角换元法转化，如已知$x^2+y^2=1$，求$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}$的最大值，可设$x=\cos\theta,y=\sin\theta$，转化为三角函数最值问题。3.2绝对值不等式的解法创新含多个绝对值的不等式可采用零点分段法与图像法结合求解。例如解不等式$|x-1|+|2x+3|\geq5$，首先确定零点$x=1$和$x=-\frac{3}{2}$，分三段讨论：当$x<-\frac{3}{2}$时，不等式化为$-3x-2\geq5$解得$x\leq-\frac{7}{3}$；当$-\frac{3}{2}\leqx\leq1$时，不等式化为$x+4\geq5$解得$x\geq1$，故$x=1$；当$x>1$时，不等式化为$3x+2\geq5$解得$x\geq1$，综上解集为$(-\infty,-\frac{7}{3}]\cup[1,+\infty)$。对于含参数的绝对值不等式恒成立问题，可转化为求函数最值，如$|x+1|+|x-a|\geq3$恒成立，需满足函数最小值$|a+1|\geq3$，解得$a\geq2$或$a\leq-4$。3.3不等式的放缩技巧证明数列不等式时常用到放缩法，例如证明$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2$。可采用裂项放缩：当$n\geq2$时，$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，则原式$<1+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=2-\frac{1}{n}<2$。放缩时需注意尺度把控，过宽会导致证明失败，过窄则增加计算复杂度，常用的放缩技巧还包括糖水不等式$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}(a,b,c>0,a<b)$、绝对值不等式$||a|-|b||\leq|a\pmb|\leq|a|+|b|$等。四、立体几何空间想象4.1空间几何体的体积计算复杂几何体体积计算常需采用分割或补形法。例如在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，求三棱锥$A-B_1CD_1$的体积。可采用补形法将其视为正方体体积减去四个小三棱锥体积，即$V=8-4\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2\times2=\frac{8}{3}$；或直接利用等体积法，以$\triangleB_1CD_1$为底面，其面积为$\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}\times\sin60^\circ=2\sqrt{3}$，高为正方体体对角线的$\frac{1}{3}$，计算得体积同样为$\frac{8}{3}$。4.2空间几何体外接球问题规则几何体的外接球半径计算需掌握常见模型：长方体的外接球直径等于体对角线长，即$2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$正三棱锥的外接球可通过构造直角三角形求解，设高为$h$，底面外接圆半径为$r$，则$R^2=(h-R)^2+r^2$直棱柱的外接球等同于以底面外接圆为底面、棱柱高为高的圆柱的外接球例如，已知三棱锥$P-ABC$中，$PA=PB=PC=2$，底面$\triangleABC$为边长为2的正三角形，求外接球表面积。先计算底面外接圆半径$r=\frac{2}{\sqrt{3}}$，三棱锥高$h=\sqrt{2^2-\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，代入公式$R^2=\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}-R\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2$，解得$R=\frac{\sqrt{6}}{2}$，表面积$S=4\piR^2=6\pi$。五、数列综合问题5.1递推数列的通项公式求法复杂递推关系需采用构造新数列的方法转化为等差或等比数列：对于$a_{n+1}=pa_n+q$型，可构造$a_{n+1}+\lambda=p(a_n+\lambda)$，其中$\lambda=\frac{q}{p-1}$对于$a_{n+1}=pa_n+q^n$型，可两边同除以$q^{n+1}$转化为$\frac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\frac{p}{q}\cdot\frac{a_n}{q^n}+\frac{1}{q}$对于$a_{n+1}=\frac{pa_n}{qa_n+r}$型，可取倒数转化为$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{r}{p}\cdot\frac{1}{a_n}+\frac{q}{p}$例如，已知数列${a_n}$满足$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+3^n$，求通项公式。两边同除以$3^{n+1}$得$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}$，令$b_n=\frac{a_n}{3^n}$，则$b_{n+1}=\frac{2}{3}b_n+\frac{1}{3}$，构造$b_{n+1}-1=\frac{2}{3}(b_n-1)$，可得$b_n=1-\left(\frac{2}{3}\right)^n$，进而$a_n=3^n-2^n$。5.2数列求和的特殊方法除常规的错位相减与裂项相消外，需掌握以下特殊求和技巧：倒序相加法：适用于首末两项和为定值的数列，如组合数求和$\sum_{k=0}^nkC_n^k=n\cdot2^{n-1}$分组求和法：将数列拆分为多个等差、等比或特殊数列的和，如$a_n=(-1)^nn^2$可按奇偶项分组数学归纳法：对于难以直接推导的求和公式，可先猜想后证明例如，求数列${n(n+2)}$的前$n$项和，可将通项拆分为$n(n+2)=n^2+2n$，分别利用平方和公式与等差数列求和公式得$S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$。5.3数列不等式的证明技巧数列不等式证明常用数学归纳法与放缩法结合：数学归纳法需注意从$n=k$到$n=k+1$的推导过程中，应合理使用归纳假设放缩法需根据通项特征选择合适尺度，如$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$或$\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$例如证明$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}(n\geq2)$，当$n=2$时成立；假设$n=k$时成立，则$n=k+1$时，$S_{k+1}=S_k+\frac{1}{(k+1)^2}<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}$，需证$2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}<2-\frac{1}{k+1}$，即证$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)^2}<\frac{1}{k}$，化简得$k(k+2)<(k+1)^2$，显然成立，故原不等式得证。六、解析几何综合应用6.1圆锥曲线的弦长与面积问题涉及弦长问题需灵活运用韦达定理与弦长公式：直线与椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$相交于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，弦长$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|$焦点弦长可利用焦半径公式$|AF|=e\left(x_0+\frac{a^2}{c}\right)$（椭圆右焦点）例如，已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$与直线$y=kx+m$相交于$A,B$两点，且以$AB$为直径的圆过原点，求$m$与$k$的关系。联立方程得$(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0$，由韦达定理得$x_1+x_2=-\frac{8km}{3+4k^2},x_1x_2=\frac{4m^2-12}{3+4k^2}$。由于$OA\perpOB$，则$x_1x_2+y_1y_2=0$，代入$y_1y_2=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2$，化简得$7m^2=12(1+k^2)$。6.2轨迹方程的求法轨迹方程的求解需掌握四种基本方法：直接法：根据几何条件直接建立$x,y$的关系式定义法：根据圆锥曲线定义判断轨迹类型参数法：引入参数$t$，建立$\begin{cases}x=f(t)\y=g(t)\end{cases}$后消参相关点法：设动点$(x,y)$与已知点$(x_0,y_0)$的关系，代入已知点满足的方程例如，已知点$A(2,0)$，点$P$是圆$x^2+y^2=1$上的动点，求线段$AP$中点$M$的轨迹方程。设$M(x,y),P(x_0,y_0)$，则$\begin{cases}x=\frac{x_0+2}{2}\y=\frac{y_0}{2}\end{cases}$，解得$x_0=2x-2,y_0=2y$，代入圆方程得$(2x-2)^2+(2y)^2=1$，化简得$(x-1)^2+y^2=\frac{1}{4}$，即中点轨迹为以$(1,0)$为圆心，$\frac{1}{2}$为半径的圆。七、数学思想方法专题7.1分类讨论思想的深化分类讨论需遵循不重不漏原则，常见分类场景包括：绝对值问题按零点分段二次函数含参问题按开口方向、对称轴位置分类解三角形时按边角大小关系分类例如，解关于$x$的不等式$ax^2-(a+1)x