高考数学导数专项复习之凹凸反转（解析版）

专题23导数之凹凸反转

不等式恒成立问题中,许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸

凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.

【知识拓展】一般地，对于函数『（X）的定义域内某个区间。上的不同

的任意两个自变量的值用,占，

①总有/（2）（内））（当且仅当天二％时，取等号），

则函数/（X）在。上是凸函数，其几何意义：函数/（X）的图象上的

任意两点所连的线段都不落在图象的上方.ru）<o,则r（x）单调

递减，/（X）在。上为凸函数：

②总有/（受产）工/（〜）；/@2）（当且仅当天二人时，取等号），

则函数/（幻在O上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的

任意两点所连的线段都不落在图象的下方.r'（x）>o,则r（x）单调递增,/（幻在。上为凹函数.

I.已知函数f(x)=xlnx+aM+l,aeR.

（1）当x>0时，若关于x.的不等式/"）之0恒成立，求〃的取值范围；

2

（2）当xw（l,+00）时，证明：--y-<Inx<x-x.

【解析】（1）由/（%）20,得-aWlnx+L恒成立，令〃（x）=hix-',则〃（》）=!-4=上—^，

-VX-X

所以M%）在（0,1）上单调递减，在（L+oo）上单调递增,所以〃（力的最小值为“（x）­=“⑴=1，

所以-aKl,BPa>—1.»故a的取值范围是［-1,+8）；

（2）有（1）知。=一1时，有xlnx2x-l,所以Inx之^--.

x

①要证曳二!1<］以，可证空心<±!（工>1）,只需证之x,易证e-x+l.,所以"“Ax：

exx

②要证Inxvf-x,可证lnxvx-1,

易证InxWx-l,由于x>l,x-l>0,所以X-1<X（K-1）=X2-X,所以InxvY-x,

综上所述,当4«1,+8）时,证明：^^<lnx<x2-x.

2.设函数/。)=/心+且一.1.

x

(1)当〃=—2时，求/(x)的极值;

(2)当a=l.时，证明：/(x)—-!；+工>0在(0,内)上恒成立.

,(A2)A+l)

【解析】(1)当〃=一2八匕/(r)=/nr---r>/(r)=-!-+4-»=--,

XX厂厂

二当xe(0,2)时，ff(x)>0：当xe(2,+oo)时，f\x)<0.

/.J(x)在(0,2)上单调递增,在(2,-H30)上单调递减;

.•./(X)在x=2.处取得极大值/(2)=/〃2—3,无极小值；

(2)当4=1时，f(x)--+X=+—--下面证/〃X+，>L,即证x/nx+l>土，

exxexxQex

设g(x)=xlnx+1则g'(x)=1+/nr,

在。1)上，g'(x)vO,g(x).是减函数：在(1,y)上，g'(x)>0，g(x)是增函数.

ee

所以g(x)..gd)=1-L，设〃(幻=三，则〃。)=，

eeee

在(0,1)上,h\x)>0,力(x)是增函数；在(1,+oo)上,h\x)<0,力(x)是减函数,

所以〃(x),,/2(l)=』vl-一，.

ee

所以尔x)<g(x),即“<xbixI1.所以A加J1">0,即讥¥I11>0,

exexxex

即f(x)-^-+x>O在(0,招))上恒成立.

ex

3.设函数/*)=加一/丁，g(x)=a(f-1)」.

X

(1)判断函数y=/Cr)零点的个数，并说明理由；.

(2)记〃(%)=g(x)-f(x)+-----.，讨论h(x)的单调性；

xe

(3)若/(%)vg(x).在(l,+oo)恒成立,求实数a的取值范围.

【解析】(1)由题意得：x>0»,*./,(x)=-+—>0.,故/(外在(0,+oo)递增；

xex

又f(1)=-1,f(c)=l-e'-=l-—>0,故函数y=/(x)在(l,e)内存在零点,

ee

.•.):/(x)的零点个数是1；.

(2)h(x)=a(x2-1)--++—--=ax2-a-bvc，h\x)=2ar--=----(x>0),

xxexxx

当4,0时，/rcv)<o,万(幻在(o,+oo)递减,

当小M由〃(M。，解得“士吉(舍取负值),

..”(0,吉)时,〃⑸<0,心).递减，XW(卷+8)时，”⑴>0,心)递增,

综上，4,0时，/?(©在(0,+oo)递减，a>0.时，人(x)在(0,」=)递减，在(」，+8)递增；

42a42a

(3)由题意得：lux——幺V4(/—1)—_1,问题等价于.(丁—])—。次>J匕在(1,+co)恒成立,

exxxex

设七(功,-二=£_2^,若记尔。=。一夕,则M(x)=8一,

xexe

x〉l时，k](x)>0,&](x)在(1,+co)递增，ky(x)>ky(1)=0,即Z(x)>0,

若%0,由于%>1.,故4,一1)一如<0,故/(x)>g(x)，

即当/(%)Vg(x)在(l,+oo).恒成立时,必有4>0,当4>0时,设力(功=心2-1)一加X,

①若」=>1,即0<。<,时，由(2)得xe(l,」=).,力(x)递减，xe,-H»),网犬)递增,

y/2a2岳

故力(~yL)</?(1)=0.，而&(~yL)〉0,即存在X=-yL>l,使得/*)<g(X)，

\]2a\t2a\J2a

故Ovavg时，/(x)<g(x)不恒成'Z；

@7f—7=»»1»即时，5(x)=a(x2-1)-bvc--+­»5*(x)=2cix--+-»

J2a2xexxx~ex

x1e1

由于2at.工，JEA,(x)=e-ex>0,即上<—，+故h--->——

xexx

因此S'(X)>X—L+-!7_2>王二丹=丝日>0,故s(x)在递增,

Xx~Xx厂~x~

故s(x)>s(1)=0,即时，/(x)<g(x)在(1,+co)恒成立,

综上，〃eg，”).时，/(x)<g(x)在(l,*o)恒成立.

4.已知函数/(x)=/心，#(工)=x+m(rneR).

⑴若g(x)恒成立，求实数m的取值范围;

(2)求证：当x>0时，巴!止空二1..加+1.

X

【解析】(1)F(x)=/(x)-g(x)=lnx-x-m(x>O)t则产'(%)==,

x

当Ovxv」时,r(x)>0,则/(x)单调递增,当工>1时，尸")<(),则尸(幻单调递减,

所以当x=l时,尸(x)取得最大值4(1)=-l-m,

(2)由(1)知：当x>l.时，(x+l)lnx>2(x-l).

令x=〃2-2>1(〃之2,〃eN),,则(/一-2)>2(〃。一3),

pf.,in(/r-2)221_____

1n1-3n2-1(/?-1)(/2+1)/?-1n+1

32

化简可得>----得证.

2n

6.已知函数f(x)=-+a(4,0)且f(1)f(-l)=T.

ex

(1)求函数八幻的单调区间；

I2

(2)证明：lnx>------.

exex

【解答】(1)依题意，d+a)(—“+〃)=—1,又4,0,解得a=0，

e

V1—V

f(x)=F，r(x)=——，令r*)>o,解得xvi,令/。)<0,解得了>1,

ee

/./(x)的单调递增区间为(YC,1),单调递增区间为(1,+O0)；

(2)证明：要证阮、->」1--已2成立，只需证功r式7成立，

exexexe

令g(x)=xlnx>则g'(x)=1+Inx»

令g<x)>0,解得x>」，令/(©<(),解得0<x<L

ee

.•.g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+co)上单调递增，「.g(x)..g(l)=-，，

eeee

又由⑴可得在(o,转)上⑴=L.♦.(三—2)皿=」，故不等式得证•

eeee

7.已知函数/(X)-〃?(/+&)(；:为常数)是实数集A上的奇函数，其中。为自然对数的底数.

([)求k的值；

(II)讨论关于x的方程也-=9-2”+机的根的个数.

fM

【解答】(I)因为函数/。)=历叱+幻(攵为常数)是实数集A上的奇函数，

所以/(_幻=一/5),即/(O)=o,则以(e°+Q=0,解得1=0,

显然攵=0时，f(x)=x是实数集R上的奇函数；

(1【)由(I)得/(x)=x,方程可转化为蛆=丁-2夕+〃?，

x

令力(工)=如*>0),g(x)=x2-2ex+m(x>0),因为/(x)=^!_学,令〃(x)=0,得x=e,

XX-

当iw(0,e)时,h\x)>0,所以2)=/在(0,e)。为增函数,

x

V

当xe(e,-KO)时,h\x)<0,所以Mx)=——在(e,+SO)上为减函数，

X

22

当工=e时，h(x)nuu=h(e)=-,乂g(x)=(x-e)-e+in

e

所以g(x)=(x-e)2-/+机在(o,e)上为减函数，在3位)上为增函数，

2

当工=e时，g(x)min=g(e)=rn-e,

所以当m-/>』，即用>&2+』时，方程无解，

ee

当机—/=_[,即〃?=/+1时，方程有一个根，

ee

当用—/〈J,即〃?</+_!.时，方程有两个根，

ee

综上得：

当〃?>/+,时.，方程无解，

e

当〃/=e2+_L时，方程有•个根，

e

当〃7</+工时，方程有两个根.

e

8.设函数/(幻二。a一/',^(x)=a(x2-1)--.

x

(1)判断函数y=/(x)零点的个数，并说明理由；

(2)记力(%)=g(x)-/(x)+----讨论〃(幻的单调性；

xe

(3)若/(X)vg(x)在(l,+oo)恒成立,求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)由题意得：x>0,.\f\x)=-+—>0,

xe

故f(x)在(0,+oo)递增；乂/(1)=-1,f(e)=1-^=1-->0.

ee

故函数y=/(x)在(l,e)内存在零点，「.丁=/。)的零点个数是1；

)1Ie

(2)/i(x)=aCx2-1)----/nx+e,x+------=ax2-a-Inx，

xxex

,“、-12ax2-1八、

h(x)=2ax--=-------(zx>0),

xx

当冬,0时，〃(x)<0,"(x)在(0,w)递减,

当a>°时’由如)=。，解得：…合(舍取负值)，

/.Ae(0,时，/f(x)<0，h[x｝递减，xe,+a))时，/f(x)>0,/?(x)递增,

综上，4,0时，/2(x)在(0,”)递减,

a>0时，〃(x)在(0,递减，在(J=,内)递增；

y]2a

(3)由题意得：lnx--<a(x2-\)--,

exx

问题等价于a(x2一1)一/〃为>」一名在(1,+oo)恒成立，设k(x)=---='三

xexxexxex

若记K(x)=ex-ex,则k；(A)=ex-e,x>1时，k；(x)>0,勺。)在(1,+co)递增,

ky(x)>k](1)=0,即4(x)>0,若“,()，由于4>1,

故A(X2-1)-Inx<0,故/(x)>g(x),即当/(x)vg(x)在(1,+oo)恒成立时，必有a>0,

当a>0时,设h(x)=a(x2-1)-Inx,

①若，=>1,即0<av,时，由(2)得xe(l,，=),力(%)递减，xe(，=,+8),〃(x)递增,

\j2a2\12a\12a

<h(1)=0,而仅式J)。，即存在％=房)1,笠得/(x)<g(x),

故

故0<a<g时，/*)<g(x)不恒成立；

②若一即寸，ISJ(X)=67(x2-1)-Z/tr-—+—»5'(x)=2av-—+,

{2a2xexxJCex

由于2ar..x,JE(x)=er-ex>0,即❷<!，故--—>

exxexx

因此《^,工一’+与一工〉占2+l_(xJ>o,故s(x)在(1,+co)递增，故s(x)>s(1)=0,

xXx

即a.g时，f(x)<g(x)(1,+oo”亘成立，

综上，«e[—,+oo)时，f(x)<g(x)在(1,+oo)恒成立.

9.已知函数/(x)=ex~a-ln(x+a)..

(1)当。=g.时，求/(x)的单调区间与极值:

(2)当④1时，证明：/(x)>0.

【解析】(1)a=L时，/(x)=e1-ln(x+-)♦/(X)=/*---，

22x+-2

2

-L

注意到y=eX2与),=一_1号都是僧函数，于是广(刈在(-i乙位)上递增，

x+—2

2

又r(；)=0,故_；<xvg时，r(x)<0；故时，

所以/(X).在(-*)上单调递减，在(g,+oo)上单调递增，

当工=；时，/*)取得极小值1,/(M无极大值.…(6分)

(2)方法一：当4,1,xc(-a,+oo),时，x-a..x-\,x+4,x+l,

/.e'~a..ex~'ln(x+a),,+1),ex~a-ln(x+a)..ex~l-ln(x+1)

故只需证明当a=l时，f(x)=ex-'-ln(x+\)>0.当a=l时，r(x)=e'T-一匚在(一1,y)上单增，

x+1

又/(0)=1一1<0,f(l)=l>0..故/(.0在(-1,e)上有唯一零点&e(0,1).

e'2

当工c(一1,%))时，/，(x)<0.；当+8)时，/z(x)>0.

从而％=与时，/'(X)取得最小值.由/''(%)=0得：C&T=_!_,/〃(%+1)=I,

事,1

故-/〃(与+1)=+x0-1=—^―>0，

%+1%+1

综上，当4,1时,/(x)>0.

方法二：先证不等式，.」+1.与x-L.伍J

设g(x)=e'-xT，则g'(x)=e‘-1=0=x=。，"J得g(x)在(一幻,。)上单减，在(0,+oo)上单增,

^(x)=ex-x-1..g(0)=0,即e*..x+L；设〃")=x-l—伍r,则“(x)=1=0=>x=1,

x

可得/?(x)在(0,1)上单增,在(l,+oo)上单减，.•./i(x)=x-l-阮V/(1)=0,BPx-L./nr.

于是，当小1时,ex~af&c-a+\x+a-Y?ln(x+a),

注意到以上三个不等号的取等条件分别为：4=4、々=1、x+a=\»它们无法同时取等,

xa

所以，当4,1.时，e~>ln(x+a)t即/(x)>0.

10.设函数/^(x)=/〃x+；av2+x+l♦-

(l)当a=—2时，求函数f(x)的极值点；

(2)当々=0时，证明：必:/⑴在(0,+oo)上恒成立.

【解析】(1)由题意得xw(0,心)、/⑴=■1-2x+1=-2厂+-1,.

XX

当r(x)>0时，Ovxvl,/*)在(0,1)上为增函数：当r(x)vO时，x>1,/⑴在(1,y)上为减函数:

所以x=l.是/*)的极大值点，无极小值点

1v11

(2)证明：令尸(x)=xex-f(x)=xex-/ztv-x-i(x>0).,则F'(x)=(x+1)，------1=------・(xe,—1),

XX

令G(x)=xex-\„则因为G'(x)=(x+\)ex>0(x>0),

所以函数G(幻在(0,y)上单调递增，G(x)在(0,+oo)上最多有一个零点，

又因为G(0)=-l<0,G(1)="一1>0,所以存在唯一的cc(O,l)使得G(c)=0,

且当xe(0,c)时，G(x)<0.；当xw(c,Ko)时，G(.r)>0,

即当xe(O,c)时，Fr(x)<0；当xe(c,4w)时，Fr(0)>0,

所以尸(幻在(0,c)上单调递减，在(G+OO)上单调递增，从而尸(力.尸(C)=c>ec-lnc-c-\,

由G(c)=0得c・--l=O即c・e=1,两边取对数得：/nr+c=O,

所以/(c)=0,F(x)..F(c)=0.从而证得xe'../(x).

a(x2

11.已知函数f(x)=xlnx,^(x)=———

(1)若〃x)<g(x)在(1,+00)上恒成立,求实数『的取值范围;

【解析】(1)/(x)vg(x)等价于xlnx———<0,即xInx-——<0,

22

当时,/f(x)>0,.x)在(l,y)上单调递增,由-(1)=0,/?(A)>/?(1)=0,

所以M(x)>0,即<g(A)不恒成立；

当0<av2时，2>I,XG[72]时，〃⑺>0,“X)单调递增，*x)<gCr)不恒成立;

。Ia)

当。之2时,xe(l,+oo),力(x)在(1,+8)上单调递减，/?(x)(人⑴=0,所以x〃(x)<0.

即f(x)vg(x)恒成立;

故f(x)〈g(x)在(1,+8)上恒成立,实数a的取值范围是［2,2)；

⑵当a=2时，f(x)<g(x)在(L+QO)上成立,即lnxvx-1,

令工=1+----.k=1.2,,则In1+----<---7»

(〃+1)-［(〃+1)［(〃+1)・

女］」•I,2］「n

所以£ln西］=叩+西心山卜村

<、+2+…+〃=〃(〃+11=〃J,

(.»?+1)'(??+1)'+2(/?+1)'2(〃+1)2

所以1+^—

(71+1)JL(W+1)("广

12.已知函数/3=。+〃)(