2025-2026学年四川省某中学高二年级上册10月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年四川省平昌中学高二上学期10月月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知向量五二(一2,1,0)，b=(0,1,2),则2五一方二()

A.(-4,1,-2)B.(4,-l,2)C.(-2,0,-2)D.(-2,2,2)

2.若倾斜角为45"的直线［经过两点/!(一8,m),B(m,4),则m的隹为()

A.-2B.1C.2D.3

3.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件4表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或

6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是()

A.,4与8是对立事件B.B与C是对立事件C.A与C是互斥事件D.4与8是互斥事件

4.如图，在空间四边形045C中，OA=a>OB=b^^=d点M在。力上，且|OM|=N为的

中点，则而等十()

一，言一

A..1.—-a-2-7b*+.-1c-B.-2cz+-2b--1c

LSL33/

C.-|a+1b+icD.ia+jS-i?

5.在长方体ABCD-A/iGDi中，AB=BC=1,AA1=73,则异面直线AD1与2）当所成角的余弦值为（）

6.卜,列命题中正确的是()

A.点M(3,2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(一3,2,-1)

B.若直线，的方向向量为3=(1,-1,2),平面a的法向量为沆=(6,4,-1),贝“la

C己知。为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，且任意三点不共线，若而二m初一"丽+无，则

m=--1

D.若直线!的方向向量与平面。的法向量的夹角为120。，则直线，与平面a所成的角为30°

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7.已知M(3,2,3)是空间一点，直线，过点N(2,l,l)且一个方向向量为五=(-1,-1,0),则M到直线Z的距离为

()

A.1B.V7C.2D.3

8.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为Q,再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记

为力,且Q,匕£{0,1,2,...,9}.若佃-加工1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则二人“心

有灵犀”的概率为()

ALB—r—D2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知空间中三个向量己=(1,2,0),S=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),则下列说法正确的是()

A.3与乙是共线向量B.与d同向的单位向量是(卷,等,0)

C.不在G方向上的投影向量是(-1,-2,0)D.五与B的夹角为90。

10.下列说法正确的有()

A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是〈J,则题被解出的概率是:

B.若48是互斥事件,则P(AB)=P(A)P(3)

C.已知事件A,8发生的概率分别为P(A)=]P(8)=3.P(lB)=g则事件A,8相互独立

D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是、

O

11.在正方体48。。-418田山1中，A8=2,E为为。】的中点，F是正方形BaGC内部及边界上一动点，

则下列说法正确的是()

A.平面FBOi平面

B.当EF=%时，点产的轨迹长度为亨

C.存在直线E尸与平面8当。传内的直线成30。角

D.若G,”分别为4G的三等分点，则|GF|+|H/|的最小值为空

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某种心脏手术，成功率为0.9,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算

器或计算机产生0〜9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9,我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,

5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组

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随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估计“3例心脏手术全部成功”的

概率为.

13.设平面a,0的法向量分别为(1,2,-2),(一2,—4#)，若a〃夕，则』=

14.在长方体力8C0-中，AD=AA1=3,AB=4f£/,6分别是棱6。1，风:,。6的中点，M是平

面48。。内一动点，若直线AM与平面EFG平行，则丽•西的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图.在长方体中,AB=4,40=3,AAt=2.点、E、F.G分别是棱8。、CD、

(1)求证：AG八!/平面GEF：

(2)求直线AG到平面QEF的距离.

16.(本小题15分)

将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在［50,60),第二组成绩在

［60,70),第三组成绩在［70,80),第四组成绩在［80,90)第五组成绩在［90,100］

(1)求图中a的值，估计本次考试成绩的平均分；

(2)老师准备将在本次考试中成绩排名在前1的同学定为优秀，发奖鼓励，估计此次考试成绩优胜的分数

线：

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(3)若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在[50,60)的

概率.

17.(本小题15分)

某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给

分,甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第1,2,3,4题的概率分别为:，i,i,i,且每道题目能否

答对都是相互独立的.

(1)求甲得10分的概率；

(2)求甲得3分的概率；

18.(本小题17分)

如图，已知在平行六面体4BCD—48165中，AB=4,AD=4,AAr=5,乙DAB=0,^DAAr=4BA&=

60SM,N分别是AG，Ga的中点.

(1)若对角线4G的长度为/用时，求8的值.

(2)求证：MN1AG.

19.(本小题17分)

在Rt△ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,O,E分别是4上的点，满足OE/\!/8c且OE经过△48。

的重心，将A4DE沿OE折起到AA]OE的位置，使&CJ.C。，”是公。的中点，如图所示.

(1)求证：AiCl平面8CDE：

(2)求CM与平面4BE所成角的大小：

(3)在线段4C上是否存在点N,使平面C8M与平面BMN成角余弦值为苧？若存在，求出CN的长度；若不

存在，请说明理由.

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参考答案

\.A

2.A

3.B

4.C

5.A

6.0

7.C

S.A

9.BC

\().AC

1l.ARD

12.0.8/g

13.4

14.^/25

15.【详解】(1)以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(3,0,0),G(|,0,2),G(0,4,2),F(|,4,0),尸(0,2,0),

所以次=(一|,0,2),西=(-1,0,2),(-3,2,0),EF=(-|,-2,0).

所以祐=西，AGf/EC^

又AGC平面GEF,且EGu平面QEF,

••"G〃平面GEF.

(2)•••4G〃平面

.•.点4到平面GE网勺距离即为直线AG到平面。止尸的距离.

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33

T西

n-X+-o-X

=-22z4

设平面的法向量为五=，则32y3

GEF(%,y,z)-X-O-X

n•EF=—2-4

取％=4,则五=(4,-3,3)是平面的一个法向量.

所以点A到平面GE尸的距离为d=愕=接=察・

即直线力G到平面6"的距离为挈.

16.【详解】(1)由题意得(2a+3a+7a+6a+2a)xl0=l,解得a=0.005；

本次成绩平均分的估计值为(2x55+3x65+7x75+6x85+2x95)x0.005x10=76.5：

(2)老师准备将在本次考试中成绩排名在前［的同学，定为成绩优秀，故求第75%分位数的分数即可，

(0.01+0.0154-0.035)x10=0.6<0.75<(0.01+0.015+0.035+0.03)x10=0.9,

故75肾分位数在［80,90)内，故第75%分位数的分数为80十喏x10-85分，

U・《3

故此次考试成绩优秀的分数线为85分.

(3)低于70分的同学的频率为(0.01+0.015)X10=0.25,所以低于70分的同学应抽取20X0.25=5人,

其中成绩在［50,60)的人数为20xD.01xl0=2人，

记这5人为a,b,其中a,匕为成绩在［50,60)的两位同学，

从中任取两人有(a,b)t(a,A),(a,8),(a,C),(b,A),(b,B),也C),(AB),(A,C),(8,C)共10种取法,

其中2人分数都在［50,60)的取法有1种，

所以2人分数都在［50,60)的概率为余

17.【详解】(1)解.：因为答对第1，2,3,4题的概率分别为,且题目能否答对都是相互独立,

根据相互独立的概率乘法公式，可得甲得10分的概率为P=|xixlxi=-^-.

(2)解：根据题意，甲得3分，可分为两种情况：甲答对第1题和第2题或甲仅答对第3题，

甲答对第1题和第2题的概率为P】=3xgx(1-；)x(1-g=需

甲仅答对第3题的概率为P2=(l-i)x(l-1)xix(l-1)=^,

所以甲得3分的概率为P=匕+P2=卷+2=也

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18.【详解】⑴设适=方，而=3,丽*=*三个向量不共线，则⑹瓦逊构成空间的一个基底,

且宿

=AB+AD+AAi=a+b+ct

网=卮=器+b+?)2=Ja2+b2+c2+2ab+2b-c+2c-a

=V16+16+25+2x42cos0+2x4x5cos60°4-2x4x5cos60°=V97+32cos6=V113,

则cose=J,e£(o,n),故。=?.

(2)而=西+物4一g无斯=五+方+乙

则而♦福=Qa-•(a4-64-c)=|a24-1a-b+|a-c-ia-b-^S2-c

=+1a•c-:方2-i5-c=1x42+|x4x5cos60°-1x42-^x4x5cos60°=0.

故MN1AC「

19.【详解】(1)因为在RtA48C中，Z.C=90°,DENJBC,且BC1CD,

所以0E1CD,DELAD,则折叠后，OElAi。，

又勺。u平面小。。，

C\CD=D,AXD,CD

所以OEJ■平面AiCu平面.41C0,所以0EJ.41C,

乂已知41cleD,(^00/二0且都在面⑶。。^%,所以41cl平面BCDE；

(2)由(1),以CD为x轴，CB为y轴，C4为z轴，建立空间直角坐标系C一xyz.

2

因为力。=2。。，故0E=(BC=2,

由几何关系可知，

CD=2,A1D=4,ArC=2y/l,

故C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,3,0)，&(0,0,2/I),M(1Q,V3),

CM=(l,0,/3),福=(0,3,-2、⑸，=(2,2,-2/3),

设平面4/E的法向量为元=(x,y,z),则［本竺二°,即13y-2/3z=0

(n-A1E=0(2x+2y-2cz=0

不妨令y=2,则z=，5,x=1,n=(1,2,V3).

设CM与平面•所成角的大小为e,

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则有sin。=|cos(o7,n)|=端=4=苧,

设。为CM与平面&BE所成角，故9=%

即CM与平面A18E所成角的大小为余

(3)假设在线段41c上存在点N,使平面C8M与平面BMN成角余弦值为寸.

在空间直角坐标系中，F