广东省2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.—（i为虚数单位）的虚部为（）

I

A.-1B.5C.-5iD.-5

2.一组数据2,2,5,5,8,14,15,17的第25百分位数是（)

A.3.5B.2C.4.5D.5

3.和工二（3,1）垂直的一个单位向量的坐标可以是（）

A.(2,-6)B.卜噜，噜•C.(-6.2)(3V10M、

"[U)

4.已知sin(a+6)=m,sin(a-6)=〃，则=()

tano

m-n〃？+〃n-m〜〃？+〃

A.-------B.-------C.-------D.-------

m+nm-nn+mm

5.设。，。是两个不同的平面，〃?，〃是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A.若〃?L。，nr-p,且cr"S,则若〃?L。，nrP,且〃?_L〃，贝

C.若a_L0,。口6=〃，且m_L〃，则〃?_L6D.若帆//〃，〃//6,且w_La,则a_L6

6.已知两个随机事件A和6,其中P（/）=：,P（B）=j,P（4D8）=］：则网48）二（：

A.-7B.-C.:D.-

4?)X

7.在△居（;中，角A,B,C的对边分别为mb,c,已知的面积为5百，b=4,8彳•力3=10

则”（）

A.V21B.而C.屈D.而

8.我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.己知棱台

ABCD-A'ECX是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，AB=2A'B'=4,

BC=2BC=4B则该“刍童”外接球的表面枳为（）

80石8。r

A.”二JiB.—nC.80nD.S岛

二、多选题

9.设复数z在复平面内对应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.若点Z的坐标为（1.1）,则z对应的点在第三象限

B.若2g二区2后则点Z的集合所构成的图形的面积为4兀

C.若z=2i-3是关于工的方程2d+px+q=0（p、qQR）的一个根，则p+q=38

D.若二=2小一入则z的模为13

10.有一组样本数据为，当，…，%,其平均数、中位数、方差、极差分别记为6，4,G，

4,由这组数据得到新样本数据M，免，…，%,其中y="+阳"=1,2,…，〃且攵工0）,

其平均数、中位数、方差、极差分别记为外，&，S，&，则（）

A.b2=kbi+mB.q二丘।C.4二姐+mD.2片=〃。；+3

|»1

II.如图1,已知矩形A8CO中，AB=2,AD=I,E为CQ中点，现将△AEO沿翻折

后得到如图2的四棱锥。’-A3CE,点尸是线段。’8上（不含端点）的动点，则下列说法正

确的是（）

图1

A.当广为线段。’B口点时,

B.O'HA-AE

C.不存在点凡使CF_L平面

D.当广为线段68中点时，过点4,E,尸的截面交CQ'于点M,则2cM=Q'M

三、填空题

12.哥德巴赫猜想被誉为“数学王冠上的明珠”，可以表述为“每个大于2的偶数可以表示为

两个素数的和“，如30=7+23.素数是除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的大于1

的自然数.在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是.

试卷第2页，共4页

13.已知。，b,c分别为“3c三个内角A,B,C的对边，116cos/I+V3/?sinA-c-a=0i

则cos8=.

14.已知圆。为VABC的外接圆，A=§BC=6则而•(7月+大)的最大值

为.

四、解答题

15.某芯片工厂生产甲型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这种芯片中抽取100件进行

,如图所示:

甲型芯片

假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)求甲型芯片指标的平均数和第60百分位数;

(2)现采用按比例分层抽样的方式，从甲型芯片指标在［70,90)内取6件，再从这6件中任取

2件,求指标在［70,80)和［80,90)内各1件的概率.

16.如图，四棱锥P—A8CQ的侧面PA。是正三角形，底面/WCO是正方形，且侧面

底面A8C。，人。=4,E为侧楂P。的中点.

(2)求二棱锥4—PQC的体积.

17.已知mb,c分别为“BC三个内角A,B,C的对边，B==,4C边上的高等于出力。

32

试卷第3页，共4页

《广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BABBDDDCBCABD

题号11

答案ACD

I.B

【分析】先“分母实数化再整理化简,最后判断虚部即可.

i-5（i-5）（-i）

【详解】因为一二」\，二1+5］所以虚部是:5,

故选：B.

2.A

【分析】根据百分位数的计算方法即可求解.

【详解】囚为2,2,5,5,8,14,15,17的总个数为〃=8,

/?=8x25%=2,

所以这组数据的第25百分位数是巨士=3.5,

故选：A.

3.B

【分析】设与向量方=（3,I）垂直的单位向量是H=U.V）,由题意可得；；JLZ，目=1，结合平

面向量数量积的坐标运算可得出关于“、），的方程组，即可得解.

【详解】设与向量4=（3,1）垂直的单位向量厚=U.v），由题意可得W_1_Z，0=1，

Vio叵

a-e=3x+^=0x=----x=

10千lb-

所以同二际:了解得.L或4

3V10晒，

y=-------y

10lo-

或。'M3闹

故0=结合选项可知选项B即为所求.

1010

故选：B

4.B

【分析】利用正弦和差公式化简，联立求出sinacosS，cosasin/3,两式相除得到答案.

【详解】sin(a+8)=sinacos0+cosasin0=m,sin(a-6)=sinacosjB-cosasin0=〃,

答案第1页，共15页

.c〃任〃.八m-n

故联立可得sinacos8=----,cosasin6=-----

22

〃7+〃

,sinacos6otanam+n

两式相除A可得-------=-^—即----=-----.

cosasm6w-ntan6m-n

故选：B.

5.D

【分析】对于ABC,由答案不完备可判断错误：对于D,直接证明正确即可.

【详解】对于A,若，"LQ,nrp,且a///3,则〃〃/打或肛〃异面，故A错误；

对于B,若机ua,nrP,且〃J_〃，则a.6平行或相交，故B错误；

对于C,若aj_6,=且〃?_L〃，则见。相交或机US,故C错误；

对于D,若〃〃/〃，〃?_!_a,贝因为〃〃S,所以存在小厂。使得〃//，

所以〃iJ_a,%(~G,所以a_L6.

故选：D.

6.D

【分析】因为4利8是两个随机事件，所以由尸(ACS)=P(A)+P(8)-P(A8)即可求出结果.

【详解】因为人和8是两个随机事件，所以P(A「8)=P(A)+P(B)-P(AB)

则P(/8)=P(/)+P(8)_P(/lu8)=g+(_]=：

故选：D.

7.D

【分析】根据三角形面积公式，平面向量数量积的定义及〃=4得出力=与，。=5：再利用

余弦定理即可求解•.

【详解】由的面积为S/可得：5>/3=-^csinJ:

由RA.AC=10可得：。力cos(兀-A)=-bccosA=10.

因为6=4,

所此sin/二^"-»ccos/f=>

?2

则lan/1:任d=-JJ

rn«A

因为Ae(o,jt),

答案第2页，共15页

所以人与，C=2^1=~f3=5

2xV

由余弦定理可知：/=〃？+/—2/?ccos4=4:+5:-2x4>5cos-^-=61,即。=

故选：D

8.C

【分析】根据刍重的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O,

根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积

【详解】

如图，连接AC8DA'C，设ACnB/）=M,A'UCl"=N,连接MN.

•・•楂台A8CQ—A'B'CD'侧棱相等，.•・易知其外接球球心在线段MN所在直线上，

设外接球球心为。，易得AC=8,MC=4,A'C=4,NC=1,MN=2,

因为M7‘2+MM<MC2,则球心O不可能在线段MN之间，其位于NM的延长线上,

如图所示：

由得NC?+OM=DM?+MC2,解得OM=2,故。「二24，

・・・外接球表面积为S=47rx（2石）、807r.

故选：C.

9.BC

【分析】本题根据复数的模长，复数的几何意义以及根可系数的关系即可求解..

【详解】A选项，因为点Z的坐标为（1,1）,贝上对应的点为（1,一1），所以在第四象限，故A

选项错误：

B选项，2<\=\<2>/2,则依据更数模长的几何意义可知，2引二区2也表示一个圆环，面积

答案第3页，共15页

为S=7i（2拉卜兀（2）匕4心故B选项正确；

C选项，z=2i-3是关于X的方程2丁+px+（/=0（p、qGR）的一个根，

则2（2i-3）：+p（2i-3）+<7=0,即（10-3p+g）+（2p-24）i=0,

10-3p+q=0[</=26

整理得心》A:解得《、所以〃+q=38,故C选项正确；

2P-24=0lp=12

D选项，r=2x/3-i,则上卜加可故D选项错误；

故选：BC.

10.ABD

【分析】对于A,根据中位数的定义讨论即可判断：对于B,由方差的性质即可判断：对于

C,由极差的定义判断即可：对于D,由方差、平均数的定义验算即可.

【详解】对于A,设为，/，…，乙已经从小到大排列好了，

则乃，力，…，然是从小到大排列的或从大到小排列的，

xn+x“

若〃是偶数，则&二$"

1?

而无论如何最中间两个数总是用,

yg+5"届“+m+b”.|+切X.+X,

b、=—2--2-=-2------2-----=k-2---2-+m=kb,+n

-?77

若〃是奇数，则a=x吧,

而无论如何最中间的数总是y丝！所以“"歹四=质必+勿=他+用：

222

所以仇=血+m,

对于B,由方差的性质可行，6=丘,故B正确：

对于C,当A>0时，4=尤・凶=（&.+〃?）・（3+"?）=k（4-XJ=切，

当〃<0时，d2--yn=-（A%„+w）+（如+m）=-k（xn-x））=-kd,故C错误;

HI!■■■

对于D,，呜=2（4-《）~=2"-初2乙+四2^^:-加：曲如与行第〃，

islAsi，=1*1nl

所以=na\+g，故D正确.

isl

答案第4页，共15页

故选：ABD.

11.ACD

【分析】对于A,只需证明平面CHV//平面A。'E,再结合面面平行的性质即可判断；对于

BC,利用反正法说明错误即可；对于D,首先得E,。分别为人，,8〃的中点，进一步根据

几何形状判断即可.

【详解】对于A,取48中点N,连接，FN,CN,

因为尸为。’B的中点，所以FN//AD',因为RV丈平面AD或，ADl平面A。’E,

所以RV//平面AZ)'E,

在矩形A8CD中，AN//EC,AN=EC,故四边形4VC£为平行四边形,

所以AE//CN,

因为CN丈平面A。'E,AEL平面A。'E,所以CN//平面A。'E,

又CgFN=N,CNL平面CFN,FNL平面CFN,

所以平面C7W〃平面AQ'E,所以C”//平面AQ'E,故A正确；

对于B,假设存在某个位置，使8。'±AE,取4E中点。，连接Q'O,B0,

显然O±AE,而D'OCBD'=D',D'O,BQ'l平面"OB,

，AE_L平面D'OB,08L平面£)'OB,AAEA_OB,则跖=A8,

但=AB=2,不可能相等，所以不可能有8。'LAE,所以B选项错误;

对于C,假设存在点F,使得C/_L平面A3。’成立，

因为ABL平面从瓦)’，所以。尸J_48,

又因为BCJ_48且C/TBC=C,CF,8cL平面BCD',所以A8_L平面BCD',

又因为BD'u平面BCD',那么A8JL8D',

答案第5页，共15页

又因为AD'<AB,则直角边大于斜边，矛盾，所以C选项正确;

对于D,由题意得，平面AEF,MW。'C,

由D'Cu平面/)'BC,得A/6平面/)'BC,

延长AE,BC交于点、H,连接尸”，则平面CPI平面AEF=E”，

所以故FM"D'C=M,

由ECMB,EC^AB,得已。分别为的中点,

若F为D*的中点,则FC7/D'H,

CMFC1

所以==即"M=2CW,故D正确.

Ivfl）//Hz

故选：ACD.

□2

12・

【分析】由于不超过15的素数有2,3,5,7,11,13,共6个，所以6个中选2个有《二15

种，而和为16的有2种，从而可求出概率.

【详解】不超过15的素数有2,3,5,7,11,13共6个，则从这6个数中任选2个不同

的数共有《=15种，而其中和为16的有2种，即3+13=16,5+11=16,

所以所求概率为2真，

2

故答案为：—.

15

13.—•/0.5

7

【分析】由正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简可得5巾(8-2)=；.进而求得8,得

解.

【详解】因为bcos>l+Gbsin/-c-"0

由正弦定理，得sinBcosA+3sinBsinA-sinC・sinA=0,又sinC二sin（4+8）,

答案第6页，共15页

：sinBcosA+3sin8sinA-sin(A+sinA=0

：.s,3sinBsinA-sinAcosB=sinA,又4£（。产），siM/0,

/.-Jisin/?-cos/?=1即sin（8-看）=；又8£（0,兀），

66，

所以cos8=）.

2

故答案为：y.

14.3

【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取8c的中点。，连接。。，则。。=变形得

到7Z.（78+/）二前.25万+2,当人。,。三点共线时，7万.万人取得最大值,求出答案.

2R.BC——

【详解】设圆。的半径为R,则'"-sina一.不一，解得我=1，

sin—

因为力=；,8C=JJ：所以上BOC=T，

取5c的中点。，连接0。，则上B0D=上COD=；:

故00」，

2

AO（AB+AC]=AO^B-OA+7X:-OA）=1（）.g占+榕-k）

=Ad（0B+0C）+20A=AO-2OD+2.

当4,。,。三点共线时，防.万万取得最大值，最大值为1x:二:，

故就.伍力+羽=7^.25万+2的最大值为1+2=3.

故答案为：3

答案第7页，共15页

15.(1)77.65,82.

【分析】（1）先根据频率分布直方图得出各组的频率及组中值：再根据平均数和百分位数的

计算方法即可求解.

（2）先根据频率分布直方图及分层抽样确定指标在［70.80）和［80,90）内取的件数，并分别

编号；再根据题意写出样本空间Q及所求事件包含的样本点；最后根据古典概型的概率公

式可求解.

【详解】⑴由频率分布直方图可得各组频率依次为：10x0.002=0.02,10x0.005=0.05,

10x0.023=0.23,10x0.025=0.25,10x0.025=0.25,10x0.020=0.2.

因为各组的组中值依次为：45,55,65,75,85,95,

所以甲型芯片指标的平均数为

0.02x45+0.05x55+0.23x65+0.25x75+0.25x85+0.2x95=77.65.

设第6（）百分位数为x,

因为前四组的频率和为：0.02+0.05+0.23+0.25=0.55<0.6,

前五组的频率和为：0.02+0.05+0.23+0.25+0.25=0.8>0.6,

所以t£〔80,90）,

贝W.55+（x-80）x0.025=0.6,解得：x=82.

所以甲型芯片指标的平均数为77.65,第60百分位数为82

（2）根据频率分布直方图及分层抽样可得：指标在［70,80）内取3件，分别编号为4，4,

&；

指标在［80,90）取3件，分别编号为8，B2,当.

从甲型芯片指标在［70,90）内取6件，再从这6件中任取2件，样本空间可记为

。二｛3,4）,3,4），CMJ,仇出）,闻&）.（44）,（iJ,（A㈤,（A㈤,

53出）,（&网）,（a,&）,（匹82）.（即当）,（见当）｝,共包含15个样本点：

指标在［70,80）和［80,90）为各I件，包含的样本点有：

包名），3,区）,凡4）,（4再）,卜2也）,。2,&）,（4,8）（43也）,。3出）,共9种：

答案第8页，共15页

所以根据古典概型的概率公式可得：指标在［70,80）和［80,90）内各1件的概率为2=1.

16.（1）证明见解析

⑵乎

【分析】（1）连接8。交AC于O,连接EO,可得EO//PB,利用线面平行的判定定理得

证；

（2）取A。的中点为F,由题可得尸/_L平面A8CD,利用三棱锥等体积转换得

^A-PDC=Vp-ADc,得解.

【详解】（1）连接8£＞交AC于O,连接EO,

TO、E分别为50、PO的中点，

:.EO//PB,

,?七0「平面E4C,P8r7平面E4C,

平面EAC.

（2）取AQ的中点为广，连接「厂，•・•侧面是正三角形，,且尸尸二23,

;平面PAQJ_底面43c0,平面B40n底面48CO=AD,PF「平面PAD,

尸尸J_平面A3CD,

故匕的二//DC=LS、XPF=Lx-x4x4x204^.

X-rLMr-/iIAq!\AIK［2彳

17.（l）cosJcosC=-

4

⑵6

【分析】（i）先根据三角形的面积公式得出"二"：再利用正弦定理将边化为角得出

sin/lsinC=-最后根据两角和的余弦公式及诱导公式可求解.

4

（2）结合（1）中改二6及余弦定理可得。=2；再根据三角形面积公式可求解.

【详解】⑴

答案第9页，共15页

A

所以邑低.二x半6=sin8即ac=〃

由止弦定理得sinAsinC=sin2B,

又因为8=1,

所以sinAsinC=].

又囚为cos(A+C)-CUSACDSC-sinAsinC,

COS(J+C)=COS(7t-5)=-COSB=-y,

所以cos力cosC=---=-,

424

故cos/cosC=J

4

(2)由⑴知ac=b2.

因为48=2,

所以分=2a.

因为8=2,

所以由余弦定理可得：b2=tr+c—2r/ccosB=a2+22—2ax2xcos-^-

即加=a2+4—2a,

则%=a2+4—2〃，即(a-2)-=0，解得a=2,

所以△A8C的面积S=—acsinB=—x2x2x—^-=Ji

???

18.(1)4；

'MX

759

(2)(i)—；(ii)—

1860

【分析】(1)由独立乘法公式即可求解；

答案第10页，共15页

（2）G）由独立乘法、互斥加法公式即可求解：Gi）先求得p,q,再根据乘法公式、对立

事件概率公式即可求解.

【详解】（1）设“甲答对”为事件A,“乙答对”为事件8,设“到第4个问题甲胜”为事件G,

则G=ARAB

P（G）=P（ABAB）=P（A）P（B）P（A）P^）=***%'.

（2）设A表示甲在第i个模块答题中答对的事件，均表示乙在第1个模块答题中答对的事

件（其中，・二］,2）.设G表示甲在两个模块答题中答对：个的事件，。表示乙在两个模块答

题中答对i个的事件（其中，=0,1,2）.

（i）根据独立性假定，得

P（G）=P（44+M）=|XZ4X14,P（4）="（44）=%涔,

.————x?I124,、，224

P（DI）=P（B1B2+^B2）=-X-41X-=^,P（D2）=P（^2）=-X-=-

设M二呷、乙共获得3枚印章“，则”=。］。2^。2。1,且G2与GR互斥，G与。2,G与

2分别相互独立.

所以P（M）二P（ca）+P（C"）=P（G）P（Q）+P（c2卜及）=^x1.

（ii）设N二“甲、乙至少有一人获得印章”,

P(C0)=P(彳Z)q(l-p),

,———v7I21

P(A)=P(B^+B也户丁平

P(CMj=；(i-p)停-9)=I

v7

由已知:

|23

P(C,O,)=-p—q=—

122/2〃320

3

，?=5

所以《

3'

P(N)=1-P(CA)=1-；(1-P)*P)=1-3%卜9

19.(1)6

答案第11页，共15页

⑶当

【分析】（1）取AC的中点凡连接3尸、BF,先根据二面角的定义得出上为二面角

禺-4G-8的平面角：耳根据线面垂直的性质及三角形的有关计算即可求解.

（2）连接。阳।,先根据正方体的性质、线面垂直的性质定理及判定定理得出BQ_L平面

4归G；再根据正方体的性质得出E为正的中心；最后根据中线的性质可求解.

（3）先根据线而垂直的性质及三角形的有关计算得出点P的轨迹：再根据线面垂直得出8/

与平面A