高考数学导数专项复习之利用导数研究函数的最值（解析版）

专题06利用导数研究函数的最值

专项突破一函数最值与极值关系

一、单选题

1./（X）是定义在（。/）的函数，导函数尸（力在（。㈤内的图象如图所示，则下列说法有误的是（）

A.函数/（x）在（。,〃）一定存在最小值B.函数/（力在（。力）只有一个极小值点

C.函数/（"在（4〃）有两个极大值点D.函数/"）在（"〃）可能没有零点

【解析】

由导函数的图像可知原函数的图像如图所示，

对于A：不确定端点及极小值的大小，同时端点值取不到，故不一定有最小值，A错误:

对于B：由图像可知只有一个极小值，B正确：

对于C：由图像可知有两个极大值，C正确；

对「D：函数图像极值大小不确定且可以上下平移，故在（。力）可能没有零点，D正确.

故选：A.

2.已知函数），=/（x）的导函数图像，如图所示，那么函数），=/（x）（）

A.在上单调递增B.在x=0处取得极小值

C.在x=l处切线斜率取得最大值D.在x=2处取得最大值

【解析】结合图像易知，当寸，函数是减函数，

当H=-l时，函数y=/（x）取极小值，当xe（-1,2）时，函数），=/"）是增函数，

当x=2时，函数），=/（“取极大值，不一定是最大值，

当H«2,+CO）时，函数），=/5）是减函数，结合上述易知，A、B、D错误，

因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，

所以由图像易知，在x=l处切线斜率取得最大值，C正确，故选：C.

二、多选题

3.下列关于极值点的说法正确的是（）

A.若函数/（幻既有极大值又有极小值，则该极大值•定大于极小值

B./*）=—+x+l在任意给定区间必力]上必存在最小值

C./。）=-1川的最大值就是该函数的极大值

D.定义在R上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点

【解析】A选项，例如y=x+L在x=l处取得极小值/⑴=2,在工=-1处取得极大值/（-1）=-2,而2>-2,

X

故极大值不一定大于极小值，A错误，

,▼〜、IIf-x,x>0

C选项，/*）=一乂=<,

[x,x<0

函数/（幻=-1%I在（e,0）上单调递增，在（。,+8）上单调递减，

根据极值的定义可知：/*）=-口1在4=0处取得极大值，也是最大值，C正确；

对于D,无极值点，），=sinx有无数个极值点，D正确；

/（工）=/+工+1在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；

故选：BCD.

4.下列说法正确的是（）

A.极值点处的导数值为0

B.极大值一定比极小值大

C.可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得

D.如果函数/（力的定义域为（a,c）,且/（力在（a,可上递减,在回c）上递增，则〃力的最小值为/（b）

【解析】对于A,函数的极值点处未必可导，如x=0是y=国的极值点，但y=国在x=0处不可导，A错

误;

对于B,函数的极大值和极小值可能有无数个，是由函数的单调性得到的，大小关系不确定，B错误；

对于C,可导函数在闭区间内连续，其最值必在极值点或区间端点处取得，则最大值也必在极值点或区间端

点处，C正确；

对于D,由单调性可知，函数/(“在区间(〃,c)内有唯一的极小值点乂=*且根据单调性可知其为最小值

点,即最小值为了仅)，D正确.

故选：CD.

5.(多选)下列结论中不正确的是().

A.若函数/(同在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数/(“在区间口为］上的极大值

B.若函数/(“在区间［。回上有最小值，则这个最小值一定是函数“X)在区间［。向上的极小值

C.若函数/(“在区间上有最值，则最值一定在x=〃或x=b处取得

D.若函数/(x)在区间，㈤内连续，则“力在区间［。回内必有最大值与最小值

【解析】若函数/(X)在区间可上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A,B,C都不正

确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.故选：ABC.

专项突破二求具体函数最值

一、单选题

1./(x)=Y-3寸+2在区间上的最大值是()

A.IB.2C.3D.4

【解析】〃1)=3/-6。=3Mx-2),当T<x<0时,/(%)>0,当Ovxvl时,/(x)>0,，/(x)在(-1,0)

上单调递增，在(0,1)上单调递减；・・・/(”在区间卜川上的最大值为/(0)=2.故选：B.

二、多选题

2.已矢口函数/(%)=加0>—％2+2忆3贝I」()

A.“X)在，8彳)上单调递增B./'(X)在(肛耳)上单调递减

;乙｝\.乙)

C.VxwRJ(.t)<8D./(力的极小值大于0

所以/(X)在(e』)J(X)>OjW递增，在(l，M)J(X)<O，，a)递减，

所以当x=l时，、f(x)取得最大值为L

e

4.函数y=e'-e~x+sin2x在区间［0,句上的最小值为.

【解析】由y=ex-e~x+sin2x,

得y=ex+e~x+2coslx>2\!ex-e~,+2cos2x=2(1+cos2x)，当且仅当-=1时取等号，即％=。取等号,

因为1+COS2X20,所以函数尸5、+sin2.r在区间［0,可上单调递增，

所以当x=0时，函数取得最小值0

5./(x)=|ln(ai)-2|+av,/(工)的最小值为.

【解析】令or=/e(0,*c),则y=|ln/-2|+f=•'丁2*

［r-lnr+2,0<r<e-

当时，y=ln/+/—2单调增，)需=/,

当Ov/v/时，令g(1)=-lnf+/+2,g1z)=-；+l=^L

0<£<1时g'(r)<0,g〃)递减，/>1时g'(/)>0,g(。递增，，g(。1nin=g(l)=3,

综上：H£L、=3

6.已知/(<)是奇函数，当xw(0⑵时，f(x)=\nx-xt则当xe(-2,0)时，/(x)的最小值为.

【解析】xe(-2,0),-xe(0,2),所以/(-x)=ln(T)+x,

又因为f(x)是奇函数，所以/(x)=-/(一工)=一In(t)-工，

1r4-I

所以当xe(—2,0),/(x)=-ln(-x)-x,/(x)=---l,令以(x)=0,所以x=T,

*V-X

则J(X)在(一2,-1)上单调递减，在(一1,0)上单调递增，所以/(X)而=/(T)=-lnl+l=l.

所以当2,0)时，f(x)的最小，直为1.

四、解答题

7.已知函数〃X)=$3-4K+4.

⑴求函数"力在x=3处的切线方程;

⑵求函数/(X)在［0,3］上的最大值与最小值.

【解析】⑴由/(力=；/一©+4得J”(x)=f—4,，7(3)=5乂/(3)=1,

所以函数/'(力在x=3处的切线方程为:y1=5(工-3),即)，=5.・14

⑵由/'("=f-4.令/'(4)=x2-4X),解得％<-2垢>2

令『'3=尸-4<0,解得・2《<2,所以/3在(。,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减.

所以当x=2时,/(力最小，且最小值为〃2)=-gJ⑼=4J⑶=1,

故最大值为/(。)=4

8.已知/(X)=2丁-尔2-12x+6的一个极值点为2.

(1)求函数/(x)的单调区间:

(2)求函数/(力在区间［-22］上的最值.

【解析】(1)因为/(力=2/-而2-12工+6,所以((力=6/-2尔-12,

因为/(司=2^-〃氏-12工+6的一个极值点为2,

所以/'(2)=6x22—2/〃x2—12=0,解得6=3,

此时/(x)=2x‘一一12x+6,/r(x)=6x2-6x-12=6(x+l)(x-2),

令r(x)=0,得X=-1或x=2,

令f'(x)v0,得一lvx<2；令/(“〉0,得xvT或x>2,

故函数f(x)在区间(-L2)上单调递减,在区间(-oo,-l),(2+X)上单调递增.

(2)由(1)知，/“)在卜2,-1］上为增函数，在(一1,2］上为减函数，

所以x=T是函数/(力的极大值点，又/(—2)=2,/(-1)=13,/(2)=-14,

所以函数/(可在区间［-2,2］上的最小值为—14,最大值为13.

9.已知函数f(x)=lnx-T.

⑴求/W的单调区间:

(2)求/(x)在区间口,日上的最值.

【解析】(1)由题意知：广(力=手(工>0).令r(力=0,解得x=2.

4=2把/(1)定义域划分成两个区间，/'")在各区间上的正负，

以及“X)的单调性如下表所示.

X(0,2)2(2,+ao)

—0+

/(x)单调递减单调递增

所以/(A-)的单调递减区间为(0,21,单调递增区间为(2,4-00).

(2)结合(1)的结论，列表如下：

X1(0,2)2(2,+8)e

/V)—0+

2

小)1单调递减ln2单调递增

C

所以/(力在区间［l,e］上的最小值是In2,最大值是1.

10.已知函数/(x)=f+©?+b+5,曲线丁=/(x)在点P(1J(D)处的切线方程为产3x+l

(1)求4,。的值；

⑵求尸/(X)在［-2,2］上的最大值和最小值.

【蟀析】⑴依题意可知点尸(1J⑴)为切点,代入切线方程y=3A-+1可得/⑴=3xl+l=4.

f(1)=l+a+b+5=4,即a+〃=-2,

又由/(%)=f+加+bx+5得，/r(x)=3x2+2av+/>,

而由切线)=3x+1的斜率可知/'(1)=3,・・.3+2a+b=3,BP2a+b=0,

由"K八，解得〃=2,"=-4

2a+b=0

⑵由(1)知/(x)=V+2x2-4X+5,f\x)=3x2+4.v-4=(3,v-2)(x+2),

o

令r(x)=O,得x=§或％=-2,

当了变化时，/3,化(X)的变化情况如下表:

(一2,|)2

X-2(2)2

3?

0一0—

95

/(-V)13单调递减单调递增13

27

.•・/“)最大值为13,最小值为“(可2、=；95

1czzZ.t

H.已知fW=(sinx+cosx)e\e为自然对数的底.

⑴求/3)在x=0处的切线方程；

(2)求/*)在［(),兀］上的最小值和最大值.

［解析】(1)因为/(A)=(sinx+cosx)el,

所以,f(x)=(cosx-sinx)e'+(sinx+cosx)e*=2elcosx,则f(0)=1,/z(0)=2,

故f(x)在x=0处的切线方程为y=2x+\.

⑵由(1)知，/z(A)=2excosx,由/'(">。=0«工<擀，f'(x)<0^^<x<7r,

故f(x)在区间卜卷］上为增函数，在区间与兀上为减函数，

且"0)=1，/图=』,〃句7,

故/(A)在［0,汨上的最小值为最大值为eI.

12.已知函数/(1)=加+加+6.i+c,当工=一1时，/(工)的极小值为-5,当x=2时，/'(X)有极大值.

⑴求函数/(力；

⑵存在天力司，使得/伉)W/-2/成立，求实数/的取值范围.

【解析1(I)：f\x)=3ax2+2bx^,

由r(T)=/'(2)=。，得3a—a+6=0且1勿+48+6=0,解得。=—1,。=|,

又“_1)=-5,•、=_：,经检验〃=-1,〃时，=满足题意,

•.*6f/(x\)=-x3+3~x2+6x—3—；

(2)存在为«L3］,使得/(y)M*-2r,等价于〃力而”:一2,

VT(x)=-3x2+3x+6=-3(x-2)(x+l),

当不引1,2)时,广@)>0,当xc(2,3］时，/V)<0,

・・・"x)在(2,3］上递减，在［1,2)上递增,乂〃1)=5,/(3)=3,

・・・〃力在［1,3］上的最小值为〃3)=3,・・・/_。23,解得YT或34,

所以］的取值范围是(。，-l］U［3.y).

13.已知函数/(x)=ex-x-l.

⑴求/(x)的最小值；

(2)证明：/(x)>e2lnx+x2-3x.

【解析】⑴由题意可得r(x)=e*T.由/(%)>0，得4>0;由广(入卜0,得x<0.

/(')在(华。上单调递减，在(0,+8)上单调递增，故/(.%「=/⑼=0.

(2)证明：要证/(">/］］］工+/-3工，即证/-x-l>e2inx+x2-3x，

.^ex-x2e2Inx_.e2Inx、,,、e2(l-lnx)

即nn证-------->-------2.设g(x)=----------2,则mil~L,

XXXX

由/(力>0,得0<x<e,由/⑴<0,得x>e,

则g(x)Wg(e)=e-2,当且仅当x=e时，等号成立.

设心)="'一：一%>0),则〃，⑴=9当二

由(1)可知当x>0时，.由〃'(x)>0,得x>l,由〃(x)<0,得0<x<l,

则力（月2人⑴=e-2,当且仅当x=l时,等号成立.

因为4A—2We-2与‘一'一、6-2等号成立的条件不同,

XX

所以d一］>£jj^_2,即/(1)>/lnx+x2-3x.

XX

专项突破三求含参函数最值

一、单选题

1.函数/0)=；/—4x+m在［0,3］上的最大值为4,则〃?的值为()

2g

A.7B.—C.3D.4

3

［解析］V/(A)=；X3-4X+m,/.f\x)=X2-4

•••导数/(x)在。2)时，r(x)<0,/(x)单调递减；导数.尸⑴在(2,3］时，r(x)>0,於)单调递增;

,//(0)=m,/(3)=gx3‘-4x3+/〃=〃?-3,m>m-3

・•・/")在x=0处取得最大值为/(0)=机，即〃7=4,故选:D.

2.函数/(力=妥的最大值为()

A.aB.(〃T)eC.e~D.eH-'

【解析•】/。)=詈，则./(同=上尸,所以当xvl-a时,当时,r(x)<0,

所以/(A)在(-001-a)上单调递增，在(1-dy)上单调递减，

所以〃力2=〃1一。)二小，故选心.

二、多选题

3.已知函数f(x)=e',g(x)=l*+1的图像分别与直线产，必〃>0)交于AI两点，则|A8|的值可为()

A./+!B.2+ln2

2

C.2+-ln2D.2

2

【脩析】由题意得A(ln，小M,B\2e2,wI,〃?>0,易知2j%>lnm，

所以|AB|=2JW-Inm•令,w>0»则)

令y=o,得机=1.所以当。<〃?<，时，y<o；当机>1,y>o,

222

〃00在(0,g)上单调递减，在6,+8)上单调递增.所以|48住2+1112,故选：AB

所以),=2e-Inm

三、填空题

4.已知a,6为正实数，函数/(%)=/+k+2、在的最大值为4,则f(x)在卜L。］上的最小值

为.

【解析】：a,b为正实数，A/(x)=3ar2+/>+2xln2>0,,八%=〃D=a+b+2=4即。”=2.

则f(x)在［-L0］上的最小值为八一1)=一(。+份+2T=—"|.

四、解答题

5.已知函数〃x)=V—3f-9X+2.

⑴求函数”力的单调区间；

(2)求函数/(“在区间［0,可上的最小值.

【解析】⑴/(力=/一3工2一9工+2则/'("=3/-6-9,令门耳>0,则x>3或工<一1

・・・f(x)在(f-1)，(3,收)上递增，在㈠,3)递减

(2)由(1)可知：/(力在(3,+8)上递增，在(0,3)递减，当0va43时,/(%)在［0,。］递减

，函数/(X)在区间［0，可上的最小值为/(。)=/一3/一9〃+2；

当〃>3时，/(力在(3同上递增,在［0,3］递减

・•・函数””在区间［0M］上的最小值为〃3)=-25.

综上所述：当0<二3时，函数”力在区间［0,〃］上的最小值为/(〃)="-3/-9〃+2；

当。>3时,函数/(x)在区间［0,。］上的最小值为〃3)=-25.

6.已知函数/(x)=；V—：a?+2,aeR.

(1)讨论/(X)的单调性;

(2)当Ovavl时，记/(x)在区间［。,1］的最大值为M,最小值为N,求M-N的取值范围.

【解析】⑴因为/(力=:/一；④2+2,故可得/*)=/一依=工(彳一。),

令f(x)=0,可得K=o或x=a；

当0=0时,f(x)>0,此时/(X)在R上单调递增;

当时，当x<0时，f(x)>0,/(X)单调递增；当xe(O,a)时，/(x)<0,单调递减;

当时，/(A)>0,人力单调递增;

当“<0时，当时，/(x)>0,/(x)单调递增；当xw(〃,0)时，/(x)<0,单调递减;

当x>0时，/(x)>0,/")单调递增.

综上所述：当。=0时，/(x)在R上单调递增；

当〃>0时，/⑺在(-oo,o)和(。,欣)单调递增,在(0,。)单调递减;

当"0时，/(X)在(-00M)和(O,M)单调递增,在(4,0)单调递减.

⑵由(1)可知：当4>0时,/(上)在(0,。)单调递减,在(4+8)单调说增

又。XG［0,1］,故/(X)在［0,可单调递减，在［«1］单调递增.

则f(X)的最小值N=/(a)=?/+2=+2.

326

又“。)=2,〃1)=；-9+2=99，

9

当钎〃<1时，/(X)的最大值M=/(O)=2,

此时M-N=2-(-3/+21I

—WE篇;

6

77I

当0<〃<彳时，仆)的最大值M=/(l)

JJJ

7

此时M-N=-,八2J//+L

26)623

x17111

令力(x)=1X——+-,0<X<—,则=,

23

所以力⑴在［0,引上单调递减,所以力

41

所以M-Nw；所以A/-"的取值范围为

81,3

7.已知函数/(x)=lnx-or2.

(1)讨论了("的单调性;

(2)当。>0时，求f(x)在区间「2］上的最大值.

【解析】（I）由题意得：“X）定义域为（0，+8）,/（月=_1一2仃=上匹,

XX

①当时,r（x）>0,在（0,+8）上单调递增;

综上所述：当心。时，/（X）在（0,+8）上单调递增；当a>0时，“X）在上单调递增，在

上单调递减.

（2）当〃>0时，由（1）知:

①当JL1,即azg时，在［1，2］上单调递减，则〃工）,2=/（1）=-4；

即一<4〈一时,/（力在L上单调递增.上单调递减,

82

--In2a--.

22

③当822,即(Raj时，/(“在［⑶上单调递增，则/⑴1mx=/(2)=ln2—4a；

ln2-4«,0<«<—

8

8.已知函数f(x)=fe-%其中a>0.

（1）求/（X）的单调区间；

（2）求/（力在［L2］上的最大值

【解析】（1）因为/（"二工％3定义域为R,

所以/'(力=2.xe~ax+x2(-a)ear=［-ax2+Ix)^,

2

令•.•e-<u>0且。>0,.-.-ar+2A>0,解得0〈入〈一，

2

令f'(x)v0,,,-ax2+2x<0,解得x>—或x<0,

a

2+8］上单调递减，在伉2］上单调递增.

7

匕1

（2）①当即”2时,"X）在（1.2）内是减函数..•.在［1⑵卜£a（x）=〃l）=e，

②当I」.，即l<a<2时，在八行上单调递增，在化2］上单调递减.

aka）/

・•・在U.2］上以（x）=/（£|=4U；

③当（>2,即0<avl时，/（外在（L2）上单调递增，.•.在［1,2］上加

综上所述，当。<4<1时，f（x）在［L2］上的最大值为4e3；

当14aM2时,/（力在口，2］上的最大值为4a%-2；

当心2时，〃力在［L2］上的最大值为U.

9.已知函数f(x)=-2a2lnx+1x2+ax(acR).

(1)当a=l时，求曲线)，=fM在(1,7⑴)处的切线方程；

⑵求函数f(x)的单调区间；

⑶当a<0时，求函数f(x)在区间U，e］上的最小值.

13

【解析】⑴当〃=1时，,f(x)=-2\nx+-x2+x,/(1)=-

23

r(A-)=--+x4-l,.-.k=f(\)=o,故切线方程为：y=:,

x2

22+2ax

(2)f(x)=-2a\nx+^-x+axt/.f\x)=-—+x+a=^^-^,x>o

2xx

・•・①当4=0时，/V）=x>0,.•./（M仅有单调递增区间，其为；（0,+8）

②当a>0时，x+2a>0,.,.当/c(O,a)时，f\x)<0；当xe(a,+co)时，f\x)>0

・・・/*)的单调递增区间为：3，*o),单调递减区间为：(0,«)

③当〃<0时，x-a>0,.,.当xw(0,-2a)时/'(x)<0：当xe(-勿,2)时/>'(x)>0

・•・/(x)的单调递增区间为：(-2〃,也)，单调递减区间为：(0,-2/

综上所述：当。=0时，/")仅有单调递增区间，单调递增区间为：(0,+oo)

当〃〉0时，/(A)的单调递增区间为：(4讨)，单调递减区间为：(0，〃)

当。<0时，f(x)的单调递增区间为：(-2〃,长0),单调递减区间为：(0,-2〃)

(3)当"0时,由(2)中③知在(0,-2a)上单调单调递减,在(-2〃,+oo)上单调递增，

，①当0<-2。工1,即ae[-；,0)时，/⑶在[l,e]上单调递增，ZU)inin=/(D=a+1,

e1

②当l<—2o<e,即a£(-：,-?时，f(幻在(1,-2a)上单调递减，在(-2〃⑶上单调递增，工

22

1

/(x)min=.f(-2a)=-2a\n(-2a),

③当一2aNe,即4£(-oo,—|]时，f(x)在U，e]上单调递减，/⑴而0=/(。)=一2/+；。2+优.

・•・/(x)min=1-2Tln(-2a),ac一丁,

\乙)

c212(e-

一2a~+—e+ae,ae-<»,——

2I2」

10.已知函数/(幻=/一。/+16

(1)当a=0时，求过点(。.。)的切线方程；

(2)求函数/*)在区间[1,2]的最小值.

【解析】(1)当a=0时,函数f(x)=x、16,可得尸。)=3v,

设切点坐标为尸(%，%),则切线的斜率为上=34，

所以切线方程为丫-为=3x；(xf),

将点(0,0)代入切线方程，可得为=3£,即34=其+16,解得々=2,则%=24,

所以切线方程为丫=12乩

(2)由f(x)=x3-ax2+I6,xe[l,21,可得/"(%)=3x2-2ax=x(3x-2a),xe[1,2],

令f'(x)=0,解得工号，且XG[1、2]

①若彳工1时，即时，此时r(x)>0,“X)单调递增，所以〃吐血=〃|)=17-。；

②若1<:<2时，即|<〃<3时，

当.1年)时，/V)<0,小)单调递减；当xe(尊2］时，f'(x)>0,/(x)单调递增，

JJ

小，|"\,,2〃、&J4/、/4a*

月'■以/(x)min=/(T)=万一丁+16=一三+16；

③若得之2时，即“23时，此时八x)<0,/(力单调递减，

所以““面=〃2)=24-4。，

综上可得，当〃《|时，最小值为17-〃；当?<。<3时，最小值为一冬+16；当时，最小值为24-4〃.

专项突破四根据函数最值求参

一、单选题

1.函数/(、)=^一丁7+。在区间92］上的最大值是3,则，的值为()

A.3B.1

C.2D.-1

【解析】由题意可知，r(x)=3f-2》一1,令/")=0,解得41或工二一；(舍).

当0。<1时，附x)<0；当1cx<2时，/")>0；

所以函数/(另在［0,1］上单调递减，在。,2］上单调递增.

所以/(0)=aJ(l)=a-lJ(2)=a+2,则”2)最大，

所以当x=2时，函数/'(X)取得最大值为〃2)=。+2.

由题意可知，。+2=3,解得〃=1,所以”的值为1.故选：B.

Io

2.若函数/(x)=/d+x2-q在区间(4,4+3)内既存在最大值也存在最小值，则〃的取值范围是(〉

A.(-3,-2)B.(-3,-1)C.(-2,-1)D.(-2,0)

【解析】由r(x)=f+2%=1。+2)=0得入=一2或%=0,

2?

可以判断/(x)在x=0处取得极小值/⑼=-§，在x=-2处取得极大值/(-2)=-.

,、2,、2

令f(x)=-］，得工=-3或x=0,令/")=&,得x=-2或x=l,

JJ

由题意知函数/"）在开区间（c/M+3）内的最大、最小值只能在％=-2和”0处取得,

结合函数/⑴的图象可得：解得一3＜。＜一2,故〃的取值范围是（—3,-2）.故选：A

3.函数/（x）=y-sinx,若〃x）在（0弓）上有最小值，则实数〃的取值范围是（）

A.(0,+oo)B.(0,1)C.(e,。)D.(-1,0)

【解析】由题意，函数/（x）="—sinx,可得r（x）=cz-cosx,

若公0时，当xe（0,g时，可得？（“＜0,八力在（0卷）上单调递减，

此时函数，（力在（0,5）没有最小值，不符合题意；

当〃＞0时，令/'（%）=0,B[hu-cosx=0,即）'=仆与y=cosx的交点，

画出函数、=依与y=cosx的图象，如图所示，

结合图象，可得存在与€（0卷），使得以用）=0，

当]€（O,X°）时，/'"）＜（）,/（力单调递减；当xe@o，g时，（（工）＞0,“力单调递增,

此时函数./1（%）在（0,9上有最小值，符合题意，

综上可得，实数a的取值范围是（O,+e）.故选：A.

4.若函数/"）=正学二£在区间（a,a+D上存在最小值，则实数。的取值范围为（

)

e

A.(fT)B.(-2,-1)

【解析】由函数/(力=/+2：_〃,可得/0)=*+：+2

ee

且F(X)在区间”3+l)上存在最小值，即尸(X)在区间(。,。+1)上存在为£(。,。+1),

使得r(x0)=O且r(a)<0,r(a+l)>0,

设8(力=一/+。+2,即满足g(a)<0,且g(a+l)>0,

可得卜夕)<+；+2<°解得土虫即实数”的取值范围是故选：D.

g(4+l)=-4--4+1>02I2J

5.若对任意的实数x>0,xlnx-x-a20恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(-co,-1JB.(-co,1JC.[-1,+8)D.[l,+o0)

【解析】令f(x)=xlnx-x-a,xe(0,+<x>),则f(x)=lnx,令/(x)=0=>x=l,

若Ovxvl时，f(x)<0,若x>1时，/(x)>0,

所以可知函数"6在(0,1)递减,在。，的)递增,所以(n(x)=F(l)=T—。，

由对任意的实数x>O,xlnx-x-aNO恒成立，所以7mm(x)=-l-。之0=。4-1,故选：A

6.若函数/%)=；/一5—Mx在区间(1,2)内有最小值，则实数〃的取值范围为()

【解析】rh/'(x)=x_a_，=/一""一],若函数在区间。，2)内有最小值.此时函数〃力必定存在极值

XX

点，由△=/+4>0,设为，4为一元二次方程好一or-1=0的两根，有卜+'"=：八，不妨设与</，

[x}x2=-1<0

fg⑴=一。<°3

故只需要1<毛<2即可，^g(x)=x--ax-\,有|；,£=3-2a>0,解得•故选：C.

7.已知函数〃x)=e'+at2+2ai-在x£(0,*o)上有最小值，则实数”的取值范围为()

A.(#8)B.卜早-；)C.(-1,0)D.卜双―g)

【解析】•//(x)=er+ax'+2ax,/.f\x)=e*+lax+2a,

若函数/(幻在X£(O,E)上有最小值，即/(%)在(0,+8)先递减再递增,

即f(外在(0,+<»)先小于0,再大于0,令f\x)<0,得e'<-2抬+1),令g(x)=/,h(x)=-2a(x+\),

只需43的斜率-2a大于过(TO)的g(x)的切线的斜率即可,设切点是(%,铲),

则切线方程是：y-e。=-"a-&),将(T,0)代入切线方程得：%=0,

故切点是(0,1),切线的斜率是I,只需-2〃>1即可，解得〃<-；,即ae(Yo,-g),故选：D.

8.已知函数〃6=2』一心-功在(；,2)上有最小值，则。的取值范围是()

A.(吟)B.喝C.(-加D.卜刿

[解析】因为/(X)=2/_]g_2g，xe仕，2),所以小.)=仆「4="—产],

g(x)=4x2-2ax-l,,对称轴为x=g,

当》=%0时g(x)>0恒成立，此时小)在停2)上单调递增，不存在最小值，故舍去；

所以。>0,依题意骂使得g(%)=。，且当;<x<x°时g(x)<。，当事vx<2时g(">。,

使得/(力在(摄/)上单调递减，在(为,2)上单调递增，在x=M处取得极小值即最小值，

Z|N(、2

g—<04x(—I—2t/x——]<015(151

所以J,所以J[2)2,解得Hp«el0,—I；故选：A

g(2)>04X22-2«X2-1>0

、2

9.设js)=八，若函数/("的最小值为标，则实数〃的取值范围为()

x-alnx,x>0

A.[-2,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[l,4-oo)

【解析】若〃<(),当x>0时，=为增函数，且/(x)w(<),y),不符合题意.

若〃=0,/(x)=<最小值为/(0)=0=。2

x,x>0

若”>0,当x,0时，/(x)的最小值为/(O)=日

当x>0时,r(x)=—,若0<x<a,则/'("CO,若x>明则r(工)>0,当外在(0M)在,在上

X

a>0

递增，故f(x)的最小值为f(a)=a(lTna)•由

a(\-\na)>a2

l-\na>a,a+ln〃-l<0,设g(x)=x+lnx-1,它在(0,*°)上是增函数,且g⑴=0,

所以a+lna-lKO的解是0<。力.可得0<4,I.综上，常数〃的取值范围为故选：B.

10.已知函数/(工)=/+。27+1(1111-.)，asR,若函数/(%)在(0,”)上的最小值为0,则实数4的值是

()

A.2B.3C.e+1D.e2

【解析】•••r(x)=2x—e2r+lnA4+l,又/〃(力=2+/、，>。，

X

在(0,+8)上单调递增,

•••/(X)在(o,y)上存在最小值0,瑞«0,田)，使得/'(甬)=0,

则当xe(0,x())时，/'(x)<0；当%«知+<»)时,/(x)>0；

--./(X)在(。,司)上单调递减，在小,”)上单调递增,

•••/("min=fM=4++z)(InX。-a)=0…①，

由r(%)=0得:2/_e2f+In3a+1=0…②，

②战-①得：片一(及+1)/"+/=(/+1乂/一/胸)=0,

AQ+1>0,「.%)=e?-。，In,v0=2-x0；

①+②得：(%+2厮+1)+(与+1)In%一(％)+l)a=伉+1)(/+1+ln/-a)=0；

又％+1>0,.•.4=%+1+加.％=%+1+(2-％))=3.故选：B.

11.已知函数=一标，X,"无最大值，则实数。的取值范围是()

-2x,x>a

A.(l,+<r>)B.(-1,”)C.(f,0)D.(f,-1)

【解析】令g(x)=f-3x,则/(x)=3f-3=3(xf(Hl),

令/(x)X),解得xV-l或£>1；令g'(x)V0,解得一1«1,

・・・g(x)在上单调递增，在(一口)上单调递减，在(L+<»)上单调递增,

g(—1)=2,g(l)=—2,据此，作出g(力=d-3x和y=-2x的图像,

由图可知，当x=〃V—l时，函数凡0无最大值.故选：D.

二、多选题

12.若函数/(x)=V-3x在S，6-a2)上有最小值，则实数。的值可能是().

A.-2B.-1C.0D.1

【解析】令/'(司=3小-3=0,解得大=±1,所以当X€(YO,T)51,XO)时

当时八幻<0,所以x=l为函数的极小值点，x=-l为函数的极大值点.

因为函数/(x)在区间(46-a2)上有最小值，

所以函数/(x)的极小值点必在区诃伍6-〃2)内，

即实数〃满足a<1<6—/,且/⑷=/一3。之/⑴=一2.

由解得一百<”］不等〃3一3〃2/(1)=-2,即/一3。+220，

有『一1一3(。一1)之0,(a-l)(«2+a-2)>0,所以(〃一炉(〃十2)之0,即心一2.

故实数a的取值范围是12』).故选：ABC.

三、填空题

13.已知函数/")=lnx+攵在［l,e］上的最大值为2,则/(&)=.

【解析】•.•/。)=,在［1，4上/«)>0,.../")在［1M上单调递增，且当工=«取得最大值,

X

•=l+攵=2,可知攵=］,..f(k)=/(I)=InI+1=1

14.若函数/(工)=丁-3入・在区间(。2-12,幻上有最大值，则实数。的取值范围是.

【解析】/(x)=*3-3x,/(刈=3/一3,

令f'(x)v。解得令/'(x)>0,解得x>l或xv-1,

由此可得/(%)在(T»,T)上时增函数，在(-U)上是减函数,在此也)上是增函数,

a2-n<-\

故函数在x=—l处有极大值，在x=l处有极小值，.•.，a>-\,解得

/(«)</(-1)

15.已知函数/a)=,d-21nx-a,若/(幻之0恒成立，则。的取值范围是.

【解析】由/(x)=f—21nx—。，得/'(X)=2X_2=2(X7)(X+1),

XX

又函数M的定义域为(0,+8),令f\x)=0=X=1,

当Ovxvl时，八工)<0,函数〃外单调递减;当x>l时,r(x)>0，函数八/单调递增;

故工=1是