山东省威海市2024-2025学年高二年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

山东省威海市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

学校;姓名:班级:.考号:

一、单选题

1.己知集合用={-1,0,1,2,3},N={v|lnx<l},则MflN=()

A.{-1,0,1,2}B.{-1,1,2}C.{1,2}D.{1,2,3}

2.设/(大)的导函数为,且/(x)在x=x。处可导，则“凡是y=f(x)的极值点''是

“/房)=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知随机变量X~N（2,4）,则（）

A.E（X）=4B.E（2X+1）=5C.O（X）=2D.D（2X+l）=8

4.用0,1,2,3,4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（）

A.48B.36C.24D.18

5.己知函数=则/。哂3）=（）

1353

A.-B.—C.D.-

?44）

6.已知随机事件A,8满足P（A8）=0.4,尸（A）=0.6,P（8A）=0.5,则P（8）=（）

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.8

7.己知f（x）是定义在R上的偶函数，肛（x）=・/（x+2）,若/⑵=2,则%/（，）■（）

A.0B.2C.8D.10

8.有分别标有数字1,2,3,4的小球各2个，它们的形状、大小、材质完全相同，现从这

8个小球中任取4个，则取出的小球上的数字之和为10的概率为（）

二、多选题

9.某位同学10次考试的物理成绩)，与数学成绩x如下表所示:

数学成

76827287937889668176

绩X

物理成

808775861007993688577

绩y

已知)，与x线性相关，计算可得x=8(),y=83,回归直线方程为;，=1.lx+二，贝U()

A.y与K正相关

B.u=5

C.相关系数r>0

D.若该同学第11次考试的数学成绩为80,物理成绩为83,则以这11次成绩重新计算,

得到的回归直线方程不变

10.对于每个实数x,知(x)取y=|r—1,y二上一2两个函数值中的最大值，则()

A./(1)=0

B.当彳£1)时，

C./Q)在(一8,2)上单调递减

D./(x)的最小值为:

11.已知函数二；c~'~"-2,/W的导函数为/；1)，则()

("2)

A.存在/，使得/(即)=1

B.对于定义域内的任意力,都有了(—4—A)—/(x)=0

C.函数y=./；(.<-2)的图象关于原点对称

D.方程右々))二,有4个实数根

三、填空题

12.已知函数/*(.、)=2x+Inx,则曲线y=/(x)在(1J。))处的切线方程为

试卷第2页，共4页

13.(l-2r)(l+xX的展开式中丁的系数为.

14.若对任意xW(l,+8),x+ei>alnx+V+1,则a的取值范围是

四、解答题

15.在科技飞速发展的今天，人工智能(AI)领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强

大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，

得到如下数据：

经常使用不经常使用合计

男性8020KX)

女性6040100

合计14060200

(1)根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别

有关：

(2)为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调杳的经常使用AI工

具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣

传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X,求X的数学期望.

参考公式：Xn=a+b+c+d.

(a♦/>)((1♦d)("c)(b+d)

参考数据:

P[)CNk)0.1000.0500.0100.0050.00i

k2.7063.8416.6357.87910.828

16.已知函初(0=2，一0.2-、，二x.L

(1)当a=T时，解关于x的方程f(x)=3；

(2)若对\/内e[ai]，业E(O,+8),使第QJ=g(*),求a的取值范围.

试卷第3页，共4页

《山东省威海市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CABDBCBCACDBD

题号11

答案BCD

【分析】化简集合N.然后利用交集运算求解即可.

【详解】由Inxvl得，0<xve,所以N=(0,e),

VA7={-1,03,2,3},

JMCIN={1,2}.

故选：C.

2.A

【分析】根据极值点定义或举例判断“_/；(.%)=0"和'”。是函数)，=/(▲)的极值点”之间的逻

辑关系，即可得答案.

【详解】根据函数极值点的定义可知网为函数>=/(])的极值点，必有/(.%)=0；

反之，当£(.%)=0时，/不一定为函数y=/(x)的极值点，

比如/(X)=1,/,(x)=3x2,满足(0)=0,但/(x)=/在R上单调递增，

即0不是函数/(x)=F的极值点，

故”凡为函数y=/(工)的极值点”是"(.％)=0”的充分不必要条件.

故选：A.

3.B

【分析】根据止态分布性质结合数学期望及方差性质计算判断各个选项.

【详解】因为随机变量X~N(2,4),则石(*)=2,。(乂)=4,A选项错误：C选项错误：

E(2X+1)=2EX+1=5,B选项正确：

D(2X+l)=22DX=16,D选项错误：

故选：B.

答案第1页，共15页

4.D

【分析】根据分步乘法原理计算求解.

【详解】用0,1,2,3,4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有

3种情况，十位数字有3种情况，

所以三位奇数的个数为2x3x3=18种情况.

故选：D.

5.B

【分析】先得到1<log23<2,再根据函数解析式及对数的运算法则即可求解.

【详解】由log?2<log,3<log,4,则Ivlog23<2,

所以川阳3)=/(l<>g：3-I)=*…।=；.

故选：B.

6.C

【分析】应用条件概率及全概率公式计算求解.

【详解】随机事件A,B满足尸(A8)=0.4,P(A)=0.6,

户（/叫042

则P（HI）

P{A]-06-3

又P（修彳）05,

则P（H）=+,l|=06x^04»05=06

故选：C.

7.B

【分析】由/(x)=-/(x+2)得到/(x)的周期为4,再结合/(x)=-/(x+2)可得,

/(1)=-/(3),/(2)=-/(4),/(1)=0,代入力⑴计算即可.

【详解】・."(戈)是偶函数，：.f(-x)=/M

因为y(x)=・/(x+2).

所以/⑴=・/（3）J（2）=-/（4）,财⑴+/⑵+/（3）+/（4）=0.

令x=-l得，/（-1）=-/（1）,BP/（1）=-/（1）,=0.

答案第2页，共15页

/(X+4)=-f(x+2)=-[-/(-v)'=/(x),所以4为函数4*的一个周期.

所以£4)=/(1广，(2)b][/(1卜/(21」0卜/6»2

■•I

故选：B.

8.C

【分析】先根据题意求出从这8个小球中任取4个的情况共有C；种，乂4个小球上的数字

之和为10的情况有：①1,1,4,4：②1,2,3,4；③2,2,3,3,进而即可求得其概率.

【详解】从这8个小球中任取4个的情况共有C：=70种，

乂满足4个小球上的数字之和为10的情况有：

①4个小球上的数字分别是：1,1,4,4,即有I种情况；

②4个小球上的数字分别是：1,2,3,4,即有C；C；C；C；=16种情况：

③4个小球上的数字分别是：2,2,3,3,即有1种情况，

即取出的小球上的数字之和为10的情况有1+球+1=18种,

1eo

所以取出的小球上的数字之和为10的概率为.

故选：C.

9.ACD

【分析】根据题意，结合回归直线方程一一判断即可.

【详解】对于选项A,在j=l.lx+u中，则y与X正相关，故选项A正确；

对于选项B,由x=80,淳83,则样本中心点为(80.83),代入得83=1.1x80+d,解得==—5,

故选项B错误：

对于选项C,根据选项A可得相关系数，＞0,故选项C正确：

对于选项D,新增数据点为(80,83),该点恰好是原样本中心，且新增点不影响协方差和方

差的计算(新增点的芍一工和,一)，均为0),所以新的回归直线方程不变，故选项D正确.

故选：ACD.

10.BD

【分析】根据函数新定义计算判断各个选项.

【详解】设/(1)取)，=卜一1|，＞=卜一2两个函数值中的最大值，

答案第3页，共15页

WOx=l,y=1-1=0,x=l,j'=|l-2|=1,所以/■⑴=1,A选项错误;

当xV-4,y=x-\<|r-2|=2-x,所以f(x)=2-x,

所以/(勾・(4・；)・2-«-(4-3・-：-2：>0.所以4尸)>4-：,B选项正确；

因为:」/j」/II,，I；'所以在(-8,2)上不是单调递减，C选项错

误：

因为x-l|+卜-2|N(x-l)-(x-2)|=1,所以2/(x"x-l+卜-2N1,所以当x=；时/(工)的

最小值为:.D选项正确：

故选：BD.

II.BCD

【分析】对于A,根据函数式，通过计算得/(-4-x)=f(x)可判断B正确;

对于B,利用导数得函数的单调性结合函数的对称性求得(1)^=°>1可判断A不正确:

4

Y’(X+2)C

I--------------,JC<0

先求得/(一)=":再求导，得，(尸

对于C,2)=<“经

clx-2)

验证得到f,(・x・2)=・f([2)，可判断C正确;

对于D,令/=/(1)，由1为卜加-《，确定/(，)=/，/W:・.8)方程的只有一个根卜，且

由/(1)在(0,+8)上的单调性得，，0>2,再由方程<"=/,>/有4个不相等的实数根.得到

A

方程H/(x))=C?有4个不相等的实数根，判断D正确•

【详解】对于B,由/(4x卜F・/(x)得'

(T7.2)，(-2・X)・(2♦4

/(-4-x)-/(x)=0,故B正确;

对于A,二定义域为{加H-2}.

答案第4页，共15页

当x>・2时,~-y,/U)，；~~^r，

(x+2)(x.2)

令/(x)>。,得x>。；令f(x)v。,得-2<x<0；

所以/(X)在(-2,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

由B知f(-4-x)=/(x),/(x)=7^F■的图象关于x=-2对称,

("2)

所以/(x)在(-4,-2)上单调递增,在(血,・4)上单调递减.

=/(0)=/(7卜：故A不正确:

—r.x>0

对于C,/(1-

*、xvQ

当/>0时，/(*-2)=亍工口-2)=

当xv0时，/(r-2)=-p--f,(i21-

.x<0

所以，"I)((二)

-鼻“」,x>0

当x>0时，-xv02)■="/,(，-2).

(7)r

当xvO时，-x>o,/(-x-2)=---------j—=--------；------=--------\-----=/(x-2)

I)7X

所以/,(x-2)是奇函数，图象关于原点对称.故C正确：

对于D,由A知，J'(x)的图象关于x=-2对称，

/(X)在(…,-4)上单调递减，在(・4,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减，在(0,+回上

单调递增，且<，人=〃0)=〃7)=

*2\B2\

令，=/(.r),则由f(O)=，，得f(/)=e](E:..ocj,

答案第5页，共15页

根据的对称性和单调性知，方程/(，)=e2,te2一「只有一个实数根且办，

L4

由/G)在(。，+00)上单调递增，/(2)=^-<e2=/(/„),所以fo>2,

16

而方程大.、)=4>有4个不相等的实数根.

所以方程/(/1r)):一有4个不相等的实数根.故D正确.

故选：BCD.

12.3x-y-\=0

【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切

线方程.

【详解】由/(x)=2x+lnx可得£(*)=2J.・•/⑴=3

I

V/(l)=2+lnl=2.

所以曲线y=/(X)在(1,/(1))处的切线方程为y-2=3(.”1),

即3x-y-l=0.

故答案为：3x->'-l=0.

13.-15

【分析】求出展开式(1+工)、中片和父的系数，然后由多项式乘法得结论.

【详解】展开式(1+x)'的通项公式为CK，所以所求川的系数为C：-2C；=-15.

故答案为：-15.

14.(-oo,1]

【分析】依题意分。40和。>0两种情况讨论.当时，构造/(Q=x+eZ-ahu-V-l,

xW(l,+8),求导，根据其单调性分析即可：当。>0时，构造g(/)=/+e'，根据其单调性分

析可将题意中的恒成立问题转化为x-alnx-1>0在xW(l,+8)上恒成立问题，进而分析即

可得出答案.

【详解】依题意可得工+6日>alnx+V+1在x£(l,+8)上恒成立，(*)

当a40时，令f(x)=x+e'"-alnx-f・I,xe(l,+℃)

答案第6页，共15页

则/；(x)=l+e'-U-ax/rl=1+ev''-a1j>0,xG(l,+°°)

则/(r)在(l，+8)上单调递增，

所以/G)min>/(1)=1+1-0-1-1=0,故(*)成立；

当。>()时，x+e1'1>aInx+yr+1即x-j+e*'1>\nxa+ellv"，

令g。)=/+e'，/>。，

因函数)，=/与y=e'在(0,+«0上单调递增，故g(f)='+3在(0,+-)上单调递增，

又i=x-l>0,且r=Inf=alnx>0，x^(1,+°°)

则(*)成立，等价丁-g(.E-1)>g(lnx。在x£(1,+8)上恒成立，

即xT>Inf=a\nx在x£(1,+°°)上恒成立，

即x-alnx-1>0在xW(l,+8)上恒成立，(**)

令〃(%)=,xG(l,+°°),则/“■»)=I—2.xe(l,+°°)

T

若0<a41时，/?,(A)>0,此时/?(x)在(l,+8)上单调递增，

所以〃Wmin>,(1)=0,故(**)成立，即(*)成立；

若a>l时，令瓦(x)=l-9=0,解得X=a,

X

当x£(1,a)时，/?,(x)<0,此时h(A)在xG(l,a)上单调递减，

当x£(〃,+8)时，〃,(x)>0,此时〃(x)在A:£(a,+或上单调递增，

所以力(x)^=h(a)=a-dna-\,

又儿(〃)=\-\na-\=-\na<0,此时A(〃)在(l,+吗上单调递减，

所以力(〃)心<//(I)=1-0-1=0,所以〃(工儿<0,故(**)不成立，即(*)不成立.

综上，a的取值范围是(-8」].

故答案为：(-oo,l].

15.(1)企业员工对AI工具的使用情况与性别有关

答案第7页，共15页

【分析】（1）根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论;

（2）应用分层抽样的等比例性质确定男女人数，确定有X的所有可能取值集合为{0J,2,3},

求出对应概率，即可得分布列，进而求期望.

【详解】（1）零假设为H）：该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关.

根据列联表数据计算得：

,200x(80x40-20x60)?

W524>7*79

100x100x60x140

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断从不成立，

即认为“该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关”，此推断犯错误的概率不超过0.005.

故分析认为企业员工对AI工具的使用情况与性别有关.

（2）由题意知，抽取的7名员工中男员工有4名，女员工有3名.

则X可能的取值集合为{（）,1,2,3},

因此”•二

CjC12r.P(*=3)=H，

P(*=2)==

35

18,12,I9

所以"v）=l-一42：x-♦>x-=-,

35“357

16.（l）x=0»Jcr=1.

（2）«<-1.

【分析】（1）解指数方程结合指数函数值域计算求解：

（2）先把存在问题转化为指数不等式恒成立，结合指数函数值域计算求解.

【详解】（1）当〃二・2时，2、京:3,

2

令f=2'，则/+—=3即，-3f+2=0,t>0,

t

解得，=1或f=2,即2、=1或2*=2，

解得X=0或¥=1.

（2）设/（x）在［。,1］上的值域为A,g（x）在（0,+°°）上的值域为8,则A二B,

答案第8页，共15页

因为x£(0,+8),所以g(x)=x.lN2,当且仅当4即x=l时等号成立,

tY

所以B=[2,+8),

因为A二B,所以/'(x)=2r-a.2”>2对DrG[。,恒成立，

即〃&(2J-2.21对”rG[0,1]恒成立，

令〃=2"贝你=ir-2u=(//-I)2-1»〃£[1,21，

当〃=1时，Jmin=",

所以〃<-1.

27

17.—

（2）答案见解析

（3>37

【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算.

（2）求出X的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列.

（3）利用条件概率公式求解.

【详解】（1）设事件。表示“3个品牌的手机中至少有2个品牌第•次掉落屏幕未碎掉”,

则HOl=cr।：•（（「；：

44432

（2）依题意，随机变量X的取值集合为{0,1,2,3},

设事件人表示“甲品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎抻”，

事件B表示“乙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”，

事件。表示“丙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”，

1]1171323

则P(I)=---.P{8}••--,/*i(1--,

414417410

田m3I721n1I73I731337

42IftRO4210451042IftRO

II7II33I319__II33

P(X=2)=-x-x-4--X-X-4--X-X-=—,P(v\=3)=-x-x-=一,

4110421042inR0▲21。M

所以X的分布列为

X0123

答案第9页，共15页

2137193

P

R0而MRd

(3)设事件E表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉”，

事件厂表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有甲品牌的手机屏幕仍未碎掉”，

由(2)知,AE)=PNI)?(£/)'>'•

421080

所以已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，

7

该品牌手机是甲的概率为月卜；；；；一段一;

M)

18.(1)答案见解析

(2)y=12.V-14或y=3%+4.

(3)证明见解析

【分析】(1)分类时论计算导数正负得出函数单调性：

(2)先求出导函数，计算得出函数的切线斜率，最后点斜式得出切线方程；

(3)法一：设/(.。=(一为)(.¥-必)(工73)及零点再化简计算证明等式：法二：设零点得

出3君-3心1+/+6然-=0，再化简证明：法三：设零点得出需7；+3a7：)=0,

再化简证明；

【详解】(1)/(%)=3.P+60r=3x(x+2a),

①当〃=0时，f(x)=3x20,

所以/(1)的单调递增区间为(-8,+8),无单调递减区间；

②当a>0时，令"x)>Q,解得xv-2〃或X>0,令/(X)<。，解得lavxvO；

所以/(X)的单调递增区间为(-8,-2〃),(0,+8),单调递减区间为(-2a,0)：

③当a<0时，令/(文)>0，解得xvO或令/(x)vO,解得Ovxv-2a；

所以/(x)的单调递增区间为(-8,0),(-2〃,+8),单调递减区间为(O「2a).

综上，当a=0时，/(.寸的单调递增区间为(-8,+8),无单调递减区间；

答案第10页，共15页

当〃>0时，J(r)的单调递增区间为(-8,-2〃)，(0,+~),单调递减区间为(-200)：

当a<0时，/⑴的单调递增区间为(-8,0),42〃,+8),单调递减区间为(0,-2a).

(2)当a=0,6=2时,/(x)=?+2,则f(i)=3f,

设切点为(xo,君+2),

则切线的斜率％=/,(/)=3总，

所以切线方程为y・年・2=3xl(x-x0)

又因为经过点(2,10),

所以1()-x；-2=3焉(2-x0),

即/・3焉+4=0,整理得(与-2):(%+1)=0,

解得%0=2或x()=-I,

所以过点(2,10)的切线方程为)，=12.114或)，=3x+4.

(3)法一：若/(%)存在三个不同的零点Mv马v人,

则可即(X)=GF)(X72)(XF)，

32

整理得f(x)=X-(X1+x2+x5)X+(X|X2+XyX3+x]x3)x-xix2x3i,

所以-(a+占+/)=3。.

因为X1+当=2X2,所以占=■«，

所以f(-a)=o，可得2"_力=0.

法二：若f(x)存在三个不同的零点占VX2V/，

因为为+x3=2X2,可设X|=x2-d,xy=x2+d,d>0,

则(上2-d)'+3”(距+/>=0,xi+3a^+b=0,(即+d)，+3a(%+d)+b=0,

化简可得3K-3x2d+/+6ax2-3ad=0,+3x2d+/+6ax2+3ad=0,

两式相减可得6.”/+6ad=0,

答案第II页，共15页

所以不=-a,

所以/'（-〃）=（）,可得2标+0=0.

法三：若/（x）存在三个不同的零点占<勺<工3，

则M+3ax：+〃=0,E+3渥+〃=0,石+3aR+b=0,

两两相减可得只-年+3a（4-d）=0,只-£+3”（云-%；）=0,

因为X<甬<M，所以X+1内+片+3a&+芭）=（），4+七占+A?+%（再+%）=0,

两式相减可得（用+X）（0F）+应（%・匹）+3a（x3-xj=0,

所以.q+再+与+3。=0,

因为X]+网=4,所以X?=-a.

所以/（-♦）=0，可得2"+/?=0.

19.（l）a<1

（2）（i）a>1：Gi）证明见解析

【分析】（1）根据函数单调性得出导函数"x）=」-〃-2xW0,再构造函数得出函数的最

X

小值即可求参；

（2）G）法一：根据函数的零点个数得出函数单调性即可求参：法二：构造G（"二x-号

得出函数的单调性即可计算求参：Gi）法一：根据已知零点构造函数〃（'）=必得出导

X

IrI、

函数，再结合函数的单调性即可求解；法二：构造函数।1+IE得出导函数，

再结合函数的单调性即可求解：

【详解】（1）若了（工）在口，+8）上单调递减，

则=-^a-2x<0对任意xW[1,+°0）恒成立，

T

即a<2x-,对任意x£[1,+00）恒成立，

X

令0x）=2%，因为g（0在[1,+8）上单调递增,所以g（Q的最小值为g（l）=1,

T

所以4<1.

答案第12页，共15页

（2）a）法一：=-+-2x»

x*

令A（x）=O,则-2f+or+l=0,判别式△=/+8>0,且两根之积为:，

故该方程有唯一正根，设为％,

当0vxv.%时，£（A）>0,所以/（工）在（。,.％）上单调递增，

当X>Xo时，/,（A）<0,所以/（.I）在（Xo,+°°）上单调递减，

又当XT0时，/（X）;

当X—+OO时，/（X）->-8；

若/（'）有两个不同的零点，则/（见）>（），

所以1叫+・x：>0,

又因为做=2焉・1,所以hu：o+5-1>0,

令〃(x)=hu+V・i,则优(x)二<l+2t>0,

所以力6)在(0,+00)上单诫递增，因