2025-2026学年广东省深圳市多校联考九年级（上）期中数学模拟试卷

2025.2026学年广东省深圳市多校联考九年级（上）期中数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

T

a

D.(-I,-6)

A.70°B.72°C.64°D.54°

4.（3分）如图，△人BC内接于0O,AB=BC,人。为。。的直径，入。=8（）

ArC

B

A.3V3B.4C.2V3D.3

5.(3分)摩拜共享单车计划2017年10、11、12月连续3月对深圳投放新型摩拜单车，计划10月投放深

圳300()台，12月投放6000台，设增长率为x,则可列方程()

A.3000(1+x)2=6000

B.3000(1+x)+3000(l+x)2=6000

C.300()(1-x)2=6000

D.3000+3000(1+x)+3(X)()(l+.r)2=6(X)0

6.(3分)已知抛物线y=a(x-2)2+k(〃>0,a,女为常数)，A(-3,yi)B(3,*)C(4,*)是抛

物线上三点，则yi,中,和由小到大依序排列为()

A.y]<yi<y3B.yi<y\<y3C.>'2<y3<yiD.y3<y2<y\

7.(3分)如图，抛物线尸f-L-S与直线y=x-2交于A、8两点(点4在点B的左侧)，先到达抛

22

物线的对称轴上的某点£,再到达x轴上的某点人则点〃运动的总路径的长为()

8.(3分)如图，抛物线尸工2-7/组与x轴交于点小B,把抛物线在k轴及其下方的部分记作。，

22

将a向左平移得到C2,C2与工轴交于点8、D,若宜线)，=工工+,〃与a、C2共有3个不同的交点，则

2

m的取值范围是()

D.-至<机<-X

82

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

9.（3分）已知关于x的方程/-3声加=0的一个根是1,则另一个根是.

10.（3分）如图，将aABC绕点A顺时针旋转80°,得到△ADE,则NE的大小为

AB

11.（3分）在平面直角坐标系人0），中，若抛物线）=」十版十%与八轴只有个交点，则左=

12.（3分）如图，OA是00的半径，弦BCLOA于点若。0的半径为5cm，BC的长为8cm

13.（3分）如图，抛物线j=o?+c与工轴交于A,B两点,顶点为C,且位于x轴下方，直线用，F两点,

当点P运动时，丝丝

三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14.（7分）解下列方程：

（1）f+2x=3；

（2）2（x-2）2=3（2-x）.

15.（9分）如图，在△ABC中，点。在边A8上，已知NACE=108°,BC=2.

（1）求N8的度数；

（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长

与腰长的比）等于黄金比返1工

2

①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；

②求的长；

③在直线A8或BC上是否存在点。（点A、8除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画

出点P（不要求证明）；若不存在，说明理由.

16.（9分）我国大力发展耿业教育，促进劳动力就业.某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信

息技术）（酒店管理）、。（汽车维修）四个专业，每个被调资的学生必须从这四个专业中选择一个且只

能选择一个.该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

学生选择专业条形统计图学生选择专业扇形统计图

（1）本次被调查的学生有人：扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的阿心角的度数

为__________

（2）请补全条形统计图，若该中学有20（）0名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意

向的学生有人;

（3）从选择。（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习,

请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率.

17.（9分）“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售.经过一段时间后发

现：当售价是50元/件时，且售价每降低1元，就会多售出2件（20WxW50）.

（I）用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为件；

（2）己知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元.求该商品的售价.

18.（9分）如图，是圆。的直径，。为圆心，且延长PO交圆的切线BE于点£

E

E

(1)判断直线尸。是否为。。的切线，并说明理由:

(2)如果/8£。=60°,尸。=4,求必的长;

将线段。。以直线AO为对称轴作对称线段OR点厂正好在圆。上，如图

19.(9分)某数学学习小组在学习了相似三角形以后，他们发现对于同一个物体在灯光下，它的影子的长

度与电灯到物体的距离有一定的关系,利用电灯到物体的距离也可以计算物体影子的长度.

下面是他们的试验内容，请解答:

(1)如图①，放在水平地面上的正方形框架ABC。，在其正上方有一个小射灯P,正方形框架在地面

上的影子为A'原D1C,若正方形框架的边长为30s”，则△以£)sA:小射灯夕离地

面的距离为.cm.

(2)如图②，不改变(1)中的条件，即正方形A8EF.求小射灯下的影长E尸的长度.

(3)如图③，小射灯尸到地面的距离为止一共有〃个边长为。的小正方形框架(无重叠)，影长4'

8与C。'的和为.(用d、〃、a表示).

20.(9分)如图1,在矩形ABCD中,48=8,点、E,尸分别是48,EF//BD.将尸沿直线E尸对折,

点A对应点为点G

(1)如图2,当点G落在对角线8。上时，求。G的长;

(2)如图3,当/OG尸=90°时，求A尸的长;

(3)若直线/G交BO于点儿在点E的运动过程中，是否存在某一位置，H,G为顶点的三角形与△

AE尸相似？若存在，请求出AE的长，请说明理由.

2025.2026学年广东省深圳市多校联考九年级（上）期中数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案BDBBACAC

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【解答】解：A、选项图形是轴对•称图形，不符合题意;

B、选项图形既是轴对称图形，符合题意；

C、选项图形是轴对称图形，不符合题意；

。、选项图形是轴对称图形，不符合题意.

故选：B.

2.（3分）抛物线），=-2（x+1）2-6的顶点坐标为（）

A.（-1,6）B.（1,-6）C.（1,6）D.(-1,-6)

【解答】解：•・,抛物线y=2（x+l）4・6,

，该抛物线的顶点坐标为(-1,-5),

故选：D.

3.(3分)如图，点A、8、C在。。上，ZACB=36°()

A.70°B.72°C.64°D.54°

【解答】解：•・•点A、B、。在。。上，

・・・NAO4=2NAC8=2X36°=72°,

则NAOB的度数是72°,

故选：B.

4.(3分)如图，ZVIBC内接于0。，AB=BC,AO为。0的直径，40=8()

A.3V3B.4C.2V3D.3

【解答】解：:△ABC内接于。0,AB=BC,ZACB+ZBAC+ZABC=\^Q°,

•，-ZACB=ZBAC=y(180°・/ABC)=30°，

:△ABC内接于O。，AO为0。的直径，

：,ZD=ZACB,N44Q=90°,

*>-Ab=yAD=4：

故选：B.

5.(3分)摩拜共享单车计划2017年10、11、12月连续3月对深圳投放新型摩拜单车，计划10月投放深

圳3000台，12月投放6000台，设增长率为x,则可列方程()

A.3000(1+x)2=6000

B.3000(1+x)+3000(1+x)2=6000

C.3000(I-x)2=6000

D.3000+3000(1+A)+3000(1+x)2=6000

【解答】解：设增长率为x,由题意得

3000(1+x)2=6000.

故选：A.

2

6.(3分)已知抛物线)，=〃(/-2)+k(〃>(),小火为常数)，A(-3,yi)B(3,1y2)C(4,”)是抛

物线上三点，则yi,”，户由小到大依序排列为()

A.y\<)^2<y3B.)^2<y\<y3C.y2<y3<y\D.y3<y2<y\

【解答】解：抛物线Cv-2)?+k(a>3,a,々为常数)的对称轴为直线x=2,

所以4(-3,”)到直线4=2的距离为5,B(6,)，2)到直线x=2的距离为8,C(4,2)到直线的

距离为7,

所以)2Vy3Vy4.

故选：C.

(3分)如图，抛物线y=」-［厂&与直线)，=x-2交于4、B两点(点4在点8的左侧),先到达抛

22

物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点凡则点P运动的总路径的长为()

【解答】解:如图

:抛物线y=F--x--B两点,

32

解得：x=i或％=5,

2

当x=1时,y=x-2=-1,

当工=工时，y=x-2="-,

32

工点A的坐标为（工，-&■）,点B的坐标为（1,

22

6

•・•抛物线对称轴方程为：X=・一^-=工

2X64

作点A关于抛物线的对称轴x=反■的对称点A',

4

连接A'夕，

则直线A'B'与对称轴（直线x=工）的交点是E,

3

：,BF=B'F,AE=AfE,

工点P运动的最短总路径是AE+E"+必=A'E+EF+FB'=A'",

延长跳T,A4'相交于C,

,点P运动的总路径的长为返2.

2

故选：A.

8.（3分）如图，抛物线），=工«-71+组与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其下方的部分记作Ci,

22

将Ci向左平移得到C2,C2与x轴交于点8、D,若直线y=^x+m与。、C2共有3个不同的交点,则

B.一空VmV■工

82

D.-至Vm<-X

82

【解答】解：•・•抛物线产工6-7x+空与，轴交于点A、B

22

：,B（8,0）,0）

•••抛物线向左平移7个单位长度

・•・平移后解析式（x-7）2-2

当直线y=^-x+m过B点

・,.0=匡+〃?

2

2

当直线），=会+〃？与抛物线C2相切时，有2个交点

，工工+"?=工5-2

82

x2-3x4-5-2M=3

•・•相切

A=49-20+8w=0

"=-空

•2915

42

故选：C.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）已知关于x的方程7-3/加=0的一个根是1,则另一个根是2

【解答】解：设另一个根为

・••关于X的方程--3x+加=8的一个根是1,

解得：a=2,

则另一个根为2.

故答案为：3.

10.（3分）如图，将绕点A顺时针旋转80°,得到△ADE,则NE的大小为50°

AC=AE,ZEAC=80°,

AZE=ZACE=1x（180°-80°）=50°.

故答案为：50°.

11.（3分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k=1.

【解答】解：由题意得：A=b2-4ac=3-4左=0,

解得k=6,

故答案为I.

12.（3分）如图，04是0。的半径，弦BCLOA于点D,若。0的半径为5cm,BC的长为8c-2cm.

【解答】解：•・•04是。。的半径，弦BCJ_Q4于点Q,

,BD=^BC=yX8=5c^

乙乙

工OD^/OB2-BD2=782-46=3（cm），

：.AD=OA-00=5-3=2（cw）；

故答案为：2.

13.（3分）如图，抛物线y=o?+c与k轴交于A,8两点，顶点为C,且位于x轴下方，直线用，F两点、,

当点尸运动时，丝丝2.

0C

・1n.ndnnd

••1s7------x+-----»lnD--------x-----7

函APm+dm+dnrdm-d

AQE=^d,QF=J1^-,

m+dm-d

...OE:F2nd2

OC(m^-d^)(~c)

Vad~+c=6,

,-2_c

,,d----

a

.OEHlF二(-c)・2n

℃a(m6+^-)(~c)

a

*：n=anr+cy

.OEOE=2(am5+c)=?

a

三、解答题(本大题共7小题，共61分)

14.(7分)解下列方程：

(1)/+2x=3；

(2)2(x-2)2=3(2-x).

【解答】解：(1)移项得/+〃-7=0,

分解因式得(x+3)(x-6)=D,

解得Xl=-8,X2=\；

(2)8(x-2)2=4(2-x),

移项得2(8-x)2-3(7-x)=0,

提公因式得(2-x)[7(2-x)-3]=4,

即(2-A-)(1-4x)=0,

解得xi=7,x2=-^-

15.(9分)如图，在aABC中，点。在边AB上，已知NACE=108°,BC=2.

(1)求N3的度数；

(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长

与腰长的比)等于黄金比返二L

2

①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；

②求A。的长；

③在直线43或8c上是否存在点P(点A、4除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画

出点P(不要求证明)；若不存在，说明理由.

则N8=NOCB,ZCDA=ZA.

设N8=x,则NOC8=x.

又N3OC=108°,

••・N8+NA=108°.

・・・x+2x=108,x=36°.

・・・N8=36°；

(2)①有三个：△8OC,△HOC.

,:DB=DC,ZB=36°，

・•.4c是黄金三角形,

（或・・・CO=CA,NACQ=180°-ZCDA-ZA=36°.

•••△CD4是黄金三角形.

或・・・NACE=108°,

-8=72°.又NA=2x=72°,

・•・ZA=ZACB.

：,BA=BC.

•••△84C是黄金三角形.

②△8AC是黄金三角形，

.ACV3-1

••I.二，

BC2

VBC=4,."C=&.

•；BA=BC=2,BD=AC=,,

：.AD=BA-BD=2-（逐・3）=3・逐,

③存在，有三个符合条件的点P3、尸2、尸3.

i）以CO为底边的黄金三角形：作CO的垂直平分线分别交直线A8、BC得到点P3、P2.

ii）以C。为腰的黄金三角形：以点。为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点、尸3.

16.（9分）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业.某职业教育培训中心开设：4（旅游管理）、B（信

息技术）（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只

能选择一个.该培训中将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

学生选择专业条形统计图学生选择专业扇形统计图

（1）本次被调查的学生有200人：扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为

72°；

（2）请补全条形统计图，若该中学有2000名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意

向的学生有600人;

（3）从选择。（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习,

请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率.

【解答】解：（1）本次被调查的学生有70・35%=200（人）.

扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为型-X360°=72°.

200

故答案为:200；72°.

（2）条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为200-40・70・30=60（人）.

补全条形统计图如图所示.

学生选择专业条形统计图

200

・•・估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生约有600人.

故答案为：600.

（3）画树状图如下：

甲乙丙丁

/T\小小/K

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲，丙甲，

，恰好抽到甲、丙两名同学的概率为2=工.

128

17.(9分)“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售.经过一•段时间后发

现：当售价是50元/件时，且售价每降低1元，就会多售出2件(2()WxW50).

(1)用含售价x(元/件)的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为(160-2x)件；

(2)已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为1000元.求该商品的售价.

【解答】解：(1)・・,该商品的售价为x元/件(20WxW50),且当售价是50元/件时，且售价每降低1元，

・••每天能售出该工艺品的件数为60+2(50-x)=(160-4A)件.

故答案为：(160-2v).

(2)解:由题意得：(.”20)(160-20=1000,

整理得：A"ioox+21OO=O,

解得xi=30,X7=7O(不合题意，舍去)，

答：该商品的售价为30元.

18.(9分)如图，AB是圆。的直径，。为圆心，且NPD4=NP8。.延长P。交圆的切线BE于点£.

(1)判断直线尸。是否为。。的切线，并说明理由：

(2)如果NB£O=60°,PD=4,求心的长；

(3)将线段PO以直线A。为对称轴作对称线段点厂正好在圆。上，如图

【解答】(1)解：直线。。为0。的切线，理由如下：

如图，连接O。，

E

TAB是。。的直径，

AZADB=90°,

••・NAOO+N8OO=9(T,

•：DO=BO,

:./BDO=/PBD

VNPDA=/PBD,

:・NBDO=NPDA,

••・NAQO+NPOA=90°,即POJ_OZ),

VOD是OO的半径，

・•・直线PO为。。的切线；

(2)解：:BE为。。切线，

AZPBE=90°,

VZBED=Z60°,

/.ZP=90°-ZBED=90°-60°=30°,

在RlZ\POO中，/尸。。=90°,

•，-OD=PDXtan300=4X^-=^^»P0=20D

b4o

.口A口门CA8救H3虱4

••PA=PO-OA=--二一二三一；

o0o

（3）证明：如国，连接OQ,

由题意得：Z4DF=ZPDA,ZAPD=^AFD,

VAF=AF>

，ZADF=ZABF,

•：4PDA=/PBD,

JZADF=ZAFD=ZAPD=/ABF,

/.ZAPD=ZABF,

・•・BF〃PD,

:・DFLPB,

•；BE为切线,

J.BELPB,

J.DF//BE,

・•・四边形。心E为平行四边形，

,:PE、HE为切线,

:・BE=DE,

・•・四边形DFBE为菱形.

19.（9分）某数学学习小组在学习了相似三角形以后，他们发现对于同一个物体在灯光下，它的影子的长

度与电灯到物体的距高有一定的关系，利用电灯到物体的距宽也可以计算物体影子的长度.

下面是他们的试验内容，请解答：

图①图②图③

（1）如图①，放在水平地面上的正方形框架4BCQ,在其正上方有一个小射灯P,正方形框架在地面

上的影子为4'B、DfC,若正方形框架的边长为30c〃?，贝！△%£）s△啊’0；小射灯P离地面

的距离为80cm.

（2）如图②，不改变（1）中的条件，即正方形48£足求小射灯下的影长£尸的长度.

（3）如图③，小射灯。到地面的距离为d,一共有〃个边长为〃的小正方形框架（无重叠），影长A'

2

B与CD'的和为（用d、〃、。表示）.

d-a

【解答】解：（1）如图①，PQ-LAfD'于点Q,

•・•四边形ABCD是边长为3()c/〃的正方形，

：.AD=AB=BC=30cm,AD/；A'D',DC±A'D

△%'D',NPRD=NPQD'=90°,

.PR_AD

"PQ-AZD，，

•・•点P在正方形ABC。的正上方，

・•・%'=PD',

，NA'=/D',

VZA1BA=ZDf00=90°,AB=DC,

AAABA1g△QCO'(AASb

：.A'B=D'C=9cm,

，A'D'=30+9+4=48(cv〃)，

•.•PQ-30'二,30,,

PQ48

解得PQ=80,

••・小射灯P离地面的距离为80C/H,

故答案为：PA'D',80.

(2)如图②，PQYA'D'于点Q,

"&=80・30=50(cm),

•：AF=BE=BC=AD=30cm,

•••2=30+30=60(cm),F'D'=(EF'+69)cm,

*：FD//F'D',

:•△PFDs^pHD',

.PR__FD

**PQ-FZD，，

.50二60

**80-EFZ+69,

解得EF'=27,

答：小射灯下的影长石尸的长度为27c〃z.

(3)如图③，尸QJ_4'D'于点。，则PQ=d,AD=BC=na,

，△以0s△办'iy,

.PRAD

"PQ%Dy

•・•A8,zU=_AD・PQ=_nad，

PRd-a

:・NB+CD'=A'D’-BC噢-na=*，

d-ad-a

3

故答案为：

d-a

20.(9分)如图1,在矩形4BCD中，AB=8,点E,产分别是48,EF//BD.将△4EF沿直线EF对折,

点A对应点为点G

(1)如图2