复数（2大考点+8大题型）-2026年新高考数学一轮复习（讲义+专练）解析版

5.3复数

目录

01课标要求........................................................................2

02落实主干知识....................................................................3

一、复数的概念....................................................................3

二、复数的四则运算................................................................3

常用二级结论......................................................................4

03探究核心题型....................................................................5

题型一：复数的概念................................................................5

题型二：复数的四则运算............................................................7

题型三：共较复数与复数的相等......................................................8

题型四：复数的几何意义...........................................................10

题型五：最值问题.................................................................12

题型六：复数的模运算.............................................................14

题型七：复数方程.................................................................15

题型八：复数的三角形式...........................................................17

04好题赏析（一题多解）..........................................................21

05数学思想方法...................................................................23

①数形结合.......................................................................23

②转化与化归.....................................................................25

③分类讨论.......................................................................26

06课时精练（真题、模拟题）......................................................29

基础过关篇.......................................................................29

能力拓展篇.......................................................................32

1/39

01课标要求

（1）通过方程的解，认识复数.

（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

2/39

02落实主干知识

一、复数的概念

(1)，叫虚数单位，满足『=-1,当％EZ时，产=1,严+严+?=-1,严・3=T.

(2)形如a+砥的数叫复数,记作a+>wC.

①复数1=。+加(d％€/?)与复平面上的点2(巴方)---对应，0叫z的实部，6叫z的虚部；

6=0ozeR,Z点组成实轴；6w0,z叫虚数；力工0且〃=0,z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴(不包括

原点).两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共物复数.

②两个复数a+Me+di(a/,c,dwR)相等O”;(两复数对应同一点)

h=a

③复数的模：复数。+4(。净£/?)的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式

为|z|=|〃+/w1=+力2,显然，\z\=\a-bi|=xla2+/>2,z-z=a2+/>2.

二、复数的四则运算

1、复数运算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(2)(a+hi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)■(a-bi)=zz=a2+b2=|z|2

•(注意Z?工|Z『)

z+z=2a

其中|2|=(/+加,叫n的模；-从是z=a+6的共轲复数.

(3)a+bi=(a+bi)・(c-di)=(ac+bd)十(be-亿2+.25t0).

c+di(c+di)•(c-di)c2+d2

实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数基运算法则)都适用于复数.

注意：复数加、减法的几何意义

以复数z”z?分别对应的向量函，函为邻边作平行四边形ozzz?，对角线OZ表示的向量3之就是

复数弓+向所对应的向量.马-Z2对应的向量是窑.

2、复数的几何意义

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（1）复数z=a+bi（a,b€R）对应平面内的点z（a9b）;

（2）复数z=a+砥％bwR）对应平面向量3巳；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.

（4）复数z=a+bi（a,beR）的模|z\表示复平面内的点z（a,b）到原点的距离.

3、复数的三角形式

（1）复数的三角表示式

一般地，任何一个更数z=a十加都可以表示成厂（cosO+isin。）形式，其中/•是复数z的模；个是以*轴

的非负半轴为始边，向量》之所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=〃+4•的辐

角.“cosO+isin。）叫做复数2=。+初的三角表示式，简称三角形式.

（2）辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差匕■的整数倍.规定在ove<2乃范围内的

辐角e的值为辐角的主值.通常记作年Z，即04argz<2;r.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角

形式也可以转化为代数形式.

（3）三角形式下的两个复数相等

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

（4）复数三角形式的乘法运算

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即

4（cos仇+/sin0x）•r2（cos<72+isin0?）=「内［cos（，+/?,）+isin（^+0z）］

②复数乘法运算的三角表示的几何意义

复数弓.2对应的向量为函，运，把向量再绕点。按逆时针方向旋转角内（如果％<0,就要把

可绕点O按顺时针方向旋转角|可），再把它的模变为原来的弓倍，得到向量57,表示的复数就是

积zxz2.

（5）复数三角形式的除法运算

两个复数相除，商的模等「被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数

的辐角所得的差，即=ZL［COS（^_^）+isin（4.

G（cos%+/sin%）r2

常用二级结论

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03探究核心题型

题型一：复数的概念

【典例1-11(2025•河北秦皇岛-三模)下列关于复数的说法，正确的是()

A.复数i的任何偶数次塞都不小于零

B.若实数〃则z=4-6+(a+8)i是纯虚数

c.在复;平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数

D.若复数满足4>/，则4/2均为实数

【答案】D

【解析】对于A中，由虚数单位i?=7,可得A错误；

对十B中，若a=b=0,那么a—5+(a+b)i=0€K,所以B错误；

对于C中，虚轴上的点(。，0)对应复数z=0wR,所以C错误；

对于D中，若复数4/2满足虚数不能比较大小，则与今均为实数，D正确.

故迄D.

【典例1・2】(2025•湖北黄冈•模拟预测)已知4=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正确的是()

A.Z|>22B.Z)<Z2

C.zczx<z2-z1D.>z2-z2

【答案】C

【解析】因为虚数不能比较大小，故A,B错误：

因为马•与=(5+3iX5-3i)=34,z2-z2=(5+4i)(5-4i)=41,

所以々々<Z2•马，故C正确，D错误.

故选：C.

【解题总结】

无论是复数模、共朝复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复

数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.

【变式1・1】已知acR,且答为纯虚数，则。=()

l-3i

A.-2B.2C.-6D.6

【答案】D

【解析】解法一：

5/39

由题可得告(a+2i)(l+3i)_a_63o+2.

(l-3i)(l+3i)-To-'1-10

工0

因为看为纯虚数,所以［九工解得”6.

故选：D.

解法二：

因为岩1为纯虚数，所以可设瞥=粗左WR/HO），

1-311—31

化简得〃+2i=3k+Zi,则k=2,a=3左=6.

故选：D.

1.；2025

【变式1・2］已知i为虚数单位，把一的虚部为（）

1+i

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】C

【解析】根据复数的乘方可知i2°”=（巧叫i=i,

2025

,.3+i3+i（3+i）（l-i）3-2i+l..“卜*M

则1.=L=八.、=—；—=2-1,其虚部为一1.

l+i1+1+2

故选：C

【变式1・3】（2025•辽宁•三模）已知复数z在复平面上对应的点为。〃,1）,若iz>-2,则实数机的值为

（）

A.0B.-1C.1D.1或一1

【答案】A

【解析】因为复数z在复平面上对应的点为（见1）,

所以z=〃1+i,

因为iz>-2,

因为iz=i（m+i）=-l+"7i为实数，

得阳=0.

故选：A.

【变式1-4］（2025•浙江温州•二模）已知nwC,则”eR”是“zwR”的（）

A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

【解析】易知z-i=z2qR,所以不满足充分性，而OZ2^R,满足必要性.

6/39

故选：B

【变式1・5】若复数z满足(l+i)(z+i)=i,其中i为虚数单位，则z的虚部为()

11-33

A.-B.——C.-D.——

2222

【答案】B

【解析】由题设z=/L—i=¥二?一i=^—i==,故虚部为一?.

故选：B

题型二：复数的四则运算

【典例2・1】(l+i)(5+2i)=()

A.3+7iB.3-7iC.7+7iD.7-7i

【答案】A

【解析】(l+i)(5+2i)=5+2i+5i+2i2=3+7i.

故选：A.

【典例2・2】(2025•四川绵阳•模拟预测)已知复数z=Ji+i,5是z的共挽复数，则nN=()

A.4B.2C.73D.V3+1

【答案】A

【解析】已知z=E+i，所以亍=行-i,

z-z=(x/3+i)(V3-i)=(百y-i2=4.

故选:A.

【解题总结】

设Z]=a+bi,z2=c+(li(a,b,c,deR)»则

(1)z,±z,=a+c+(b±d)i

(2)zx-z2-ac-bd+(ad+bc)i

(-%\z.ac+bdbe-ad人、

3)，=2.2+2rkHO)

z2c+d'c+d~

【变式2・1]已知(l+i『z=3+2i,则z的共规复数口()

A.1—iB.1+—iC.----iD.-+i

2222

【答案】B

7/39

3+2i3+2i3i+2f3.

【解析】(l+i『z=3+2i,贝Ijzlf

(l+i『2i2i22

-3

所以z=F

故选：B.

【变式2・2］若复数z满足上U=3+i,则z

)

z

A.l+iB.l-iC.-l+iD.-1

【答案】A

【解析】由生"l=3+i,

Z

得“目2i(l—i)2+2i

l+i,

(l+i)(I)2

故选：A

【变式2・3］复数(2+i)21l-L］的虚部为()

A.3B.2C.-3D.-2

【答案】B

【解析1由题意知，(2+i)2—(l—：J=

(2+i『一(l+i『=3+4i—2i=3+2i,

所以复数(2+i)2-的虚部为2.

故选：B

题型三；共姬复数与复数的相等

【典例3・1】设，“WR,若(1+福)(l-i)=2,则〃?=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

....22(l+i)

【解析】由(1+〃”)(1-1)=2可得1+=F=(]_0(]+(=1+1,故加=1,

故选：C

【典例3・2】若3(z+为+4(”力=6+8i,则2=()

A.I+iB.2+iC.1+V2iD.V2+i

8/39

【答案】A

【解析】设z=〃+历（生人€R）,则彳=a-bi,z+z=2a,z-z-2b\,

6a=6

由题干可得3x2〃+4x2bi=6a+8历=6+8i,

8/）=8

解得a=l,b=l,故z=l+i

故选：A.

【解题总结】

复数相等：a+bi=c+dio«=c且/)=d(a,b,c,dER)

共，见复数：a+bi=c+dioa=，且b=-d(a,b,c,deR).

【变式3・1】已知(1—2i)“+(3+4m=2+6i,其中明〃为实数，令2=〃+勿，则忖=()

A.1B.&C.百D.2

【答案】B

【解析】因为(1—2i”+(3+4i)b=2+6i,所以(a+3〃)+(—2a+4b)i=2+6i,

a+3b=2fa=-1

由兔数相等的定义可得，>小〃解得(,.

-za+4P=6[b=1

乂z=a+bi,则N=-l+i,所以忖=J(7)2+/二也.

故选：B.

【变式3・2】(2025•高三•天津西开•开学考试)已知复数z满足2z+5=3-i,则z的虚部为()

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【解析】设z=a+力i,则Z=〃一方i，

由2z+5=3-i,可得2(〃+bi)+a-bi=3-i,化简得3a+6i=3-i,

3。=3[a=\

从而.—即(J所以N=「i，z的虚部为-L

0=~\=-1

故选：B.

【变式3・3]复数2=1+百，・则|"；|=()

A.2B.4C.2iD.4i

【答案】B

【解析【复数z=l+®，则|z•司二|(1+/)(1-后)|=卜才卜4.

故选：B.

【变式34]已知。wR.i为虚数单位，复数z=(3+i)(2-出)，若z为纯虚数，则同二()

A.-6B.6C.-20D.20

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【答案】D

【解析】（3+i）（2-〃i）=（6+a）+（2-3a）i,

•••owR且（3+i）（2-H）为纯虚数,

6+。=0

12-3叱0:.a=-6,:.z=20i

.•洞=|z|=20.

故选：D.

【变式3・5］设复数z=l+i,卬=。+加，其中a,〃eR,若加一万”是虚数，贝"()

A.a+b=0B.a+b^OC.a-b=OD.a-b^O

【答案】D

【解析】由复数N=l+i,w=a+〃可得三=l-i3=a-bi,

所以zw=(l+i)(a-bi)=a-b\+ai-bf=Q+6«4—^i，

zvv=(1i)(fz\b\)=a\b\a\bi2=alb\pa),

所以zi?-%v=2(a-i,

因为z访-5w是虚数，所以"AhO,

故选:D

题型四：复数的几何意义

【典例4・1】已知更数2=1+1,则复数力在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】因为zi=(i+l)i=—l+i,

所以复数zi在复平面内对应的点为,在第二象限.

故迄B

【典例4・2】若复数z=/,则在复平面内z对应的点位于（

)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

3-i_(3-i)(l-i)2-4i

【解析】7+7-(l+i)(l-i)-2

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所以在复平面内z对应的点坐标为（1,-2）,第四象限，

故选：D

【解题总结】

复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是

研究复数几何意义的最重要的出发点.

【变式4・1］若复数z满足（2-i）z=i2。，则z在更平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

t解析】由得z士滞册T4,

（12、

所以z在复平面内对应的点为-〒w，位:第二象限.

故选：B.

【变式4・2］已知亚数z满足z（l-i）=W，则z在亚平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】因为z（i—i）=i『=i，所以z===（」i；+厂号,

二•Z对应的点为位于第一象限.

故选：A

【变式4-3］（2025•高三•江苏苏州•开学考试）设z=（l-i）i（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应

的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】依题意，z=i-i2=l+i，所以在复平面内复数z对应的点（1,1）位于第一象限.

故选：A

【变式44］若复数4=4+bi（d〃£R）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数Z2=6+“i在复平面内对

应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为史数4="+〃i（a,〃£R）在史平面内对应的点（。/）位于第二象限，

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所以。<01)>0,

则复数向=6+而在复平面内对应II勺点他。)位「第四象限.

故选：D

题型五：最值问题

【典例5・1】(2025•高三•山东•开学考试)已知复数z满足忖=1,则|z+l-2i|的最小值为()

A.75+1B.x/5-1C.3D.2

【答案】B

【解析】设复数z=x+"(x,j”R),因为|z|=l,可得产衣=1，即/+产=1,

所以复数n在复平面上对应的点Z(x,v)的轨迹是以原点为圆心，半径,♦二1的圆.

对于复数z+1-2i=(x+l)+(y—2)i,则|z+l-2j|=J(x+l7+3-2)2表示点2(工/)到点/(—1,2)的距离,

因点4(7,2)到原点0(0,0)的距离为|Q4|=^(-1-0)2+(2-0)2=亚，

由图可知，点Z到点/的距离最小值为|。4|-「=有-1,也即|z+l-2(m=石一】•

故选：B.

【典例5・2】设zeC,若z?的实部为I,则|z+2i|的最小值为()

A.1B.72C.8D.2

【答案】C

【解析】设2=工+“(》)61<),=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,

zz的实部为1,故/一/=1,贝1」，/=丁+1,yeR,

而|z+2i|=|x+yi+2i|=|x+（y+2）i|=yjx2+（y+2）-

2

="+1+/+”+4=必2+4y+5=^2（y+l）+3，

当y=7时，2（歹+1丫+3取最小值3,即，2（歹+1）2+3取最小值5

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故|z+2i|的最小值为6,

故选：C

【解题总结】

利用几何意义进行转化

【变式5・1】（2025•山东•模拟预测）若复数z满足|z-4+3i|=2,则|z|的最小值为（）

A.2B.3C.6D.7

【答案】B

【解析】设2=工+”（占），£咫，则|z_4+3i|=2=（x_4y+（y+3y=4,

又目=&T7表示点Z（x,y）与原点的距离，故忖的最小值为〃+3）2-2=3.

故选：B

【变式5・2】（2025•河南•一模）设复数三在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则忖的最大值为

（）

A.1B.V2C.百D.2

【答案】B

当且仅当。=1时取“=”，所以目的最大值为近.

故选:B.

【变式5・3】（2025•湖北黄冈•一模）已知zeC,且匕-1|=1,i为虚数单位，则|"2i|的最大值是

（）

A.>/5+1B.75-1C.2D.石

【答案】A

【解析】=1表示以C（l,0）为圆心，/=1为半径的圆，

则圆心C到点河（0,2）的距离△=万不=V5，

则|z-2i|的最大值为d+7•=石+1.

故选：A

【变式54］（2025•广东•模拟预测）若复数n满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z-l|的最大值是（）

A.1B.41C.2D.石

【答案】B

【解析】设复数i、T在复平面内对应的点分别为40,1）］（0,-1）,

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复数z=a+/）i（a力wR）在复平面对应的点为：Z（a,b）,

由|z+i|+|z-i|=2可知：复数z在复平面内对应的点到两点48的距离之和为2,

而|48|=2,所以点Z5力）在线段48上，故。=0力£卜1』，

则|z-l|=|历一1|=，（一1>+从=«-b2&五，

当占=±1时，|z-l|的最大值为VL

故选：B.

题型六：复数的模运算

【典例6-1】若Z1=2+3i,Zz=4i-l,则归-耳二___.

【答案】M

【解析】因为Z1=2+3i,Z2=4i-l,

所以4-N2=（2+3i）_（4i_l）=3—i,

所以区―4=旧石7=加，

故答案为：Vio.

【典例6-2]若复数z满足2z-|z|=l+2i,则z=_.

4

【答案】y+i

【解析】设2=。+历，则|z|=JU,

所以2z—|z|=2（〃+小）一，"+8=2〃一+2〃i=]+2i,

\2a-yla2+b2=1"二：

所以，，解得<3,

26=2[/）=]

4

所以z=}i,

故答案为：j4+i.

【解题总结】

\z\=\la2+b2

【变式6・1】（2025•河南信阳•模拟预测）若复数2=产，则|z|=_.

【答案】亚

14/39

l+3i=(l+3i)(l+i)=一2+4i

【解析】Qz=-l+2i,

TT-(l-i)(l+i)~2

|Z|=7（-1）2+22=V5,

故答案为：.

【变式6-2］（2025•上海嘉定•二模）己知复数卬Z2满足㈤=1,同=2,忆-z』=6,则归+4的值为

【答案】b

【解析】设方对应的复数为4，砺对应的复数为Z2，

则OA+OB对应的复数为4+飞，OA-OB对应的复数为4-z2,

因为㈤=1,|z2|=2,|Zj-zJ=4i,

222

由平行四边形的性质可得：|ZI+Z:|+|Z1-Z2|=2（|zj2+1z2|）

所以归+z?|=瓦/+2四+-2『=J2+8-7=百

故答案为：JJ.

【变式6・3】（2025•辽宁•一模）设好数4*2满足㈤=凶=1，2「22=+4心则B+Zzb.

【答案】石

【解析】因为对任意复数4/2,都有B+Z2「+|z「Z2-二2（㈤。㈤）

又马_Z2=_g+等i，

所以匕-2］=1

所以|马+22|2=2何2+t2「卜日—2「=3,所以B+Z2|=G.

故答案为：上.

1+i

【变式64］（2025•高三•江西-期末）若复数z=则|2.Z2O23+Z2O2[=

【答案】石

【解析】由z=E=小兴;曰，

1-1(1-1)(1+1)

所以2・z2°23+Z2024=2.i2023+i2024=I-2b故|2•z?02'+z2024|=y/s.

故答案为：出

题型七：复数方程

【典例7・1】（2025•山东•模拟预测）已知z是方程3/+2x+l=0的一个复数根，则目=（）

15/39

A.-B.—C.-D.—

3333

【答案】B

【解析】由题，因为△=4-4x3=-8<0,所以z和三是方程3x：+2x+l=0的两个根，

所以z2=；,即所以上卜日.

故选：B.

【典例7・2】（2025•山东潍坊•二模）已知-1+6是关于x的实系数方程/+〃a+〃=0的一个复数根，

则m+n=（）

A.-5B.-1C.1D.5

【答案】D

【解析】因为-1+6是关于x的实系数方程/+蛆+〃=0的一个复数根，

所以及i是关于X的实系数方程.丫2+〃〃.+〃=（）的另一个复数根，

由韦达定理得一切=一1++解得用一2,

/7=（-l+V2i）（-l-V2i）=1-2i2=3,则加+〃=5,故D正确.

故选：D

【解题总结】

复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式

及三角形式进行求解。

【变式7・1】在复数范围内，方程——5x+6=（）的解的个数为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】设x=a+/）i（a,力£R）,代入方程：（。+加>-5（。+加）+6=0

展开得：（a2-Z>2-5a+6）+（2ab-5b）\=0

实部与虚部分别为零：[::"二号6=°

2ab-5b=0

由虚部。（2。-5）=0：

情况1：b=0（实数解）代入实部：/一5〃+6=0,解得。=2或。=3,即1=2,3,

情况2：2。-5=0（虚数解）贝lja=g,代入实部：

但）:从_5二+6=0,即空―/—生+6=o,

[2）242

化简得：-y-1=0,即（无实数解），

16/39

仅有2个实数解（无虚数解），故解的个数为2,

故选:A.

【变式7・2】（2025•山东济宁•二模）已知1—2i是关于x的方程x2+G+b=0（〃,beR）的一个根，则

卜+例=（）

A.2B.3C.5D.V?9

【答案】D

【解析】将l-2i代入产+纨+6=0有：（l-2iy+4（l-2i）+b=0,

/、/、{a+b-3=0（a=—2

化简整理有（"b-3）-（4+2a）i=0,即，解得「＜，

41乙a—Uu—3

所以卜+河=，a2+护=2y+5?=回,

故选：D.

【变式7・3】已知复数i-2是关于％的实系数方程/+〃二+夕=0的一个根，则|pi-4=（）

A.25B.5C.历D.41

【答案】C

【解析】因为复数i-2是关于x的实系数方程/+川+夕=0的一个根，

所以（i—2『+p（i-2）+q=0,所以pi+g=4i+2〃-3,

所以P=4,g=2p-3=5,贝“pi_J=|4i_5|二向.

故选:C.

【变式74］若3+i是关于x的方程--/力-〃=0（〃?,〃6叨的一个根，则（）

A.=6,w=10B.tn=-6,n=-10

C.w=-6,w=10D.〃？=6,〃=—10

【答案】D

【解析】由题意可得关于x的方程f一心—〃=o（”?eR）的另一个根为3_i,

则|（3+i）（3—i）f解得用=6,-10.

故选：D.

题型八：复数的三角形式

【典例8-1】（2025•高三•河北•开学考试）已知复数2=539+185£（i为虚数单位），则d等于（）

66

17/39

A.1B.iC.-ID.-i

【答案】C

【解析】因为复数2=5出2+185工=852+15m色，

6633

所以2^=cosE+isin^=cosn+isin7t=-1.

I33）

故选：C

【典例8-2】欧拉公式：/=cos6+isinWi是虚数单位，e=2.718...,八R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的,

1Y025

它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数「声复数Z满足Z・Z=1,则9-Z的最

大值为（）.

A.0

C.1D.2

【答案】D

♦..A11173.加..4兀

【解析】由题设z1=cos与+isin?=-；+争，则泉—1+可-1一,-8sm+isu】F

~2+2*

所以d•产=(cos/+isin号=cos2700北+isin2700jr=1,

由Z•Z=1,则Z=±1,故Z=-1时r的最大值为2.

故选：D

【解题总结】

一般地，任何一个复数z=a+4•都可以表示成“cose+tsin。）形式，其中尸是复数z的模：。是以.、轴

的非负半轴为始边，向量。之所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+4•的辐

角.〃（cos0+isinO）叫做复数2=。+初的三角表示式，简称三角形式.

【变式8-1］（2025•海南•模拟预测）已知复数z=cos2+sin?i（i为虚数单位），则i等于（）

b0

A.1B.一1C.iD.-i

【答案】c

【解析】因为复数Z=cos£+sin?i,

66

根据复数的运算法则,可得/=（cos2+sin刍）3=cos?+sin=i=i.

故选：C.

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【变式8-2］（2025•黑龙江哈尔滨•三模）复数z=a+bi（a/wR,i是虚数单位）在复平面内对应点为

Z,设厂二|OZ|,。是以X轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则

z=a+/）i=Ncos0+isinO）,把，《osO+isinO）叫做复数〃+人的三角形式，利用复数的三角形式可以进行

复数的指数运算，pYcos夕+isinO『u/Xcos/iO+isin"。），例如:

cos—+isin—1=cos2外isin2m

(1+i)4=4(COSTT-I-isinn)=-4,

33)

复数z满足z，=l+i，则z可能取值为（）

【答案】D

【解析】设N=〃（cose+isin。）,

则/=/(cos3e+isin36)

所以尸=蚯，3。=2加+T，%wZ,即。=^+3，kcZ,

所以z=啦cos—1+isinfi3eZ

LI312；I312〃

故A=2时，e==,故Z可取④cos詈+isin誉），

故选：D

【变式8・3】欧拉公式ew=cos8+isin。（其中，•为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的.若复数立一。弓,

则Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一•象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】由题可得z=c4=cs型+isin红二—旦乌，

4422

所以z在第平面内对应的点为-4-，5-，位于第二象限，

\/

故选：B

【变式8-4】设力，B,C是V/8C的内角,z=（cosN+isin4）+（cos8+isin8）（cosC+isinC）是一个实数,

则V/18C是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

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C.直角三角形D.形状不能确定

【答案】C

[解析]依题意,z=[cos(4-B)+isin(A-5)](cosC+isinC)=cos(4-8+C)+isin(A-B+C),

由复数z是实数,得sin(4-B+C)=0,在V48c中，sin(冗-2团=0,

由0<8<兀，得一兀<冗一23<兀，因此兀-28=0,解得8=四，

2

所以V/8C是直角三角形.

故选：C

【变式8・5】棣莫佛定理：若复数z=]cose+isin。),则z”=1cos〃6+isin〃。)，计算L且i=()

\/

*.R1-^3.r1\/3.n1V3.

222222

【答案】A

【解析】因为雪^i=cos四十isin四，

2233

所以，-+—i=fcos—+isin-l=COSH+isinJI=-1.

2213”

故选：A.

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041好题赏析(一题多解)

1.在复平面内，及数Z满足(l-i)z=2,则z=()

A.1B.iC.\-iD.\+i

【答案】。

【解析】

2_2(14-/)

解：解法一:T^7-(l-/1)•(1+/)1+i

解法二：设N=。+4(。/均为实数)，则伍+〃)+(〃-4)/•=2,

a+b=2

则有•b-a=^解得"6=1'即z=l+〃

故本题选D.

2.若复数z=l-i,实数a,满足z+2—a=0,则。+力=()

z

A.2B.4C.-ID.-2

【答案】B

【解析】解：法一：・.•z=l—i,

.b.媳+i)b.b

.,.1-14---r-a=1-1H------------a=1-a+-4-(-14--)1=0»

1—1222

1-a+g=()

IT+g=°

解得a=2,b=2,〃+/>=4；

-b

法一：•「zH------a=0,

z

：.z2-az+b=0,

因为z=l-i,故彳=1+i也满足产—a?+力二0,

由根与系数关系可得a=1-i+l+i=2,6=(l-i)(l+i)=2,

故a+b=4.

故选：B.

3.若复数z满足z(lT)=l+i,则/=()

A.1B.-1C.iD.16

【答案】A

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【解析】

解：解法一：设z=4+bi(dbwR),则(。+而)(1—，)=。+〃+(〃一。)，=1+，，解得〃=0,6=1,所以

z=i,所以z'=l.

解法二：因为z(1)=l+i,所以z=±=.(1二?2.\=L=!Z4=L

解法三：方程两边同时平方，有z2.(-2i)=2i,所以z2=—i,z4=l.

故选：A.

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①数形结合

【答案】A

【解