北师大版九年级数学期中模拟卷（全解全析）

2025-2026学年九年级上学期期中模拟卷

数学•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版2024九年级数学上册第1〜3章（特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进

一步认识）。

A卷（共100分）

第I部分（选择题共32分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求的）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax2+/>x+c=0B.f=xC.x2+^=2D.x-3=-f

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.根据一元二次方程的

定义逐项分析判断即可，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2：二次项系数不为是整式方

程；含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

【详解】解：A、方程苏+笈乜=0,当出0时，方程变为bx+c=0,此时未知数的最高次数是1,是一元一次方

程；只有当时。时，它才是一元二次方程；由于题目中没有明确。加，所以不能确定它一定是一元二次方程；

不符合题意；

B、方程产=、中，含有x和y两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，因此它是二元二次方程，不是

一元二次方程，不符合题意；

C、方程f+A，因为分母中含有未知数x,它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以该方程不是

元二次方程，不符合题意:

D、方程T3=-F,整理后为f+x-3=0,这个方程只含有一个未知数x,并且未知数的最高次数是2,同时它也

是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；符合题意；

故选：D.

2.某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了•个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖

购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区

域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子.转动转盘2次，苹果和橘子都获

【答案】D

【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案.

【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为黑=；,获得一袋苹果的概率为可以看成有2

袋苹果，1袋橘子，画树状图如下：

开始

苹果苹果橘子

苹果苹果橘子苹果苹果橘子苹果苹果橘子

・•・转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况，

・♦•转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是£

故选：D.

3.若正方形对角线的长为2,则该正方形的面积为（）

A.V2B.2C.2V2D.4

【答案】B

【分析】本题考杳了正方形的性质，根据正方形的面枳等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.

【详解】解：•・•正方形的一条对角线的长为2,

・•・这个正方形的面积=；X22=2.

故选：B.

4.关于x的方程（。-5）/-4代1=0有实数根，则“满足（）

A.a>\B.旦a,5C.W1且D.a/5

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根得出判别式AK）是解题关键.注意

分类讨论，避免漏解.关于x的方程5-5）x2一叙-1=0有实数根，那么分两种情况：①当年5=0时，方程一定有实

数根；②当。-5制时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围.

【详解】解：分类讨论：

①当a-5=0,即k5时，方程变为-4*1=0,此时方程为一元一次方程，一定有实数根；

②当如5机，即今5时，此时方程为一元二次方程，

•・•夫于x的方程（。-5）工2-叙-1=0有实数根，

A（-4）2-4（«-5）X（-1）>0,

解得生1.

，。的取值范围为生1.

故选：A.

5.如图，矩形/4CO的对角线力C，8。相交于点0,以下说法不一定正确的是（）.

A.□Z8C=90°B.AC=BDC.UOAB=^OBAD.OA=AD

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的性质逐一判断即可，掌握矩形的性质是解题的关键.

【详解】解：A、•・•四边形"CO是矩形，

/.[J5C=90°,原选项说法正确，不符合题意；

B、・・•四边形48CD是矩形，

・・・2C=8。，原选项说法正确，不符合题意；

c、•・•四边形力反?。是矩形，

:・AC=BD,OA=^AC,OB=；BD,

【答案】C

【分析】先证明□48£=匚/1星,匚力红5*。£利用四边形内角和求出，进而可求出匚8即的度数.

本题考查了正方形的性质，等边对等角，多边形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键.

【详解】解：:正方形月4。。，

・•.幺8=力。,口440=90°,

*：AE=ABf

.\AE=AD,

：.[ABE=1AEB^AED=JADE,

VUABE+3AEB+nAED^ADE+LBAD=3C)0o,

:.□48£+口4£8+口4£。+3。£=360。-90。，

：,2DAEB+2DAED=270o,

：.nAEB+JAED=135°,

：,[5EF=180°-(DJE5+D/lED)=45o,

故选：C.

8.如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图,

其中。是正方形48CQ和正方形EFG"的中心，且正方形488的顶点均在坐标轴上，所与x轴平行，若

AB=EF=16,则8c与所的交点P的坐标为()

图①图②

A.(-j,8)B.(4-4V2;8)C.(8V2-8,8)D.(8-8遮,8)

【答案】D

【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识.设

尸£与y轴交于点过点尸作PN「/C于点N,则四边形ONRU是矩形，得到PN=OM,O2PM根据正方形的

性质推出尸入，=。"=:八7=8,C50=45°,得到□尸NC和L8OC都是等腰直角三角形，进而得到CN=PN=8,

OC-WbC=8v5,求出ON=8V5-8,即可求解.

【详解】解：如图，设PE与y轴交于点过点尸作PAO4C于点M则四边形ONRW是矩形,

]PN=OM,ON=PM,

□四边形48CO和四边形£打?〃都是边长为16的正方形，

BC=FG=EF=\6,OB=OC,BDnAC,匚ABCUBCD=90。,UBCA=450,

□PN=OM=；FG=8,

2BCA=45<>,

□"NC和2180。都是等腰直角三角形，

□CN=PN=8,OC=y5C=8v5,

□QV=OCCN=8V5-8,

匚点P在第二象限内，

口点尸的坐标为（8-8区,8）,

故选：D.

P/\

第n部分（非选择题共68分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

9.已知/〃是方•程x2_xj=o的一个根，代数式5〃入5〃什2019的值是.

【答案】2024

【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.先根据一元二次方程根的定义得〃?2-〃?-1=0,再把5〃P-5w+2Q19变形为5〃/-5〃?+2019=5（/〃2-阳）+2019,然

后利用整体代入的方法计算.

【详解】解：口〃，是方程f・x・l=0的一个根，

□nr-m-\=Q,即〃

□5/M2-5W+2O19=5（〃/一加）+2（）19=5x1+2019=2024,

故答案为:2024.

10.若一元二次方程f-Gx+lR可以配方成(x+p)2=g的形式，则代数式p+q的值为.

【答案】5

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将一元二次方程配方成G+p)2=q的形式，求出p,q的值，从

而可求p+g的值.

【详解】解：F/x+kO

f・6x+9=-l+9

(X-3)2=8,

，片-3,夕=8,

•・3■%-3+8=5,

故答案为：5.

11.如图,菱形/RTD对角线/O=4cm,/?O=3cm,则菱形高OE的长为.

【分析】本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理，熟练掌握菱形的性质，会利用等面积法解

决问题是解答的关键.

由菱形的性质可得力CT8OSC=2Q4=8cm,8D=2O4=6cm,再由勾股定理求得"=5cm,利用菱形的面积公式

和等面积法求解即可.

【详解】解：•・•四边形48CO是菱形，

AC匚BDyAC=2OA=^cn\,BD=2OB=6cn\,

在Rt二MO夕中，由勾股定理得力8=/4。2+4除=海2+32=55,

;$菱形ABCD=；A5BD=AB3DE.

・・・gx8x6=5OE,

解得：Z)£=4.8cm,

故答案为：4.8cm.

12.如图，在矩形48CQ中，JC=10,E,少分别是4C,CO的中点，则EF=.

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质.

连接3。，根据矩形的性质得月C=8O=10，然后利用三角形中位线定理即可解决问题.

•・•四边形"CQ是矩形,

：.AC=BD=\Q,

VE,1分别是5C,CO的中点，

:,EF=；BD=5,

故答案为：5

13.我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程M+5x=14为例，三国时期的数学家赵爽

在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形/"CO的面积是(X+X+5)2,它由四个仝等的矩形和中间

一个小正方形组成，根据面积关系可求得力4的长，从而解得正数解.小刚用此方法解关于x的方程，+用『〃=0

时，构造出同样的图形，己知大正方形的面积为144,小正方形的面积为4,则〃尸：关于戈的方程

x2+mx-n=0的正数解为

【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键.先得出小欧构造的大正

方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144,小正方形的面积为

4建立方程，解方程即可得.

【详解】解：关于X的方&^+而心/产。可转化为x2+〃7L〃，即x(x+〃?)=〃，

则小刚构造的大正方形的面积是(广犷加)2,它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为

x+w、宽为X,中间小正方形的边长为〃?，

•・•小刚构造的大正方形的面积为144,小正方形的面积为4,

□x+-x+w=V144=12,w=v5=2,

匚2x+2=12,

解得x=5,

则关于x的方程的正数解为-5,

故答案为：2,x=5.

三、解答题(本大题共5小题，满分48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

14.(每小题4分，满分8分)用适当的方法解关于x的一元二次方程：

(1*.5X+2=0：

(2)3x(2x+l)=4x+2.

【答案】(l)x广喑，x2=^

(2)X]=|,x2=-1

【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、因式分解法解•元二次方程等知识，熟练掌握•元二次

方程的解法步骤是解决问题的关键.

(1)先求出判别式，再由求根公式，利用公式法解一元二次方程即可得到答案；

(2)利用提公因式法分解因式后解一元二次方程即可得到答案.

【详解】(1)解：f-5x+2=0,

匚o=l,b=-5,c=2,

□匚=.-4ac=(-5)2-4x1x2=17>0,

_5±V175±VT7

2-f

即两，⑥=苧；

(2)解：3x(2x+l)=4x+2,

□3x(2r+1)=2(2x+1),

则次(2什1)-2(2丫+1)=0,

□(3x-2)(2r+l)=0,

则次-2=0或2x+1=0,

解得=jx2T•

15.(满分10分)在争创全国文明典范城市活动中，某校举行了创文明城市知识竞赛，全校1800名学生都

参加了此次大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，

随机从参赛学生中抽取了200名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：

成绩力分50与<6060土<7070夕<8080sx<9090<r<100

频数1。3040in50

频率0.050.15n0.350.25

"频数

80学生人数

70

60卜

50卜...............।

40卜------「

30卜……1—

20卜

10卜「

0(IAX

5060708090100成绩/分

请根据以上信息，完成下列问题：

(1)〃=;

⑵清补全频数分布直方图；

⑶某班恰有2名男生和1名女生的初赛成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加复赛，

用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率.

【答案】(1)0.2

(2)见解析

(3)列表见解析，概率为:

【分析】本题考查了频数分内表的相关计算、频数分。直方图的补全以及用列表法求随机事件的概率，解

题的关键是掌握“频率二频数♦样本总数''的关系，并通过列表列出所有等可能结果来计算概率.

(1)根据频率与频数的关系，用709<80的频数除以样本总数200,即可求出〃；

(2)先通过样本总数减去其他组的频数求出803<90的频数机，再根据〃?的值补全直方图中对应区间的柱

形；

(3)标记2名男生和1名女生，用列表法列出从3人中抽2人的所有可能情况，数出“1男1女”的情况数,

结合概率公式(概率=符合条件的情况数+总情况数)计算概率.

【详解】(1)解：由题意知，样本总数为20(),700<80的频数为4().

根据“频率=频数可羊本总数”，得〃=4=0.2.

ZOU

故答案为：0.2；

(2)解：先求80SW90的频数也

•・•样本总数为200,且各组频数之和等于样本总数,

r.w=200-10-30-40-50=70.

补全频数分布直方图：在“80SE90”区间对应的柱形，高度调整为与频数7()对应;

・•・抽取的2名学生恰好为I名男生和1名女生的概率1;=：.

63

答：抽取的2名学生恰好为I名男生和I名女生的概率为；

16.(满分10分)如图，在菱形Z8CQ中，对角线力C,BD殳于点0,花口8。交C8延长线于E,。尸口花交4。延

长线于点F.

(I)求证：四边形/爪乃是矩形；

(2)若力E=4,AD=5,求力。的长.

【答案】(1)见解析；

(2)475.

【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键.

(1)先证明四边形4EC/是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形；

(2)根据菱形的性质，得至LZ>,48=8C=5,结合力£=4,利用勾股定理得E8=3,继而得至lj£C=E8+8C=8,

再次使用勾股定理即可求力。的长.

【详解】(1)证明：•・•四边形/灰。是菱形，

/.ADJBC.

^CFCAE,

・•・四边形4EC5是平行四边形.

,:AE匚BC,

•••匚/EC—90。，

・•・平行四边形是矩形；

(2)解：,・•四边形/8C。是菱形，

：,AD=AB=BC=5,OA=OC,ACLBD,

,：AECBC,

・•・匚4£8=90。，

；・BE=-/AB2-AE2=-/52-42=3,

・・・CE=8E+8C=3+5=8,

.,.^C=Z1£2+CE2=V/42+82=4V5.

17.(满分10分)已知关于工的一元二次方程F+(左+i)x+〃.2=0.

(1)求证：不论％为何值，方程总有两个不相等的实数根.

(2)若修Z2为该方程的两个实数根，且满足RCr2-l)=r2.

①求女的值；

②若菱形48CO的一条对角线4C的长为4左，另一条对角线8。的长为2|.丫M21，求菱形48CQ的面积.

【答案】(1)见解析

⑵例②3

【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系

是解本题的关键.

(1)表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；

(2)利用根与系数的关系，求出”的值，进而求出4C,8。的长，根据菱形的面积公式进行计算即可.

【详解】(1)证明：[/+(叶1比%2=0,

，△=(〃+1)2-4(〃-2)

=/+2什1-4〃+8

=必-2什1+8

=(A-l)2+8>0,

・••不论&为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：①•・•/+(什l)x+%-2=0,孙/2为该方程的两个实数根,

；・两+x2=-k-1S[X2=h2,

Vxi(x2-l)=x2»

.*.JC]X2-Xi-X2=0,

.4-2+A+1=0,

②由①知：吟

••AC=4k=2,BD=2/x।X2/=2xZ-2y=3♦

・•・菱形44co的面积为JOQ=：x2x3=3.

18.(满分10分)在平面直角坐标系xQy中，直线尸x+2与x轴、y轴分别相交于4,B两点.

⑴求」。48的大小；

(2)如图，点尸白力，在第二象限，M&O),N。〃，直线PM,PN分别与线段48相交于点E,点尸.当点P运动

时，四边形PMON的面积为定值2.试判断以线段ZE,EF,所为边的三角形的形状，并说明理由.

【答案】(1)口。45=45。

(2)以线段力七，EF,//为边的三角形为直角三角形，理由见解析

【分析】(1)利用一次函数的性质求出0/1=08=2,再利用等边对等角即可求解；

(2)易证四边形PMQV是矩形，艰据四边形PM0N的面积为定值2,得到必=-2,利用一次函数的性质求出

E、尸的坐标，根据勾股定理求出线段4E、EF、FB,然后根据勾股定理逆定理即可得出结论.

【详解】⑴解：:直线产x+2,

.•.当尸0时，x=-2；当x=0时，y=2：

・・・42,0),

：.0A=0B=2,

V匚408=90。，

：,LOAB=OBA=45°；

(2)解：以线段力E,EF,所为边的三角形为直角三角形，理由如下：

由题意得，以轴，轴，

，匚PMO=fJPNO=90。,

又「MON=90°,

四边形PA/ON是矩形，

•・•四边形尸A/QV的面积为定值2,

,.S矩形PMON=°MON=-ab=2,

/.ab=-2.

代入至Uy=x+2,得尸z+2，

代入至W=x+2,得6=x+2,解得x=b-2.

；.E(a,a+2),E(b-2,b),

=2a2+2b2-4ah+^a-^b+S

=2『+2七4乂（-2）+8。-8什8

=2a2+2b2+Sa-Sb+16，

,・Z《2,（y,B0,2）,

：.AE2=（a+2>+&+2方=2〃2+8“+8,4产=0-2方+2-2_/=2/-8力+8,

.•・/右2+〃产=2。2+8。+8+282-8/?+8=2。2+2〃2+8”一86+16,

22

：.AE+BF^=EFf

・•・以线段4E，EF,所为边的三角形为直角三角形.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边对等知，矩形的性质与判定，勾股定理及勾股定

理的逆定理的运用，熟练掌握相关性质定理是解题的关键

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

19.关于x的方程的解是丫1=-5,工2=3（。、/人〃?均为常数,。翔），贝I」方程。6H■〃卜的解是

【答案】X]=-3,x2=5/xi=5,X2=-3

【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程a^-2^=0,整理成〃/6-2不〃4+/尸0的形

式，根据方程+Z>=0的解是X]=-5,肛=3,可知方程a/6-2"4+Z>=0的解是x「2=-5,&-2=3,从而求出

方程〃G+m-Zf+FO的解.

【详解】解：a（x+m-2^+5=0,

整理得：a[（x-27+-w/+/?=0,

□方程〃尸+8=0的解是X]=-5,%2=3,

匚方程Q/6>2J+ni/+b=O的解是x「2=-5,4-2=3,

解得：<i=-3,X2=5.

故答案为:Xj=-3,X2=5.

20.右图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”它是由四个全等的直

角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设正方形48。的面积为S"正方形“4〃的面积为S2,连

接8G.若BG=BC,则S]与S2的数量关系为.

D

【答案】S]=5s2

【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，先根据正方形的性质推出48G是等腰

三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质得4H=G”,i&AH=GH=a,^\AG=BH=2a,由勾股定理求出力8=/〃,

再根据正方形的面积公式分别用〃表示出&和S2,即可得出答案.

【详解】解：•・•四边形是正方形，

：.AB=BC,

•：BG=BC,

:"B=BG,

・・・38G是等腰三角形，

：匚4H8=90。，

:.BH匚AG,

:.AH=GH,

设4H=GH=a,则4G=«〃=2a,

在RtZUM中，止〃“2+8"2=府+心六无,

・,•正方形力8。。的面积为Si=(V5a)~=5A正方形EFG〃的面积为§2=/，

A5|=5S2.

故答案为：SI=5S2.

21.已知等腰匚力8c的一边8。=6,而匚/4C另外两边的边长恰好是关于x的一元二次方程/+("4).「4机的两

实数根修得，则这个三角形的周长为.

【答案】14或16/16或14

【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握解一元二次方程

的方法是解题关键.先解一元二次方程可得勺=49=-〃?，再根据等腰三角形的定义可得〃?=-4或加=-6,然后分

两种情况，结合三角形的三边关系求解即可得.

【详解】解：F+(〃?-4)X=4〃I,

f+("卜4)x-4〃?=0,

(x-4)a+”)=0,

x-4=0或x+〃尸0,

X[=4K2="〃3

•・•匚/8C是等腰三角形，

・'・T??=4或-m=6,

...m=-4或〃i=-6,

①当等腰D/iBC的三边长分别为4,4,6时，满足三角形的三边关系，

则此时这个三角形的周长为4+4+6=14；

②当等腰口48。的三边长分别为4,6,6时，满足三角形的三边关系，

则此时这个三角形的周长为4+6+6=16；

综匕这个三角形的周长为14或16,

故答案为：14或16.

22.设实数加，〃分别满足3〃/+99〃b2=0,2〃2-99〃-3=0,竺竺竺1=__

n

【答案】-37

【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系是解题关键.

根据3加+99加2=0,2/?-99//-3=0,可得〃是方程3.，+99*2=0的两个根，再根据根与系数的关系即可求解.

〃

【详解】E2/r-99/?-3=0,

□3《丫+99x1-2=0,

\fi/n

□3W2+99W-2=0,

□明，1是方程3-+99=-2=0的两个根，

n

J99-12

匚m+-=--r=-33,加口一=-：,

"3n3

_WJ+6/W+l，/m,Ic./(2\cr

□--------=/〃+6x.+-=-33+6xI--)=-37.

nnn\3/

故答案为：・37

23.如图，在正方形力ACO中，点P在对角线上，过点尸分别作PE□44于点E,PF.BC于点尸,连击EF,PD.过

点尸作PG」E/改4B于点G,若BG=2AG,PO=而，则正方形48CO的边长为.

D

【答案】3V2

【分析】连接尸8,DG,根据题意及正方形的性质，证得四边形GEEP是平行四边形，得到PG=EHPF=GE,

进而证明四边形£8。是矩形，得到PB=EE,EB=PF,从而得到GE=E8,结合8G=24G,得至以8=34G,根

据正方形的对称性得到口尸。/1=□尸8G,PB=PD,进而根据角和位的等量代换证得口6尸。=90。，PD=PG,从

而得到口。尸G是等腰直角三角形，已知PO的长，根据勾股定理可求出。G的长，在Rtl4G。中，根据勾股定

理求出力G的长，从而可解得正方形的边长.

【详解】解：如图，连接尸&DG,

口四边形力8CQ是正方形，

口力BBC,

口PF二BC,

□P尸二48,

□PGDEF,

□四边形GE尸尸是平行四边形，

IPG=EF,PF=GE,

CABBC,PFUBC,PE54B,

匚EBF=UPFB=PEB=90°,

□四边形是矩形，

□PB=EF,EB=PF,

□GE=EB,

BG=2GE=2EB,

BG=2AG,

□GE=EB=AG,

口力8=3/1G,

□四边形48CQ是正方形，

QAD=AB=3AG,

口/C是正方形48c。的对角线，即力C也是正方形力4c。的对称轴，

口匚?。力=□尸8G,PB=PD,

l\EF=PB,PG=EF,

□PB=PG=PD,

□匚P8G=WGB,

□匚PD/i=UPGB,

□□PGB4-DJGP=180<>,

□匚尸。4+JGP=180°,

□CDAG+QAGP+DGPD+1：PDA=360°,[DAG=90°,

□匚G/Y>=90。，

□匚。尸G是等腰直角三角形，

□PO=7TO,

□Z）G-V10+10-2V5,

在Ry4G。中，AG2+AD2=DG2,BPJG2+9JG2=20,

r.JG=V2（负值已舍去），

CAB=3AG=3V2,

即正方形力AC。的边长为3&.

故答案为：3V2.

二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤）

24.（满分8分）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具芍江南风貌特色的历史文化街区，现在已成

为网红打卡地.据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人

数达到11.52万人次.

（1）求游客人数从假期第一天到第二天的平均FI增长率：

(2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元.根据销售经验，每把扇子定价为25元

时，平均每天可售出300把.若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把.设每把扇子降价x元.请

解答以下问题：

①填空：每天可售出扇子把(用含x的代数式表示)；

②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多

少元？

【答案】(1)20%

⑵①300+30X；②6

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式.根据题意正确的列等式方程是解题的关键.

(1)设从假期第•天到第三天的平均日增长率为x,依题意得8(1+X)2=11.52,计算求出满足要求的解即可；

(2)①由题意知，每天可售出扇子(300+30X)把，然后作答即可；

②依撅意得(25*7)(300+30x)=576(),计算求解，然后作答即可.

【详解】(1)解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为X,

依题意得,8(1+X)2=11.52,

解得，尸0.2=20%或L-2.2(舍去)，

・•・从假期第一天到第三天的平均日增长率为20%：

(2)①解：由题意知，每天可售出扇子(3OO+3OQ把，

故答案为：300+30x；

②解：依题意得，(25-X-7)(300+30x)=5760,

整理得，(x-2)(x-6)=0,

解得，x=2或v=6,

•・•想尽可能地减少库存，

・••每把扇子应降价6元.

25.(满分10分)阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，X2-9>0

解：□X2-9=(X+3)(X-3),□X2-9>0可化为(X+3)(X-3)>0,

由有理数的乘法法则”两数相乘，同号得正”，有

(1)或金)解不等式组(1),得Q3,解不等式组(2),得xv.3,

故(x+3)(『3)>()的解集为x>3或<3,即一元二次不等式『-9>0的蟀集为.。3或E-3.

材料2：对于一个关于x的二次三项式依2+儿什,&和》除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可

以用其他的方法：比如先令加+历+个出。，然后移项可得：ax2+bx+(c-y)=0,再利用一元二次方程根的判

别式来确定》的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求2A+5的取值范围：

解：令M+2x+5=y□，+入+(5少)=0□bL4Qc=4-4x(5-y)N0

□>4即『+2x+5N4

解决问题：请根据上述材料，解答下列问题.

(I)直接写出不等式(x+4)(2-x)〈0的解集是;

(2)求出代数式与黑的取值范围；

(3)若关于x的代数式与(其中。、8为常数，且岫翔)的最小值为-2,最大值为4,请求出满足条件的a、b的

值.

【答案】(1*>2或—4

^或^^2

')(2y1)-八(2-1)一

(3)。=-4力=4或。=12,b=-4

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的

方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键.

(1)根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案：

(2)根据材料，令尸嗡亨，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式展”

的取值范围；

(3)根据材料，令严等三根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得

/#・2什3

到满足条件的。、〃的值.

【详解】(1)解：V(x+4)(2-x)<0

|x+4>0nn(x+4<0

127yo-”12-QO

解得：x>2或E-4

・・・不等式G+4)(2-x)〈0的解集是42或xv-4：

⑵解：，怨秘

・・・F(4+2y)x+O2)=0.

.\A=(4+2^)2-4(JH-2)>0.

•*.J2+3J+2>0.

令炉+3尹2=0,

%=/，巳=2

.（，4.什2）加或令2

2bx^a

（3）解：令尸

A--2A-+3

yx2-⑵»26丹+(3y-a)=0,

当尸0时,2bx="。，且ab和,

存在一个x,使得）=0,

：当月0时，/2-仅片2s+。产〃尸。有解,

A=(2j