高考数学一轮复习：圆锥曲线中范围与最值问题

§8.10圆锥曲线中范围与最值问题

题型一范围问题

y2

例1(2022.临沂模拟)已知椭圆C：5+卓=1的左、右焦点分别为Q,B，点尸在椭

圆C上，以PQ为直径的陶氏f+

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C的右顶点为A,与x轴不垂直的直线/交椭圆。于M,N两点(M,N与A点不重

合)，且满足4M_LAM点。为的中点，求直线MN与AQ的斜率之积的取值范围.

解(1)在圆E的方程中，令y=0,得f=3,

解得x=4，

所以R,尸2的坐标分别为(一小，0),(73,0).

因为go,g,

又因为OE//F1P,

所以点P的坐标为(小，；)，

71

所以2a=|PQ|+|P”2l=2Xw+]=4,

得。=2,b=1,

即椭圆C的方程为£+9=1.

(2)右顶点为4(2,0),由题意可知直线AM的斜率存在且不为0,

设直线AM的方程为.v=Ut-2),

由MN与4轴不垂直，故左W±l.

y=k(x—2),

由1r2、

上+)?=I，

得(1+4AT)%2-16sx+16炉一4=0,

设M(_n,yi),NgJ2)»又点A(2,0),

则由根与系数的关系可得〃I=刀前,

，口8炉一2,-4k

付布'》=&（川—2）=TT而'

因为AM_LAN,

所以直线AN的方程为y=一;(工-2),

K

e14，口8—2产4k

用一％替换%可得，X2=N钎，>2=立下,

所以点Q坐标为

1(1+4/)(4+F)'(1+4砍4+公)>

所以直线AQ的斜率

_(l+4@(4+d)_3%(1——)

所=30产__=2,2犬+4+2)'

(1+43)(4+3)—

直线MN的斜率

4k4k

”一yi4+4I+4M5A

"2=X2-xi=8—2d8d—5=4(I—M)'

4+——1+4产

._____15lc__________15

所八曲一8(2"炉+2)=83+打|)'

因为M>o且FH1,

所以23+1+1>2、y2Hx表+1=5,

153

所以0<-7----、---\<^

8"+】)8

即攵伙2£（（），1）.

【教师备选】

（2022・武汉调研）过双曲线厂，一£=1（。＞0,/»0）的左焦点Fi的动直线/与r的左支交于4,

8两点，设厂的右焦点为B.

（1）若△AAB可以是边长为4的正三角形，求此时〃的标准方程;

（2）若存在直线/，使得AB_L6F2，求〃的离心率的取值范围.

解⑴依题意得|AQ|=2,|AB|=4,

内尸21=2小.

・・・2。=依尸2|一|从尸il=2,。=1,

2。=尸1尸2|=2小，c=小,b2=c2—a2=2,

此时T的标准方程为

(2)设/的方程为x=my-c,与5一1=1联立,

得(从〃尸-/)尸_2。2cmy+/=0

设A(»,》)，8(12,沏，

,2b2cmb4

则)"+工=丽=，而右？

由4尸2,822,不用=0,

（XI—c）（X2—c）+y1）2=0,

（wyi-2。）（"孽2-2c）+>'l>f2=0

2

=>（m+1）/-4m2c24+4c论m22一层）二。

n（〃F+1）/=4/。2

4a2（r

今。序+

1)=b421

04a2/2（/—a2）2,

；・4+—6/cY0=>/—6/+1W0,

又••21,I2A/2,

l<eW1+*\/2,

又48在左支且/过R,

.\yiV2<0,

菸£不<00川号0川+1=窄专+1.

:.402Vb2=d—标0/>5.

综上所述，小<e於1I72.

思维升华圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

(I)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量

关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

即0-喈,o)u(o,曾.

题型二最值问题

例2(2022・广州模拟)已知椭圆C：宗+m=13泌>0)过点A(—l,乎)，短轴长为2.

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)过点(0,2)的直线/(直线/不与x轴垂直)与椭圆。交于不同的两点M,N,H.O为坐标原点.求

△MON的面积的最大值.

(-1)2②2

解(1)依题意得中"+中~=1,而力=1,

则品91吗=1一99二2,

所以椭圆C的标准方程为轩)，2=1.

(2)因为直线/不与x轴垂直，则/的斜率左存在，/的方程为3，=履+2,

y=kx+2,

得(23+1*+8日+6=0,

因为直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,

则有4=(8外2—4.(2产+1>6

3

-

2

即A＜一乎或2»

设点M(xi,yi).Ng”),

._弘

则nilX\+X2——2^2_|_।，

6

X1X2=2FH,

所以\MN\=勺1+同心1—x2\

=，1+d・\(Xl+x2)2—4X1/2

.代号2—4.舟

8(2d一3)

=、1+后

(2F+1)2

E3262k^—3

2,△MON的面积S斗MAM

而原点。到直线/：依一y+2=0的距离d=

q1+1

=去、1+庐26.42/-32

2炉+1

2g々2炉一3

=23+1

令/=-\/2p—3=>2^=?+3(/>0),

w2的2s

3一户+4一，4'

什7

因为r+y>2A/zy=4,

47

当且仅当t=~,即1=2时取”=此时严=],

即2=浮，符合要求,

2^2啦

从而有SW42'

故当左=±^时,

△MON的面积的最大值

【教师备选】

（2022・厦门模拟）设椭圆八，+徐=13»>0）的离心率为由，点A,B,C分别为T的上、左、

右顶点，且18cl=4.

（1）求厂的标准方程；

（2）点。为直线上的动点，过点。作/〃AC,设/与〃的交点为P,Q,求IPOMQQI的最

大值.

解（1）由题意得2。=18cl=4,解得。=2.

又因为6=趣=坐，

所以。=小，则序=4—/=].

所求厂的标准方程为3+y2=1.

4

(2)方法一由⑴可得A(0,l),B(-2,0),C(2,0),

则kAc=

直线A8的方程为x—2y+2=0,

设直线/的方程为)，=-5+尢

整理得，『一21丫+2下一2=0.①

由J>0,得一y[2<}c<\[2,

I,,

y=-zx+x,

联立J2

x-2y+2=0,

解得。的坐标为。-I,

设P(xi,yi),Q(X2,)力

戈1+也=22,

由①知，②

W2=2A2—2,

又IPQI=坐由一a—1)i,

皿=疚一(1)1,

所以俨0|3=脑及一6-1)。1+及)+“-1)2|,③

将②代入③，

得『0IQZ)=和2—1|,优(一也，＜2),

所以当2=0时，IPDHQQI有最大值全

方法二设病=属=4-2,-I)

=(—22,—2),

则。(一22,1—2),

由点斜式，可得直线/的方程为

厂(1—/.)=—^(x+2A),

即)，=一$一2;.+1.

消去y,得.P+di—2)x+“2—87=0,①

由J=(4A-2)2-4X(822-8z)>0,

解得三々邛，

设。(.如，yi)»。。2,”),

XI+%2=2—42,

由①得•②

XIX2=8A2—8A,

由题意可知|PQ|=方+i+冽,

3|=坐|也+24，

所以|PE>HQQ|=%W2+2沏+X2)+4¥|,③

将②代入③得上。|也。|=}4万一44=5|万一』

当2=3时，IPQHQOI有最大值.

思维升华圆锥曲线中最值的求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个

函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性

法等.

跟踪训练2如图所示，点A,8分别是椭圆W+导=1长轴的左、右端点，点〃是椭圆的右

焦点，点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAA.PF.

(1)求点P的坐标；

(2)设M是椭圆长轴A8上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的

距离d的最小值.

解(1)由已知可得点以一6,0),产(4,0),

设点P的坐标是(工y),

则后=。+6,y),际=。-4,>),

VM1PF,工崩•即=0,

3v2

则护+而=晨

.(.r+6)(x-4)+/=0,

3

可得2『+9x—18=0,得或x=-6.

由于)>(),故于是产

・••点。的坐标是你鸣.

(2)由(1)可得直线AP的方程是x—小,，+6=0,

点5(6,0).

设点M的坐标是(切,0),则点M到直线4。的距离是也誓，于是吗回=|〃?一6|,

又一6WmW6,解得〃?=2.

由椭圆上的点(x,y)到点M的距离为4

由于-6WxW6,

由yu)=£x一±'+15的医象可知，

当x=E时，d取最小值，且最小值为仃.

课时精练

［基础保分练

o2

1.已知双曲线”一方=I(“>(),/?>0),0为坐标原点，离心率e=2,点M(小，小)在双曲

线上.

⑴求双曲线的方程；

(2)如图，若直线/与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且而a=0,求|O0产+IOQI

的最小值.

解(1)因为e=：=2,

所以c=2a,b2=c2—a2=3a2.

所以双曲线的方程为a―苏=1，

即3.P—)?=3决

因为点”(小，小)在双曲线上，

所以15—3=3/，

所以cr=4.

所以所求双曲线的方程为。一W=l.

(2)设直线OP的方程为)=心代20),则直线OQ的方程为)，=一%，

412

y=kx,

12炉

所以Q砰=f+)2=12：fqi)

12(1+乒)12(。+1)

同理可得|OQ|2=

；11_3一4+(3炉一1)

人的十两1=―12(^+1)—

2+2F1

-12(3+1)―6，

设|。砰+|0。|2=/,

贝uIOQF)=2+(需＞©

22+2=4,

4

所以f2I=24,

即|OPF+|OQ|2224(当且仅当|0P|=|0Q|=2小时取等号).

所以当|。尸|=|0Q|=2小时，|0PF+|0Q|2取得最小值24.

2.(2022・阳泉模拟)已知椭圆C：比＞0)的左、右焦点分别为居，B，离心率为坐,

P是椭圆C上的一个动点，当户是椭圆C的上顶点时，ARPF2的面积为L

(1)求椭圆C的方程；

(2)设斜率存在的直线PB，与椭圆。的另一个交点为。若存在7U0)，使得|TP|=|7QI,求，

的取值范闹.

〃£_立

~a=2，

解(1)由题意可知＜1,

、序+'2=/,

a=也

解得"=1,

0=1,

故椭圆C的方程为曰+V=|.

(2)设尸(即，》)，Q(X2,”)，线段尸Q的中点为Mxo,刃)，直线尸B的斜率为左,

由(1)设直线PQ的方程为y=k(x-\).

当A=0时，/=0符合题意；

)-1)，

当AWO时，联立,广+炉=]

得(1+23M-4Rr+2K—2=0,

・•・1=163―4(1+2/)(2S-2)=8标+8＞0,

4K

XI+M=]+2F,

.总+%22P

7。=二~=TT5?'

~k

W=&(3_1)=]+0代,

,：\TP\=\TQ\.

・•・直线7N为线段PQ的垂直平分线,

:,TN，PQ,即Mv•&=—1.

-k

1+2F

•••2E_*=f

l+2^-Z

上

r-l+2?

V^>0,,2+p>2,

0<^T<2»

2+/

即/£0,A

过技能提升练

3.(2021•北京)已知椭圆E：务忘=1(小＞比＞0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积

为4小.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过点P(0,-3)的直线/斜率为上交椭圆F于不同的两点8,C,直线AB,AC交1y=-3

于点M,M若|PM|+I产MW15,求4的取值范围.

解(1)因为椭圆过A(0,-2),故b=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为4s

故：义2a义2b=4小,即a=小，

故椭圆的标准方程为1+9=1.

(2)设8(即，yi),C(X2,_V2)f

因为直线8C的斜率存在，故xmKO,

故直线48：)，=斗马一2,令y=-3,则物=一二^

同理W=—请不

力+2

y=kx—3,

直线8c：)，=履一3,由

41+5产—20,

可得(4+5后)小一30履+25=0,

故4=900后一100(4+5炉)>0,

解得太<一1或QL

-,30&25

又即+也="病即及=心声

故X|X2>0,所以心口八>0.

又|PM+|PM=|XM+W

•V1,.V2_Xi.V2

yi+2力+2-丘l1Icx2~1

2息1及一(XI+JQ)

ITX\X2—女(即+.12)+1

50k30k

4+5，―4+5,

=25>_30-工'