广东省广州市某中学2024-2025学年高二年级上册期中考试数学试卷（解析版）

广州中学2024学年第一学期期中考试

高二数学试卷

一、单选题(本题包括8小题，每题有一个选项符合题意每题5分，共40分)

1,直线上2x—3y+5=°与£x+)=10=°的交点坐标是

)

A.(5,5)B.(2,3)C.(3,7)D.(8,5)

【答案】A

【解析】

【分析】联立两直线方程，求出交点坐标.

2x-+5=0x=5

【详解】联立方程组解得

1+)，-1()=())'=5

故4与4的交点坐标为(5,5).

故选：A

已知｛⑦瓦为空间的一组基底，能与瓦组成基底的向量是

2.3M+)

A.aB.bC.a+b-vcD.a+2b

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量共面基本定理可得结果.

【详解】由于G=++；(万一6),〃(力+6)-g(万一6),^4-2/?+j,

由空间向量共面基本定理知，a,b,N+必均与2+反1-6共面，

不能构成一组基底，故ABD均错误.

故选：C.

3.已知线段43的端点B的坐标足(3,4),端点4在圆(工一1『+()，-2)2=4上运动，则线段A3的中点产

的轨迹方程为()

A.(x-2)2+(y-3)2=2B.(x-2)2+(y-3)2=l

C.(x-3)2+(y-4)2=lD.(x-5)2+(y-5)2=2

【答案】B

【解析】

【分析】设出动点夕和动点A的坐标，找到动点P和动点A坐标的关系，再利用相关点法求解就迹方程即可.

【洋解】设尸（X,y）,由中点坐标公式得x==

所以X]=2x-3,y=2y-4,故A（2工一3,2y—4）,

因A在圆（工一1『+（）,一2『=4上运动，

所以（2X—3—1）2+（2y-4-2）2=4,

化简得（x-21+（y-3/=1,故B正确.

故选：B

4.己知直线/的倾斜角为60"，在）'轴上的截距与另一条直线x+2），+3=。在4轴上的截距相同，则点

0（75,2）到直线/的距离为（）

55

A.2B.-C.1D.-

24

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，结合直线截距的定义，求得直线/在）'轴上的截距，根据倾斜角与斜率的定义，利用点

斜式方程，结合点到直线的距离公式，可得答案.

【详解】由直线方程工+2），+3=0,令），=。，解得了=—3,则直线/过（0,—3）,

由直线/的倾斜角为60°，则该直线的斜率攵=lan60=6

故直线方程为：y+3=g（x-0）,化简可得：、怎一y—3=0,

则点P（62）到直线/的距离d=与北，=1・

故选：C.

5.瑞士数学家欧拉3er）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线

的交点）、重心（中线的交点）、垂心（面的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若

NABC的顶点4-4,0）,8（0,4）,C（2,0）,则其欧拉线方程为（）

A.r-y-2=0B..r+y-2=0

C.x-y+2-0D.x+y+2-0

【答案】C

【解析】

24

(分析】根据题意，求得NABC的重心的坐标为G(--,-),再求得AB和BC的垂直平分线所在直线方程,

33

联立方程组，求得外心的坐标，结合点斜式方程，即可求解.

24

【详解】解：因为V4AC的顶点A(Y.O).3(0.4),C(2.0),可得VA8C的重心的坐标为G(-彳；)，

33

由A(-4,0),仅0,4),可得砥"=1,所以A8的垂直平分线所在直线的斜率为占二T，

可得AB的垂直平分线所在直线的方程为)'=一%，

又由A(-4,0),C(2,0),可得BC的垂直平分线所在直线的方程为x=—l,

x=-1

联立方程组《，解得x=-l,y=l,即VABC的外心的竺标为M(-1,1),

则GG=1，所以"G的方程为)」l=x+l,即x-y+2=0,

所以NABC的欧拉线方程为x-y+2=0.

6.如图，在正四面体O-A3C中，M为棱OC的中点，N为棱AB上靠近点A的三等分点，则异面直线

AM与CN所成知的余弦值为()

小值时，点Q的坐标为（)

448、447、333133、

A.B.D-弓'5'N

333

【答案】A

【解析】

【分析［设迎=，方=（/J,2f）,利用坐标计算。用。月，最后求一元二次函数的最小值.

【洋解】因点。在直线。尸上运切，则设诙切=”,八2。，于是有Q"J,21）,

因此QA=(l-f,2—13-2。，QB=(2-/,1-/,2-2/),

于是得0Z•。月=(1一，)(2-1)+(2-1)(1-1)+(3-2/)(2-2。=6/-161+10

4------2448

则当I二时，（。4。8）而口=一此时，点。（）

JJJJJ

故选：A

8.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼比的夹角都

是GO。，下列说法中正确的是（）

A.4G=12瓜

B.直线8。与AC所成角的正弦值为逅

6

C.向量麻与羽的夹角是60"

D.AC_L平面C4G

【答案】D

【解析】

【分析】利用基底向量，结合向量模长公式即可判断A,利用向量的夹角公式即可判断BC,由向量垂直即可

得线线垂直，进而根据线面垂直的判断即可判断D.

[详解】由题意可得卜耳=|〃卜卜4=6,-AA^-ADA\=6X6XI=18,

又猬=福+人力+44，则|此|=J(41+4方+猛)2

=、府+6+犷+2丽南+23猛+2通・斯=\/3X62+3X2X6X6XCOS600=6瓜'故A错误，

由于BO；=A/5+A<-A反4C=AS+4£>:

则|30；|=AD+M-AGI==7A£>2+A4,'+A£F+2ADA4,'-2^5A4,'-2AB-AL)=x/3x36-2xl8=6应，

|AC|=|Ali+AD\=7AB+AD+2AB-AD=j36x2+2x18=60，

■v-«.........・・..2.2....

^BDiAC=(AD+AA]-AB)-(AB+AD)=ADAB+AA.AB-AB+AD+AA,•AD-AB-AD=36

36

Jill]cos<BD^AC>=1£=z-r-=,故B错误，

|BD,||AC|6V2X6V36

由于//A4,所以向量麻与丽；的夹角即为麻与88；的夹角，

由于忸4|二忸q=6,/。84=60；，心(784等边三角形，故N3"]C为60"，

进而祁与函的夹角为/8月。的补角，故照与画的夹角为120、故C错误，

AC{BxC=[AB^AD+AA^\AD-AA^=ABAb^AD+A\Ab-ABAA(-A\AD-AA^={)

22

AC；BID；=(/1B+AD+A4,)(/1D-/1B)=ABAD+AD+A4J-A£)-ABAD-A4,'/\B-AB=O,

所以祠1.时，祠J.丽，进而可得AG_L8C，A£J_8Q,BCc3Q=g,8c3Qu平面C8Q,

故AC；_L平面eq。,故D正确，

故选:D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.给出下列命题，其中正确的命题是()

A.若4=6,则Q=〃或〃=—5

B.若向量[是向量方的相反向量，则同于

C.在正方体ABC。-A4G。]中，AC=AiCl

■、.—-•—•u1——♦llll

D若空间向.最〃？、〃、p满足〃//〃，nilp♦则/〃〃p

【答案】BC

【解析】

【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可

判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误；

对于B：向量]是向量B的相反向量，则。=6,B正确；

对于C：在正方体ABCO-ABCR中，四边形ACGA是矩形，故C正确；

对于D：若〃=0,则m〃/z，nilp＞但〃？、p4s一定共线,D错误.

故选：BC.

10.下列说法正确的是（）

A.若直线的一个方向向量为（2,3）,则该直线的斜率为k二|

B.“。二一1”是“直线。2不一）,+1=0与直线X-"，-2=0互相垂直”的充要条件

C.当点P（3,2）到直线皿-），+l-2〃z=0的距离最大时，”的值为T

D.已知直线/过定点P（l,0）且与以4（2,-3）,川一3,-2）为端点的线段有交点，则直线/的斜率上的取值

「1、

范围是（一8,—3]U

_27

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据条件，结合（1小）也是直线的方向向量计算％的值即可判断A；根据两直线互相垂直计算参数

。的值即可判断B,再判断正误；根据直线恒过定点Q可知当直线与PQ垂直时，点。到直线的距离最大即

可判断C；计算直线。4PB的斜率，结合图象确定直线/斜率的取值范围即可判断D.

【详解】A.由（2,3）是直线的一个方向向量得（1,1）也是直线的方向向量，因为（1，%）是直线的方向向量，

3

所以k二:，选项A正确；

2

B.日两直线互相垂直得，f/2xl+i-l）x（-6/）=0,解得。=一1或〃=0,可知“。=一1”两直线垂直的充分

不必要条件，选项B错误;

x—2=0x=2

C.将直线方程变形为〃?（工-2）+1-），=0由忙…叫

y=i

直线nvc-y+\-2tn=0过定点。（2,1）,斜率为阳.

当直线mx-y+\-2tn=。与P。垂直时，点P（3,2）到直线nix-y+i-2m=0的距离最大.

因为=1,%也%"2二-1,所以〃？=一^—=-1,选项C正确;

3-2

D.

如图，k=

PA,B-3-12

由图可知，当人之!或女《一3时，直线/与线段A3有交点.

2

故选项D正确.

故选：ACD.

11.如图，正方体ABC。-A用的棱长为2,则下列说法正确的是（）

Q

B.四面体的体积是§

C.点A到平面BDCi的距离为生叵

3

D.平面与平面夹角的正弦值为g

【答案】BC

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算可判断A、C、D,利用割补法求出四面体BOGA的体

积可判断B.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则

D(0,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),D,(0,0,2),A(2,0,2),

(2,2,2),G(0,2,2),

对干A,^C=(O,2,-2),=(-2,0,2),

故cos®,BC)=2夜=V

故(方C，南)=,，即直线。C和BG所成的角为g,故A错误；

JJ

对于B,易得四面体为正四面体，

I18

则VBDC,A=匕8CD-A场GAA5G84q)222故BiEI"角,

对干C,西=(2,0,2),丽=(2,2,0),=(-2,0,2),

设平面BOG的法向量为〃=(x,y,z),则有I-,

n-BQ=-2x+2z=0

令x=l,则乃=(1,一1,1),

故点A到平面BDC1的距离d=\DA],n="2=逋，故c正确：

同G3

[m-DA.=2a+2c=0

对于D,设平面的法向量为册=(a,Ac),则有〈_

m-DB=2a+2b=0

+1

令〃=一1,则沅=(一1』,1),所以COS〈西万)=

所以平面BDA,与平面BDC}夹角的正弦值为故D错误.

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，正四面体A—8CD的长为1,C巨=；CB,则屏.而二______

【答案】1##05

【解析】

【分析】选而，:而为基底，然后表示赤，利用向量的数量积的公式计算即可.

【详解】A巨.A»=（AW+C£）.A8=（AC+；CZ5}4^=[AC;+g（4O，AG）].A8

1----------2--------121

=-AD-AB+—AC-AB=-x\x\xcos60°+—xlxlxcos60°=—.

33332

故答案为：g

13.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度人。为6G

m,行车道总宽度8c为侧墙以、尸。高为2m,弧顶高MN为5m.为保证安全，要求行驶车辆

顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m.请计算车辆通过隧道的限制高度是

M

【解析】

【分析】通过己知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差

即可.

【详解】如下图，圆弧的圆心。在直•线上，过8作3G_L4。，交圆弧于点G,作G”_LMN于点

H,连接0石、0G.

由题可知，MP=5-2=3m,EP=-AD=3y/3m,GH=-BC=y[Hm

22

设OE=OM=r,则OP=r-3

在△。砂中，有OE?=OP?+EP2

即/=(--3)2+(3ji)2,解得,・二6

/.OH=y/OG2-GH2=yJ62-(VH)2=5m

=OM-OH=6-5=\n\

/.BG=NH=MN—MH=5—\=4m

故车辆通过隧道的限制高度是4-0.5=3.5m.

故答案为：3.5m

14.已知圆C：f+y2+2x+4y+4=0,圆。2：/+/一4工+2），+1=0,M,N分别为圆G和圆C?上的动

点，户为直线，：了=戈+2上的动点，贝iJ|MP|+|NP|的最小值为

【答案】2，记一3

【解析】

【分析】先求得圆G关于直线I:y=x+2对称的圆为圆C，将原问题转化为。到圆C和圆G上的动点

距离之和最小值问题求解.

【详解】圆G+2x+4y+4=0,即（x+l『+（y+2）?=1,

圆心为（一1,一2）,半径R二1

惧|。2：/+），2-4工+2），+1=0,即（1—2）'+（丁+1）’=4,

圆心为（ZT），半径尸=2,

设点（一1,一2）关于直线/:y=x+2对称的点为（〃力）,

'b+21

I------=-1.

则E।，解得：＜,,

b-2）P=1

122

圆G关于直线，：y=x+2对称的圆为圆C,

其圆心为（-41），半径*=1，

则其方程为（x+4）2+（），—1『=1,

设圆C上的点”与圆G上点M对称，则有=|P"|,

原问题可以转化为P到圆C和圆G上的动点距离之和最小值问题，

如图所示：

连接C?。'，与直线/交于点尸，

此时点尸是满足|尸N|+|PM［最小的点，

此时|「明+归”|=心。［-3=2而一3,

即\MP\+\NP\的最小值为2M-3，

故答案为：2而一3

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知空间内三点4(023),8(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)求以向量A片，衣为一组邻边的平行四边形的面积S；

(2)若向量2与向量工都垂直，且同二G，求向量方的坐标.

【答案】(1)

(2)值=(1,1,1)或力=(-1,一1,一1)

【解析】

【分析】(1)由空间向量夹角公式求出/B4C,再根据三角形面枳公式计算即可；

(2)设值=(无)，,z),由GJ.而，口,衣，同二6列出方程组，求解即可.

【小问1详解】

•・•丽=(-2,-1,3),75=(1,-3,2),

…「ABAC71

-|4B||/IC|-714x714~2t

又・・・/胡0£[0,兀],/.ZBAC=\.\5=|^||^c|sin^=7V3.

【小问2详解】

-2x-y+3z-0

设&二(乂y,z),由"而，6宓，同=G得，＜x_3y+2z=0,

x2+/+z2=3

解得x=y=z=l或无=y=z=-l,

二.4二(1,1,1)或4.

16.已知△A8C的顶点A(5,l),AB边上的中线CM所在直线方程为2工一)，-5二。，AC的边上的高3〃

所在直线方程为x—2y—5=。.

(1)求顶点C的坐标；

(2)求直线的方程.

【答案】（1）C（4,3）

（2）6x-5y-9=0

【解析】

【分析】（1）设C（肛〃），利用点。在A8边上的中线CM上和直线AC与高线垂直求解;

（2）设3（。,〃），利用点6在8〃上和A8的中点M在直线CM上求解；

【小问1详解】

解：设

,：AB边上中线CM所在直线方程为2X一），-5=。，

AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.

i2m-n-5=0

=4

；11,，解得•m

----x-=-ln=3

<777-52

C（4,3）.

【小问2详解】

a-2b-5=0

设B（a,〃），则＜_a+51+b>

2x------------5=0

22

解得《

b=-3

:.B（-l,-3）.

3+36

/.化”=----=—.

BC4+15

・•・直线8c的方程为y_3=w（x_4）,即为6x_5y_9=0.

17.已知圆心为。的圆经过点A（L-l）和B（4,2）,且圆心C在直线x—y+l=0上.

（1）求圆。的标准方程及过点M（-2,1）的切线方程；

（2）直线氐+），+a—JJ=0与圆C相交于M，N两点，且ZA/CN=120°,求实数。的值.

【答案】(1)(x-l)2+(y-2)2=9,x=—2或4)十3y+5=0：

(2)。=1或q=-5

【解析】

【分析】(1)由圆心所在的直线设出圆心坐标，再利用两点间距离公式求解；按切线斜率存在与否分类，借

助点到直线距离公式求出切线方程.

(2)由(1)的结论及己知求出圆心到直线MN的距离，再利月点到直线距离公式求出参数值.

【小问1详解】

由圆心C在直线y+l=0上,设圆心。(应加+1),

由得J(〃L1)2+(〃?+2)2=J(〃7—4)2+(〃L1)2,解得m=1,

因此圆心C(l,2),半径厂=J(i—4)2+(2—2)2=3,

所以圆C的标准方程为(x—Ip+(y—2)2=9,

当切线斜率不存在时，圆心。到直线x=—2的距离为半径3,则直线x=—2是符合题意的切线；

当切线斜率存在时，设切线方程为y-l=A*+2),即依一y+l+2Z=(),

—2+l+2k|4

—产=：­=3,解得左二一直线方■程为4x+3y+5=0,

收+13

所以切线方程为工=-2或4x+3y+5=0.

【小问2详解】

由(1)知，圆C的圆心C(L2),半径)・=3,

由ZMOV=120°,得圆心C到直线Jlr+)，+〃一百二0的距离d=rcos60°=-,

-2

.|\/3x1+2+tz—yfiI3|q+2l3

则4=----/厂、,—=-,即—_!=「，则|。+2|=3,解得a=l或。=一5,

J(G)2+『222

所以实数〃的值为4=1或a=—5.

18.如图，在四棱锥P-A3C。中，Q4_L平面ABC。，AD1CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,

PF1

3C=3.E为PQ的中点，点尸在PC上，且正二§.

（2）求直线尸C与面4石尸所成角的正弦值；

（3）在线段相上是否存在点G.使得A、E、F、G四点共面，如果存在求出丝值；如果不存在

PB

说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）1（3）存在，=一.

PB3

【解析】

【分析】（1）由线面垂直的性质有24_LCO,又AO_LCO,根据线面垂直的判定即可证结论；

（2）构建以A为原点，建立.空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面AE尸的法向量，应用

向量法求线面角的正弦值；

（3）设26=/1。后，根据点共面，利用3d与平面AE尸一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求义，

即可确定结果.

【小问1详解】

由P41.平面ABC。，COu平面ABCO,则Q4_LC。，

又ADtCD,PAr>AD=A，PAAOu平面0A。，所以CD_L平面PAO.

【小问2详解】

以A为原点，平面A8CQ内与AD垂直的直线为x轴，而，而的正方向为），轴，z轴建立如图所示的空

则有A（0,0,0卜尸（0,0,2）,C（2,2,0）,D（。,2,0）,5（2,-1,0）,

E为P£>的中点，TF=\-PC,得E（0,l,l）,

J\DJD

____（2?4i__—

则有荏二（0,1,1）,AF=,PC=（2,2,-2）,丽=（2,-1,一2）,

1.3.33）

AEni=y+z=0

设平面AM的一个法向量为而=（x,»z）,则—224，

Ab•/=—x+—），+—z=0

333

令y=l,则x=l,z=.l,得沆=

—।户C•司6

设直线PC与面AEb所成角为心则有sm0=cosPC,沆=,=一尸~~尸=

1|PC||m|2V3XV3

所以直线PC与面AE尸所成角的正弦值为I.

【小问3详解】

若线段依上存在点G使A、E、F、G四点共面，设黑=九,0W/LW1,

PB

则可=义方=（24,—丸,一24）,而二/+可=（24—4,2—24）,

若A、E、尸、G四点共面，则AG在平面AEF内，

又平面4E尸的一个法向量为沅一1），则有而•比=24一/1+2；1_2=0，解得％=

所以线段距上存在点G,使得A、E、F、G四点共面，此时一=-.

PB