等差数列（3大考点+10大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）解析版

6.2等差数列

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、等差数列的有关概念............................................................3

二、等差数列公式..................................................................3

三、性质...........................................................................3

常用二级结论......................................................................4

03探究核心题型....................................................................5

题型一：等差数列的概念及通项......................................................5

题型二：等差数列的证明............................................................7

题型三：等差数列的性质...........................................................10

题型四：等差数列的前n项和问题...................................................12

题型五：与S”有关的最值问题......................14

题型六：奇数项和与偶数项和......................................................17

题型七：实际应用问题.............................................................19

题型八：绝对值问题...............................................................21

题型九：等差数列中的不等关系问题................................................25

题型十：恒成立问题问题...........................................................29

04好题赏析（一题多解）..........................................................34

05数学思想方法...................................................................37

①数形结合.......................................................................37

②转化与化归.....................................................................39

③分类讨论.......................................................................40

06课时精练（真题、模拟题）......................................................43

基础过关篇.......................................................................43

能力拓展篇.......................................................................49

1/60

01课标要求

I、理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2、探索并掌握等差数列的前〃项和公式，理解等差数列的通项公式与前〃项和公式的关系.

3、能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.

4、体会等差数列与一元函数的关系.

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02落实主干知识1

一、等差数列的有关概念

（1）等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这人数列就叫做

等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为（常数）

（n€n>2）.

（2）等差中项

若三个数“，力，/）成等差数列，则力叫做〃与的等差中项，且有a+y

A=----

2

二、等差数列公式

（1）等差数列的通项公式

如果等差数列｛q｝的首项为q,公差为d,那么它的通项公式是

（2）等差数列的前〃项和公式

设等差数列｛%｝的公差为d,其前〃项和s“=㈣+若*d=〃⑷+*.

三、性质

I、由等差数列生成新的等差数列

（1）公差为d的等差数列｛4｝具有如下性质：下标成公差为〃7的等差数列的项4+2W，L组成以

为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差

数列.

（2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的

公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

（3）若｛跖｝,｛瓦｝分别是公差为d,d'的等差数列，则有

数列结论

{c+a”}公差为d的等差数列（c为任一常数）

{2}公差为cd的等差数列（c为任一常数）

公差为2d的等差数列

3/60

{pa“+qb”}公差为pd+犯’的等差数列仍，q为常数)

2、若〃z+〃=p+q,则%p,qwN*).

(1)若〃z+〃=2%,则am+册=2%.(〃?,n,peN*)；

(2)若〃?+〃+/=2+q+广，则%+。“+%=%,+%+凡(〃?,〃,〃©//wN*).

(3)有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：

%+%=。2+%=L=q+%+j=L•

3、若勺=见%=〃,则限=0.

常用二级结论

Ss_SSS—V

1、等差数列中：=r则有一2庶助一二2朗一附可以求出S3m,甚至S4,”.

m+nm-n2/»+m2m-m

2、等差数列｛册｝中：｛也｝为首项是外,公差是W的等差数列，若m+"=P+q,则=2

〃2mnpq

cc2S

特别的，若m+〃=2p,则有3L+、=j.

mnp

3、S,有最大值of",'；S„有最小值。[%<°八，若％=0,则有工=5自同时取得最值

㈤+i<0[册+1>0

S„>0S<0

>0,〃的最大值o｛"：5.<(),〃的最大值。”.

,'+|<0[>+i>]J

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03探究核心题型

题型一：等差数列的概念及通项

【例题1】记s“为等差数列｛%｝的前〃项和，已知S4=64,%+4=12q,则％=)

A.22B.24C.28D.36

【答案】C

S4Q+6d-~64

【解析】由凡=64,%+%=12卬可得「一।二'，

%+4二2%+5d=1267)

解得q=4,d=8,

故%=%+3d=28,

故选：C

【例题2】在等差数列｛〃“｝中，品=30,则氏+%—g4=()

9

A.-B.2C.3D.6

2

【答案】C

【解析】设公差为"，兀=30,

15x14

即15q+二-4=30,

2

故4+7d=2,

1]33

所以巴+为=a\+4d+q+8d+3i/)=—+7t/)=—x2=3.

故迄C

【解题总结】

等差数列基本运算的常见类型及解题策略：

（1）求公差d或项数〃.在求解时，一般要运用方程思想.

（2）求通项.q和d是等差数列的两个基本元素.

（3）求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.

（4）求前〃项和.利用等差数列的前〃项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.

【变式1】等差数列｛4｝的公差d±0,q=l,若%,生，生成等比数列，以下正确的是（）

A.%=2B.a2=4

5/60

C.%=5D.a3=6

【答案】C

【解析】由4,生,生成等比数列，得。分=*,

则4•(%+4")=(q+d)",又q=l,

则l+4d=(l+d)2,解得d=0(舍去)或d=2,

则a2=a1+d=31/=q+2"=5.

故选：C

【变式2】记等差数列｛叫的前〃项和为S”,若。$=2,S5=0,则｛%｝的公差为()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】由其=。，可得5%=0,即〃3=0,

所以公差4=%一°3=1,

2

故选：A

【变式3】记S.为等差数列｛q｝的前〃项和,则q=()

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】D

【解析】设公差为"，由S4=09，%=1可得4q+6d=9q+36d且6=q+4d=l,

解得％=3,d=~,

故选:D

【变式4］已知S.是等差数列的前〃项和，若S4=%+1,1+%=4.则叫9=()

A13c型

A-TB.4。3D.7

【答案】D

1

.4x3.,.,

4/z+---d—a+6</+1….“5

【解析】设公差为“，由S4=%+1,%+%=4,则・'2',解得，

,10，

a+3(/+a+64=4d=—

t}27

所以。［9=6+18d=7.

故选：D.

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题型二：等差数列的证明

【例题3】已知数列几｝的前〃项和为S”，满足5“=〃(％；%),证明：数列｛6,｝为等差数列.

【解析】因为s“二〃(％；一),①

有加=("D3+%+J,②

2

②一①得2(S向-S”)=(〃+1)--y+%.

即21=(〃+1)--〃/+%

整理得(〃-1)0T=叫一%,③

当〃之2时，(〃-2)。“=(〃-1)%-%④

③一④得2(〃T”“=(〃T)a/i+(〃T)%，

则2%=4的十4小(“22),故数列｛勺｝为等差数列.

【例题4】已知数列｛4｝的前〃项和邑二+2（〃eN）令”=2%，求证：数列也｝是等差数

列，并求数列｛为｝的通项公式.

【解析】在邑=一g一(，丫'+2中,

令“=1,可得岳=-4+1=q,

（1Y-2

当〃之2时，S/Mi-I.=-an-i.-2-J+2,

1y1

故a”二S“-S“_]=-an+%+团，

UP2na=2"%一+1,即2"%-2Aa.=1,

又4=2%所以==%+l,即当北2时，b.-b7l,

又4=2q=1,所以数列也｝是首项和公差均为1的等差数列,

于是4=〃=2工，所以〃”=£•

【解题总结】

判断数列｛%｝是等差数列的常用方法

7/60

（1）定义法：对任意〃是周一常数.

（2）等差中项法：对任意〃甩,“sN*,湍足2。“=/+］+〃“_|.

（3）通项公式法：对任意〃wN',都满足勺=〃〃+］（0国为常数）.

（4）前〃项和公式法：对任意〃WNL都湍足S”=4〃2+8〃（48为常数）.

2

【变式5］已知正项数列｛〃“｝的前〃项和为S”，且％+—=2S”.

0八

⑴求«|;

（2）证明｛S：｝是等差数列，并求｛可｝的通项公式；

（3）若记数列仇｝的前〃项和为小求

%

22

【解析】（1）因为用+7=珥,故q+1=2q,解得4=&或%=-应,

而&>0,故q=收

27

（2）因为%+—=说，故S,「S,i+《——=2Sn,

4S.-SR

整理得到：S—,故｛S；｝是等差数列，且首项为S；=2,公差为2,

故$=2+2（〃-1）=2〃，而应｝为正项数列,故S”>0,故与=技，

故当〃22时，an=\［2n-^2（AZ-1）,而q=x/5也满足该式，

故an-\［lii-.

(-ir(-ir=(一］)”2^,(〃+1/7-1),

(3)4=

an

故友=¥［-（（）+7［）+（71+收）-（夜+6）+・・一（屈+如）+（如+廊）］

7；0=—X5N/2=5.

2

【变式6］已知数列｛/｝中，2C%=%+£.

（1）证明：数列｛2%J是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式;

（2）求数列｛%｝的前〃项和S”.

【解析】（1）因为2%.1=%+玄，所以2向—=2&+1,

即2’-2"4=1,/?>1,

8/60

所以｛2%,,｝是首项为？吗=1,公差为1的等差数列,

故2a=〃，即凡唠

所以数列｛叫的通项公式为4=金

/〜、e123〃

=++++,①

⑵Sn2^2^....F

1cl2〃1n

25"=展+初+...++,②

㈤1cli11

由①一②得5s.=]+宠+初+……n

则*=1+9泉+1n,n+2

=2—

T

n+2

所以，S“=2—

2".

【变式7］（2025•高三•西南德宏•升学考试）设数列｛%｝的前〃项和为S”.己知勺=1,

2s.12.

—=a^2GKNr•

n33

（I）求生,处的值;

（2）求证：｛2｝为等差数列;

n

7c17

【解析】（1）数列｛%｝中，要=%+「京2-〃-余〃£^,

当外=1时，2q=2S1=生一；一1一：二。2-2，而4=1,则。2=4,

当"=2时，S2=。3-4,所以为=S2+4=/+/+4=9.

2V1?12n(n+1)(??+2)

⑵由区=~一针2一"屋得2S”=〃/「/-〃

3

当〃之2时，2-］）%—（"竽+1）

两式相减得2%=〃%+]-(〃-1)/一〃(〃+1),即〃％+]=(〃+1)%+»(«+1),

整理得巴号一%=1,而?—?=

〃+1〃21

故数列｛%｝是首项为2=1,公差为1的等差数列.

n1

【变式8］（2025•高三•山东济南•开学考试）己知正项数列｛见｝的前〃项积为。，且满足

%=占2)

9/60

(1)求证:数列｛上｝为等差数列;

3令孰二不匕求数列｛£,｝的前〃项和S”.

【解析】(1)证明：当”=1时，4=(=也，又4>0,7；/0,所以1=3,

I，一z

当心2时,又工产0,所以7；-2=7；T，即7；-7；“=2,

所以数列｛[｝是首项为3,公差为2的等差数列.

(2)由(1)知数列｛[,｝是首项为3,公差为2的等差数列,

1i_rj___j_]

贝旧二2〃+1,(277+1)(2/7+3)­2^+12/7+3J

1

•••+

2/z+l

\_(\_______________1_n

2U-2zz+3j=6-4n+6=6n+9

所以数列｛C｝的前〃项和S.=—

n6〃+9

题型三：等差数列的性质

【例题5】已知等差数列｛%｝的前〃项和为若52=6,%=6,则生+%=.

【答案】16

【解析】已知S?=6,%=6,可得S2=2q+2x(；7)d=2q+『,即2%+d=6①；

/=q+(3—1)4=41+24,即q+24=6②；

联立①②解得：d=2,q=2：

由等差数列的通项公式%=q+(〃-l)d,可得4=6+(6-1”，将q=2,d=2代入可得%=2+5x2=12,

因为%=4,a6=12,所以用+/=4+12=16.

故答案为：16.

【例题6]若｛4｝为等差数列，生+/=-3,则它的前12项和为—.

【答案】-18

12

【解析】根据题意可知前12项和为q+生+…+4J+《2=万(4+62)=6(q+tJ12),

10/60

又易知q+%=%+%=-3,

所以前12项和为6x（-3）=-18.

故答案为：-18.

【解题总结】

如果｛q｝为等差数列，当/〃+〃=p+g时，％”+/=%+4夕（/〃，〃，〃，”“）.因此，出现

%-“，%，%+”等项时，可以利用比性质将已知条件转化为与%（或其他项）有关的条件；若求4项，可

由（=；（*+%+.）转化为求ai+4+〃,的值•

【变式9】设等差数列｛%｝的前〃项和为5,,1=-2,，+1=034.2=3,则正整数％的值为.

【答案】4

【解析】S—-5八1=4+2=3-0=3,Sk+l-Sk=aA+l=0-（-2）=2,

则公差d=4+2_/+i=3-2=1,则/=ak+i-d=2-\=\,

有fl1=ak-（k-\）d=1-^+1=2-A,

乂s（q+%）〃=_2,则（2-=_2,

/22

化简得/一3"4=（"4）（〃+1）=0,解得*=4或£=一1（负值舍去），

故正整数左的值为4.

故答案为：4.

【变式10］（2025•高三•安徽•开学考试）已知S,是等差数列｛〃“｝的前〃项和，S产SA，则S“=.

【答案】0

【解析】在等差数列｛《,｝中，由W=S4,得％+4+%=34=0,解得生=0，

所以品="竽应=1以=0.

故答案为：（）

【变式11］（2025•甘肃白银•模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且%+2=2%「a”，

%十/5一%0，则_.

【答案】0

【解析】因为。”+2—2。“+［—，所以=q+2+凡，所以数列®｝为等差数列，

所以。4+。15=%+《0=40，所以%=0，所以S］7」7（"；的）=17旬=0・

故答案为：0.

【变式12］已知等差数列4的前〃项和为S”，若%+&=12,则5=_.

11/60

【答案】42

【解析】邑=7.q士=7・""=42.

22

故答案为：42.

题型四：等差数列的前n项和问题

【例题7】已知两个等差数列｛%｝和｛4｝的前〃项和分别为S”和7；,且关=篙，则£=.

7

【答案】j

【解析】由等差数列性质得

17（g,4-g17）

偈_2%_4+《7_2_S[7_3x12+5567

兀一荔一a+如-17伍+%）一元17+7^24飞

故答案为：（

【例题8】在等差数列｛〃“｝中，已知$6=10,几=30,则%=—.

【答案】60

【解析】由于56,品-S.ELS”成等差数列,所以10,20,几-又成等差数列，故儿-品=30,故臬=60,

故答案为：60

【解题总结】

在等差数列中，S“，S】n—S/5加一520，…仍成等差数列；｛三｝也成等差数列.

n

【变式13】若S,为等差数列｛4｝的前〃项和，S8=28,S12=66,则%与分的等比中项为

【答案】±2A

【解析】因为反为等差数列｛%｝的前〃项和，且§8=28,几=66,

8q+28d=28

所以可得〈解得

12q+66d=664=0

所以。5=q+4d=4,%=。|+6〃=6,

设％与%的等比中项为加，则〃/=%y=4x6=24,则〃?=±2"，

所以牝与％的等比中项为±2".

故答案为：±2>/6

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【变式14](2025•高三•湖北•开学考试)已知等差数列｛凡｝，也｝的前〃项和分别为反，人且

S,.3〃+2%

则户_____.

Tn〃+14

4715

【答案】记飞

【解析】由*=3詈可得酎二毛苧二2，

Tnn+17|515+116

15X^L1^!5

乂也.______2=_4.

&15乂々+砥15b8bj

2

故答案为：--

16

【变式15】各项均为正数的等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若S„=72,则七心的最大值为一.

【答案】64

【解析】解法一：因为Sg=(%+£)•9=^~二%=72,所以。$二8,

所以。2+4=2%=16,因为16=%+。8N2J%/，

所以%%464,当且仅当。2=4=8时取等号.

解法二：因为S,=(勾+；J9="=72,

所以为=8,所以生+4=2牝=16,

贝|J曲〃8=。2(16—%)=一Q；+16。2=—(“2-8)~+64,

故当。2=8时，a2a8取得最大值64.

解法三：(基本量思想)：设数列｛4｝的公差为"("20),

因为59=9%+之芋=9《+36d=72,所以q+4d=8,即《=8-4”,

所以攸x=(q+d)(q+7d)=(8-4d+d)(8-4d+7d)=(8-3d)(8+3d)=64-9d2,

当d=O时，的4取得最大值64.

故答案为：64

【变式16】(2025•新疆喀什•模拟预测)已知S”是等差数列｛%｝的前〃项和，若$4=1238=40,则

S12=___-

【答案】84

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【解析】因为数列几｝为等差数列，则54，项一y,52-£也为等差数列，

可得2(574)=$+(配-&),即2(40-12)=12+($-40),解得兀=84.

故答案为：84.

题型五：与>有关的最值问题

【例题9】已知等差数列｛〃/前〃项和为Z，/+%+%=3,5U=-11,则使Z取得最大值时〃的值为

()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】设等差数列｛4｝公差为d,由4+%+%=3,4=11

则%-2〃+牝+%+2d=3/=3,牝=1,

<75=a]+4d=\

_][11x10,

Sc”-114+--—"--11

解得q=9,4=-2.

:.S“=9〃+——x(-2)=-n2+10/i=-5)"+25,

2

.•.当〃=5时，S”取得最大值.

故选：B.

【例题10](2025•高三•河北张家口-期末)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，且％>0岛=44，则

勺+S“取最大值时〃的值是()

A.4B.5C.6D.10

【答案】B

(4+q+9")xl0

【解析】设等差数列｛q｝的公差为d,则So==44=4(q+3力，

2

化简得2q+lld=0,即d=_2〃

则%+s”=%+(〃-1M+叫+〃(〃；“二1+1九+〃

211〃+11-〃2-〃+2、

=6+1)4+---

——114,

14/60

［吟产卜=兼（"5）2刊，

由4>0,则当〃=5时，/+S”取最大值.

故选：B.

【解题总结】

求等差数列前〃项和5„最值的2种方法

（1）函数法：利用等差数列前〃项和的函数表达式3“=卬/+加，通过配方或借助图象求二次函数最

值的方法求解.

（2）邻项变号法：①若q>0,d<0,则满足卜对八的项数〃，使得S“取得最大值加

②若q<0,1>0,则满足的项数/〃使得S.取得最小值乂.

【变式17］（2025•高三•辽宁•开学考试）已知等差数列｛。,,｝的前〃项和为S“，若%=2,岳=9,则使

S,最大的〃的值为（）

A.7B.8C.7或8D.8或9

【答案】C

【解析】根据题意，数列｛%｝为等差数列，所以4=《+（〃-1”（〃为正整数），S”=%〃+小二更•，

S=a・9+（1—9

因为生=2.S°=9,所以彳9一।2".解得，

%=q+4=2

所以S”=］〃+〃（：1•~小S,最大时,n=7.5,

32\5）66

但由于〃为正整数，所以当〃=7或8,S”最大.

故选：C.

【变式181（2025•高三•浙江・开学考试）已知等差数列也｝的前〃项和S”满足：S2025Vs20<S?o26，

则数列Z的最小项是第（）项.

A.2026B.2027C.4048D.4049

【答案】A

【解析】由$2025<S2ff2A<S2026»

则“2025=1^2025~1^2024＜。'“2026=^2026—*^2025＞。,“2025+“2026=^2026—52024＞。，

因此等差数列｛〃.｝为递增数列,

15/60

而s3404*+*）=4049、<。，

s.=405°（,「）=2025（%/+>0,

则“42025时,atl<0,S“<0,艮喙>0；

S

L

当"22026时，an>0,要使:最小，则S〃<0,

n

此时2026<»<4049,数歹U｛3｝为递增数歹U,

11s

则随着〃的增大，%增大,丁减小，S”增大，但丁>0，S”<o,则广增大,

，最小.

因此，当〃二2026时,

故选：A.

【变式19］（2025•江西•模拟预测）记S,为等差数列｛凡｝的前〃项和.日期=2《=2,则满足邑<888

的"的最大值为（）

A.40B.41C.42D.43

【答案】B

【解析】由已知可得q=L%=2,

｛%｝的公差为小一。1=L故%="，

故s,=—+…+〃="（丁）,

令山詈<888,又〃eN，所以〃441,故〃的最大值为41,

41x4242x43

验江S*=^—=861<888,S42=^—=903>888,

所以〃的最大值为41.

故选：B.

【变式20］（2025•江苏盐城•模拟预测）设等差数列｛%｝的前“项和为工，若0,§9=凡，则当多

取馒小值时〃的值为（）

A.12B.13C.14D.25

【答案】C

【解析】由Sg=$9可得既,+即+…+《9=0,由等差数列的性质可得：5（d14+^l5）=o,

因％<0,则等差数列｛&｝的公差d>0,即等差数列｛%｝为递增数列，

故<0,4|$>0,即s“取最小值时，〃的值为14.

16/60

故选：c.

题型六：奇数项和与偶数项和

【例题11］已知等差数列｛q｝的项数为奇数，且奇数项和为44,偶数项和为33,则数列的中间项为_；

项数为

【答案】II7

【解析】设等差数列｛qJ的项数为2〃+1(〃eN),

则S奇=4+%+%+•••+%_】+%”

n(a2+£?,,.)c

S偶=%+%+&+…+生”-2+。2“=------33，

+〃+14、

•••詈=—=T,解得：〃=3,即等差数列｛(可｝的项数为2〃+1=7；

»偎113

=2〃+1项的数列的中间项为第〃+1项，即4“，

••・由(〃+1)%+产44得：41=44,解得：。,川=11,即中间项为11.

故答案为：11：7.

【例题12］已知等差数列｛凡｝共有2〃-1项，奇数项之和为6(),偶数项之和为54,则〃=.

【答案】10

【解析】奇数项1fl〃项，偶数项有〃-1项，所以奇数项和为幽&□-〃4，偶数项和为

2

(-1)(彳+*)=(”_1)%,

故=绘，解得〃=1()♦

w-154

故答案为：10

【解题总结】

①若数列｛4｝共有2〃一1项，则(《为中间项)，S奇一S偶二4，》=」7；

3叫〃T

/甘山0〃(q+。2”.1)e(n-1)(a+a_)/八、

(其中向=---------偶=-------22n2〃凡)；

S=nan,S、-----------=(—1)

②若数列｛%｝共有2〃项，则S»尸〃仅“+的+。(%,。田为中间两项)，S偶一S奇二〃d,S.斯+1.

S有a„

【变式21］已知等差数列｛%｝的项数为2/〃+l(〃?wN)其中奇数项之和为140,偶数项之和为12(),则数

17/60

列｛%｝的项数是—.

【答案】13

【解析】设等差数列的公差为

因为等差数列｛为｝的项奇数项之和为140,偶数项之和为120,

”,.++—（2ni+\）-2nid=2603.

所以有'）'2V）=2〃?+1=13,

%+md=140-120

故答案为：13

【变式22］（2025•高三•四川成都•期中）数列｛%｝满足：％=%=1吗川一。2K=2,咏=2,数列

｛〃”｝的前〃项和记为S“，则S23=_.

【答案】2191

【解析】%=1,限一*=2,数列｛出1｝是以4=1，公差d=2的等差数列;

・'•=1+（〃T）X2=2〃-1.

生=1,2也=2,数列｛%”｝是以生=1，公比夕=2的等比数歹IJ；

a2n

%”=2・

曳匕空+刈一”）=2⑼.

•••523=(《+%+…+/3)+&+%+…+%2)=

21-2

故答案为：2191.

【变式23］等差数列｛4｝共有2〃+1项，所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,贝IJ〃等

于一.

【答案】10

【解析】因为等差数列｛%｝共有2〃+1项,

所有奇数项之和为S奇=4+%+.•.+%+1=（〃+」（；+J）《〃旬*=132,

所有偶数项之和为S偶=a2+%+•••+%”="（%；）=〃％产120,

所以，白=心必〃+113211

T=丽=m'解得〃=c

S椁""0+1

故答案为：10.

【变式24］在等差数列｛%｝中，已知公差d=；,且q+%+4+L+阳=60,则

q+〃2+%+L+q0G

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【答案】145

【解析】等差数列｛%｝中，已知公差〃=；，

a｝+a2+ay+L+4z100=a1+a3+a5+L+a99+a2+a4+a6+L+a]Q0

QG2+a4+a6+L+a100=a]+d+ay+d+a5+d+L+a^+d

=60+504=85

4+/+/+L+t7ux）=2x60+5Ox-=\45.

故答案为：145.

【变式25]已知等差数列｛%｝的前〃项和为377,项数〃为奇数，且前〃项中，奇数项的和与偶数项的和

之比为7:6,则中间项为一.

【答案】29

【解析】因为〃为奇数，所以萨=1=匚，解得〃=13.

3例〃一16

所以鸟3=13%=377,所以%=29.故所求的中间项为29.

故答案为:29

题型七：实际应用问题

【例题13】某幼儿园老师为了奖励舞蹈比赛成绩前4名的小朋友，将购买的64块巧克力分给她们，使每

人所得巧克力的块数成等差数列，且使较多的两份巧克力的块数之和是最少一份的巧克力的块数的12倍,

则分得巧克力块数最多的小朋友得到（）

A.22块B.24块C.28块D.36块

【答案】C

【解析】设4名小朋友每人所得的巧克力块数按从小到大的顺序排列为％,%，%，/，且公差为“，

可得修+出+%+/=644q+6d=64

根据题意,,解得q=4,1=8,

a3+a4=\2q2a}+5d=12a,

所以q=%+3d=28.

故选：C.

【例题14]（2025•安徽合肥・二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对

我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，

如“九儿问甲歌“：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少

岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（）

A.23岁B.32岁C.35岁D.38岁

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【答案】C

【解析】设第〃个儿子的年龄为例岁，由题可知｛%｝是等差数列，设其公差为"，前〃项和为S”，

Ox8

易得d=—3,则Sg=9q+；-x(—3)=207,

解得q=35,

即这位公公的长儿的年龄为35岁.

故选:C.

【解题总结】

利用等差数列的通项公式与求和公式求解.

【变式26](2025•四川绵阳•模拟预测)某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行

美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多逑放10排，

则该校花坛铺满一共需要的花盆数是()

A.38()B.390C.400D.600

【答案】B

【解析】记每排摆放的花盆数为｛2｝,数列｛%｝的前〃项和为

由题意可知，数列｛凡｝是以12为首项，6为公差的等差数列，

所以5o=lOq+10x12+45x6=390.

故将该花坛铺满一共需要390盆花.

故选：B

【变式27]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们将石子摆放成三角形(如

图)，三角形中的石子个数依次为1,3,6,10,…，这些数称为三角形数.若将这些三角形数中能被3整

除的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛4｝(〃€N'),则()

A.666B.705C.741D.780

【答案】C

【解析】设三角形数构成的数列为也｝，则其通项公式为“=1+2+3+…+〃=当W,

当尸=3〃-l(ZeN)或〃=34(壮阴时，"能被3整除，

所以也｝的前36项有24项在数列｛/｝中，则数列｛%｝的第25项对应数列也｝的第38项，所以

。25=々8=741.

故选：C.

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【变式28］（2025•高三•河南新乡・开学考试）某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二

排起，每•排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳•个70（）人的代表团，则该会场的座位至少有

（）

A.20排B.21排C.22排D.23排

【答案】B

【解析】依题意，该会场的座位构成以15为首项，2为公差的等差数列｛%｝,其前〃项和，，

则>=15〃+七二-2=n2+\4n,显然数列⑸｝是递增数列，

S20=680<700,52I=735>700,BSn>700,得〃111fa=21,

所以该会场的座位至少有21排.

故选：B

【变式29］（2025•江苏宿迁•模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大

寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数

列